《现代控制理论》第三版第一章.习题答案

第一章 作业
参考答案
1－1. 求模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：状态方程：
()()()1223
2
356341
3456
1111
4351631311616111
161
11
()b
p p
p n p p p p p K x
x x x J x
x K x x x J K K x x x x J J J J 16x
K x x
K x x K x K x K K x u x x K K K K K x x u K K K ===+--=--++==-=-+⎡⎤=--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦=--+
输出方程：1x θ=
矩阵形式： =x
Ax +B u y =Cx 其中：
211111110
100000000011000000000000000b 1p p n p p K J K K J J J J K K K K K K K ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A = 100000
T
p K B K ⎡
⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
[]100000C =；
1－3. 图1－29机械系统。

1M 2M 受外力作用1f 2f 作用，求1M 2M 运动速度输出的状态空间表达式。

解：微分方程
111112112()()M y
f K c c B y y =---- 22222221121()12()M y
f K c B y K c c B =--+-+ y y - 设状态变量[]12
1
2T
c c y y x =
[]12T
y y y =，[]1
2T
f f =u
令11x c =，22x c =，31x y =，42x y = 13x
x = 24x
x = 1111312341111111
K K B B x x x x x M M M M M =-+-++ f
1121214124322221K K K B B B x x x x x M M M M M ++=--++
22
f
所以 =x
Ax +B u y =Cx 其中：
1
1111111
1
1211222
010
0001
K K B B M M M M K K K B B B M M M M ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
-
-⎢⎥⎢
⎥++⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
A =22 120
0001010B M M ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
C 00100001⎡⎤=⎢⎥⎦ ⎣
1－5. 根据微分方程，写状态方程，画模拟结构图。

（1） 5732y y y y u +++=+
u 解：相当于传递函数中有零点的情况。

即3
2
2
()57s G s s s s 3+=+++ 即： 03a =17a = 25a =
02b =，，11b =20b =，30b = 所以
1
201
0010001001375A a a a ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
[ ][]001()(210 n n C b a b b a --=--= 1n b )n
或者1
332211200
1
2
1111b a b a a b a a a b ββββ210-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
3222212132
1220212
011121b a b a a a b a a a a a a a b ⎛
⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪= ⎪⎪-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭
2
2
1000051000
5751011701253575
123⎛⎫00⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()2
10013T
T
B βββ==[-
]100=C
（2） 57332y y y y u u +++=++ u 2
3
2
32
()57s s G s s s s ++=+++3
因为分母未变，故状态方程不变，只输出方程不同。

30b =，，21b =13b =，02b = []231C = 或者
322
120100051005751037012535751201ββββ⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪- ⎪
⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭0125⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎫
⎪
⎪=
⎪- ⎪-⎝⎭ ； 125B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪
⎝⎭
1－7. 已知状态空间表达式，画模拟结构图，求传递函数。

解：这是一个单输入单输出系统：
[][[]1
1
1
()()001()0121
000123011
1
3T
W s C SI A B d
SI A S S S ]
02---=-+=--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢=+⎥⎢⎥⎢-+⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
22
2
0(3)30
02(3)(3)0151(3)2(3)
T
S S S S S S S S S S S ++⎡⎤
⎢⎥-++⎢⎥---++⎢⎥⎣⎦
=
+++01322S ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦[]2
32
51320126116
T
S S S S S S S ⎡⎤---++⎣⎦=+++2
32
27321
6116(1)(2)
S S S S S S S S +++==+++++
1－9. 化状态空间表达式成约当标准型 （1）0I A λ-= 11λ=- 23λ=-
11A λ=P P ；111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦P 22A λ=P P
211⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦P []1
21111T ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦
P P 1
111112T -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ []
1
1011'032'11J B T B C CT --⎡⎤⎡===⎢⎥⎢--⎣⎦⎣==1⎤⎥⎦ （2）0I A λ-= 123λλ== 31λ=
111A λ=P P []1111T
=P
122112113211101A λ--⎛⎫ ⎪-=--=- ⎪ ⎪-⎝⎭
2P P P 2210101101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ -⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
或或P
333A λ=P P []3021T
=P
120110100112102112111101111T ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢=-⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣或或⎤⎥⎥⎥⎦
⎤⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎦ 1310030001J T AT -⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
11338131525252343434T B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢=---⎢⎥⎢⎥⎢
---⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣或或3443143222320322CT -⎡⎤⎡⎤⎡=⎢⎥⎢⎥
⎢-⎣⎦⎣⎦⎣或或
43
1-11. 求传递函数
[]1
121()()()()W s W s I W s W s -=+ 1112111130022S S S S S S S S -+⎡⎤⎡--⎢⎥⎢++=⎢⎥⎢+⎢⎥⎢⎢⎥⎢++⎣⎦⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎦1
1311121230021S S S S S S S S S S +⎡⎤⎡-⎢⎥⎢+++=⎢⎥⎢⎤⎥⎥++⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎥++⎣⎦⎣⎦11112(3)1120023S S S S S S S S S S ++⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦+⎣⎦
112(3)103S S S S S --⎡⎤⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
存在问题：
1．作业不能没有中间步骤；
2．状态空间表达式应写成矩阵型式；。