函数最值教案

函数最值教案

教学目标

理解函数最大(小)值的定义，强调最值是函数的整体性质;

掌握简单的求函数最值的方法(图象法、配方法、单调性法);

会利用求函数最值的方法解决一些简单的实际问题，如：用料最省、利润最大、效率最高等最值问题.

教学重难点

教学重点:

函数最大值、最小值定义的理解;

掌握求函数最值的三种基本方法：图象法、配方法、单调性法;

会利用求函数最值的方法解决一些简单的实际问题.

教学难点:

利用单调性法求函数的最值;

利用求函数最值的方法解决现实生活中的最值问题.

教学过程

(一)观察图象，导入新课

让学生自己动手画出函数2

y x =-和函数||y x =-的图象,引导学生观察两个函数图象的共同点，引导启发学生发现这两个函数的图象都有一个最高点(0,0),并告诉学生在数学上将这个最高点称为函数在定义域上的最大值.进一步提出问题：根据你对图象的观察,能否试着归纳出函数最大值的定义.

根据学生对函数最大值定义的归纳情况,给出函数最大值的准确定义.

一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:

(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤;

(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.

那么,就称M 是函数()y f x =的最大值.

(二)列举实例，理解内涵

问题一:

2是函数的最大值吗？为什么？

[设计意图]强调概念中的“任意”二字.

问题二：4是问题一中函数的最大值吗？为什么？

[设计意图]强调最大值必须能取到.

问题三：常值函数1y =有没有最大值？如果有最大值是多少？

[设计意图]强调函数的最大值虽然是唯一的，但与最大值对应的自变量的值并不一定是唯一的.

引导学生归纳出函数的最大值就是函数图象最高点所对应的纵坐标.

(三) 自己动手，类比研究

让学生根据研究函数最大值的方法、手段、过程,给出函数最小值的概念及对概念内涵的理解.

(四)实际应用,巩固提高

讲解课本30页例3(图象法，配方法)

题后小结:

(1)函数最值的图形特征：函数的最大（小）值是函数图像上最高（低）点的纵坐标;

(2)二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的最值： ①0a <，当2b x a

=-时，2max 44ac b y a -=. ②0a >，当2b x a

=-时，2max 44ac b y a -=. (3)若()f x 在[,]a b 上为增函数，则min max ()(),()()f x f a f x f b ==;

若()f x 在[,]a b 上为减函数，则min max ()(),()()f x f b f x f a ==.

(4)若()f x 值域为[,]a b ，则min max (),()f x a f x b ==.

31页例4(图象法，单调性法，其中详细讲解单调性法的推理过程及解题步骤). 课堂练习:课本32页第5题,39页第5题

小结

学生自己作小结，教师归纳：

函数最大(小)值定义的理解；求函数最值的三种方法

作业

1.39P B 组1 已知函数22

()2,()2([2,4])f x x x g x x x x =-=-∈.

(1)求(),()f x g x 的单调区间; (2)求(),()f x g x 的最小值.

2.39P B 组2 如图所示,动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建

造围墙的材料总厂是30m (单位: m )为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积是多少?

3.已知函数],1[,86)(2a x x x x f ∈+-=,且)(x f 的最小值为)(a f ,则实数a 的取值范围是 .

答案 ]3,1( 提示: 数形结合.

4.若函数32)(2

+-=x x x f 在)0](,0[>a a 上最大值是3,最小值是2,则实数a 的取值范围是 .

答案 ]2,1[ 提示: 2)1(32)(22+-=+-=x x x x f .①当10<+-=+-=a a a a a f .∴当10<

函数32)(2+-=x x x f 在]1,0[上递减,在],1[a 上递增,其最小值为2)1(=f .又

3)0(=f ,∴当1≥a 时必有)()0(a f f ≥,即⎩

⎨⎧≤-≥.02,12a a a 21≤≤∴a ,此时函数32)(2+-=x x x f 在],0[a 上的最小值为2,最大值为3.综上所述, a 的取值范围是]2,1[.

5.已知函数)(x f 对任意R y x ∈,,总有),()()(y x f y f x f +=+0

>x 且当时,3

2)1(,0)(-=

(2)求)(x f 在]3,3[-上的最大值和最小值.

解 (1)令)()(,0)0(,0x f x f y x f y x -=--====可得令,

在R 上任取21x x >,则).()()()()(212121x x f x f x f x f x f -=-+=-

.0,2121>-∴>x x x x

又.0)()(,0)(,0)(02121<-<-∴<>x f x f x x f x f x 即时，

由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数.

(2))(x f 在R 上是减函数,]3,3[)(-∴在x f 上也是减函数.