高中数学必修1 第4章《指数函数与对数函数》单元质量检测卷
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c <b D ． a <b <c4. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞) C ． (0,√2]∪[2√3,+∞) D ． (0,√2]∪[3,+∞)5. 已知函数 f (x )={15x +1,x ≤1lnx,x >1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为 ．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是 ．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ． 试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)． 故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ； 当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14． 由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0． 若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12． 因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)． 由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)． 所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14； 若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6， 综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）． 所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0， 所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0． 所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设全集为R，函数f(x)=0√2−x的定义域为M，则∁RM=( )A．{x∣ x≥2}B．{x∣ x<2且x≠−1}C．{x∣ x≥2或x=−1}D．{x∣ x>2或x=−1}2.设α∈{−1,1,12,3}，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( ) A．1，3B．−1，1C．−1，3D．−1，1，33.若函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( )A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<04.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，则mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8125.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数，且f(x)⋅f(f(x)+1x)=1，则f(1)等于( )A．1+√52B．1−√52C．1+√52或1−√52D．√56.定义在R上的函数f(x)满足：f(x−2)的对称轴为x=2，f(x+1)=4f(x)(f(x)≠0)，且f(x)在区间(1,2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )A．f(sinα)>f(cosβ)B．f(sinα)<f(cosβ)C．f(sinα)=f(cosβ)D．以上情况均有可能7.已知函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，下列说法一定正确的是( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数8.已知函数y=f(x)的定义域为[−6,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( ) A．(−∞,−2)∪(−2,3]B．[−11,3]C．[−72,−2]D．[−72,−2)∪(−2,0]9.已知R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式f(x)≤0的解集为( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]∪[0,2]C．(−∞,−2]∪[2,+∞)D．[−2,0]∪[2,+∞)10.已知函数f(x)=−x2+4x+a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为( )A．−1B．0C．1D．2二、填空题（共6题）11.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a−1,a+1]，都有y∈[b−1,b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上，若函数y=−12x2是点B的“界函数”，则m的取值范围是．12.已知f(x)=x3+3x，x∈R，且f(a−2)+f(a2)<0，则实数a的取值范围是．13.设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，g(x)=x2⋅f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是．14.若函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得．15.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f(a+1)≤f(4)，则实数a的取值范围是．16.若函数y=a∣x−b∣+2在区间(0,+∞)上是增函数，则实数a，b满足的条件为．三、解答题（共6题）17.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域．18.中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98∘C的水在19∘C室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：∘C）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值．（精确到0.01）(2) “碧螺春”用75∘C左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200ml水煮沸后在19∘C室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A．5B．7C．1019.解答下列问题：(1) 函数的积的定义：一般地，已知两个函数y=f(x)（x∈D1），y=g(x)（x∈D2），设D=D1∩D2，并且D不是空集，那么当x∈D时，y=f(x)与y=g(x)都有意义．于是把函数叫做函数y=f(x)与y=g(x)的积．(2) 如何研究和函数与积函数．20.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．21.对于函数y=f(x)与常数a，b，若f(2x)=af(x)+b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”，设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(1)=3．(1) 若(a,b)是f(x)的一个“P数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a，b的值；(2) 若(1,1)是f(x)的一个“P数对”，且f(x)在[1,2]上单调递增，求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值；(3) 若(−2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x∈[1,2)时，f(x)=k−∣2x−3∣，求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值．22.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意得{x+1≠0,2−x>0,解得x<2且x≠−1，所以M={x∣ x<2且x≠−1}，故∁RM={x∣ x≥2或x=−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法2. 【答案】A【解析】当α=−1,1,3时幂函数为奇函数，当α=−1时定义域不是R，所以α=1,3．【知识点】幂函数及其性质3. 【答案】A【解析】因为y在[0,+∞)上为单调函数，所以x=−b2≤0，即b≥0．【知识点】函数的单调性4. 【答案】B【解析】m≠2时，抛物线的对称轴为x=−n−8m−2．据题意，当m>2时，−n−8m−2≥2即2m+n≤12．因为√2m⋅n≤2m+n2≤6，所以mn≤18．由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．当m<2时，抛物线开口向下，据题意得，−n−8m−2≤12即m+2n≤18．因为√2n⋅m≤2n+m2≤9，所以mn≤812．由2n=m且m+2n=18得m=9>2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2,n>8)．所以mn=(18−2n)n<(18−2×8)×8=16，所以最大值为18．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值5. 【答案】B【解析】令x=1，得f(1)f(f(1)+1)=1，令t=f(1)，则tf(t+1)=1，所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1， 所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数， 所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0， 解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1， 令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1， 所以 f (s +12)=1s ， 令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1sf (1s+22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)． 所以 1s +22s+1=2，所以 4s 2−2s −1=0， 解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)， 所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性6. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性7. 【答案】C【解析】方法一：对任意的x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，取x1=x2=0得f(0)=−1，取x1=x，x2=−x得，f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+1=−f(−x)=−[f(−x)+1]，所以f(x)+1为奇函数．方法二：由已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，设x1=x2=0，则f(0)=2f(0)+1，解得：f(0)=−1，又设x1=x，x2=−x，则x1+x2=x−x=0，所以f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+f(−x)+1+1=0，所以[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，由奇函数定义可知，f(x)+1为奇函数．【知识点】抽象函数、函数的奇偶性8. 【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为[−6,1]，所以−6≤x≤1，，因为g(x)=f(2x+1)x+2所以−6≤2x+1≤1且x≠−2，≤x≤0且x≠−2，所以−72,−2)∪(−2,0]．所以x∈[−72【知识点】函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为函数在(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，所以当x∈(−∞,−2]时，f(x)≤0；当x∈(−2,0)时，f(x)>0．又函数是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，f(0)=0，且f(2)=0，所以当x∈(0,2]时，f(x)≤0；当x∈(2,+∞)时，f(x)>0．所以f(x)≤0的解集是(−∞,−2]∪[0,2]．故选B．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数f(x)=−x2+4x+a的图象开口向下，对称轴为直线x=2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)=−2，即a=−2，于是最大值为f(1)=−1+4−2=1．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共6题）11. 【答案】[−12,1 2 ]【解析】B(m,n)在y=−12x2上，所以n=−12m2，所以∀x∈[m−1,m+1]，都有y∈[−12m2−1,12m2+1]，即都有y max≤12m2+1，y min≥12m2−1，所以下面讨论13x∈[m−1,m+1]时，y的最值，① m≤−1时，m+1≤0，所以单调减，所以y max=−12(m+1)2，y min=−12(m−1)2，所以{−12(m+1)2≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,无解．② −1<m≤0时，0<m+1≤1，−2<m−1≤−1，所以y max=0，y min=−12(m−1)2(取不到)，所以{0≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,所以−12≤m≤0．③ 0<m≤1时，1<m+1≤2，−1<m−1≤0，所以y max=0，y min=−12(m+1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 (−2,1)【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 [0,1)【解析】由题意知 g (x )={x 2,x >10,x =1−x 2,x <1，函数图象如图所示，其递减区间是 [0,1)．【知识点】函数的单调性14. 【答案】端点【知识点】函数的最大（小）值15. 【答案】 [−5,3]【解析】函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数， 可得 f (x )=f (∣x ∣)，则f(a+1)≤f(4)，即为f(∣a+1∣)≤f(4)，可得∣a+1∣≤4，即−4≤a+1≤4，解得−5≤a≤3，则实数a的取值范围是[−5,3]．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】a>0，b≤0【知识点】函数的单调性三、解答题（共6题）17. 【答案】AB=2x，CD⏜=πx,于是AD=1−2x−πx2,因此y=2x⋅1−2x−πx2+πx22,即y=−π+42x2+x,由{2x>0,1−2x−πx2>0,得0<x<1π+2,函数的定义域为(0,1π+2)【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用18. 【答案】(1) 由θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt得e−kt=θ−θ0θ1−θ0，即−kt=lnθ−θ0θ1−θ0，t=1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为θ0=19∘C，选取从θ=98∘C下降到θ=90∘C所用时间约为2分钟这组数据有2=1k ln7971，即k=ln79−ln712≈0.05；选取从θ=98∘C降到θ=85∘C期时间的为3.4分钟这组数据有3.4=1k ln7966，即k=ln79−ln663.4≈0.05；选取从们θ=98∘C得到θ=80∘C所期时的为5分钟这组数据有5=1k ln7961，即k=ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05．(2) B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ．理由如下：由（1）得 t =20ln 79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) y =f (x )⋅g (x )（x ∈D ）(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域，然后化简整理和（积）函数的解析式，结合解析式研究函数的性质．【知识点】函数的相关概念20. 【答案】根据幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1．当 m =2 时，f (x )=x 3 在 (0,+∞) 上是增函数；当 m =−1 时，f (x )=x −3 在 (0,+∞) 上是减函数，不符合要求．故 f (x )=x 3．【知识点】幂函数及其性质21. 【答案】(1) 由题意知 {af (1)+b =f (2),af (2)+b =f (4).即 {3a +b =6,6a +b =9.解得 {a =1,b =3.(2) 因为 (1,1) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=f (x )+1，所以 f (2)=f (1)+1=4，f (4)=f (2)+1=5，f (8)=f (4)+1=6．因为 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增，所以当 x ∈[1,2] 时，f (x )max =f (2)=4，f (x )min =f (1)=3，所以当 x ∈[1,2] 时，3≤f (x )≤4；当 x ∈[2,4] 时，x 2∈[1,2]，3≤f (x 2)≤4，所以 4≤f (x )=f (x 2)+1≤5；当 x ∈[4,8] 时，x 2∈[2,4]，4≤f (x 2)≤5， 所以 5≤f (x )=f (x 2)+1≤6．综上，当 x ∈[1,8] 时，3≤f (x )≤6．故 f (x ) 在 [1,8] 上的最大值为 6，最小值为 3．(3) 当 x ∈[1,2) 时，f (x )=k−∣2x −3∣，令 x =1，可得 f (1)=k −1=3，解得 k =4， 所以 x ∈[1,2) 时，f (x )=4−∣2x −3∣，故 f (x ) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4]．又 (−2,0) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=−2f (x ) 恒成立，当 x ∈[2k−1,2k )(k ∈N +) 时，x 2k−1∈[1,2)，f (x )=−2f (x 2)=4f (x 4)=⋯=(−2)k−1⋅f (x 2k−1)，故 k 为奇数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [3×2k−1,2k+1]；当 k 为偶数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [−2k+1,−3×2k−1]．所以当 n =1 时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 4，最小值为 3；当 n 为不小于 3 的奇数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n+1，最小值为 −2n ；当 n 为不小于 2 的偶数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 −2n+1．【知识点】函数的最大（小）值、抽象函数22. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0,得 0<x <150 . 设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30，因为 0<x <150，所以 150−x >0，所以 P =−[(150−x )+100150−x ]+120， 又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20， 当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立，所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。
四川省部分中学2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数真题
四川省部分中学2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数真题单选题1、已知f(x)＝a−x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是（）A．a>0B．a>1C．a<1D．0<a<1答案：D分析：把f(－2)，f(－3)代入解不等式，即可求得．因为f(－2)＝a2，f(－3)＝a3，f(－2)>f(－3)，即a2>a3，解得：0<a<1．故选：D2、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375= 0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B3、已知函数f(x)=9+x2，g(x)=log2x+a，若存在x1∈[3,4]，对任意x2∈[4,8]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数xa 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4）答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可． 当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ， 所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A4、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ） A ．−1B ．−5C ．11D ．13 答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值. 令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x) =log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11， 故选：C.5、我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型c (t )=c 0e −kt 描述，假定某药物的消除速率常数k =0.1（单位：h −1），刚注射这种新药后的初始血药含量c 0=2000mg/L ，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln2≈0.693,ln3≈1.099）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h 答案：C分析：利用已知条件c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t ，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为t 1，转化求解即可. 解：由题意得：c (t )=c 0e −kt =2000e −0.1t设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为t 1c (t 1)=2000e −0.1t 1≥1000e −0.1t 1≥12故−0.1t ≥−ln2，t ≤ln20.1≈6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93ℎ 故选：C6、函数f (x )={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若函数g (x )=f (x )−t (t ∈R )有3个不同的零点a ，b ，c ，则2a +2b +2c 的取值范围是（ ）A ．[16,32)B ．[16,34)C ．(18,32]D ．(18,34) 答案：D分析：作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，利用图象得出a,b,c 的性质、范围，从而可求得结论．作出函数y =f(x)的图象和直线y =t ，它们的交点的横坐标即为g(x)的零点，如图， 则1−2a =2b −1，4<c <5，2a +2b =2，2c ∈(16,32)，所以18<2a +2b +2c <34． 故选：D ．小提示：关键点点睛：本题考查函数零点问题，解题关键是把函数零点转化为函数图象与直线的交点的横坐标，从而可通过作出函数图象与直线，得出零点的性质与范围． 7、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ） A ．a >0>b B ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． ［方法一］：（指对数函数性质） 由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0. 又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1， 令f ′(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ， 又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b . 故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．8、设alog 34=2，则4−a =（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16答案：B分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 由alog 34=2可得log 34a =2，所以4a =9， 所以有4−a =19，故选：B.小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3]. 故选：C.10、已知函数y =a x 、y =b x 、y =c x 、y =d x 的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b +d >a +cB ．b +d <a +cC ．a +d >b +cD ．a +d <b +c 答案：B分析：如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ，即得解.如图，作出直线x =1,得到c >d >1>a >b ， 所以b +d <a +c . 故选：B 填空题11、已知√(a −1)44+1=a ，化简(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=_________．答案：a −1分析：根据已知条件判断a 的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果. 由已知√(a −1)44+1=a ，即|a −1|=a −1，即a ⩾1，所以(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=(a −1)+(a −1)+(1−a)=a −1， 所以答案是：a −1小提示：本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可.12、函数f （x ）＝{x 2+2x, x ⩽0ln x, x >0，则f （f （1e ））＝_____.答案：−1解析：先计算出f (1e )=−1，再计算f (−1)得值，由此得出结果.解：依题意得f(f(1e))=f(−1)=−1.所以答案是：−1.小提示：本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.13、已知5a=2，5b=3，则log2594=___________（用a､b表示）.答案：b−a##−a+b分析：根据对数的运算性质可得log2594=log53−log52，再由指对数关系有a=log52，b=log53，即可得答案.由log2594=log532=log53−log52，又5a=2，5b=3，∴a=log52，b=log53，故log2594=b−a.所以答案是：b−a.解答题14、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x >50时，y =−x 2+140x −3700， 当x =1402=70时，y =−x 2+140x −3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大． 15、（1）已知lg2=m ，lg3=n ，试用m,n 表示log 512； （2）已知x +x−1=3（0<x <1），求x 2+x −2x 12+x−12．答案：（1）log 512=2m+n1−m；（2）7√55. 分析：（1）利用换底公式即可求解. （2）利用指数的运算即可求解. （1）由换底公式得log 512=lg12lg5=2lg2+lg31−lg2=2m+n 1−m．（2）由于(x 12+x −12)2=x +x−1+2=5，且0<x <1，所以x 12+x−12=√5；又x 2+x −2=(x +x −1)2−2=32−2=7； 所以x 2+x −2x 12+x −12=√5=7√55．。
指数函数与对数函数(能力测评卷)-2020-2021学年高一数学单元复习(人教A版必修第一册)
章末检测（四) 指数函数与对数函数能力卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)为奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋x＋m，则f(－1)＝(C)A．－12B．12C．－2D．2【答案】C【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即20＋0＋m＝0，所以m＝－1，f(x)＝2x＋x－1(x≥0)．因为f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.2．已知关于x的不等式(13)x－4>3－2x，则该不等式的解集为(B)A．[4，＋∞)B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4)D．(－4,1]【答案】B【解析】依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4，故选B．3．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为(A)A．(－1,3)B．(－∞，3)C．(－∞，1)D．(－1,1)【答案】A【解析】∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，∴不等式f(a＋1)<2等价于0<a＋1<4，解得－1<a<3，故选A．4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a ＝f (1)，b ＝f (2－0.3)，c＝f (－20.3)，则( A ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a D ．a <b <c【答案】A【解析】因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以c ＝f (－20.3)＝f (20.3)． 又因为y ＝2x 是R 上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f (2－0.3)<f (1)<f (20.3)＝f (－20.3)，即b <a <c .5．已知f (x )＝(31)4,1,log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是( B )A ．(0,1)B ．[17，13) C ．(0，13) D ．(19，13) 【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -<⎧⎪-+≥⎨⎪<<⎩解得17≤a <13，故选B ．6．已知m ，n ∈(1，＋∞)，且m >n ，若log m n 2＋log n m 6＝13，则函数f (x )＝2mn x 的大致图象为( A )【答案】A【解析】由题意，令t＝log m n，则2t＋6t＝13，解得t＝12或t＝6(舍去)，所以n，即2mn＝1，所以f(x)＝2mnx的大致图象为A中的图象．7．若函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(C)A．[43，3]B．[43，2]C．[43，2)D．[43，＋∞)【答案】C【解析】先保证对数有意义即－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5，又可得二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝－42(1)⨯-＝2，由复合函数单调性可得函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)，要使函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需322,25,322mmm m-≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩解得43≤m<2.8．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(C)(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)A．2020B．2021C．2022D．2023【答案】C【解析】该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则150×(1＋8%)n－2018>200，则n>2018＋2lg2lg3lg1.08-≈2021.8，所以n＝2022.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(AD)A．y＝x3＋x B．y＝log2xC．y＝2x2－3D．y＝x|x|【答案】AD【解析】A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符，故选AD．10．下列函数中值域为R的有(ABD)A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝lg(x2－2)C．f(x)＝2,02,2,2x xx x⎧≤≤⎨>⎩D．f(x)＝x3－1【答案】ABD【解析】f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件．B ．由x 2－2>0得x或x <，此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ，满足条件．C ．f (x )＝2,02,2,2x x x x ⎧≤≤⎨>⎩当x >2时，f (x )＝2x >4，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2∈[0,4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件． D ．f (x )＝x 3－1是增函数，函数的值域为R ，满足条件．11．若函数f (x )＝,1,(4)2,12x a x ax x ⎧>⎪⎨-+≤⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围不能为( BD ) A ．(5,8) B ．(2,8) C ．[6,8) D ．(3,8)【答案】BD【解析】因为函数f (x )＝,1,(4)2,12x a x ax x ⎧>⎪⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数， 所以11,40,2422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩解得4≤a <8.12．设函数f (x )＝||1lg(1),1,3,1x x x x +->⎧⎨≤⎩若f (x )－b ＝0有三个不等实数根，则b 可取的值有( BC )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【解析】作出函数f (x )＝||1lg(1),1,3,1x x x x +->⎧⎨≤⎩的图象如图：f (x )－b ＝0有三个不等实数根，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝b 有3个不同交点， 由图可知，b 的取值范围是(1,3]，故b 可取2,3.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数g (x )过点(9,2)，则f (2)＝__9__. 【答案】9【解析】由函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y ＝a x 图象过点(2,9)， 所以a 2＝9，又a >0，所以a ＝3.所以f (2)＝32＝9.14．已知函数f (x )＝221xx b -+为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝__1__，b ＝__1__.【答案】1 1【解析】因为f (x )是定义在[－2a,3a －1]上的奇函数， 所以定义域关于原点对称，即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1，因为函数f (x )＝221xx b -+为奇函数，所以f (－x )＝221x x b ---+＝2121x x b -+＝－221xx b -+，即b ·2x －1＝－b ＋2x ，所以b ＝1.15．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.【答案】6【解析】由0.42n<0.01，得2n>0.040.01＝40，故n的最小值为6.16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)．【答案】①②③【解析】∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t＝5时，S＝32>30，故②正确；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)计算3log32＋1327＋lg 50＋lg 2；(2)已知2a＝3,4b＝6，求2b－a的值．【解析】(1)3 log32＋1327＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.(2)由2a＝3，得a＝log23，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝log26，所以2b－a＝log26－log23＝log22＝1.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a x－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3,20)．(1)求a的值及y＝f(x)的零点；(2)求不等式f(x)≥－2的解集．【解析】(1)根据题意，函数f(x)＝a x－1－5的图象过点(3,20)，则有20＝a2－5，又由a>0，且a≠1，则a＝5，f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，则x＝2，即函数f(x)的零点为2.(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，解可得x≥log515，即不等式的解集为[log515，＋∞)．19．(本小题满分12分)(2019·河南南阳市高一期中测试)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)的定义域为[14，4]．(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．【解析】(1)∵14≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，∴－2≤t≤2.∴t的取值范围是[－2,2]．(2)y＝f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，由(1)知t＝log2x，t∈[－2,2]，∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋32)2－14.当t＝－32，即log2x＝－32，x＝4时，y min＝－14，当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，y max＝12.20．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．【解析】(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·b t，Q＝a·log b t中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，150=250050, 10812100110, 150********,a b ca b ca b c++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得1200324252 abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝1200t2－32t＋4252.(2)当t ＝－3212200-⨯＝150天时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200·1502－32·150＋4252＝100 (元/102kg)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值． 【解析】(1)∵f (x )＝2x ，∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝22x －2x ＋2.因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3,0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}． (2)设g (x )＝(2x )2－4×2x ＝(2x －2)2－4. ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，∴当2x ＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4； 当2x ＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3.22．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝21aa -·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围． 【解析】(1)令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝21a a - (a t －a －t )． ∴f (x )＝21a a - (a x －a －x )(x ∈R )． ∵f (－x )＝21a a - (a －x －a x)＝－21a a - (a x －a －x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．11 当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，y ＝－a －x 为增函数，且221a a -＞0， ∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，y ＝－a －x 为减函数，且221a a -＜0， ∴f (x )为增函数．∴f (x )在R 上为增函数．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数． 由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数， 只需f (2)－4≤0，即21a a - (a 2－a －2)≤4. ∴21a a -421a a-≤4，∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a ＋1≤0， ∴2a ≤2又a ≠1，∴a 的取值范围为[2，1)∪(1,2．。
高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（ ）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（ ）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（ ） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去 故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立 故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增 当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可 （1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． （1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足； 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。
人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测基础卷(含详细解析)
第4章指数函数与对数函数（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知75x =，则x 的值为ABC ．D ．2．函数f (x )＝2x 与g (x )＝－2－x 的图象关于A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知32log log (0)x =，那么x =A ．1B ．2C ．3D ．44．设0m >，下列计算中正确的是A ．330m m -=B ．4334m m m ÷=C ．2323m m m ⋅=D ．251542()m m--=5．设a ，1b >，且满足1log 2>a b ，则A ．a b <B ．a b >C ．2a b <D ．2a b >6．若lg 2,lg 3a b ==，则12log 5=A ．12a a b -+B ．2a b a b++C ．12a a b-+D ．2a b a b++7．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是A ．22log log a b<B ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11a b<D ．22a b <8．已知函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()0f x m -=恰有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是A ．(0,1)B ．[1,3)C ．(1,3){0}⋃D ．[1,3){0}⋃二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设0a >，则下列运算中正确的是A ．4334a a a ⋅=B ．5233a a a÷=C ．55330a a-⋅=D ．5335a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．若10a ＝4，10b ＝25，则A ．a +b ＝2B ．b ﹣a ＝1C ．ab ＞8lg 22D ．b ﹣a ＞lg611．在同一坐标系中，()f x kx b =+与()log b g x x =的图象如图，则下列关系不正确的是A ．0k <，01b <<B ．0k >，1b >C ．()100f x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()()00g x x >>D ．1x >时，()()0f xg x ->12．已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，实数a ，b ，()c a b c <<满足()()()0f a f b f c <，若0x 是函数()f x 的一个零点，则下列结论中可能成立的是A ．0x a <B ．0a x b <<C ．0b x c<<D ．0x c>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13112220.160.363-⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭____________．14．已知函数()2120log 0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，， ，则()()2f f -=____________．15．已知1log ,log 32aa m n ==，求2m n a +的值____________．16．函数()2()445f x xx =--的单调递减区间为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）120.5037(27)0.1(2)39π--++-；（2）2115113366221()(3)()3a b a b a b ⋅-÷．18．（12分）计算求值：（1）()11.530.0014-+（2）(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅．19．（12分）已知函数()154262xx f x +=-⋅-，其中[]0,3x ∈．（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若3()25f =，求使()0f x >成立的x 的集合．21．（12分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y （单位dB ），定义0lgIy I =10，其中I 为声场中某点的声强度，其单位为/W m 2（瓦/平方米）12010I -=/W m 2为基准值．（1）如果一辆小轿车内声音是50dB ，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB ，两人正常交谈的声音是60dB ，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍?22．（12分）已知函数()12(log 94343)x x f x +=-⨯+，函数()222log 7g x x mx =-+．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈，使()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围．第4章指数函数与对数函数（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
新教材人教A版数学必修第一册质量检测4指数函数与对数函数
质量检测(四)本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两局部.总分值150 分.测试时间120分钟.第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.假设函数y = f(x)在区间(一2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,那么f(一1〞(1)的值()A.大于0B.小于0C.无法判断D.等于0［解析］由题意不能断定零点在区间(一1,1)内部还是外部.［答案］C2.以下函数中,在区间(0, +8)上单调递增的是( )1r 2A. y=xB. y = 2 xc D V」［解析］易知函数y=2-X, ,y =；在区间(0, +oo)A1上单调递减,函数y=H 在区间(0, +8)上单调递增.应选A.［答案］A3.假设集合M={yly=集}, P = {xly=log2x-i^/3x_2},那么MAP =()(2、(\ \A.可,+°°B.弓,1 U(l, +8)C.［1,D.；|, 1 ju(l, +oo)［解析］集合M表示函数y=2x的值域,为(0, +8)；集合p表3x —2>0,______o示函数y = log2x —i 辰三的定义域,贝ij 〈2x —1>0, 解得x 〈且、2x —1W1,xWl,应选D.［答案］D24.函数f(x) = ln(x+1)一^的零点所在的大致区间是() AA. (1,2)B. (04)C. (2, e)D. (3,4)2［解析］f(l) = ln2—2 = ln-2<lnl =0, f(2)=ln3 — 1 = ln|>lnl=0,2所以函数f(x) = ln(x+l)一1的零点所在的大致区间是(1,2). A［答案］A5.函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x) = lnx,那么A -LA ln2C. -In2［解析］Vfi^^ = lnp=-2 ［答案］C6 .函数f(x)=£*的图象( A.关于原点对称 C.关于x 轴对称［解析］易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.4-x +l 1+4Xx)=^1=k=f(x), ・・.f(x)是偶函数,其图象关于y一两D. In2B.关于直线y = x 对称 D.关于y 轴对称的值为()轴对称.［答案］D7 . a=log27, b=log38, c=O.302,那么 a, b, c 的大小关系 为() A. c<b<a B. a<b<c C. b<c<a［解析］ Vc=0.3°2<0.3°= 1,a=log27>log 24=2,1 <b=log 38<log39 =2,,cvb<a.应选 A.［答案］Ax>l,应选D.［答案］D9 .在同一直角坐标系中,函数y = *, y = lo©x+J(a>.,且aWl) 的图象可能是()［解析］当0<a<l 时,函数y=a'的图象过定点(0,1)且单调递减, 那么函数y=(的图象过定点(0,1)且单调递增,函数y=log ［x+；)的图 (\ \ 象过定点5, 0且单调递减,D 选项符合；当a>l 时,函数y=a"的/D. c<a<b2口 xWl,8.设函数 f(x)=ji°g 凶 x>b那么满足f(x)W2的x 的取值范围是(A. C. )LL2］［1,+8) B. ［0,2］ D. ［0, +8)xWl, ［解析］f(x)W2O或,X>1 , l-log 2x^2 或图象过定点(0,1)且单调递增,那么函数y="的图象过定点(0,1)且单调 递减,函数y=log/x+；)的图象过定点停,0)且单调递增,各选项均4<aW4,应选 D.不符合,综上,选D.［答案］D2x x2a 10.己知函数f(x)={-x, x<a a的取值范围是()A. (一8, 0) C. (1, +8),假设函数f(x)存在零点,那么实数B. (一8, 1)2X , x2a 的图象如图:—X, x<a假设函数D.f(x)存在零点,那么实数a 的取值范围是(0, +8),应选 11.函数f(x)=log2(x2—ax + 3a)在[2, +8)上是增函数,那么实数 a 的取值范围是()A. ( — 8, 2] C. [-2,4][解析]由于f(x)在[2,B. (—8, 4] D. (-4,4]+ 8)上是增函数,所以y=x 2—ax + 3a在［2, +8)上单调递增且恒为正,所以殍2,即一22-2a+3a>0,［答案］Dfx?+bx+c, xWO,12.设函数 f(x)=三 八假设 f(—4) = f(0), f(-2)［2, x>0,=一2,那么关于x 的方程f(x) = x 的解的个数是()A. 1B. 2D. 4［解析］由于 f(—4) = f(0), f( —2)=—2,x 2+4x+2, xWO,所以f(x)=,12, x>0.当x>0时,方程为x = 2,此时方程f(x)=x 只有1个解；当xWO 时,方程为x?+4x+2 = x,解得x= — l 或x=-2,此 时方程f(x)=x 有2个解,所以方程f(x)=x 共有3个解.［答案］C第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每题5分,共20分,把正确 答案填在题中横线上)13 .用二分法求方程x 3-2x-5=O 在区间(2,4)上的实数根时, 取中点?=3,那么下一个有根区间是.［解析］设 f(x) = x 3-2x-5,那么 f(2)<0, f(3)>0, f(4)>0,有 f(2)f(3)<0,那么下一个有根区间是(2,3).［答案］(2,3)14 .假设函数f(x)=ax —x —a(a>0,且aWl)有两个零点,那么实数a 的取值范围为.［解析］函数f(x)的零点的个数就是函数y=a'与函数y = x+a 交点的个数,如以下图,由函数的图象可知a>l 时两函数图象有两个交C. 3所以16—4b+c = c, 4—2b+c=—2, 解得 b=4,c = 2,点,0<a<l时两函数图象有唯一交点,故a>l.所以点D 的坐标为 ［答案］& I［答案］(1, +8)15.如右图,矩形ABCD 的三个顶点A, B, C 分别在函数y =1log 孝y=/,2 , y =|曰卜的图象上,且矩形的边分别平行于两［解析］由图象可知,点A(XA ,2)在函数y=b 蟾7的图象上, 所以 2 =Iog 璋X A ,X A =1 ］'X 2(1B )2点B(XB ,2)在函数y=的图象上,所以2=, XB =所以点C(4, yj 在函数y=［阴x 的图象上, 所以 yc=(¥)=；. 「 1 1又 XD =XA =£, yD=yc=4,14彳一丁16.设0WxW2,那么函数y= -32' + 5的最小值是4L 下1［解析］y= —32、+5=5〔2'〕2—32+5.令t=2x, xe［0,2］,那么W4,于是y=^t2—3t+5=1〔t—3〕2+y, 1 WtW4.当t = 3 时,ymin = 2-［答案］\三、解做题〔本大题共6个大题,共70分,解容许写出文字说明, 证实过程或演算步骤〕17.〔本小题总分值10分〕计算以下各式的值：十(0, 002)一下—10(7^—2)-1 +(V2—\/3)°；4国(2)log3-^-F lg25 + lg4+71og72..z _±:阳⑴原式=(—i.43卷厂+ ( 土厂-23+(500)^-10(75 + 2) + 1=4 +10^5-10 75-20+1 = -^. 1/ J/(2)原式= log33 — + + lgl00 + 218.(本小题总分值12分)函数f(x) = logax(a>0,且aWl),且 函数的图象过点(2,1).(1)求函数f(x)的解析式；(2)假设f(m 2 — m)< 1成立,求实数m 的取值范围.［解］(I)：函数f(x)的图象过点(2,1),f(2)— 1,即 loga2=l,解得 a=2, 因此,f(x)=log2X (x>0). (2)f(m 2—m)=log2(m 2—m), Vf(m 2 —m)<l 且 l=Iog22, log 2(m 2—m)<log 22,解得一l<m<0 或 1cm<2,・•・实数m 的取值范围为(一l,0)U(l,2).19.(本小题总分值12分)定义在R 上的偶函数y = f(x)在(-8, 0］1 log"上递增,函数f(x)的一个零点为一于 求满足f( )20的x 的108— 2+1 一十+2十2 = 15了该不等式等价为： m 2—m>0,m 2—m<2,取值集合.［解］♦♦・一；是函数的一个零点,“一:=0.log-lx 1••♦y=f(x)在(-8, 0]上递增,f( 1)2o=f (])1 log".・・―畀 & 4 W0 乙解得1W X W2 又y=f(x)为偶函数,「・f(gj=O,且在［0, +8)上单调递减,解得;WxWl综上所述,x 的取值范围为猿2(log±ji')2- 21og±jr20.(本小题总分值12分)f(x)= --+4, xe[2,4].⑴设1=10且十处久£［2,4］,求t 的最大值与最小值；〔2〕求八比〕的值域.［解］〔1〕由于函数z = log 〕比在［2,4］上是减函数,所以 ■,max = 2 = - 1 "min = Sg ； 4 = 2・⑵令 £ = log+］,HG ［2,4］,那么 g 〔£〕= / —2f + 4 =〔L 1 户 + 3,由〔1〕得 /e ［ —2, —1］,因此当 X=—2,即 1 = 4 时,"l 〕max = 12；当 l= -1,即 1=2 时 g 〕min = 7.・・・0W log" !又我因此,函数/〔力〕的值域为［7,12］21.〔本小题总分值12分〕近几年,我国大局部地区遭遇雾霾天气, 给人们的健康、交通平安等带来了严重影响.经研究,发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素,污染治理刻不容缓.为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.己知过滤过程中废气的污染物数量P〔单位：mg/L〕与过滤时间t〔单位：小时〕间的关系为P=Poe-,Po, k均为非零常数,e为自然对数的底数〕,其中Po为t=0时的污染物数量.假设经过5小时过滤后还剩余90%的污染物.〔1〕求常数k的值；〔2〕试计算污染物减少到40%至少需要多少时间〔精确到1小时, 参考数据：ln0.2比一 1.61, ln0.3^-1.20, ln0.4^-0.92, ln0.5^- 0.69, ln0.9^-0.11〕［解］〔1〕由,当t=0时,P=Po;当t=5 时,P=9O%Po.于是有9O%P o=Poe_5k.解得k=—gn0.9〔或0.022〕.〔2〕由〔1〕得,知P=Poe〔9nO.9〕,当P = 4O%P o时,有O.4Po=Poe〔聂他9〕工(2)当时,/(i)是减函数,证实如下:设OUT]<孙<1,“、〞、―2马 2 工2/5)—而丁备口(2七一2］】)(2七+三一1) ~(产+1)(—)-<］、2 <1,,2G -2, >0,2'+,一1 >0./. /<X］)一 /(亚)>°,即八皿)>/(］2).在(0,1)上是减函数.2X(3)由(2)知f(x)==j■在(0,1)上递减,从而由奇函数的对称性知f(x)在(一1,0)上递减.(2° ) (2 1、•*.当0<x<l 时,f(x)e 干三7,河口,即f(x)e 升r 2°2-1 、( 1 2、当一kxvO 时,f(x)e 一布［,-4-i+1 ,即f(x)£\—,,-5当x=0 时,f(x)=f(O)=O.故函数f(x)在(一1,1)上的值域为2 n亍2ju{0}U昌,-II由Ruize收集整理.感谢您的支持！。
2020学年新教材人教A版数学必修第1册质量检测4指数函数与对数函数
质量检测(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若函数y ＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于0[详细分析] 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． [答案] C2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝ B ．y ＝2－x C ．y ＝D ．y ＝1x[详细分析] 易知函数y ＝2－x ，y ＝，y ＝1x 在区间(0，＋∞)上单调递减，函数y ＝在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.[答案] A3．若集合M ＝{y|y ＝2x }，P ＝{x|y ＝log 2x －13x －2}，则M ∩P ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)[详细分析] 集合M 表示函数y ＝2x 的值域，为(0，＋∞)；集合P 表示函数y ＝log 2x －13x －2的定义域，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x>23且x ≠1，故选D.[答案] D4．函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(0,1) C ．(2，e)D ．(3,4)[详细分析] f(1)＝ln2－2＝ln 2e 2<ln1＝0， f(2)＝ln3－1＝ln 3e >ln1＝0，所以函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是(1,2)． [答案] A5．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lnx ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为( ) A.1ln2 B ．－1ln2 C ．－ln2D ．ln2[详细分析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.[答案] C6．函数f(x)＝4x ＋12x 的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称[详细分析] 易知f(x)的定义域为R ，关于原点对称． ∵f(－x)＝4－x ＋12－x＝1＋4x2x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．[答案] D7．已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c<b<aB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b[详细分析] ∵c ＝0.30.2<0.30＝1，a ＝log 27>log 24＝2,1<b ＝log 38<log 39＝2，∴c<b<a.故选A.[答案] A8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[详细分析]f(x)≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1，21－x ≤2，或⎩⎨⎧x>1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1，或x>1，故选D.[答案] D9．在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12(a>0，且a ≠1)的图象可能是( )[详细分析] 当0<a<1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数y ＝1a x 的图象过定点(0,1)且单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递减，D 选项符合；当a>1时，函数y ＝a x的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数y ＝1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减，函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝⎛⎭⎪⎫12，0且单调递增，各选项均不符合，综上，选D.[答案] D10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥a－x ，x<a，若函数f(x)存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[详细分析]函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ，x ≥a－x ，x<a的图象如图：若函数f(x)存在零点，则实数a 的取值范围是(0，＋∞)，故选D.[答案] D11．函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[－2,4]D ．(－4,4][详细分析] 因为f(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增且恒为正，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，22－2a ＋3a>0，即－4<a ≤4，故选D.[答案] D12．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[详细分析] 因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，所以⎩⎨⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，所以f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0.当x>0时，方程为x ＝2，此时方程f(x)＝x 只有1个解； 当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2，此时方程f(x)＝x 有2个解，所以方程f(x)＝x 共有3个解．[答案] C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．[详细分析] 设f(x)＝x 3－2x －5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．[答案] (2,3)14．若函数f(x)＝a x －x －a(a>0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．[详细分析] 函数f(x)的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有唯一交点，故a>1.[答案] (1，＋∞)15.如右图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝，y ＝，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．[详细分析] 由图象可知，点A(x A,2)在函数y ＝的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12.点B(x B,2)在函数y ＝的图象上，所以2＝，x B ＝4.所以点C(4，y C )在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，所以y C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫224＝14.又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1416．设0≤x ≤2，则函数y ＝－3·2x ＋5的最小值是________．[详细分析] y ＝－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，x ∈[0,2]，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4. 当t ＝3时，y min ＝12. [答案] 12三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：(2)log34273＋lg25＋lg4＋7log72.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)，且函数的图象过点(2,1)．(1)求函数f(x)的解+析式；(2)若f(m2－m)<1成立，求实数m的取值范围．[解](1)∵函数f(x)的图象过点(2,1)，∴f(2)＝1，即log a2＝1，解得a＝2，因此，f(x)＝log2x(x>0)．(2)f(m2－m)＝log2(m2－m)，∵f(m2－m)<1且1＝log22，∴log2(m2－m)<log22，该不等式等价为：⎩⎨⎧m2－m>0，m2－m<2，解得－1<m<0或1<m<2，∴实数m 的取值范围为(－1,0)∪(1,2)．19．(本小题满分12分)定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f()≥0的x 的取值集合．[解] ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，f()≥0＝f(－12)∴－12≤≤0解得1≤x ≤2 又y ＝f(x)为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，且在[0，＋∞)上单调递减， 又f()≥0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∴0≤≤12解得12≤x ≤1综上所述，x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 20．(本小题满分12分)已知f(x)＝＋4，x ∈[2,4]．21．(本小题满分12分)近几年，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11)[解](1)由已知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝90%P0.于是有90%P0＝P0e－5k.解得k＝－15ln0.9(或0.022)．解得t ＝ln0.415ln0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x4x ＋1.(1)求f(x)在(－1,1)上的解+析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)求函数f(x)的值域．[解] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x 4－x ＋1＝－2x1＋4x .又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴2f(0)＝0，f(0)＝0.故当x ∈(－1,1)时，f(x)的解+析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x4x ＋1，x ∈(0，1)，0，x ＝0，－2x4x ＋1，x ∈(－1，0).(3)由(2)知f(x)＝2x4x ＋1在(0,1)上递减，从而由奇函数的对称性知f(x)在(－1,0)上递减．∴当0<x<1时，f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2141＋1，2040＋1，即f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12； 当－1<x<0时，f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2040＋1，－2－14－1＋1，即f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25； 当x ＝0时，f(x)＝f(0)＝0.故函数f(x)在(－1,1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.。
广东省部分中学2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数真题
广东省部分中学2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数真题单选题1、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y=f(x)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m≤0或m=1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（ ）A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0）答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点． 因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1． 故选：A ．3、已知函数f (x )={2,x >m x 2+4x +2,x ≤m，若方程f (x )−x =0恰有三个根，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．[−1,2)B ．[−1,2]C ．[2,+∞)D ．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y =f (x )与函数y =x 有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y =x 与函数f (x )=2(x >m )至多有一个交点，而直线y =x 与函数f (x )=x 2+4x +2(x ≤m )至多两个交点，函数y =f (x )与函数y =x 有三个不同的交点，则只需要满足直线y =x 与函数f (x )=2(x >m )有一个交点直线y =x 与函数f (x )=x 2+4x +2(x ≤m )有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.4、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅ln e−k=ln34⇒t =ln 34ln (38)112=12(ln 3−2ln 2)ln 3−3ln 2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6. 故选：B.5、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．6、设4a =3b =36，则1a +2b =（ ）A ．3B ．1C ．−1D ．−3答案：B分析：先求出a =log 436,b =log 336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解.因为4a =3b =36，所以a =log 436,b =log 336，则1a =log 364,2b =log 369，所以则1a +2b =log 364+log 369=log 3636=1.故选：B.7、已知y 1=(13)x ，y 2=3x，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x 与y 3=10−x =(110)x 是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A8、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．9、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（ ）A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,10b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．10、设f(x)={e x−1,x<3log3(x−2),x≥3，则f(f(11))的值是（）A．1B．e C．e2D．e−1答案：B分析：根据自变量的取值，代入分段函数解析式，运算即可得解.由题意得f(11)=log3(11−2)=log39=2，则f(f(11))=f(2)=e2−1=e.故选：B.小提示：本题考查了分段函数求值，考查了对数函数及指数函数求值，属于基础题.填空题11、写出一个同时具有下列三个性质的函数：f(x)=___________.①函数g(x)=f(x)−1为指数函数；②f(x)单调递增；③f(1)>3.答案：3x+1（答案不唯一）分析：根据给定条件①可得函数f(x)的解析式，再利用另两个条件判断作答.因函数g(x)是指数函数，则令g(x)=a x，a>0且a≠1，于是得f(x)=a x+1，由于f(x)单调递增，则a>1，又f(1)=a+1>3，解得a>2，取a=3，所以f(x)=3x +1.所以答案是：3x +1（答案不唯一）12、已知√(a −1)44+1=a ，化简(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=_________．答案：a −1分析：根据已知条件判断a 的范围，再结合根式的运算性质，即可求得结果.由已知√(a −1)44+1=a ，即|a −1|=a −1，即a ⩾1，所以(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=(a −1)+(a −1)+(1−a)=a −1，所以答案是：a −1小提示：本题考查根式的运算性质，属简单题；注意公式的熟练应用即可.13、已知函数f(x)={x +1,x ≤0,log 2x,x >0则函数y =f [f (x )]的所有零点之和为___________. 答案：12分析：利用分段函数，分类讨论，即可求出函数y =f [f (x )]的所有零点，从而得解．解：x ⩽0时，x +1=0，x =−1，由f(x)=−1，可得x +1=−1或log 2x =−1，∴x =−2或x =12； x >0时，log 2x =0，x =1，由f(x)=1，可得x +1=1或log 2x =1，∴x =0或x =2；∴函数y =f [f (x )]的所有零点为−2，12，0，2，所以所有零点的和为−2+12+0+2=12所以答案是：12．解答题14、已知函数f(x)=a ⋅2x −21−x 是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)求不等式f(f(x)−2)>3的解集；(3)若关于x 的不等式f(x)>k 2x−1+2恒成立，求实数k 的取值范围.答案：(1)a =2(2)(1,+∞)(3)(−∞,−54)分析：（1）根据奇函数满足f(−x)+f(x)=0，即可求解；（2）根据f(x)的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.（1）因为f(x)=a ⋅2x −21−x 是定义在R 上的奇函数，所以f(−x)+f(x)=0，即a ⋅2−x −21+x +a ⋅2x −21−x =0，即(a −2)(2x +12x )=0， 因为2x +12x >0，所以a -2=0，所以a =2（经检验，a =2符合题意）（2）由（1）得f(x)=21+x −21−x ，因为y =21+x 与y =−21−x 在R 上均为增函数，所以f(x)=21+x −21−x 在R 上为增函数，又f(1)=3，所以f(f(x)−2)>f(1)，所以f(x)−2>1，即f(x)>3=f(1)，所以x >1，所以不等式f[f(x)−2]>3的解集是(1,+∞).（3）因为关于x 的不等式f(x)>k 2x−1+2恒成立，即21+x −21−x >k 2x−1+2恒成立，所以k <22x −2x −1恒成立，所以k <(22x −2x −1)min ，因为22x −2x −1=(2x −12)2−54，所以当2x =12，即x =−1时，22x −2x −1取得最小值−54.所以k <−54，即实数k 的取值范围是(−∞,−54) 15、已知函数f(x)=log 3(9x +1)+kx 是偶函数.(1)当x ≥0，函数y =f(x)−x +a 存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数ℎ(x)=log 3(m ⋅3x −2m )，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 答案：(1)[−log 32,0)(2){−1−√52}∪(1,+∞)分析：（1）利用偶数数的定义f(−x)=f(x)，即可求出实数k 的值，从而得到f(x)的解析式；令f(x)−x +a =0，得−a =f(x)−x ，构造函数g(x)=f(x)−x ，将问题转化为直线y =−a 与函数y =g(x)的图象有交点，从而求出实数a 的取值范围；（2）依题意等价于关于x 的方程log 3(m ⋅3x −2m)=log 3(3x +3−x )只有一个解，令t =3x ，讨论(m −1)t 2−2mt −1=0的正根即可．（1）解：∵f(x)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即log 3(9−x +1)−kx =log 3(9x +1)+kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx =log 3(9−x +1)−log 3(9x +1)=log 39−x +19x +1=log 33−2x =−2x ， ∴k =−1．即f(x)=log 3(9x +1)−x ，因为当x ≥0，函数y =f(x)−x +a 有零点，即方程log 3(9x +1)−2x =−a 有实数根．令g(x)=log 3(9x +1)−2x ，则函数y =g(x)与直线y =−a 有交点，∵g(x)=log 3(9x +1)−2x =log 3(9x +1)−log 39x=log39x+19x =log3(1+19x)，又1+19x ∈(1,2]，∴g(x)=log3(1+19x)∈(0,log32]，所以a的取值范围是[−log32,0)．（2）解：因为f(x)=log3(9x+1)−x=log3(9x+1)−log33x=log3(9x+13x)=log3(3x+3−x)，又函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，则关于x的方程log3(m⋅3x−2m)=log3(3x+3−x)只有一个解，所以m⋅3x−2m=3x+3−x，令t=3x(t>0)，得(m−1)t2−2mt−1=0，①当m−1=0，即m=1时，此方程的解为t=−12，不满足题意，②当m−1>0，即m>1时，此时Δ=4m2+4(m−1)=4(m2+m−1)>0，又t1+t2=2mm−1>0，t1t2=−1m−1<0，所以此方程有一正一负根，故满足题意，③当m−1<0，即m<1时，由方程(m−1)t2−2mt−1=0只有一正根，则需{4m2−4(m−1)×(−1)=0−−2m2(m−1)>0，解得m=−1−√52，综合①②③得，实数m的取值范围为：{−1−√52}∪(1,+∞)．11。
人教版A版(2019)高中数学必修第一册： 第四章 指数函数与对数函数 综合测试(附答案与解析)
第四章综合测试
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1.已知集合 M = x | x ＜3 ， N = x | log3 x＜1 ，则 M N 等于（ ）
A.
B.x | 0＜x＜3
在
R
上有最大值，则
a
的
取值范围为（ ）
A.
−
2 2
,
−
1 2
B.
−1,
−
1 2
C.
−
2 2
,
−
1 2
D.
−
2 2
,
0
0,
1 2
11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基 础上，每年投入的研发资金比上一年增加 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： lg1.12 0.05,lg1.3 0.11,lg 2 0.30 ）（ ）
【解析】 Q f (x) = log2 (ax −1) 在 (−3, −2) 上为减函数，
a＜0 且 ax −1＞0 在 (−3, −2) 上恒成立，−2a −1≥0 ，
a≤ − 1 . 2
又
g(
x)
在
R
上有最大值，且
g
(x)
在
−,
1 2
上单调递增，
g
(
x)
在
1 2
,
+
上单调递减，且
log
，当
log z
x
=
精选《指数函数和对数函数》单元测试完整考题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知x 是函数f(x)=2x + 11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则（ ）（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0（C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0（2010浙江文数）（9） 2．当0＜a ＜b ＜1时，下列不等式中正确的是（ ） A ．（1－a ）b1＞（1－a ）bB ．（1＋a ）a ＞（1＋b ）bC ．（1－a ）b＞（1－a ）b2D ．（1－a ）a＞（1－b ）b（1995上海7）3．设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）4．定义运算{()()a ab a b b a b ≤⊕=>，则函数()12xf x =⊕的图像是 [答]（ ）5．设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）（07全国Ⅰ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件 B6．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ）(07山东) A ．1,3 B ．-1,1 C ．-1,3D ．-1,1,3 A ．7．设()f x 是连续的偶函数，且当x>0时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3- B ．3C ．8-D ．8（2008辽宁理12）8．函数f(x)=||||22c x b x x a -++-(0<a<b<c)的图象关于（ ）对称A,x 轴 B,y 轴 C,原点 D,直线y=x (石家庄二模)(理）化简f(x)= )(22c x b x x a --+-为偶函数，选B第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题9．比较下列各组数中两个值的大小：（1）0.53.1________ 2.33.1； （2）0.32()3-_________0.242()3-； （3） 2.52.3-___________0.10.2-10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为at y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .(Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. （07湖北）⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=-1.0,1611.00101.0t t t y t ，6.011．若y x yx5533-≥---成立，则_____0x y +12．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是13．________A A ⋂=，_________A ⋂∅=，__________A A =，_________A ∅=_________U AC A =，_________U A C A =，若A B⊆，则____,A B A B== ()_______________U C A B ⋂= ()_______________U C A B ⋃=14．已知函数2122(),[1,)x x f x x x++=∈+∞，⑴试判断()f x 的单调性，并加以证明；⑵试求()f x 的最小值. 【例1】⑴增函数；⑵72. 15．某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少？ 116．定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 .17．某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为本1.2%，试解答下列问题 (1)写出该城市人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式； (2)计算10年以后该城市的人口总数（精确到0.1）； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人. 18．)23(log 221+-=x x y 的定义域是_______ ．19．函数()2log 3y x =+的定义域为 .20．已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是21．函数y =的定义域是 ____ ． 22．若方程5||||lg +-=x x 在区间))(1,(z k k k ∈+上有解，则所有满足条件的k 的值的和为 。
2020-2021学年高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析
③b＞a＞1
④0＜a＜b＜1
⑤a＝b
其中不可能成立的关系有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：∵实数 a，b 满足 th a th b，
hh 即
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ ；
h
h 对于①，当 a＝3，b＝2 时， h
h h ，即 th 3
th 2，∴①不成立；
对于②，当 a ，b 时， th
∴
；
使
∴使
使
使
x＝y＝3 时取等号．
故选：B．
使 使
使
，当且仅当
，即
使
6．已知 3m＝2n＝k 且
，则 k 的值为（ ）
A．15
B．
C．
【解答】解：∵3m＝2n＝k，∴m＝log3k，n＝log2k，
D．6
∴
th
th
th
th logk6＝2，
∴k2＝6，∴
，
故选：C．
7．设 a＝30.7，b＝（ ）﹣0.8，c＝log0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
第6页共9页
∴ thh
，
∴f（6t）﹣f（3t）＝loga6t﹣loga3t＝loga2 ．
故答案为： ． 四．解答题（共 6 小题）
14．（1）计算： ୠ
⺁
ୠ；
（2）已知 x+x﹣1＝4，求 x2﹣x﹣2 的值．
【解答】解：（1） ୠ
⺁
ୠ
ୠ
⺁
；
ୠ
（2）由 x+x﹣1＝4，两边平方并整理得 x2+x﹣2＝14，
高中数学第4章指数函数与对数函数单元质量测评新人教A版必修第一册
第四章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解得x >2或0<x <12.2．若集合M ＝{y |y ＝2x}，P ＝{x |y ＝log (2x －1)3x －2}，则M ∩P ＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞) 答案 D解析 集合M 表示函数y ＝2x的值域，为(0，＋∞)；集合P 表示函数y ＝log (2x －1)3x －2的定义域，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >23且x ≠1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)．故选D ．3．函数f (x )＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称答案 D解析 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝4－x＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．4．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，13x >0，ln x <0，所以，f (x )＝13x －ln x >0在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上恒成立，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点．因为f (1)f (e)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×1－ln 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13×e－ln e ＝e －39＜0，所以f (x )在(1，e)内有零点．5．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为( )A ．1ln 2B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2答案 C解析 设x <0，则－x >0，于是有f (－x )＝ln (－x )．因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝ln (－x )，所以f (x )＝－ln (－x )，x <0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－ln (－x )，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e2＝f (－2)＝－ln 2.6．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关答案 A解析 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象，如图．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个实根，故选A ．7．函数y ＝lg (4＋3x －x 2)的单调递增区间为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 D ．⎝⎛⎦⎥⎤－1，32答案 D解析 由真数大于0得4＋3x －x 2>0，即x 2－3x －4<0，解得－1<x <4，所以函数的定义域为(－1,4)．令u ＝4＋3x －x 2，则y ＝lg u ．因为u ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254，且对称轴x＝32∈(－1,4)，所以函数u 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4内单调递减．又因为y ＝lg u 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以y ＝lg (4＋3x －x 2)的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－1，32.8．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则f (x )的大致图象是( )答案 B解析 当x >0时，指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x单调递减，将其图象向上平移1个单位长度，可得函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1(x >0)的图象，而f (x )是R 上的奇函数，所以只有选项B 符合要求．9．已知函数f (x )＝log a 1x ＋1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝( ) A ．12 B ． 2C ．22D ．2答案 A 解析 令t ＝1x ＋1，当x ∈[0,1]时，t ＝1x ＋1单调递减， ∵当a >1时，y ＝log a t 为增函数，∴f (x )＝log a1x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝log a 1＝1，f (1)＝log a 12＝0，此时方程组无解；∵当0<a <1时，f (x )＝log a1x ＋1在[0,1]上单调递增， ∴由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝log a 1＝0，f (1)＝log a 12＝1，解得a ＝12.10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30 A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年 D ．2026年答案 B解析 根据题意，设第n 年开始超过200万元，则130×(1＋12%)n －2020>200，化简为(n －2020)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，则n －2020>lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.8，n ≥2024.故选B ．11．已知a ＝5log23.4，b ＝5log43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C解析 ∵log 23.4>log 22＝1，log 43.6<log 44＝1，又y ＝5x是增函数，∴a >b ；c ＝>1>b ，而log 23.4>log 2103>log 3103，∴a >c ，故a >c >B ．故选C ．12．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(4,8)C ．[4,8)D ．(1,8)答案 C解析 ∵函数f (x )是R 上的单调递增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2，4－a 2>0，解得4≤a <8.故实数a 的取值范围为[4,8)．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．答案 (2,3)解析 设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＜0，f (3)＞0，f (4)＞0，有f (2)f (3)＜0，则下一个有根区间是(2,3)．14．已知125x＝12.5y ＝1000，则y －xxy＝________. 答案 13解析 因为125x＝12.5y＝1000，所以x ＝log 1251000，y ＝log 12.51000，y －x xy ＝1x －1y ＝log 1000125－log 100012.5＝log 100012512.5＝log 100010＝13. 15．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示．据此表可推测实验开始前2 h 的细菌数为________个． 答案 75解析 由表中数据观察可得细菌数y 与时间x 的函数关系式为y ＝300×2x(x ∈Z )．当x ＝－2时，y ＝300×2－2＝3004＝75.16．给出函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (log 23)＝________.答案124解析 ∵log 23<2，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋1＋1)＝f (log 23＋1＋1＋1)＝f (log 224)．∵log 224>4，∴f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log224＝124.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值： (1)12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋ 4(2－e )4； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.解 (1)原式＝2＋1－1＋23＋e －2＝23＋e.(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－12lg 26＋50(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.18．(本小题满分12分)已知f (x )＝(log 12 x )2－2log 12 x ＋4，x ∈[2,4]．(1)设t ＝log 12 x ，x ∈[2,4]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的值域．解 (1)因为函数t ＝log 12 x 在[2,4]上单调递减，所以t max ＝log 12 2＝－1，t min ＝log 124＝－2.(2)令t ＝log 12 x ，则g (t )＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，由(1)得t ∈[－2，－1]，因此当t＝－2，即x ＝4时，f (x )max ＝12；当t ＝－1，即x ＝2时，f (x )min ＝7.因此，函数f (x )的值域为[7,12]．19．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝log 12 x .(1)求x <0时，函数f (x )的解析式； (2)若f (x )≤1，求实数x 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，从而f (－x )＝log 12 (－x )．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )．即x <0时，f (x )的解析式为f (x )＝－log 12(－x )．当x >0时，由f (x )≤1得log 12 x ≤1，解得x ≥12；当x ＝0时，f (x )≤1显然成立；当x <0时，由f (x )≤1得－log 12 (－x )≤1，解得－2≤x <0.综上可知，x 的取值范围为－2≤x ≤0或x ≥12.20．(本小题满分12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气 4 min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm ，继续排气4 min ，又测得浓度为32 ppm ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度y (ppm)与排气时间t (min)存在函数关系：y ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫12mt(c ，m 为常数)．(1)求c ，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解 (1)由题意，可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧64＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫124m，32＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫128m，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝128，m ＝14.所以至少排气32 min ，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．21．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．解 (1)当t ∈[0,1]时，函数的解析式为y ＝kt ， 将M (1,4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，将点(3,1)代入得a ＝3.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.综上有y ＝f (t )＝⎩⎨⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ＞1.(2)由f (t )≥0.25，解得116≤t ≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为 5－116＝7916个小时． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x .(1)求证：f (x )是奇函数； (2)求证：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；(3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，求f (a )，f (b )的值．解 (1)证明：由函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，可得1－x 1＋x ＞0，即x －11＋x ＜0，解得－1＜x ＜1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，可得f (x )是奇函数．(2)证明：f (x )＋f (y )＝lg1－x 1＋x ＋lg 1－y 1＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝lg 1－x ＋y1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝lg 1＋xy －x －y 1＋xy ＋x ＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，∴f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立．(3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，则由(2)可得f (a )＋f (b )＝1，f (a )－f (b )＝2， 解得f (a )＝32，f (b )＝－12.。
(新教材)人教A版-数学必修第一册第四章 指数函数与对数函数 测试题含答案
绝密★启用前（新教材）人教A 版-数学必修第一册第四章 指数函数与对数函数 测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分) 1.下列各式中，根式与分数指数幂的互化，正确的是() A ． －√x ＝(−x)12(x >0)B ．√y 26＝y 13(y <0)C ．x −34＝√(1x )34(x >0)D ．x −13＝－√x 3(x ≠0)2.下列各式中成立的是( )A ． (m n )7＝m 7n 17B ．√(−3)412＝√−33C ．√x 3+y 34＝(x ＋y)34D ．√√93＝√333.当a >1时，函数f (x )＝1＋2a x −1是( )A ． 奇函数B ． 偶函数C ． 既奇又偶函数D ． 非奇非偶函数4.若函数f (x )＝a －22+1是奇函数，则a 的值为( )A ． 0B ． －1C ． 1D ． 25.若log 72＝a ，log 75＝b ，则lg5用a ，b 表示为( )A ．abB ．ba+bC．1+aba+bD．ab1+ab6.已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为() A．a＋bB．a－bC．abD．ab7.已知x=1log1213+1log1513，则x的值属于区间()A． (－2，－1)B． (1,2)C． (－3，－2)D． (2,3)8.已知镭经过100年后，剩余质量为原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩余量为y，则()A．y＝0.957 6xB．y＝0.9576x100C．y＝1－0.957 6xD．y＝0.957 6100x9.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为如图所示的()A． B． C． D．10.下列函数中增加得最快的是()A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝e x11.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10∶00B．中午12∶00C．下午4∶00D．下午6∶0012.下表是函数y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最符合的函数模型是()A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数第Ⅱ卷二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.函数f(x)＝2x＋2－x的奇偶性是________．14.若函数y＝a·2x−1−a为奇函数，则a的值为________．2x−115.如图是某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3则有t1＋t2＝t3；其中正确的说法有________．(请把正确的说法的序号都填在横线上)16.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，有以下结论： ①当x ＞1时，甲走在最前面；②当x ＞1时，乙走在最前面；③当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分)三、解答题(共6小题, 共70分)17.计算：(√23×√3)6＋(√2√2)43－4×(1649)−12－√24×80.25－(－2 011)0. 18.计算：lg 5＋lg 2－(－13)－2＋(√2－1)0＋log 28.19.已知f (x )＝12−1＋a 是奇函数，求a 的值及函数值域．20.已知奇函数f (x )，偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝ax (a >0且a ≠1)，求证：f (2x )＝2f (x )·g (x )． 21.某林场现有木材30 000 m 3，如果每年平均增长5%，经过x 年，树林中有木材y m 3.(1)写出木材储量y (m 3)与x 之间的函数关系式；(2)经过多少年储量不少于60 000 m 3？(结果保留一个有效数字，参考数据：lg 2≈0.3，lg 105≈2.02)22.设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25人时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100人时，该旅游景点需另交保险费200元．设每天的购票人数为x 人，赢利额为y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系；(2)该旅游景点希望在人数达到20人时不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？注：①利润＝门票收入－固定成本－变动成本；②可选用数据：√2＝1.41，√3＝1.73，√5＝2.24.答案1.【答案】C【解析】A.－√x ＝－x 12(x >0)，故A 错；B ．√y 26＝(y 2)16，故B 错；C ．x −34＝√(1x)34(x >0)，故C 正确； D ．x −13＝1x 13＝√x 3，故D 错． 故选C.2.【答案】D【解析】(m n )7＝m 7n 7＝m 7n －7≠m 7−n 17； √(−3)412＝√3412＝√33≠√−33； ＝√x 3+y 34＝(x 3+y 3)14≠(x ＋y)34；√√93＝(32)13×12＝313＝√33. 故选D.3.【答案】A【解析】由ax －1≠0得x ≠0，∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f (x )＝1＋2a x −1＝a x +1a x −1， ∴f (－x )＝a −x +1a −x −1＝(a −x +1)a x (a −x −1)a x ＝1+a x 1−a x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数．4.【答案】C【解析】∵f (0)＝a －220+1＝a －1＝0，∴a ＝1，故选C.5.【答案】B【解析】由换底公式可得：a ＝lg2lg7，b ＝lg5lg7，∴a b ＝lg2lg5＝1−lg5lg5，∴lg 5＝ba+b . 6.【答案】D【解析】∵ln 2＝a ，ln 3＝b ，又∵log 32＝ln2ln3，∴log 32＝ab .故选D.7.【答案】D【解析】x=log 1312+log 1315＝log 32＋log 35＝log 310，而32<10<33，所以，x ∈(2,3)，答案为D. 8.【答案】B【解析】注意95.76%是按100年为单位计算的．9.【答案】D【解析】设原来森林蓄积量是a ，则a (1＋10.4%)y ＝ax,1.104y ＝x ，所以y ＝log 1.104x ，故选D.10.【答案】D【解析】由于函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 是正比例函数，函数y ＝e x 是指数函数，又指数函数的增长速度最快，故选D.11.【答案】C【解析】当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入，得{4k 2+b =320，20k 2+b =0，解得{k 2=−20，b =400，∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝{80x ，0≤x ≤4，400−20x ，4<x ≤20，由y ≥240，得{0≤x ≤4，80x ≥240或{4<x ≤20，400−20x ≥240，解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4∶00.故选C.12.【答案】C【解析】画出散点图，如图所示．随着自变量增加，函数值的增量是快速的，故为指数函数模型．故选C.13.【答案】偶函数【解析】定义域为R ，∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．14.【答案】－12【解析】∵函数y ＝a·2x −1−a2x −1，∴y ＝a －12x −1. 由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12−x −1＋a －12x −1＝0，∴2a ＋1−2x1−2＝0，即a ＝－12. 15.【答案】①②④【解析】∵其关系为指数函数，图象过(4,16)点，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t ＝5时，s ＝32＞30，故②正确；4对应的t ＝2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴有t 1＋t 2＝t 3，故④正确．综上可知，①②④正确．故答案为①②④.16.【答案】③④⑤【解析】路程fi (x )(i ＝1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系是f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，∴命题①不正确；当x ＝4时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤.17.【答案】原式＝22×33＋(234×43－4×74－214×234－1)＝4×27＋2－7－2－1＝100. 18.【答案】原式＝lg 10－9＋1＋3＝1－9＋1＋3＝－4.19.【答案】①∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立．即－[12x −1＋a ]＝12−x −1＋a ，∴2a ＝－12−x −1－12x −1＝1，∴a ＝12.②∵2x －1≠0，∴x ≠0，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵u ＝2x －1>－1且u ≠0，∴1u <－1或1u>0， ∴12x −1＋12<－12或12x −1＋12>12，∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．20.【答案】∵f (x )＋g (x )＝ax ，①∴f (－x )＋g (－x )＝a －x .∵f (x )，g (x )分别为奇函数、偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴－f (x )＋g (x )＝a －x .②解由①，②所组成的方程组，得f (x )＝a x −a −x 2，g (x )＝a x +a −x 2. f (x )·g (x )＝a x −a −x 2·a x +a −x 2＝a 2x −a −2x 4＝12f (2x )， 即f (2x )＝2f (x )·g (x )，故原结论成立． 21.【答案】(1)y ＝30 000(1＋0.05)x (x ∈N )．(2)由题意可得30 000(1＋0.05)x ≥60 000.即(1＋0.05)x ≥2.两边取对数得x ≥lg2lg1.05＝15.答经过15年木材储量可达60 000 m3.22.【答案】(1)依题意，设变动成本y1＝k√x，当x＝25时，有30×25－500－k√25＝0⇒k＝50.故y＝30x－500－50√x(0＜x≤100，x∈N*)；当x＞100时，y＝30x－500－50√x－200＝30x－50√x－700.∴y＝{30x−50√x−500(0<x≤100，x∈N∗)，30x−50√x−700(x>100，x∈N∗).(2)设每张门票至少需要a元，则有20a－50√20－500≥0⇒20a≥50×2√5＋500⇒a≥5√5＋25＝5×2.24＋25＝36.2，又a取整数，故取a＝37.故每张门票至少要37元．。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(21)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 f (x ) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T =4，对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，且当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，若在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2)B ． (2,+∞)C ． (1,√43)D ． (√43,2)2. 已知 log x 3=3，log y 7=6，z =717，则实数 x ，y ，z 的大小关系是 ( ) A ． x <z <y B ． z <x <y C ． x <y <z D ． z <y <x3. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：①f (x )+f (2−x )=0；②f (x −2)=f (−x )；③ 当 x ∈[−1,1] 时，f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos (π2x),x ∈(0,1]；则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( ) A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84. 在同一坐标系中函数 y =2−x 与 y =log 2x 的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能6. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y =f (x )，另一种是平均价格曲线 y =g (x )，如 f (2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g (2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示 y =f (x )，虚线表示 y =g (x )，其中可能正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ，对 ∀x ∈R ，f (x +2)=f (x )+f (1)，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2(x −3)2，若函数 F (x )=log a (∣x∣+1)−f (x )(a >0,a ≠1) 在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√55)B ． (√55,√33)C ． (√55,1)D ． (√33,1)8. 方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在区间 [−2,4] 上的根必定在 ( ) A ． [−2,1] 内 B ． [52,4] 内C ． [1,74] 内D ． [74,52] 内9. log 212 的值为 ( ) A ． √2B ． −√2C ． 1D ． −110. 若 log a b +3log b a =132，则用 a 表示 b 的式子为 ( )A ． b =a 6B ． b =√aC ． b =a 6 或 b =√aD ． b =a 6 且 b =√a二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0，若函数 g (x )=f (x )−k 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是 ．12. 函数 f (x )=log a (x −2)+1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标是 ．13. 若正数 a ，b 满足 log 2a =log 5b =lg (a +b )，则 1a +1b 的值为 ．14. 对于实数 a 和 b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b，设 f (x )=(2x–1)∗(x–1)，若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1，x 2，x 3，则 m 的取值范围是 ；x 1x 2x 3 的取值范围是 ．15. 函数 f (x )=log a (x +2)+3（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点 ．16. 如果函数 y =lg (x 2−ax +1) 的值域为 R ，那么实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 f (x )=ax 2+bx +c ，乙选择了模型 y =p ⋅q x +r ，其中 y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数，结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66，82，115．(1) 你认为谁选择的模型较好？（需说明理由）(2) 至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000 人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．18. 若存在常数 k (k >0)，使得对定义域 D 内的任意 x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，则称函数 f (x ) 在其定义域 D 上是“k − 利普希兹条件函数”． (1) 若函数 f (x )=√x (1≤x ≤4) 是“k − 利普希兹条件函数”，求常数 k 的取值范围； (2) 判断函数 f (x )=log 2x 是否是“2− 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3) 若 y =f (x )(x ∈R ) 是周期为 2 的“1− 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x 1，x 2，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤1．19. 求下列函数的零点：(1) f (x )=−x 2−4x −4 (2) f (x )=(x−1)(x 2−4x+3)x−3(3) f (x )=2x +x −1 (4) f (x )=log 3(x +1)20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 计算：(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5．(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2．22. 已知 f (x )=log a (a x −1)（a >0 且 a ≠1）．(1) 求证：函数 y =f (x ) 的图象在 y 轴的一侧； (2) 求证：函数 y =f (x ) 在定义域上是增函数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，所以函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，因为在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实数解， 所以函数 y =f (x ) 与 y =log a (x +2) 在区间 (−2,6] 上有三个不同的交点， 因为当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1， 故函数图象如图所示， 又 f (−2)=f (2)=f (6)=3， 则有 log a 4<3，且 log a 8>3，解得 √43<a <2．故 a 的取值范围是 (√43,2)．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布2. 【答案】D【解析】因为 log x 3=3，所以 x =313，同理可得：y =716=(√7)13， 因为函数 y =7x为单调增函数，且 16>17，故 716>717，即 z >y ，因为函数 y =x 13为单调增函数，且 3>√7， 所以 313>(√7)13，即 x >y ， 所以综上，x >y >z ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】A【解析】由 ①f (x )+f (2−x )=0， 可得 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称，由 ②f (x −2)=f (−x )，可得 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称， 作出 f (x ) 在 [−1,1] 的图象，再由对称性，作出 f (x ) 在 [−3,3] 的图象， 作出函数 y =(12)∣x∣在 [−3,3] 的图象，由图象观察可得它们故有 5 个交点，即有函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 5．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】A【解析】因为 y =2−x 为减函数，y =log 2x 在 (0,+∞) 上为增函数． 【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】B【解析】令 x =−1，则 f (1)=f (−1)+f (1)=2f (1)，所以 f (1)=0， 所以 f (x +2)=f (x )，即函数的周期为 2．若 F (x )=f (x )−log a (∣x∣+1) 恰有 6 个零点，则 0<a <1， 则 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 有 6 个不同的交点，因为 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 均为偶函数且 f (0)=f (2)=−2≠0=log a (∣x∣+1)， 故 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上有三个不同的交点． 画出函数 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 的图象如下图所示，由图可知： f (2)=−2=log a 3，得 a =√33，f (4)=−2=log a 5，得 a =√55， a ∈(√55,√33)．（或 {f (2)<log a 3,f (4)>log a 5即 {−2<log a 3,−2>log a 5, 故 a ∈(√55,√33)）【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】令 f (x )=x 3−2x 2+3x −6， 因为 f (−2)=−28<0，f (4)=38>0，且 f (−2+42)=f (1)=−4<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,4] 内． 又 f (1+42)=f (52)=378>0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,52] 内． 又 f (1+522)=f (74)=−9764<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [74,52] 内，即方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在 [−2,4] 上的根在 [74,52] 内． 【知识点】零点的存在性定理9. 【答案】D【解析】 log 212=log 22−1=−1．【知识点】对数的概念与运算10. 【答案】C【解析】由 log a b +3log b a =132 得 log a b +3logab=132，即 2(log a b )2−13log a b +6=0，解得 log a b =6 或 log a b =12，所以 b =a 6 或 b =√a ． 【知识点】对数的概念与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0<k≤1【解析】由g(x)=f(x)−k=0，得f(x)=k，令y=k与y=f(x)，作出函数y=k与y=f(x)图象如图：当x≤0时，0<f(x)≤1；当x>0时，f(x)∈R．所以要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，则k∈(0,1]．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】(3,1)【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】1【解析】设log2a=log5b=lg(a+b)=k，所以a=2k，b=5k，a+b=10k，所以ab=10k，所以a+b=ab，则1a +1b=1．【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】{14}；{0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数15. 【答案】(−1,3)【解析】本题考查对数函数的图象．当x+2=1时，x=−1，f(−1)=log a(−1+2)+3=3，所以函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(−1,3)．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】由题意知x2−ax+1应能取到大于0的一切实数，因此g(x)=x2−ax+1应与x轴有交点，所以Δ=a2−4≥0．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题意，把 x =1,2,3 代入 f (x ) 得：{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得 a =1，b =−1，c =52，所以 f (x )=x 2−x +52，所以 f (4)=42−4+52=64，f (5)=52−5+52=72，f (6)=62−6+52=82， 则 ∣f (4)−66∣=2，∣f (5)−82∣=10，∣f (6)−115∣=33； 把 x =1,2,3 代入 y =g (x )=p ⋅q x +r ，得：{pq +r =52,pq 2+r =54,pq 3+r =58,解得 p =1，q =2，r =50，所以 g (x )=2x +50，所以 g (4)=24+50=66，g (5)=25+50=82，g (6)=26+50=114， 则 ∣g (4)−66∣=0，∣g (5)−82∣=0，∣g (6)−115∣=1．因为 g (4)，g (5)，g (6) 更接近真实值，所以应将 y =2x +50 作为模拟函数．(2) 令 2x +50>2000，解得 x >log 21950≈10.9， 所以至少经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000 人．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 由题意得：对任意 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，都有 ∣∣√x 1−√x 2∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立， 所以 k ≥√x +√x ．因为 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2， 所以√x +√x <12，所以常数 k 的取值范围是 [12,+∞)．(2) 取 x 1=18，x 2=1，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=3，而 2∣∣x 1−x 2∣=74， 所以 x 1=18，x 2=1 不满足 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣， 所以函数 f (x )=log 2x 不是“2− 利普希兹条件函数”．(3) 若 x 1,x 2∈[0,2]，①当 ∣x 1−x 2∣≤1 时，∣f (x 1)−f (x 2)∣≤∣x 1−x 2∣≤1， ②当 ∣x 1−x 2∣>1 时，设 0≤x 1<1<x 2≤2，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣f (x 1)−f (0)+f (2)−f (x 2)∣≤∣f (x 1)−f (0)∣+∣f (2)−f (x 2)∣≤∣x 1∣+∣2−x 2∣=x 1+2−x 2<1.因此对任意x1,x2∈[0,2]，都有∣f(x1)−f(x2)∣≤1，因为y=f(x)(x∈R)周期为2，所以对任意x1,x2∈R，都存在p1,p2∈[0,2]，使f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，所以∣f(x1)−f(x2)∣=∣f(p1)−f(p2)∣≤1．【知识点】对数函数及其性质、函数的周期性、幂函数及其性质19. 【答案】(1) 令−x2−4x−4=0，解得x=−2，所以函数f(x)的零点为−2．(2) 令(x−1)(x2−4x+3)x−3=0，解得x=1，所以函数f(x)的零点为1．(3) 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x，y=−x+1的图象，由图可知函数f(x)的零点为0．(4) 令log3(x+1)=0，解得x=0，所以函数f(x)的零点为0．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】（1）当函数y=f(x)同时满足：①函数的图象在[a,b]上是连续曲线；② f(a)⋅f(b)<0．则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有1个、2个、3个、4个、⋯⋯零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)⋅f(b)<0时，函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】(1)(−78)+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2 =2lg5+lg2×(lg50+lg2) =2lg5+lg2×lg(2×50) =2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 当0<a<1时，定义域为(−∞,0)，当a>1时，定义域为(0,+∞)，所以y=f(x)的图象总在y轴的一侧．(2) 当0<a<1时，y=a x−1在区间(−∞,0)上是严格减函数，又0<a<1，y=f(x)在区间(−∞,0)上是严格增函数．当a>1时，y=a x−1在区间(0,+∞)上是严格增函数，又a>1，y=f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性11。
人教A新版必修1《第4章 指数函数与对数函数》单元测试卷(二).docx
人教A 新版必修1《第4章 指数函数与对数函数》单元测试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）6.设/（%） = xln x,若广（X 。
）= 2,则X 。
的值为（）7. 设a = log 3|, b = log 51，c = log 7|,贝收 )9. 某厂2006年的产值为"万元，预计产值每年以zi%递增，则该厂到2018年的产值（单位：万元）是1. 计算：崂+ 2屈2-（）1 = （A. 1B. 2C. -1D. 02. 1 函数 ' =顽顽的定义域为（A. (-00,1)B. (1, +00)C. (1,2) u (2,+8)D. (1,3) u (3, +8)3. 函数y = 2xT 的值域是（）A. (0,+oo)B. (-1, +00)C. (1,+8)D. G ，+8) 4. 函数y = 的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D.无数个 5. 方程lg|x| = COSX 根的个数为（）A. 10B. 8C. 6D.4A. e 2B.—C.eD. In2A. c > b > aB. b > c > aC. a> c > bD. a > b > cA. a(i+n约13B. a(l + n约12C. a(l + n约D. — a(l -n%)1210.函S/(x) = 2x + 3x的零点所在的一个区间是().A, (-2,-1) B. (0,1) C. (-1,0) D. (1,2)11.三个变量％, y2 , 无随着变量x的变化情况如下表：则关于x分别呈对数函数、指数函数、幕函数变化的变量依次为()A.无，光，>3B. y2, y3C. y2, % D, %, y3, y212.已知函数/'(x) = |x - 2| + l,g(x)=奴，若方程/'(x) = g(x)有两个不相等的实根，则实数左的取值范围是()A. (0,|)B. (|,1)C. (1,2)D. (2.+x)二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设f(x)=化当仃-：)，x 2 2,则竹⑵)的值为______________ .ve x~L,x < 214.若函数/(%) = log2(x + a)的零点为一2,贝!J Q =.15.已知an =(9"，把数列｛%｝的各项排列成如下的三角形状，记a? :; a4A(jn, n)表示第勿行的第〃个数，则4(10,12) = .16.知0 < a < 1,则方程(1闵=|log a x|的实根个数是.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.(1)计算：0.064 3 — (—4)。
人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测拔尖卷(含详细解析)
第4章指数函数与对数函数（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式正确的是Aa =B ．01a =Cx =-D4=-2．已知函数2()ln 12xf x x-=-+，若()1f a =，则()f a -=A ．1B ．1-C ．3D ．3-3．函数()()1xxa f x a x=>的大致图象是A ．B ．C．D．4．已知函数()()1123,12,1x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．[)0,25．函数()144,1log ,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的大致图象是A ．B ．C ．D ．6．已知定义在R 上的函数()31x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<7．已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，满足对任意(0,)x ∈+∞，恒有1[()]4f f x x-=，若函数()4y f x =-的零点个数为有限的()N n n *∈个，则n 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．48．以下四种说法中，正确的是A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B ．对任意的0x >，log a a x x>C ．对任意的0x >，log xa a x>D ．一定存在0x ，当0x x >，1a >，0n >时，总有log x na a x x>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知0a >，0b >，则下列各式运算正确的是A ．()()1513222222a bab a b-=B ．()()521232632a b ab a b÷=C ．()3213133222ab a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()()12333222ab a b ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10．已知定义域为I 的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且0x I ∃∈，0()0f x <，则下列函数中不符合上述条件的是A ．2()||f x x x =+B ．()22x x f x -=-C ．2()log ||f x x =D ．43()f x x -=11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯函数为[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()112xx e f x e =-+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列叙述中正确的是A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{1,0}-12．已知函数()e 2xf x x =+-，()ln 2g x x x =+-，且()()0f a g b ==，则下列结论错误的是A ．a b >B ．()()0g a f b <<C ．2a b +=D ．()()0g a f b >>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()f x x =．若正数a ，b 满足9ab=，则()()-=f a f b ____________．14．函数312xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点的个数为____________．15．已知函数()2xf x =，()2log g x x =，给出下列三个结论：①函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于直线y 轴对称；②函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于直线y x =对称；③函数()y f x =的值域与()y g x =的定义域相同；④若1x 满足112xx =-，2x 满足222log x x =-，则120x x +=．其中正确结论的序号是____________．16．已知函数()2(ln 2)af x x x=--，若()0f x ≥对于3e x e <<恒成立，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求下列各式中x 的值：（1）13log 3x =-；（2）log 494x =；（3）lg 0.00001x =；（4）x =-．18．（12分）已知x 、y 、z 为非零实数，且236x y z ==．求证：111z y x-=．19．（12分）已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}20A x x px q =++=，{}U 1,4A =ð．（1）求p 和q 的值；（2）求21242pq⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．20．（12分）已知函数1()x f x x-=．（1）用定义证明()f x 在区间()0,∞+上单调递减；（2）求函数()f x 在区间[]1,2上的最大值；（3）若()()124x x f f +>，求x 的取值范围．21．（12分）已知函数()y f x =的表达式为()25255x xf x a =-⋅+．（1）若1a =，[]0,1x ∈，求()y f x =的值域．（2）当[]1,1x ∈-时，求()y f x =的最小值()h a ．（3）对于（2）中的函数()y h a =，是否存在实数m 、n ，同时满足：①5n m >>；②当()y h a =的定义域为[m ，n ]时，其值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）设121()log (1axf x x -=-为奇函数，a 为常数．（1）求a 的值；（2）证明：()f x 在()1,+∞内单调递增；（3）若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．第4章指数函数与对数函数（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
新教材2024年秋高中数学章末综合测评4指数函数与对数函数新人教A版必修第一册
章末综合测评(四) 指数函数与对数函数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a<，则化简的结果是( )A．B．－C．D．－2．函数y＝·ln (2－x)的定义域为( )A．(1，2) B．[1，2)C．(1，2] D．[1，2]3．函数f(x)＝的零点个数为( )A．0 B．1C．2 D．34．(2024·河南信阳高一期末)若4m＝3，则log312＝( )A． B． C． D．5．函数y＝log2(2x＋1)的值域是( )A．[1，＋∞)B．(0，1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)6．(2024·四川泸州高一期末)在α型病毒病情初始阶段，可以用指数函数模型I(t)＝e rt 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的改变规律．指数增长率r与R0、T近似满意R0＝1＋rT，其中R0为病毒基本再生数，T为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出R0＝3.22，T＝10.据此，在α型病毒病情初始阶段，累计感染病例数增加至I(0)的4倍，至少须要(参考数据：ln 2≈0.69)()A．6天B．7天C．8天D．9天7．设a，b，c均为正数，且2a＝，＝b＝log2c，则( )A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c8．若函数f(x)＝(k－1)a x－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝log a|x ＋k|的大致图象是( )A BC D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·河南南阳高一期中)已知函数f(x)＝a x+1＋2(a>0且a≠1)的图象过定点(a－3，3)，则( )A．a＝3B．f(1)＝6C．f(x)为R上的增函数D．f(x)>10的解集为(2，＋∞)10．(2024·江苏淮安高一期中)已知正实数a，b满意b a＝4，且a＋log2b＝3，则a＋b的值可以为( )A．2 B．3 C．4 D．511．若f(x)＝lg (|x－2|＋1)，则下列命题正确的是( )A．f(x＋2)是偶函数B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数C．f(x)没有最大值D．f(x)没有最小值12．已知正实数x，y满意log2x＋y－，则下列结论肯定正确的是( ) A．B．x3<y3C．ln (y－x＋1)>0 D．2x－y<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若f(x)＝为R上的奇函数，则实数a的值为________．14．已知函数f(x)＝a x-1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，试写出一个满意下列条件的对数型函数g(x)的解析式________．①图象恒过点A；②是偶函数；③在(0，＋∞) 上单调递减．15．(2024·江苏南京高一期末)闻名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，假如物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满意：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若当空气温度为30℃时，某物体的温度从90℃下降到60℃用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________℃.16．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9，3)．(1)实数m的值为________；(2)若函数g(x)＝a f(x)(a>0，a≠1)在区间[16，36]上的最大值等于最小值的两倍，则实数a 的值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·湖北襄阳五中期中)(1)求(×)6＋×＋lg 500－lg 0.5的值；(2)设2x＝3y＝72，求的值．18．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)过点(－2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求实数m的取值范围．19．(本小题满分12分)已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)过点(m，n)；在＋2x＋4的顶点坐标为(m，n)，③函数y＝log b x＋3(b＞0，且b≠1)过定点(m，n)这三个条件中任选一个，回答下列问题．(1)求f(x)的解析式，推断并证明g(x)＝f(x)＋的奇偶性；(2)解不等式：log a(1＋x)＜log a(2－x)．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(a x－b x)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的零点；(3)设g(x)＝a x－b x，求g(x)在[0，4]上的值域．21．(本小题满分12分)(2024·山东德州市第一中学期末)某医药公司研发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y(单位：微克)与时间t(单位：时)之间的关系满意如图所示的曲线，当t∈[0，1.5)时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[1.5，6]时，曲线是函数y＝log a(t＋2.5)＋5(a＞0，a≠1)图象的一部分，依据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式；(2)问服药多久后起先有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？(精确到0.1)(参考数据≈1.414)22．(本小题满分12分)若在定义域内存在实数x0，使f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0.(1)请推断函数f(x)＝是否有漂移点？并说明理由；(2)求证：函数f(x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点；(3)若函数f(x)＝lg在(0，＋∞)上有漂移点，求实数a的取值范围．章末综合测评(四)1．C2．B3．B4．A5．D6．B7．A8．B9．BCD[由题意可得a a-2＋2＝3恒成立，故a＝2，A错误；依据题意，得a＝2，∴f (x)＝2x+1＋2，∴f (1)＝22＋2＝6，故B正确；∵f (x)＝2x+1＋2，∴f (x)为R上的增函数，C正确；f (x)＝2x+1＋2>10，解得x>2，D正确．故选BCD．]10．CD[因为b a＝4，所以log b4＝a，故a＋log2b＝log b4＋log2b＝2log b2＋log2b＝3，设log2b＝x，则log b2＝故x＝3，解得x＝1或2，当x＝1时，log2b＝1，故b＝2，a＝log24＝2，故a＋b＝4；当x＝2时，log2b＝2，故b＝4，a＝log44＝1，故a＋b＝5．故选CD．]11．ABC[f (x)＝lg (|x－2|＋1)，所以f (x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，故A正确．画出函数的图象，如图所示，所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC．]12．BC[∵正实数x，y满意log2x＋log<∴log2x－<log2y－．易知f (x)＝log2x－(0，＋∞)上为增函数，故x<y，∴>x3<y3，故A错误、B正确；∴y－x>0，y－x＋1>1，ln (y－x＋1)>0，故C正确；2x－y<20＝1，故D不肯定正确．故选BC．] 13．[因为f (x)＝R上的奇函数，所以f (0)＝0，即＝0，所以a ＝．经检验，a＝．]14．g(x)＝＋2(答案不唯一) [函数f (x)＝a x-1＋1中，令x－1＝0，解得x＝1，f (1)＝a0＋1＝2，所以f (x)的图象恒过点A(1，2)．取g(x)＝2，则g(1)＝2，满意条件①；g(x)＝g(－x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则g(x)是偶函数，满意条件②；易知g(x)在(0，＋∞)内单调递减，满意条件③．]15.37.5 [由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝60，所以，60＝30＋(90－30)e-14k，可得e-14k＝再经过28分钟后，该物体的温度为θ＝30＋(90－30)e-42k＝30＋(90－30)(e-14k)3＝37.5．]16．(1)2(2)或[(1)设f (x)＝xα，依题意可得9α＝3，∴α＝，f (x)＝，∴m＝f (8)＝＝2．(2)g(x)＝a，∵x∈[16，36]，∴∈[4，6]，当0<a<1时，g(x)max＝a4，g(x)min＝a6，由题意得a4＝2a6，解得a＝；当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，由题意得a6＝2a4，解得a＝．综上，所求实数a的值为或．]17．解：(1) (×)6＋×＋lg 500－lg 0.5＝23×32＋3×4＋lg ＝72＋12＋3＝87．(2)依题意有x＝log272，y＝log372，＝log722，＝log723，所以＋＝3log722＋2log723＝log72(8×9)＝1．18．解：(1)将点(－2，9)代入f (x)＝a x(a>0，a≠1)中得a-2＝9，解得a＝∴f (x)＝．(2)∵f (2m－1)－f (m＋3)<0，∴f (2m－1)<f (m＋3)．∵f (x)＝∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴实数m的取值范围为(4，＋∞)．19．解：(1)由①可知，＋＝0，即解得由②可知函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，则由③可知，函数y＝log b x ＋3(b＞0，且b≠1)过定点(1，3)，则综上，三个条件中任选一个，均有即f (x)＝a x过(1，3)，即a＝3，f (x)＝3x．g(x)为偶函数．证明如下：g(x)＝f (x)＋＝3x＋3－x，x∈R，g(－x)＝f (－x)＋＝3x＋3－x＝g(x)，∴g(x)为偶函数．(2)log a(1＋x)＜log a(2－x)，即log3(1＋x)＜log3(2－x)，可化为2－x＞1＋x＞0，∴－1＜x＜．即不等式log a(1＋x)＜log a(2－x)的解集为．20．解：(1)由已知得得解得a＝4，b＝2．(2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)，令f (x)＝0得4x－2x＝1，即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝，又2x>0，∴2x＝，解得x＝log2．(3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t，则g(t)＝t2－t＝－，t∈[1，16]，所以g(x)∈[0，240]．21．解：(1)当0≤t<1.5时，由图象可设y＝k(t－1)2＋4，将点(0，0)的坐标代入函数表达式，解得k＝－4，即当0≤t<1.5时，y＝－4(t－1)2＋4，当1.5≤t≤6时，将点(1.5，3)的坐标代入函数y＝log a(t＋2.5)＋5中，解得a＝．故y＝(2)令－4(t－1)2＋4≥2，解得1－≤t≤1＋0.3≤t≤1.7，又0≤t<1.5，∴0.3≤t<1.5，故服药0.3小时之后起先有治疗效果，＋5≥2，解得－2.5<t≤5.5，又1.5≤t≤6，故1.5≤t≤5.5，综上，0.3≤t≤5.5，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时．22．解：(1)假设函数f (x)＝“漂移点”x0，则2，x0＋1＝0，因为此方程无实根，与题设冲突，所以函数f (x)＝．(2)证明：令h(x)＝f (x＋1)－f (x)－f (1)＝(x＋1)2＋3x+1－(x2＋3x)－4＝2×3x＋2x－3，所以h(0)＝－1，h(1)＝5．所以h(0)h(1)<0．又h(x)的图象在(0，1)上连续，所以h(x)＝0在(0，1)上至少有一个实根x0，即函数f (x)＝x2＋3x在(0，1)上存在漂移点．(3)若f (x)＝lg (0，＋∞)上有漂移点x0，所以lg ＝lg lg a成立，即a，a>0，整理得a＝由x0>0，0<<1，则0<a<1．则实数a的取值范围是{a|0<a<1}．。
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质量检测(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若函数y ＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．无法判断D ．等于0[解析] 由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．[答案] C2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝ B ．y ＝2－x C ．y ＝D ．y ＝1x[解析] 易知函数y ＝2－x，y ＝，y ＝1x 在区间(0，＋∞)上单调递减，函数y ＝在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.[答案] A3．若集合M ＝{y|y ＝2x }，P ＝{x|y ＝log 2x －13x －2}，则M ∩P ＝( )A.⎝⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞) [解析] 集合M 表示函数y ＝2x 的值域，为(0，＋∞)；集合P 表示函数y ＝log 2x －13x －2的定义域，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x>23且x ≠1，故选D.[答案] D4．函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(0,1) C ．(2，e)D ．(3,4)[解析] f(1)＝ln2－2＝ln 2e 2<ln1＝0， f(2)＝ln3－1＝ln 3e >ln1＝0，所以函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是(1,2)． [答案] A5．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lnx ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为( ) A.1ln2 B ．－1ln2 C ．－ln2D ．ln2[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2.[答案] C6．函数f(x)＝4x ＋12x 的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称[解析] 易知f(x)的定义域为R ，关于原点对称．∵f(－x)＝4－x ＋12－x ＝1＋4x2x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．[答案] D7．已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c<b<aB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b[解析] ∵c ＝0.30.2<0.30＝1，a ＝log 27>log 24＝2,1<b ＝log 38<log 39＝2，∴c<b<a.故选A.[答案] A8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[解析] f(x)≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1，或x>1，故选D.[答案] D9．在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a>0，且a ≠1)的图象可能是( )[解析] 当0<a<1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数y ＝1a x 的图象过定点(0,1)且单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递减，D 选项符合；当a>1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数y ＝1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减，函数y ＝log a⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递增，各选项均不符合，综上，选D.[答案] D10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥a－x ，x<a ，若函数f(x)存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥a－x ，x<a的图象如图：若函数f(x)存在零点，则实数a 的取值范围是(0，＋∞)，故选D.[答案] D11．函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[－2,4]D ．(－4,4][解析] 因为f(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2－ax ＋3a在[2，＋∞)上单调递增且恒为正，所以⎩⎨⎧a 2≤2，22－2a ＋3a>0，即－4<a ≤4，故选D.[答案] D12．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝2，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0.当x>0时，方程为x ＝2，此时方程f(x)＝x 只有1个解； 当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2，此时方程f(x)＝x 有2个解，所以方程f(x)＝x 共有3个解．[答案] C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．[解析] 设f(x)＝x 3－2x －5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．[答案] (2,3)14．若函数f(x)＝a x －x －a(a>0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．[解析] 函数f(x)的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有唯一交点，故a>1.[答案] (1，＋∞)15.如右图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝，y ＝，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．[解析] 由图象可知，点A(x A,2)在函数y ＝的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12.点B(x B,2)在函数y ＝的图象上，所以2＝，x B ＝4.所以点C(4，y C )在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，所以y C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫224＝14.又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1416．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最小值是________．[解析]y＝－3·2x＋5＝12(2x)2－3·2x＋5.令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，于是y＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12，1≤t≤4.当t＝3时，y min＝1 2.[答案]1 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：(2)log34273＋lg25＋lg4＋7log72.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a x(a>0，且a ≠1)，且函数的图象过点(2,1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(m 2－m)<1成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)∵函数f(x)的图象过点(2,1)， ∴f(2)＝1，即log a 2＝1，解得a ＝2， 因此，f(x)＝log 2x(x>0)． (2)f(m 2－m)＝log 2(m 2－m)， ∵f(m 2－m)<1且1＝log 22， ∴log 2(m 2－m)<log 22，该不等式等价为：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m>0，m 2－m<2，解得－1<m<0或1<m<2，∴实数m 的取值范围为(－1,0)∪(1,2)．19．(本小题满分12分)定义在R 上的偶函数y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为－12，求满足f()≥0的x 的取值集合．[解] ∵－12是函数的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∵y ＝f(x)在(－∞，0]上递增，f()≥0＝f(－12)∴－12≤≤0解得1≤x ≤2 又y ＝f(x)为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，且在[0，＋∞)上单调递减， 又f()≥0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∴0≤≤12解得12≤x ≤1综上所述，x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.20．(本小题满分12分)已知f(x)＝＋4，x ∈[2,4]．21．(本小题满分12分)近几年，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P ＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．(1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln0.2≈－1.61，ln0.3≈－1.20，ln0.4≈－0.92，ln0.5≈－0.69，ln0.9≈－0.11)[解] (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝90%P 0. 于是有90%P 0＝P 0e －5k . 解得k ＝－15ln0.9(或0.022)．解得t ＝ln0.415ln0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．22．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x4x ＋1. (1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)求函数f(x)的值域．[解] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵函数f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x 4－x ＋1＝－2x1＋4x. 又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴2f(0)＝0，f(0)＝0.故当x ∈(－1,1)时，f(x)的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，0，x ＝0，－2x4x ＋1，x ∈(－1，0).(3)由(2)知f(x)＝2x4x ＋1在(0,1)上递减，从而由奇函数的对称性知f(x)在(－1,0)上递减．∴当0<x<1时，f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2141＋1，2040＋1，即f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12； 当－1<x<0时，f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2040＋1，－2－14－1＋1，即f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25； 当x ＝0时，f(x)＝f(0)＝0.故函数f(x)在(－1,1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.。