拉格朗日中值定理教案

拉格朗日中值定理教案

授课人：***

一、教材分析 微积分学是高等数学的重要的部分，是近代数学的伟大成果之一。它为我们研究函数和变量提供了重要的方法。微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用。

拉格朗日中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。

二、教学重点和难点

教学重点：学习罗尔定理，类比探求和理解拉格朗日中值定理。 教学难点：探求拉格朗日中值定理条件，运用定理研究函数单调性。

三、教学目标

1、通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日中值定理，培养学生分析，抽象，概括，迁移的学习能力。

2、通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。

四、授课过程

1、知识回顾

费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)0

(='x f 。它的几何意义在于，若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。

2、新科讲授

首先看一个定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。 （板书）罗尔定理:如果函数)(x f 满足

(1)在闭区间[]b a ,上连续;

(2)在开区间()b a ,内可导;

(3))()(b f a f = .

那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得函数在该点的导数等于零，即0)(='ξf . 罗尔定理的几何意义在于：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线。

如图，)(x f 的图像曲线弧AB ，点C 处的切线平行于x 轴，即0)(1='ξf 。 注

（1）点D 处也是符合定理结论的点 ，故应注意原定理中的至少存在一点，而不是唯一存在的。

（2）定理的三个条件缺少任何一个，结论都会不一定成立；

接下来看下面三个函数的图像：

然后给出罗尔定理的严格数学证明：

()()[]

3,03)3(]1,1[)2(011,00,1)1(2

∈-=-∈=⎪⎩⎪⎨⎧=∈=x x y x x y x x x y Y （1） （2）

（3） -1

1 -1 1 3

证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以必然存在最大值和最小值，分别设为m M ,，下面分两种情况来讨论：

（1）若m M =，则f 在[]b a ,是常函数，从而结论显然成立；

（2）若m M >，则因()()b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个是在 ()b a ,内某一点ξ处取到，从而ξ是f 的极值点。而且f

在ξ处可导，由费马定理

可得 0)(='ξf .

接下来讲授本节课的主要定理。 （板书）拉格朗日中值定理

如果函数)(x f 满足

(1)在闭区间[]b a ,上连续;

(2)在开区间()b a ,内可导;

那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()a b f a f b f -'=-ξ，即 ()()()a

b a f b f f --='ξ (1). 注：显然特别的，当)()(b f a f =时，本定理的结论即为前面罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。

几何意义：在满足定理条件的曲线()x f y =上至少有一点P ()()ξξf ,，使得该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB.

思路 条件中与罗尔定理相差()()b f a f =

弦AB 的方程为()()()()a x a

b a f b f a f y ---+=。 用曲线()x f 减去弦AB 的方程所得曲线b a ,两端点的函数值相等。

证明 作辅助函数()()()()()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x F ()x F 满足罗尔定理的三个条件，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξF 。 即()()()0=

---'a

b a f b f f ξ或()()()()a b f a f b f -'=-ξ。

我们把拉格朗日中值定理的结论的等式（1）称为拉格朗日公式。它还有下面常见的形式

()()()x x x f x f x x f ∆∆+'=-∆+θ 其中10<<θ.

还可写为()x x x f y ∆∆+'=∆θ，此式子叫做有限增量公式。它精确表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。

作为拉格朗日中值定理的应用，有以下推论。

推论 如果()x f 在区间I 上的导数恒为零，那么()x f 在区间I 上是一个常数。 证明：在区间I 上任取两点21,x x 且使21x x <，那么

由拉格朗日中值定理得，存在()21,x x ∈ξ使得

()()()()1212x x f x f x f -'=-ξ.

又由已知得()0='ξf ，()()21x f x f =∴.

再加上21,x x 的任意性，所以()x f 在区间I 上是一个常数。

3、例题 证明当0>x 时，()x x x

x <+<+1ln 1。 证明：设()()x x f +=1ln ，()x f 在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件， ∴()()()()00-'=-x f f x f ξ，()x <<ξ0。

Θ()()x

x f f +='=11,00，由上式可得()ξ+=+11ln x x 。