3 第三讲 线性变换之一

由数k决定的数乘变换：K :V → V , x kx, ∀x ∈V
2006-12-1
例1. V = R2(实数域上二维向量空间)，把V中每
一向量绕坐标原点旋转 θ 角，就是一个线性变换，
用Tθ 表示，即
( ) ( ) Tθ : R2 → R2,
x y
x′ y′
( ) ( )( ) 这里，
x′ y′
( ) ( DJ )( f ( x)) = D
∫x 0
f (t )dt
= f (x),
即 DJ = Te
而，
( JD ) (
f
(x)) =
J(
f ′(x)) =
∫x 0
f ′(t )dt
=
f
( x) −
f
(0)
∴ DJ ≠ JD.
2006-12-1
例2. 设A、B∈ Rn×n 为两个取定的矩阵，定义变换
（不是）
2）M＝Z，M′＝Z＋，
σ：σ(n)＝|n|, ∀ n ∈ Z τ：τ(n)＝|n|＋1, ∀n ∈ Z
（不是） （是）
2006-12-1
3）S＝ Rn×n，S′＝K，（K为数域）
σ：σ(A)＝|A|，∀A ∈ Rn×n
（是）
4）S＝K，S′＝ Rn×，n （K为数域）
τ：τ(a)＝aE，∀a ∈ K （E为n级单位矩阵）（是）
则称它们相等，记作σ1 =σ2
设σ, τ是集合S 到S1，集合S 1到S2的映射， 映射的乘积 τσ 定义为
(τσ )(α ) = τ (σ (α )), α ∈ S
设σ, τ ,μ是集合S 到S1,S 1到S2,S2到S3的映射，
则映射的乘积满足结合律，但不满足交换律
(τσ ) µ = τ (σµ )
ξ
∏α (ξ )
2006-12-1
例3．线性空间 Rn 中，求微分是一个 线性变换， 用D表示，即
D :V → V , D( f ( x)) = f ′( x), ∀f ( x) ∈V
证明：∀f ( x) , g ( x) ∈ Pn 和 ∀k,l ∈ R 有 D( f (t) + g(t)) = ( f (t) + g(t))′ = f ′(t) + g′(t) = D( f (t)) + D( g(t)) D( kf (t)) = ( kf (t))′ = kf ′(t) = kD( f (t))
因此D是一个线性变换.
2006-12-1
例4. 闭区间 [a,b]上的全体连续函数构成的线性空间
C (a,b) 上的变换
J :C (a,b) → C (a,b),
J
(
f
(t
))
=
∫t a
f
Hale Waihona Puke Baidu
(
x )dx
是一个线性变换.
证明：∀f ( x) , g ( x) ∈ Pn 和 ∀k,l ∈ R 有
J
(
kf
(T1T2 )(kx) = T1 (T2(kx)) = T1 ( k(T2 x)) = k (T1(T2 x)) = k (T1T2 ) x
2006-12-1
线性变换乘积的基本性质
（1）满足结合律：(T1T2 )T3 = T1 (T2T3 )
（2） TeT = TTe = T ，Te 为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
则 T1 + T2 也是V的线性变换.
事实上，(T1 + T2 )( x + y) = T1( x + y) + T2( x + y) = T1 x + T1 y + T2 x + T2 y = (T1 + T2 ) x + (T1 + T2 ) y
(T1 + T2 )(kx) = T1(kx) + T2(kx) = k(T1 x) + k(T2 x) = k(T1 x + T2 x) = k(T1 + T2 )x
τσ ≠ στ
2006-12-1
设σ都是集合S 到集合S′的一一对应映射， 1.若 ∀a ∈ S , ∃σ (a) ∈ S′;∀b ∈ S′, ∃a ∈ S , st.σ (a) = b
2.若 ∀a, b ∈ S ,且 a ≠ b 有 σ (a) ≠ σ (b) 或者 σ (a) = σ (b) ,就有 a = b
T1( X ) = AX , T2( X ) = XB,
∀X ∈ Rn×n
则T1,T2皆为 Rn×n 的线性变换，且对 ∀X ∈ Rn×n , 有
{T|T是数域K上线性空间
2006-12-1
线性变换的乘积
设 T1,T2为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的乘积 T1T2 为： (T1T2 )( x ) = T1 (T2 x ) , ∀x ∈V
则 T1T2 也是V的线性变换.
事实上，(T1T2 )( x + y) = T1(T2( x + y)) = T1(T2( x) + T2( y)) = T1(T2 x) + T1(T2 y) = (T1T2 ) x + (T1T2 ) y
性变换. 用 ∏α 表示，即
∏α : R3 → R3, ξ
(α ,ξ ) α , ∀ξ ∈ R3 (α ,α )
这里 (α ,ξ ),(α ,α ) 表示内积.
易验证： ∀ξ ,η ∈ R3 , ∀k ∈ R
∏α (ξ + η ) = ∏α (ξ ) + ∏α (η )
α
∏α ( kξ ) = k ∏α (ξ )
确定的元素a′与它对应 3）一般，S′中元素不一定都是S 中元素的像 4）S 中不相同元素的像可能相同 5）两个集合之间可以建立多个映射 若∀a ≠ a ' ∈ S, 都有 σ (a) ≠ σ (a '), 则称为单射
若∀b ∈ S ′,都存在 a ∈ S ,使得 σ (a) = b ,则称为满射
矩阵分析与应用
第三讲 线性变换之一
信息工程学院 吕旌阳
2006-12-1
本讲主要内容
集合的映射 线性变换 线性变换的简单性质 线性变换的运算
2006-12-1
映射
设S、S′是给定的两个非空集合，如果有 一个对
应法则σ，通过这个法则σ对于S中的每一个元素a， 都有S′中一个唯一确定的元素a′与它对应, 则称 σ为
如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应
2006-12-1
例 判断下列M 到M ′对应法则是否为映射
1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1，2，3，4｝
σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2
（是）
δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 （不是）
τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4
满足： ∀x, y ∈V , k ∈ K
T(x + y) =T(x)+T( y) T (kx) = kT ( x)
或者
T (kx + ly) = k (Tx) + l (Ty)
则称事T实为上线，性空∀间xV, y上∈的V线, 性∀变k ∈换K. ,
单位K变( x换+(恒y)等= k变( 换x +)：y)T=e k:Vx +→kyV=, Kx( x) x+, K∀(xy∈) ,V 零变换K：( mTx0 ):V= k→mVx =, mx kx =0,m∀Kx(∈x)V.
（3） T0 + T1 = T1 ，T0 为零变换. （4） (−T ) + T = T0
2006-12-1
线性变换的数量乘法
设 T 为线性空间V的线性变换，k ∈ K , 定义 k与 T 的数量乘积 kT 为：
(kT )( x) = kT ( x), ∀x ∈V
则 kT 也是V的线性变换.
2006-12-1
=
cosθ sinθ
− sinθ cosθ
x y
易验证：∀x, y ∈ R2 , ∀k ∈ R
Tθ ( x + y) = Tθ ( x) + Tθ ( y) Tθ ( kx) = kTθ ( y)
2006-12-1
例2． V = R3 , α ∈V 为一固定非零向量，把V中每 一个向量ξ 变成它在 α 上的内射影是V上的一个线
2006-12-1
负变换
设 T 为线性空间V的线性变换，定义变换 −T 为：
(−T )( x) = −T ( x), ∀x ∈V
则 −T 也为V的线性变换，称之为 T的负变换.
2006-12-1
线性变换和的基本性质
（1）满足交换律：T1 + T2 = T2 + T1
（2）满足结合律：(T1 + T2 ) + T3 = T1 + (T2 + T3 )
(t
)
+
lg(t
))
=
∫t a
(
kf
(u)
+
lg(u))
du
∫ ∫ t
t
= k f (u)du + l g(u)du
a
a
= kJ ( f (t)) + lJ ( g(t))
因此J是一个线性变换.
2006-12-1
线性变换的简单性质
1．T 为V的线性变换，则 T (0) = 0, T (− x) = −T ( x).
线性变换数量乘法的基本性质
(1) k(T1 + T2 ) = kT1 + kT2 (2) (k + l)T = kT + lT (3) (kl)T = k(lT ) (4) 1T = T
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的一个线性
空间，记作 Hom(V ,V ) V的线性变换}
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 x = k1 x1 + k2 x2 + + kr xr , 则 T ( x) = k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) +
+ krT ( xr ).
3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关
的向量组. 即
2006-12-1
若 x1, x2, , xr 线性相关，则 T ( x1 ) ,T ( x2 ) , ,T ( xr )
也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k1, k2 , , kr使 k1 x1 + k2 x2 + + kr xr = 0
则由2即有，k1T ( x1 ) + k2T ( x2 ) + + krT ( xr ) = 0. 注意：3的逆不成立，即 T ( x1 ),T ( x2 ) , ,T ( xr )
线性相关， x1, x2 , , xr未必线性相关. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
2006-12-1
练习：下列变换中，哪些是线性变换？
√ ( ) 1．在 R3中，T x1, x2 , x3 = (2x1, x2 , x2 − x3 ). × 2．在 P[ x]n中，T ( f ( x)) = f 2( x). × 3．在线性空间V中，T (ξ ) = ξ + α , α ∈V 非零固定. √ 4．在 P n×n中，T ( X ) = AX , A ∈ P n×n 固定. × 5．复数域C看成是自身上的线性空间，T ( x) = x . √ 6．C看成是实数域R上的线性空间，T ( x) = x .
T1T2 ≠ T2T1 （4）乘法对加法满足左、右分配律：
( ) T1 T2 + T3 = T1T2 + T1T3 ( ) T1 + T2 T3 = T1T3 + T2T3
2006-12-1
例1. 线性空间 R[ x]中，线性变换
D( f (x)) = f ′(x)
J
(
f
(
x))
=
∫x 0
f
(t
)dt
就称σ是集合S 到集合S′的同构映射，且称集合S
到集合S′是同构的
由不高于n次的实系数多项式构成的空间与实数域 上n+1维的全体向量构成的空间同构，比如
( ) a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ↔ a0 ,a1,a2 ,a3
2006-12-1
设V为数域K上的线性空间，若变换 T :V → V
5）S、S′为任意两个非空集合，a0是S′中的一个固
定元素.
σ：σ(a)＝a0，∀a ∈ M
（是）
6）S＝S′＝P[x]
σ：σ(f (x))＝f ′(x)，∀f ( x) ∈ P[ x]
（是）
2006-12-1
设σ1, σ2都是集合S 到集合S′的两个映射， 若对S 的每个元素a 都有σ1 (a) =σ2 (a)
2006-12-1
线性变换的运算
一、线性变换的和 二、线性变换的数量乘法 三、线性变换的乘积 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
2006-12-1
1.线性变换的和
设T1,T2 为线性空间V的两个线性变换，定义它们
的和 T1 + T2为：(T1 + T2 )( x ) = T1x + T2 x,∀x ∈V
S到S′的一个映射，记作 : σ : S → S' 或 S σ→S'
称 a′为 a 在映射σ下的象，而 a′ 称为a在映射σ下的
原象，记作σ(a)＝a′ 或 σ : a a′.
S到S自身的映射，也称为S到S的变换
2006-12-1
关于S 到S′的映射σ
1）S 与S′可以相同，也可以不同 2）对于S 中每个元素a ，需要有S′中一个唯一