显函数.隐函数.参数方程求导总结
隐函数与参数式函数的求导法则
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升t分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500 两边对 t 求导
h
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m时,tan 1 ,sec2 2 ,
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
§4.3 隐函数与参数式函数的求导法则
一、隐函数求导法则 二、由参数方程确定的函数的求导法则 三、极坐标式求导 四、相关变化率问题
一、隐函数求导法则
若由方程 函数为隐函数 .
可确定y是x的函数 , 则称此
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
F(x, y) 0
y f (x) 隐函数的显化
y
3 2
3
3 4
法线斜率为
故切线方程为 y即3 3 3 (x 2)
2
4
法线方程为 即
处的
解:解法1 应用隐函数的求导方法，得
（4.15）
于是 上式两边再对x求导，得
解法2 由(4.15)两边再对x求导，得
联合（4.15）解得
例5. 求
的导数 .
解:解法1 两边取对数 , 化为隐式
隐函数及参数方程确定函数求导法则
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
【考研数学】2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数笔记小结
第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参
数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数：
隐函数：
一般的
例1 求由方程确定的隐函数的导数.
例2 设由所确定，求
例3 设求.
例4 设求
.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设在上可导，，则
若二阶可导，则
例5 设 求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
求摆线在处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
秒时水面上升的速率.现以每秒
给容器中加水.试求
内容小结
1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式
2）等式两端对 t 求导
作业P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.。
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的求导法则 二、对数求导法则 三、参数方程求导法则
一、隐函数的导数
1.显函数与隐函数 y f ( x) 形式称为显函数.
由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
2.隐函数求导法则:
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
xsin x (cos x ln x sin x ) x
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
若方程 F(x, y) 0确定的是y关于x的函数，
则要求y关于x的导数的步骤如下：
（1）将方程 F(x, y) 0两端关于x求导，其中y
视为x 的函数.
（2）解上式关于 y 的方程，得出 y 的表达式，
在表达式中允许保留y
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
1 x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsin x ( x 0), 求y.
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
隐函数与参数方程的导数(2)
2021/4/22
2
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铃
把一个 隐函数 化为 显函数 , 称为 隐函数的显化
例如由方程 4x y3 1所确定的隐函数，可 由方程 解出y ，得显函数 y 3 4x 1.
注意: 并不是所有的隐函数都可化为显函数. 如 方程 xy ex ey 0 所确定的隐函数就不能显化。
§3.2.5隐函数及由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数求导法 二、由参数方程所确定的函数的导数
2021/4/22
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1铃
一、隐函数的导数
❖显函数与隐函数
(1) 显函数: 我们把函数y可由自变量x的解析式 y f ( x)来表示的这种函数,称为显函数.
例如 ysin x yln xex 都是显函数
例1 求yx sin x (x>0)的导数 解法一 两边取对数 得
ln ysin xln x 上式两边对x 求导 得
1 y
y
cos
xln
x sin
x
1 x
y xsinx(cos xln x sin x) x
解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.
yx sin xe sin x·ln x
ln y ln(x 1) 2 ln( 3x 1) 1 ln( x 2)
3
3
上式两边对 x求导 :
1 y
y
x
1
1
2 3
31 3x
1
1 3
x
1
2
y
(x
1)
3
(3x
1)2 ( x
2)
x
2.4-隐函数和由参数方程所确定的函数求导法
（1）由多个因式相乘、除、乘方或开方的函 数；
（2）形如 y u(x)v(x) 的幂指函数.
例2.4.3 已知
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
,求
y/ .
解 等式两边取自然对数，得
ln y ln(x 1) 1 ln(x 1) 2ln(x 4) x 3
解 两边对x求导，( y5 2y x) 0
5y4 y 2y 1 0
y
1 5y4
2
例2.4.2 已知 y3 3xy 1 ， 求 y x0 .
解 两边对x求导，3y2 y 3y 3xy 0
y
y y2
x
当
x0
时， y 1 ，所以
y y2
x
x0
1。
y1
2.4.2 对数求导法
2.4 隐函数和由参数方程所确定的 函数求导法
2.4.1 隐函数求导法 前面我们所见到的函数中，自变量和函数的地 位总是一目了然的，我们称这种函数为显函数. 还 有另一种形式的函数，变量 x 、y 之间的函数关系 是隐涵在方程 F(x, y) 0 中，顾名思义称这种函数 为隐函数.
例2.4.1 求由方程 y5 2y x 0 所确定的隐函数的 导数 y/ .
上式两边对x求导，得
y/ 1 1 2 1 y x 1 3(x 1) x 4
y/
(
x (x
1)3 x 4)2ex
1
[
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1]
例2.4.4 求函数 y xx 的导数. 解 等式两边取自然对数，得
导数的基本公式与运算法则(3)
x 2t , 2 y t ,
x t 2
消去参数 t
2 x x y t 2 ( )2 2 4
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例 解 上式两边取对数，得 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 上式两边对 x 求导，得 a a b y ln b x x y
( x 1)3 x 1 例： 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边对x求导.
例： 设 x4 xy y4 1, 求y在点 (0,1)处的值 .
解 方程两边对x求导得
3 4x y xy 4 y y 0 3
代入 x 0, y 1得
y
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
4
因x=0时y=0, 故
例：设曲线C的方程为 x 3 y 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
解 方程两边对x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
D3_4 隐函数、参数方程的求导
t , t 均可导， 且
t 0 时， 有：
(t ) 0
d y d y d t d y 1 t d t ; d x d t d x d t d x t d t dt
时， 有
F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I
y 若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y x 或 x x y
则称该隐函数可以被显化。
3 例如： 方程 x y 3 1 0 就确定了一个显函数 y x 1 ;
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向？
解: 先求速度大小:
dx dy 速度的水平分量为： v1 , 垂直分量为： v2 gt , dt dt
故抛射体速度大小
dx dy v dt dt
再求速度方向 设 为切线倾角， 则
2
2
v v2 gt
dy
d y sin x d cos x y 0
y cos x sin x y
sin x y sin x
dx
y cos x sin x y dy 由此得： sin x y sin x dx
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说明:
1) 对幂指函数
y u
v
可用对数求导法求导 :
ln y v ln u
1 u v y v ln u y u uv v y u v ln u u
注意:
dy dv v 1 du v u ln u vu dx dx dx
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
参数方程含有隐函数求导
显函数：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值是，由这式子能确定对应的函数值。
如y=sin x,y=ln (x+2)
隐函数：一般地，如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x取区间内任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。
如e^y+xy-e=0。
隐函数对x求导：
①直接对x求导法：把y看成常数，直接用公式对x求导，y不变。
②两边取对数求导法：这种方法适用于含有幂指数函数。
两边先取对数，再进行求导。
三、由参数方程所确定的函数导数
参数方程：
一般地，若参数方程
确定的y与x的函数关系，则称此函数关系所表达的函数由参数方程所的函数
参数方程的导数：
四、相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率
间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
3.4 隐函数及参数方程所确定函数的导数
dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y 由原方程知 x 0 时 , y 0 , 解得 , dx x e y
dy dx
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
x2 y 2 3 例3 求椭圆 1在点(2, 3 )处的切线方程. 16 9 2
sec2
dt
作业 P88 T1(3) T2(3) T4(3) T5(1)
于是
即
4x 4x 2x y ' y( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1
( x 2) 4x 4x 2x y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
2 2 3
3
二、参数方程所确定的函数的导数 若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的函数 关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，应用复合函数的求
导法可得一个含有 y 的方程，解出 y 即得隐函数 的导数.
例1
设y y ( x)是由方程 sin xy ln( x y ) 0所确定
dy 的隐函数，求 . dx 解 方程两边对x求导，注意到y是x的函数，有
1 y cos( xy)( y xy) 0 x y
x ( t ), y ( t ), t ( , )
所确定的函数． 例如，不计空气阻力时，抛射体的运动轨迹 可表示为 x v t
1 1 2 y v2 t gt 2
若消去参数t, 有
v2 g 2 y x x 2 v1 2v1
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数及其参变量函数的求导方法
x (t ) 从而导函数的参数式表 示式为： ( t ) . y ( t ) ( t 0 ) dy 当t 0给定时，则 t t0 . dx ( t 0 )
平面曲线参数方程的一般形式
x ( t ), y ( t ),
t [ , ]为参数.
(t )2 (t )2 0. 这里x ( t )与y ( t )都可导，且
若 (t ) 0时, 有
dx dx d t dx 1 ( t ) d y d t d y d t d y ( t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
隐函数和参数方程求导 相关变化率
张世涛
主要内容：
一、隐函数的导数 二、由参数方程函数的导数
由方程 F( x, y ) 0 所确定的函数 y y( x ) 称为隐函数.
y f ( x ) 形式的函数称为显函数 .
F ( x, y) 0
例如： 例如：
y f ( x)
隐函数的显化
可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?
隐函数求导法
若 确定了隐函数 y y( x ) ，怎样求y ？ 两边对 x 求导
(含导数 y 的方程)
注意： 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.
( ( t ) 0)
问： 能否用显式求导法求出( x
sin x
) ?
( x 1) x 1 例5 设 y , 2 x ( x 4) e
5.3隐函数与参数方程求导法则
3x + 4 y − 8 3 = 0
例3 求由方程 e
函数 y′( x ) 。
解 对方程
x + y − xy − e = 0 确定的隐函数 y = y ( x) 的导
e x + y − xy − e = 0
的两边关于 x 求导， 注意到 y 是 x 的函数，由复合函数的求导法则
(e x + y − xy − e)′ = (e x + y )( x + y )′ − ( xy )′
x = v1t 例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 2 y = v2 t − 1 g t 2 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解 先求速度大小:
dx dy = v1 , 垂直分量为 = v2 − g t , 速度的水平分量为 dt dt
dx 2 d y 2 2 2 v = ( ) + ( ) = v + ( v − gt ) 故抛射体速度大小 1 2 dt dt
F ( x , y1 ) = F ( x , a 2 − x 2 ) ≡ 0
y2 = − a 2 − x 2 ∈ B = ( −∞, 0], F ( x , y2 ) = F ( x , − a 2 − x 2 ) ≡ 0
例如方程 e xy + x 2 y − 1 = 0 所决定的隐函数就无法将它化成显函 数 y = f ( x ) 形式。
由此解得
= e x + y (1 + y ′) − y − xy ′ = 0 ，
y′ =
ex+ y − x
y − ex+ y
例4
例5
a a b x 例如, y = ( x > 0, a > 0 , b > 0 , ≠ 1 ) b b x a
2.2.4 参数方程、隐函数的导数
2x 2 y b2 x 证明： 2 − 2 y′ = 0 ， y′ = 2 ， 证明 a b a y
∴ 过点 P0 的切线斜率为 k = y′
2
x = xo y = yo
b 2 xo = 2 ， a yo
b xo 所求的切线方程为: y − yo = 2 ( x − xo ) . 所求的切线方程为: a yo
π
dθ dt
θ=
π
3
= −0.075 rad / s .
增加而减少。 负号表示 θ 随时间 t 增加而减少。
16
参数方程、 参数方程、隐函数的导数及相关变化率
求相关变化率的步骤： 求相关变化率的步骤
（1）建立变量 x , y , L 之间的关系式 F ( x , y , L) = 0 ； ）
求导（ （2）将关系式 F ( x , y ,L) = 0 两边对 t 求导（注意到 ） 的函数） ，从而得各变量对 x , y , L 都是 t 的函数） 从而得各变量对 t 的变 ， 化率之间的关系式； 化率之间的关系式；
4
参数方程、 参数方程、隐函数的导数及相关变化率
例 1．求由方程 x + y = e ．
2 2
arctan
y x
dy( x + y ) = arctan , 2 x
dy dy dy dy 2x + 2 y x − y x+ y x −y 1 1 dx = dx = dx ⋅ ⋅ dx 2 , , 2 2 2 2 2 2 y 2 2 x +y x x +y x +y 1+ ( ) x
（3）由导数的几何意义求出两条心形线在交点处的切线的 斜率 k1 和 k 2 ；
隐函数及参数方程求导
例如 消去参数 问题 消去参数困难或无法消去时，应如何求导?
由复合函数及反函数的求导法则得
例7 已知椭圆的参数方程为 求 解
例8
解
所求切线方程为
例9
解
四、相关变化率
相关变化率问题
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
例11
解
仰角增加率
例12
解 水面上升之速率 4000m
五、小结
思考题
思考题解答 不对．
练 习 题
练习题答案
感谢各位的观看
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三、参数方程求导
一、隐函数的导数
定义
隐函数的显化
问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1
解 解得
例2
解 故所求切线方程为 显然通过原点.
例4
解
二、对数求导法
等式两边取对数得
例5
解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例6
解
等式两边取对数得
三、由参数方程所确定的函数的导数
第二章第四讲---隐函数求导和参数式求导
第四讲隐函数的导数和参数式求导一、隐函数的导数若由方程可确定y 是x的函数,则称此函数为隐函数.若能由这种形式表示的函数, 称为显函数.例如,可确定显函数可确定y 是x的函数,但此隐函数不能显化.问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导方法:用复合函数求导法直接由方程两边对x求导.y(含导数的方程)解0=+-+dxdy e e dx dy x y y x 解得：,yxex ye dx dy +-=,,00==y x 000===+-=∴y x yxx ex y e dxdy .1=方程两边对求导：x例1 求由方程所确定的隐函数的导数0=+-yxe e xy .,0=x dxdy dx dy y1)对幂指函数)()(x v x u y =可用对数求导法求导:uv y ln ln =y y '1u v ln '=uv u '+)ln (uv u u v u y v'+'='隐函数求导的这种方法需要说明以下几点:例2. 求的导数.解: 两边取对数：两边对x 求导xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=')1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅='∴)sin ln (cos sin xx x x x x+⋅=2) 有些显函数用对数求导法求导很方便.再如,两边取对数=y ln 再当作隐函数求导，两边对x 求导='yy b a ln x a -x b ++bax ln +-]ln ln [x b a ]ln ln [a x b -二、参数式求导例如参数方程⎩⎨⎧==,,22t y tx 2x t =222)(x t y ==42x =xy 21='∴消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?t 若参数方程确定y 与x 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。
()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩则0≠')(t ϕ时,有=x y d d x t t y d d d d ⋅tx t y d d d d 1⋅=)()(t t ϕψ''=可导, 且其中若参数方程可确定一个y 与x 间的函数关系，()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩函数具有单调连续的反函数，这个反函数与()x t ϕ=1()t t ϕ-=()y t ψ=构成了复合函数，1[()]y t ψϕ-=复合函数求导法则反函数求导法则)()(t t ψϕ''=0≠')(t ψ时,有=y x d d y t t x d d d d ⋅ty t x d d d d 1⋅=(此时x 看成是y 的函数)若上述参数方程中二阶可导,)()(d d t t x y ϕψ''=)(t x ϕ=且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得)(22dx dy dx d dxy d =dx dt t t dt d ))()((ϕ'ψ'=)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=.)()()()()(t t t t t 3ϕϕψϕψ''''-'''=d ()d ()y t x t ψϕ'='()()()d t dx t ψϕ'='1()()()d t dx dt t dtψϕ'='tt t a tt a t t x y cot cos sin sin cos )()(d d -=-=''=2233ϕψ解:)(dx dydx d dx y d =22(cot )ddtt dt dx =-2213csc sin cos t a t t =ta tcos sec 34=例3求由参数方程所确定的函数的二阶导数。
显函数.隐函数.参数方程求导总结
显函数.隐函数.参数方程求导总结我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。
显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。
如：()sin cos x x'=`()xxe e '=`()arcsin x '=刚开始的时候是一些很明显的函数。
如：sin y x =. 2455y x x =++ x y e =等。
而后来的我们又学习了一些复合函数。
如y =1siny x =等。
这时我们就必须设()y f u =，而()u x ϕ=则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的导数为dy dy du dx du dx =，或()()()y x f u x ϕ'''=。
等到了大学我们就碰到了像310x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。
而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。
这样就可以用显函数的求导方法了。
例如310x y =-=可以化为y =但实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法：例 方程0ye xy e +-=所确定的隐函数的导数dydx 。
解 方程两边分别对x 求导()()0yd e xy e dx '+-=y dy dy e y x dx dx ++=从而y dy y dx x e =-+ yx e +=()例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22d y dx 。
解 方程两边对x 求导()1cos 02x y y '⎛⎫'-+= ⎪⎝⎭11cos 02dy dy y dx dx -+= 22cos dy dx y =-方程两边再对x 求导()()22322sin 4sin 2cos 2cos dy dxd y y y dx y y --==--之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。
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显函数.隐函数.参数方程求导总结
我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。
显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。
如：()sin cos x x '=`
()x
x
e e '
=`
()2
1arcsin 1x x
'=
-等等。
刚开始的时候是一
些很明显的函数。
如：sin y x =. 2
455y x x =++ x
y e =等。
而后来的我
们又学习了一些复合函数。
如
x y e =
1
sin
y x =等。
这时我们就必须
设()y f u =，而()u x ϕ=则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的导数为dy dy du dx du dx =，或()(
)()y x f u x ϕ
'''=。
等到了大学我们就碰到了像
3
10x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。
而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。
这样就可以用显函
数的求导方法了。
例如310x y =-=可以化为3
1y x =-。
但实际问题中，
有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法：
例 方程0y
e xy e +-=所确定的隐函数的导数dy
dx 。
解 方程两边分别对x 求导
(
)()0y
d e xy e dx '+-=
y dy dy e y x dx dx ++=
从而y
dy y dx x e =-+ y
x e +=()
例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22
d y dx 。
解 方程两边对x 求导
()1cos 02x y y '⎛⎫'
-+= ⎪⎝⎭
11cos 02dy dy y dx dx -+=
22cos dy dx y
=
-
方程两边再对x 求导
()()223
22sin 4sin 2cos 2cos dy dx
d y y y dx y y --==
--
之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。
但也有相同的地方，下面通过具体例子来说明这种方法：
例 已知参数方程为sin cos x t y t =⎧⎨
=⎩（t 为参数），求dy
dx 。
解 由公式()()cos sin cos sin dy dt t dx dt
t
t dy dy dt
t dx dt dx
t
t '===
=-
'
例 已知参数方程2
21t x y t ⎧=⎨=-⎩（t 为参数），求2
2
d y dx 。
解 由公式
()()2
2
11dy dt dx t dt
t dy dy dt
dx dt dx
t
'-====-
'
则
()
()
()
()2 21
23
2
1
dy
dx
dy
dx t t
dx
t
x dt
t
d
d
d y dy dt dt
dx dx dt dx t
'
'-
⎛⎫
=====
⎪'
⎝⎭
综上所述就是我在上学期对显函数.隐函数.参数方程求导总结，希望老师给予评价。