逻辑学 第四章

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分析比较,请判断下列真值形式的真值。 ① ﹁(p∧﹁p) ② P∧﹁P ③ P∧q
• 真值形式的种类： • 1）重言式（或称永真式），指表示常真的真 值形式，即对命题变项赋任何值，其真值形 式的真值永远为真的真值形式。如：P∨﹁ P,P→P等等。
• 2）矛盾式，指命题变项无论取什么值，其 真值形式的真值永远为假的真值形式。如： P∧﹁P,﹁(P∨﹁P)等等。
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二、命题逻辑中常用的重言式： （1）P→p 同一律 （2）﹁(p∧﹁p) 矛盾律 （3）p∨﹁p 排中律 （4） ((p→q)∧p ) →q 分离律 （5） ((p→q)∧﹁q ) →﹁p 否后律 （6） ((p∨q)∧﹁p ) →q, ((p∨q)∧﹁q ) →p 否析律
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（7） ( p∧q ) →p, ( p∧q ) →q 合简律 （8）p→(q→ ( p∧q) ) 并合律 （9）p→ ( p∨q ) 析取引入律 （10） ( p∨p ) p, ( p∧p ) p 幂等律 （11）(p→﹁p)→﹁p,(﹁p→p)→p 蕴简律 （12） ((p→q)∧(q→r) ) →(p→r) 三段论律 （13）(p→ ( r∧﹁r) ) →﹁p 归谬律
课堂练习
• 用符号表示下列各复合命题的真值形式。 • 1.或者明天下雨（p），或者明天不下雨 （q）。 • 2.一年之计在于春（p），一旦之计在于晨 （q）。 • 3.不入虎穴（p），焉得虎子（q）。 • 4.少壮不努力（p），老大徒伤悲（q）。 • 5.人不犯我（p），我不犯人（q）；人若犯 我，我必犯人。
1 1 1 1 1 1
• 例：用真值表判定下列推理是否正确： • （1）张三作案或李四作案，有证据证明张三 没有作案。因此是李四作案。 • （2）张三作案或李四作案，有证据证明是张 三作案，因此李四没有作案。 • （3）张三作案或李四作案。因此，并非如果 李四没作案就一定是张三作案。
• 解：令p表示张三作案；q表示李四作案。 • 则推理（1）的真值形式为： • ((P∨q)∧﹁p)→q • 推理（2）的真值形式为： • ((p∨q)∧p)→﹁q • 推理（3）的真值形式为： • (p∨q)→﹁(﹁q→p)
• 5.运动着的物体某一瞬间在这儿，当且仅当 这一瞬间它不在这儿。因此，运动着的物 体某一瞬间既在这儿又不在这儿。 • 6.我们不可能既不(保持安定局面)(p)又发展 经济(q)。因此，保持安定局面是发展经济 的必要条件。
• 真值表解题 • 1.设命题A为：甲、乙二人中至少有一人不 是南方人。 • 命题B为：甲是南方人而乙不是南方人。 • 命题C为：要么甲是南方人，要么乙是南方 人。 • 请用真值表方法解题：当A、B、C同时为真 时，甲、乙是否为南方人？
第二节 命题的真值判定方法
• 对命题进行真值判定的方法有很多，如：真 值表法、归谬赋值法、真值树法、演绎证明 法和范式法，等等。这里我们主要介绍真值 表法和归谬赋值法。
• 一、真值表法 • 真值表，就是能显示一个真值形式在它的命 题变项的各种真值组合下所取真值的图表。 运用真值表，可以判定任一真值形式是否为 重言式、矛盾式和可满足式，也可以判定诸 真值形式是否为等值的、或者矛盾的。 • 真值表方法的步骤：
• 其中变项q的赋值出现逻辑矛盾。既然出现 逻辑矛盾，那就表明原假设（前件真而后 件假）不成立。这就说明该蕴涵式不存在 前件真而后件假的情况，那就证明该公式 不能为假，所以原公式为重言式。
• 例1： • 判定(((p→q)∧(r→s))∧(﹁q∨﹁s))→(﹁ p∨﹁r)是不是重言式。
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（19）( p∧(q∨r) ) ((p∧q)∨(p∧r)) ( p∨(q∧r) ) ((p∨q)∧(p∨r))分配律 （20）((p→q) ) (﹁p∨q ) 蕴析律 （21）(pq)((p→q)∧(q→p)) (pq)((p∧q)∨(﹁p∧﹁q))等值律 （22）pp∧((q∨﹁q)) pp∨((q∧﹁q))加元律
p 1 q 1 ﹁P 0 ﹁q 0 p→q 1 ﹁P∨q 1 p∧﹁q 0
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课堂练习
• • • • • • • 用真值表方法判定下列真值形式的类型。 1. ((p→(r∧﹁r))→﹁p 2. (﹁p→q)(p∧﹁p) 3. ((p→q)∧﹁p)→﹁q 4. p(p∨P) 5. (p∨q)(q∨P) 6. p∧(q∧﹁q)
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基本的真值联结词： 否定（并非···） ··· 合取（···并且···） ··· ··· 析取（···或···） ··· ··· 蕴涵（如果···那么···） ··· ··· 等值（···当且仅当···） ··· ···
• 符号表示：‚﹁ ”表示否定，‚∧ ‛表示 合取，‚∨ ‛表示析取，‚→ ‛表示蕴涵， ‚ ‛表示等值。
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2.已知：A：如果甲不是木工，则乙是木工。 B：只有乙是泥工，甲才是木工。 C：是与A相矛盾的联言命题。 请用真值表法解题：当B、C同时为真时， 甲是否为木工？乙是否为泥工？
• 3.列出下列A、B、C、D四命题的真值表： • A：“甲、乙两人中至少有一人不是运动员” 这说法不对。 • B：要么甲不是运动员，要么乙是运动员。 • C：如果甲是运动员，则乙不是运动员。 • D：只有乙不是运动员，甲才是运动员。 • 请据表回答： • （1）A与B具有什么关系？ • （2）C与D具有什么关系？ • （3）A与C具有什么关系？ • （4）A与D具有什么关系？
第四章 价廉物美是真是假？
——命题的判定与自然推理
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分析思考：说出下列命题符号形式的内容 ①﹁p（令P为一切花朵都是香的） ②p∧q（令p为刻苦学习，q为善于思考） ③p→q(令p为寒潮到来，q为气温下降）
第一节 重言式
• 一、真值形式 • （1）真值联结词 • 所谓真值联结词是指仅仅表示复合命题 与支命题之间真假关系的联结词。这种真值 联结词同日常语言中的联结词既有联系，又 有所不同，它只是日常语言的联结词在真假 关系上的一种抽象。
• 用真值表法判断下列推理是否有效？ • 1.与人民为敌(p)，而又不(受历史的惩罚)(q)， 这是妄想。因此，要想不受历史的惩罚，只 有不与人民为敌。 • 2.与人民为敌，而又不受历史的惩罚，这是妄 想。因此，只要不与人民为敌，就能不受历 史的惩罚。
• 3.如果你喜欢逻辑(p)而不喜欢数学，那么， 你并不是真喜欢逻辑。因此，如果你真喜 欢逻辑，那么一定喜欢数学(q)。 • 4.如果运动着的物体某一瞬间在这儿(p)， 那么，这一瞬间它肯定不在这儿。因此， 运动着的物体某一瞬间既在这儿又不在这 儿。
这三个公式的真值表如下：
p
1
q
1
((P∨q)∧﹁p)→q
1
(p∨q)→﹁ ((p∨q)∧p)→﹁q (﹁q→p) 0 0
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0 0
0
1 0
1
1 1
1
1 1
0
0 1
上述真值表证明，推理（1）式是重言式，推理（2）式和 （3）式是可满足式。因此，只有推理（1）才是正确的。
例：用真值表方法判明p→q 、﹁P∨q 、p∧﹁ q 之间是互相等值的，还是互相矛盾的？
• 第三步，检查所有变项的真值，如果其中 至少有一个变项既真又假，即出现了逻辑 矛盾，那么，可以证明被判定的公式不可 能为假，只能为真，因而它的一个重言式； 如果并未导致逻辑矛盾，这就证明原假设 成立，因而被判定的公式不是重言式。
• 例：为判定(p→q)∧﹁q→﹁p 是重言式，则 要求证明此公式的前件真而后件假是不可能 的。而要使前件真而后件假，则有： • (p→q)∧﹁q→﹁p ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ （1） 0 • （2） 1 0 • （3） 1 1 1 • （4）1 0 • （5） 1
• （2）真值形式 • 所谓真值形式是指由真值联结词和命题 变项所构成的形式结构，相应于前章所讲 的各种复合命题而言，也可以说就是由真 值联结词构成的各种复合命题的形式结构。 • 在命题逻辑中，命题形式就是真值形式， 命题形式一般可以定义如下：
• （1）任何命题变项是命题形式。 • （2）如果A和B是命题形式，那么﹁A、 (A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(AB)也是命题 形式。
• 需要强调的是，这种方法只适用于判定蕴涵 式。 • 主要思路：为了说明一个蕴涵式（A →B)是 重言式，要求证明：对其中的变项无论赋什 么值，前件真而后件假是不可能的，即如果 前件真而后件假，则变项赋值时必然导致逻 辑矛盾。
• 归谬赋值法可分为三个步骤： • 第一步，假定被判定的真值形式（蕴涵式） 是假的。 • 第二步，从这一假定出发，根据五个真值 联结词的真值表，依次对公式中的各部分 公式赋以相应真值，直到所有的变项都被 赋以确定的真值为止。
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5.用真值表方法回答： 在什么情况下，丁的话能成立？ 甲：小陈是木工并且小李不是电工。 乙：小陈不是木工或者小李不是电工。 丙：如果小陈是木工，那么小李不是电工。 丁：你们三人说的都不对。
• 二、归谬赋值法 • 从理论上说，任一真值形式，因为它是有限 构成的，因此，都能用真值表判定。但实际 上，如果某个真值形式有n个命题变项，则真 值表上就应有2n行。显然，这样会非常烦琐。 因此，有必要把真值表的方法加以简化。于 是，人们就在真值表方法的基础上提出了简 化的真值表方法，亦称归谬赋值法。
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（14）p﹁﹁p 双否律 （15）(p→q)(﹁q→﹁p) 换位律 （16）﹁(p∧q)(﹁p∨﹁q ) ﹁(p∨q)(﹁p∧﹁q ) 德摩根律 （17）(p∧q ) (q∧p ) (p∨q ) (q∨p ) 交换律 （18）((p∧q)∧r ) (p∧(q∧r)) ((p∨q)∨r ) (p∨(q∨r)) 结合律
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4.对甲、乙棋手的下棋步骤，有如下猜测： A：如果甲跳马，那么乙出车。 B：要么甲不跳马，要么乙不出车。 C：只有乙出车，甲才不跳马。 D：甲不跳马，但乙出车。 事实证实：上述四种猜测只有两种正确，且这两 种之间具有蕴涵关系。 请据表回答： （1）_____与_____的猜测正确。 （2）在两种正确的猜测中，____蕴涵____。 （3）甲是否跳马？ （4）乙是否出车？
• 3）可满足式（可真式）指真值形式的真值 随着命题变项的变化可真可假的真值形式。 如P∧q,p→q等等。
• 重言式是逻辑真理的表现形式。现代命题 逻辑中的一切正确的推理形式均表现为重 言式。其中，重言蕴涵式和重言等值式尤 为重要。因为凡是正确的推理形式均可表 现为这两种形式。 • 所谓重言蕴涵式和重言等值式，分别是指 最外层的联结词 （即主联结词）是蕴涵词 和等值词的重言式，它们是人们进行逻辑 推理的根据。
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分析判断：是否是真值形式 ① p ②﹁﹁p ③ p﹁ ④ ﹁p→q ⑤ →p ⑥ (﹁(q∨r))
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在命题逻辑中，有五种基本的真值形式： 否定式：﹁p 合取式：p∧q 析取式：p∨q 蕴涵式：p→q 等值式：pq 此外，命题逻辑中的一切公式都是表达真值 形式的。
• 1）找出给定真值形式里的所有变项，列举 出这些变项的各种真值结合。 • 2）根据真值形式的构成过程，由简而繁地 列举出一个真值形式的各个组成部分，最后 一栏为该形式本身。 • 3）根据各个组成部分的真值表，计算出每 栏中各组成部分的真值，最后得出该形式的 真值。
用真值表方法判明((p∧q)→r)→(p→(q→r))是否为重言式
p q r p∧q (p∧q)→r 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 q→r 1 0 p→(q→r) 1 0 ((p∧q)→r) →(p→(q→r)) 1 1
1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0
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