拉格朗日中值定理教案
《拉格朗日中值定理》PPT课件
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
说课：拉格朗日中值定理
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。
情景 引入
几何 意义 具体 运用
复习 引入
2、时间安排：
新课引入约10分钟， 探索求知约10分钟， 灵活运用约20分钟， 小结提高约5分钟。
概念 建构
演 练
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究 — 合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。 力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和 指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的 形成知识结构，并将其转化为数学能力。
教学过程 （三）灵活运用 透析内涵 求函数 f ( x) x 在[0,2]上满足拉 格朗日中值定理条件的 ？
2
设计意图
' f 解： ( x) 2 x，
由拉格朗日中值定理得：
22 02 2 (2 0)
这是学生思维上升的 又一个层次，设计该 题目的在于加深学生 对导数刻画函数单调 性的理解，通过它及 时发现学生的问题， 及时纠正，能对学生 情况给予及时评价。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
拉格朗日中值定理讲课稿
尊敬的评委老师：大家下午好！我们知道，导数是研究函数以及曲线的某些形态的重要工具，而微分中值定理则是导数应用的理论基础，因此对微分中值定理的理解和掌握是非常必要的。
下面请同学们回忆一下我们上一节课所学的罗尔定理的基本内容和数学意义，罗尔定理有三个条件分别是在闭区间上连续、在开区间内可导和区间端点的函数值相等，结论是至少存在一点属于开区间，使得函数在这个点的导数值等于零，它的代数意义是方程函数的导数等于零在开区间内至少有一个实根；几何意义是，在曲线段AB上有平行于弦AB的切线存在，那么请大家思考这样一个问题：如果罗尔定理中第三个条件（也就是函数在区间端点的函数值不相等）不成立的话，在曲线段AB上还会有平行于弦AB的切线存在吗？带着这个问题，让我们走进今天的新课：拉格朗日中值定理及其应用。
首先我们来认识一下数学家拉格朗日，拉格朗日是一位法国数学家，他在方程论、解析函数论以及数论等方面做出了重要贡献，是对分析数学产生全面影响的数学家之一。
拉格朗日中值定理就是他的诸多成果中的一个。
下面我们来看一下拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的条件是函数满足在闭区间上连续、在开区间内可导，结论是在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数值等于……，该式也称为拉格朗日中值公式或微分中值公式。
我们来分析一下拉格朗日中值定理的数学意义，首先来看几何意义，通过图示可以看到弦AB的斜率为……，设曲线上两个点……处的切线分别为……，对应的横坐标为……，那么对应切线的斜率分别为……，如果满足……，可以直观的看到两条切线是和弦AB平行的，也就是说拉格朗日中值定理的几何意义是在曲线弧AB上有平行于弦AB的切线存在，这就回答了我们最初提出的问题，很容易知道，罗尔定理就是拉格朗日中值定理在区间的两个端点的函数值相等时的特殊情形。
这个定理的代数意义是方程在开区间内至少有一个实根。
下面我们来证明一下这个定理，首先来看一下该定理的证明思路，我们可以从它的代数意义出发，假设存在一个函数……，那么要证明的结论就化为证明方程……在开区间内至少有一个实根，而这恰恰与罗尔定理的结论不谋而合，因此可以考虑对函数在闭区间上应用罗尔定理加以证明，如何找到满足罗尔定理条件的函数就成为了证明中的一个难点，所以大家必须注意这个函数的构造方法，下面就是函数构造的思路，注意到待构造的函数满足……，而……，由导数的四则运算法则，……，因此可以选取……，其中…为任意常数。
拉格朗日中值定理说课稿
二、说学生
打好基础，够用为度，少讲推理，多讲应用
三、说教学目标
1.知识目标：记忆Lagrange中值定理的条 件和结论，了解其几何意义，并用它来建立 导数与函数单调性之间的关系。
2.能力目标：会求满足Lagrange中值定理
一般 课后作业：P99-4（1）、7
罗尔（Rolle）定理与Lagrange中值定 理
f()f(b)f(a).
ba
f()0.
f()f(b)f(a).
ba
令 a x 0 ,b x 0 x , y f ( x 0 x ) x ( 0 1 )
总结归纳
知识点总结：三个定理各自的条件和结论 方法总结：形象思维---抽象思维，特殊---
中的 值并应用Lagrange中值定理进行简
单的不等式、等式证明,会用单调性定理求 函数的单调区间。
四、说教学重点、难点
1.教学重点：
Lagrange中值定理及其推论的应用，会用单调 性定理求函数的单调区间。
2.教学难点：
Lagrange中值定理的证明。
五、说教学方法
讲授法 探究法 练习法 启发式
六、说教学过程
遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳” 的原则，本节课的教学内容由以下六部分组 成：
导入
Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
单调性定理
总结
费尔马引理与罗尔( Rolle )定理
yA
y A y f(x)
B
o x0 x
f(x0)0
o
a bx
拉格朗日（Lagrange）中值定理讲义
拉格朗日（Lagrange ）中值定理教学目的：1.熟练掌握中值定理及其几何意义2.能应用拉格朗日中值定理证明不等式3.了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：1.拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2.拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3.利用导数证明不等式的技巧。
教学难点：中值定理的应用技巧 教学内容：1．罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数满足下列条件： )(x f ①在闭区间[连续； ②在开区间]b a ,()b a ,可导； ③)()(b f a f = 则在(内至少存在一点)b a ,ξ，使得'()0f ξ=图1 图2罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1，现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转α角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2．拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理如果函数满足（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导, 那么在内至少有一点)(x f (a <],[b a ),(b a ),(b a )b <ξξ, 使得等式成立。
)a )(()('b f a f −=−ξ)(b f 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则)()(b f a f =()()'()0f b f a f b a b aξ−===−−，即：，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
'()0f ξ=拉格朗日（微分）中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数()y f x =，a 与是它定义区间内的两点（a b b <），假定此函数在(,上处处可导，也就是在(,内的函数图形上处处有不垂直于)a b )a b x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商()y f x b =(f a)a b Δ−Δ−就是割线的斜率，若我们把割线作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点AB AB ()C x ξ=处成为曲线的切线，而切线的斜率为()f ξ′，由于切线与割线是平行的，因此()()()f b f a f b aξ−′=−成立。
pflqbAAA微分中值定理教案
p f l q b A A A微分中值定理教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
理的内容：若函数)(x f 满足下列条件：①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
试讲拉格朗日中值定理
…则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf 。
2、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出了一个 微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理， 但未证明。
拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容： 2.1 拉格朗日中值定理 若函数()x f 满足下列条件：① 在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得…………………………装………………………订………………………线…………………………ξ()x f y =()()()a b a f b f f --=ξ'注意：（1）深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
（2）若加上()()b f a f =，则()()()00'=-=--=ab a b a f b f f ξ即()0'=ξf ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
（3）形象认识（几何意义），易知()()ab a f b f --为过B A 、两点的割线的斜率，()ξ'f 为曲线()x f 上过ξ点的切线的斜率：若()()()ab a f b f f --=ξ'即是说割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义：若在闭区间[]b a ,上有一条连 续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点()()ξξf C ,，使得过点C 的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线…………………………装………………………订………………………线…………………………CyOABMN()x f y =a ξxb……………山西水利职业技术学院教案纸…………………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线……………………………Array……………………装………………………订………………………线…………………………。
2.6.2微分中值定理(2)——拉格朗日中值定理
第二章 一元函数微分学 第六节 微分中值定理(2) ——拉格朗日中值定理
拉格朗日(Lagrange)中值定理
Lagrange 中值定理 设函数 f (x) 满足条件： 1) 在闭区间 [a,b]上连续. 2) 在开区间(a,b)内可导.
1
Байду номын сангаас
又0 x 1 1 1 x
1 1 1, 1 x 1
x x x, 即 x ln(1 x) x.
1 x 1
1 x
例1 证明sin2 x cos2 x 1 ( x (,)) . 证: 设 f ( x) sin2 x cos2 x ,
f ( x) 2sin xcos x 2sin xcos x 0, f (x) C,
又 f (0) sin2 0 cos2 0 1 , 即C 1 . sin2 x cos2 x 1 ( x (,)).
则在(a,b)内至少存在一点 , 使得 F( ) 0.
即 f ( ) f (b) f (a) 0
ba
故有 f (b) f (a) f ( )(b a).
拉格朗日中值公式
两个结论:
（1）如果函数 f ( x)在区间 I上的导数恒为零， 那么 f ( x)在区间 I 上是一个常数.
（2）x (a,b), 若有 f ( x) g( x) f (x) g(x) C
F(x) f (x) f (b) f (a) x ba
F(b) F(a) f (b) f (b) f (a) b [ f (a) f (b) f (a) a]
ba
ba
f (b) f (a) [ f (b) f (a) (b a)] 0
微分中值定理-拉格朗日中值定理教案
微分中值定理-拉格朗日中值定理【教学内容】拉格朗日中值定理【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
回忆一下罗尔定理的内容：若函数①在闭区间连续②在开区间可导)(x f []b a ,()b a ,③则在内至少存在一点c ，使得 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础，我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理 若函数满足下列条件： ①在闭区间连续 ②在开区间可导则在开区间内至少存在一点c ，使注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上，则即：，拉格朗日定c 、形象认识（几何意义），易知为过A 斜率，为曲线上过c 割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义：若在闭区间上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点，使得过点的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一)()(b f a f =()b a ,0)('=c f )(x f []b a ,()b a ,()b a ,()()ab a f b fc f --=)(')()(b f a f =()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 0)('=c f ()()ab a f b f --)('c f )(x f ab c f -=)('[]b a ,))(,(c f c C C点的切线平行于曲线端点的弦。
拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案教案:拉格朗日中值定理教学目标:1.理解拉格朗日中值定理的基本概念和定义；2.掌握拉格朗日中值定理的应用方法。
教学准备:1.教材:数学分析教材中与拉格朗日中值定理有关的章节；2.工具:黑板、粉笔、教具等。
教学过程:一、导入(5分钟)1.引入拉格朗日中值定理的概念，与学生讨论导数的作用；2.回顾导数的定义和基本性质。
二、讲解(20分钟)1.讲解拉格朗日中值定理的概念和基本原理；2.说明定理的前提条件和使用范围；3.列举几个关于应用拉格朗日中值定理的典型例题，分析求解过程；4.引导学生思考定理的几何和物理意义。
三、示范演练(15分钟)1.给出一个具体的函数表达式，要求学生应用拉格朗日中值定理求解；2.带领学生分析解题步骤和关键点；3.鼓励学生互相合作，积极参与讨论和解答问题。
四、讨论交流(20分钟)1.学生对于示范演练的问题进行讨论和交流；2.学生提出自己的疑问和解题思路，并与同学和教师进行讨论；3.教师引导学生找出问题的关键和解决方法。
五、拓展延伸(20分钟)1.在教师的指导下，学生自主解决一些与拉格朗日中值定理相关的问题；2.学生以小组形式展示解题过程和结果；3.学生进行评价和讨论，总结解题方法和技巧。
六、归纳总结(10分钟)1.教师引导学生总结拉格朗日中值定理的基本理论和应用方法；2.强调学生在解题过程中需要注意的问题和技巧；3.学生自主归纳总结，并记录到笔记中。
七、作业布置(5分钟)1.教师布置拉格朗日中值定理的相关作业，并规定提交时间；2.强调作业的重要性，鼓励学生积极完成。
教学反思:本节课主要介绍了拉格朗日中值定理的基本概念和应用方法，通过示范、讨论和练习等多种形式，提高了学生对定理的理解和应用能力。
在教学过程中，学生的合作意识和创造力得到了充分发挥，让学生更好地理解和应用拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案教案：拉格朗日中值定理目标：1.了解拉格朗日中值定理的概念和背景；2.掌握拉格朗日中值定理的数学表达式和推导过程；3.学会应用拉格朗日中值定理解决实际问题。
知识点：1.拉格朗日中值定理的概念和意义；2.拉格朗日中值定理的数学表达式；3.拉格朗日中值定理的证明过程。
教学过程：一、拉格朗日中值定理的概念和意义（20分钟）1.引入：拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们提供了一种在一个区间内计算函数的平均变化率的方法，有助于我们理解函数在一些区间内的性质和行为。
2.概念解释：拉格朗日中值定理是指在给定的区间[a,b]上，若函数f(x)满足一定条件（连续且可导），则存在一个数c，使得f'(c)等于函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
3.意义解释：拉格朗日中值定理告诉我们，若函数f(x)满足一定条件，它在区间[a,b]上的平均变化率可以取到与该区间两端点对应的瞬时变化率相等的一些时刻的瞬时变化率。
这样的结果对于理解函数的变化规律和求解实际问题有很大的帮助。
二、拉格朗日中值定理的数学表达式和证明过程（40分钟）1.数学表达式：拉格朗日中值定理的数学表达式为f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，其中a<c<b，函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
2.证明过程：我们可以通过引入一个辅助函数g(x)，构造一个新的函数F(x)=f(x)-g(x)，然后利用罗尔定理证明在函数F(x)上存在一个点c，使得F'(c)=0。
由于F(x)=f(x)-g(x)，所以F'(x)=f'(x)-g'(x)。
根据罗尔定理，我们可以得到存在一个点c，使得F'(c)=f'(c)-g'(c)=0，即f'(c)=g'(c)。
由于g(x)在[a,b]上是一个常数函数，所以g'(x)=0。
拉格朗日中值定理教学设计
（一）新课引入复习罗尔定理引出拉格朗日中值定理。
（二）新课讲解1、板书定理内容解释定理的条件及结论，指出定理条件的一般性。
定理2（Lagrange ）设函数()f x 满足条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-。
或写成 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于b a <也成立。
2、Lagrange 生平简介。
3、借助于多媒体，图文并茂地解释定理几何意义。
4、板书分析证明的思路引导学生采用逆向思维的方式，从结论入手分析得出需证明的结论的条件。
5、引导学生通过观 察图形的区别引导学生思考拉格 朗日中值定理与罗尔定理的关系。
6、由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论：推论:设函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,且()0f x '≡，则在(,)a b 内()f x 为常数。
即()0f x '≡，(,)x a b ∈⇒(),(,)f x C x a b ≡∈，其中C 为常数。
7、定理应用例1 证明 arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
练习1：证明arctan arccot ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞例2 证明不等式ln(1)(0)1x x x x x <+<>+。
练习2：证明不等式ln (0)b a b b a a b a a a--<<<<。
例3 设()f x 在[0,1]内可导，且0()1f x <<，又对于(0,1)内的所有点x 有()1f x '≠-，证明方程()10f x x +-=在(0,1)内有唯一实根。
板书证明的分析过程。
指出本题的关键是找出研究的对象——函数，注意观察不等式的特点，找出合适的函数，合理运用定理证明不等式。
拉格朗日中值定理教学设计
拉格朗日中值定理教学设计教学设计：拉格朗日中值定理一、教学目标：1.了解拉格朗日中值定理的概念、公式及其在求函数极值、证明一元函数连续性等方面的应用；2.能够熟练运用拉格朗日中值定理，解决简单的实际问题；3.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：1.拉格朗日中值定理的概念及基本公式；2.拉格朗日中值定理在极值问题中的应用；3.拉格朗日中值定理在连续性证明中的应用。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过举例引出问题：如果一辆汽车在段时间内行驶了150公里，问在这段时间内这辆车必然存在一个时刻，它的瞬时速度等于它的平均速度？2.导入目标（5分钟）教师由导入问题引出拉格朗日中值定理，解释拉格朗日中值定理的应用价值和意义。
3.拉格朗日中值定理概念与公式（20分钟）教师给予学生一个具体的数学问题，通过图示和数学计算，引出拉格朗日中值定理的基本公式。
然后，对概念进行深入讲解，即如何理解拉格朗日中值定理。
4.拉格朗日中值定理在极值问题中的应用（30分钟）（1）教师通过一个实际问题来引出拉格朗日中值定理在求函数极值问题中的应用，如"求证在区间[0,1]上函数f(x)=-x^3+3x^2+2x-1在x=1/3处取得极值"。
（2）教师引导学生通过拉格朗日中值定理来解决该问题，即先求取函数f(x)在[0,1]上的导数f'(x)，然后通过拉格朗日中值定理得到一个介于0和1之间的值c，使得f'(c)=0，进而得到函数的极值点。
5.拉格朗日中值定理在连续性证明中的应用（25分钟）（1）教师引出一个函数在一些点的连续性证明问题，如"证明函数f(x)=x^2在x=2处连续"。
6.拓展应用：拉格朗日中值定理在微分中的应用（20分钟）教师给出一个具体的微分问题，通过拉格朗日中值定理帮助学生求解。
如"证明函数f(x)=x^3在[a,b]上的其中一点c处的切线与割线的斜率之差为(f(b)-f(a))/(b-a)"。
(完整版)拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案 授课人：***一、教材分析微积分学是高等数学的重要的部分，是近代数学的伟大成果之一。
它为我们研究函数和变量提供了重要的方法。
微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用。
拉格朗日中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学重点和难点教学重点：学习罗尔定理，类比探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理条件，运用定理研究函数单调性。
三、教学目标1、通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日中值定理，培养学生分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2、通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
四、授课过程1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)0(='x f 。
它的几何意义在于，若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、新科讲授首先看一个定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。
（板书）罗尔定理:如果函数)(x f 满足(1)在闭区间[]b a ,上连续;(2)在开区间()b a ,内可导;(3))()(b f a f = .那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得函数在该点的导数等于零，即0)(='ξf . 罗尔定理的几何意义在于：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线。
如图，)(x f 的图像曲线弧AB ，点C 处的切线平行于x 轴，即0)(1='ξf 。
注（1）点D 处也是符合定理结论的点 ，故应注意原定理中的至少存在一点，而不是唯一存在的。
（2）定理的三个条件缺少任何一个，结论都会不一定成立；接下来看下面三个函数的图像：然后给出罗尔定理的严格数学证明：()()[]3,03)3(]1,1[)2(011,00,1)1(2∈-=-∈=⎪⎩⎪⎨⎧=∈=x x y x x y x x x y （1） （2）（3） -1 1 -1 1 3证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以必然存在最大值和最小值，分别设为m M ,，下面分两种情况来讨论：（1）若m M =，则f 在[]b a ,是常函数，从而结论显然成立；（2）若m M >，则因()()b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个是在 ()b a ,内某一点ξ处取到，从而ξ是f 的极值点。
拉格朗日中值定理课件共12页
1 t
1
ln(1 x) ln1 1 [(1 x) 1] x ,
1
1
9
由于0 x，因此
进而知 即
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 x 1
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
中值定理，即
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x, 其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
4
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0
能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
1
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于 (a) 0 (b), 因此(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 (a,b)，使 ( ) 0 ，即
1
x
x
ln(1
x)
x
.
分析 ln(1 x) ln(1 x) ln1
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值
拉格朗日中值定理课件
在(a、b)内任取两点x1,x2且x1<x2.则在[x1、x2]上 函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。
证明
8
(A) 1. x3的单调性当x=0时 y'=0 当x≠0时 y'>0
1)f(x)=ln(1+x)
2)f(x)=|x|
4)f(x)=arctanx
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解：
6
定理： 设函数y=f(x)在[a、b]上连续,在(a、b)内可导.1)若在(a、b)内f’(x)>0，则y=f(x)在[a、b]上单调增加。 2)若在(a、b)内f’(x)<0，则y=f(x)在[a、b]上单调减少。证明
b x
af '(x)>0
二.函数单调性的判定法
几何特征：
f '(x)<0
0 a
b x
y
y
A
A
B
B
0
7
∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1) ξ ∈(x1、x2) 若f’(x)>0,则f’(ξ)>0 又x2-x1>0∴f(x2)>f(x1)∴y=f(x)在[a、b]上单调增加同理可证：若f'(x)<0 ,则函数f(x)在[a、b]上单调减少注： 1)上述定理中间区间[a、b]若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。
引入新课
13
拉格朗日中值定理函数单调性的判定法
x
(- ∞、1)
1
(1、2)
拉格朗日中值定理教学设计课题
教学设计第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。
它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf . ()1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0='ξf ．注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
拉格朗日中值定理教学设计
教学设计第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。
它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf . ()1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0='ξf ．注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
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拉格朗日中值定理教案
授课人：***
一、教材分析 微积分学是高等数学的重要的部分，是近代数学的伟大成果之一。
它为我们研究函数和变量提供了重要的方法。
微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用。
拉格朗日中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学重点和难点
教学重点：学习罗尔定理，类比探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理条件，运用定理研究函数单调性。
三、教学目标
1、通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日中值定理，培养学生分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2、通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
四、授课过程
1、知识回顾
费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)0
(='x f 。
它的几何意义在于，若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、新科讲授
首先看一个定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。
（板书）罗尔定理:如果函数)(x f 满足
(1)在闭区间[]b a ,上连续;
(2)在开区间()b a ,内可导;
(3))()(b f a f = .
那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得函数在该点的导数等于零，即0)(='ξf . 罗尔定理的几何意义在于：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线。
如图，)(x f 的图像曲线弧AB ，点C 处的切线平行于x 轴，即0)(1='ξf 。
注
（1）点D 处也是符合定理结论的点 ，故应注意原定理中的至少存在一点，而不是唯一存在的。
（2）定理的三个条件缺少任何一个，结论都会不一定成立；
接下来看下面三个函数的图像：
然后给出罗尔定理的严格数学证明：
()()[]
3,03)3(]1,1[)2(011,00,1)1(2
∈-=-∈=⎪⎩⎪⎨⎧=∈=x x y x x y x x x y Y （1） （2）
（3） -1
1 -1 1 3
证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以必然存在最大值和最小值，分别设为m M ,，下面分两种情况来讨论：
（1）若m M =，则f 在[]b a ,是常函数，从而结论显然成立；
（2）若m M >，则因()()b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个是在 ()b a ,内某一点ξ处取到，从而ξ是f 的极值点。
而且f
在ξ处可导，由费马定理
可得 0)(='ξf .
接下来讲授本节课的主要定理。
（板书）拉格朗日中值定理
如果函数)(x f 满足
(1)在闭区间[]b a ,上连续;
(2)在开区间()b a ,内可导;
那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()a b f a f b f -'=-ξ，即 ()()()a
b a f b f f --='ξ (1). 注：显然特别的，当)()(b f a f =时，本定理的结论即为前面罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。
几何意义：在满足定理条件的曲线()x f y =上至少有一点P ()()ξξf ,，使得该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.
思路 条件中与罗尔定理相差()()b f a f =
弦AB 的方程为()()()()a x a
b a f b f a f y ---+=。
用曲线()x f 减去弦AB 的方程所得曲线b a ,两端点的函数值相等。
证明 作辅助函数()()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x F ()x F 满足罗尔定理的三个条件，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξF 。
即()()()0=
---'a
b a f b f f ξ或()()()()a b f a f b f -'=-ξ。
我们把拉格朗日中值定理的结论的等式（1）称为拉格朗日公式。
它还有下面常见的形式
()()()x x x f x f x x f ∆∆+'=-∆+θ 其中10<<θ.
还可写为()x x x f y ∆∆+'=∆θ，此式子叫做有限增量公式。
它精确表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。
作为拉格朗日中值定理的应用，有以下推论。
推论 如果()x f 在区间I 上的导数恒为零，那么()x f 在区间I 上是一个常数。
证明：在区间I 上任取两点21,x x 且使21x x <，那么
由拉格朗日中值定理得，存在()21,x x ∈ξ使得
()()()()1212x x f x f x f -'=-ξ.
又由已知得()0='ξf ，()()21x f x f =∴.
再加上21,x x 的任意性，所以()x f 在区间I 上是一个常数。
3、例题 证明当0>x 时，()x x x
x <+<+1ln 1。
证明：设()()x x f +=1ln ，()x f 在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件， ∴()()()()00-'=-x f f x f ξ，()x <<ξ0。
Θ()()x
x f f +='=11,00，由上式可得()ξ+=+11ln x x 。
又Θ11111,111,0<+<++<+<<<ξξξx x x ， ∴x x x x <+<+ξ11，即 ()x x x
x <+<+1ln 1. 五、课后作业。