高中数学人教A版选修4-5教学案第三讲 一 二维形式的柯西不等式
柯西不等式教学设计
3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计一、设计思想：本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。
二、教材分析：二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊到一般的研究过程。
本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它的简单应用。
三、学情分析：学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最近发展区”。
另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。
四、教学目标1、知识与技能目标（1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
（2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。
2、过程与方法目标通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。
3、情感态度与价值观简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。
五、教学重难点（1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值六、教学过程（一）定理探究设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α=（b a ,） β=（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→•=+而2||a α→=，2||c β=+||||cos αβαβθ•=⋅•，cos 1θ≤||||||αβαβ∴•≤⋅，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。
3.1《二维形式的柯西不等式》教案(新人教选修4-5)
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:
《二维形式的柯西不等式
》教案
一、教Байду номын сангаас目标
①认识二维形式的柯西不等式的三角形式
②柯西不等式的一些简单应用
二、教学重点：
①认识二维形式的柯西不等式的几种形式
②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系
新
课
讲
授
过
程
引探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据△ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
人教A版选修4-5 3.1 二维形式的柯西不等式 学案
一 二维形式的柯西不等式 第9课时 二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d )≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d 为非负实数)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)定理3：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)二维形式的三角不等式的推论用x 1－x 3代替x 1，用y 1－y 3代替y 1，用x 2－x 3代替x 2，用y 2－y 3代替y 2，代入定理3，得x 1－x 32＋y 1－y 32＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 22＋y 1－y 22(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．知识点一 证明不等式1．已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ＋，求证： (a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ a 2b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.2．(2019·福建泉州检测)设m 2x 2＋n 2y 2＝1，求证：x 2＋y 2≥(m ＋n )2.证明：因为m 2x 2＋n 2y 2＝1，所以x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2x 2＋n 2y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2. 知识点二 求最值3．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：∵f (x )＝2·sin 2x ＋cos x .又(2·sin 2x ＋cos x )2≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝3， ∴f (x )＝ 2 sin 2x ＋cos x ≤ 2＋1sin 2x ＋cos 2x＝3，当且仅当cos x ＝33时取等号，∴f (x )的最大值为 3. 答案：A4．(2019·河南师大附中月考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2， 所以5(m 2＋n 2)≥52，得m 2＋n 2≥5，所以m 2＋n 2≥ 5.答案： 5知识点三 柯西不等式的向量形式的应用5．已知θ为锐角，a >0，b >0，用柯西不等式的向量形式证明：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 证明：设m ＝⎝⎛⎭⎪⎫acos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)， 则m ·n ＝a cos θ·cos θ＋bsin θ·sin θ＝a ＋b .∴|a ＋b |＝|m ·n|≤|m|·|n| ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2. ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.6．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x, 1＋sin 2x )， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x ＝m ·n . 由柯西不等式，得|m ·n|≤|m||n|＝32＋42·cos 2x ＋1＋sin 2x ＝5 2. 当且仅当m 与n 共线时取等号． 此时3 1＋sin 2x ＝4cos x ， 解得sin x ＝75，cos x ＝325.∴f (x )的最大值为5 2.一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1B ．2C. 2 D．4解析：∵(ax＋bx)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，∴ax＋by≤ 2.答案：C2．(2019·河北邢台训练)设a，b，c，d，n，m∈R＋，且P＝ab＋cd，Q＝ma＋nc·bm＋dn，则P，Q之间的大小关系是( )A．P≥Q B．P≤QC．P＝Q D．P，Q大小关系不确定解析：Q＝ma＋nc·bm＋dn≥ab＋cd2＝ab＋cd＝P，故选B.答案：B3．已知4x＋9y＝2，x>0，y>0，则x＋y的最小值为( )A．5 B.5 2C.252D.254解析：由4x＋9y＝2，得x＋y＝[x2＋y2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x2＋⎝⎛⎭⎪⎫3y22≥12⎝⎛⎭⎪⎫x·2x＋y·3y2＝12(2＋3)2＝252，当且仅当x·3y＝y·2x，即x＝5，y＝152时，等号成立，∴x ＋y 的最小值为252. 答案：C4．(2019·南宁二中、柳州中学联考)若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5)解析：由柯西不等式，得(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2，因为a 2＋b 2＝10，所以(a －b )2≤20，所以－25≤a －b ≤25，故选A.答案：A5．若直线x a ＋y b＝1，通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1D.1a 2＋1b2≥1解析：解法一：因为点M (cos α，sin α)在单位圆x 2＋y 2＝1上，依题意知，直线与单位圆相交，所以原点到直线的距离小于或等于1，即1⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≤1，∴1a 2＋1b2≥1. 解法二：用柯西不等式的向量形式求解． 令m ＝(cos α，sin α)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1b .则m ·n ＝cos αa ＋sin αb＝1，|m |＝1，|n |＝1a2＋1b2.由m ·n ≤|m||n|，得1a 2＋1b 2≥1，∴1a 2＋1b2≥1.答案：D 二、填空题6．已知实数m ，n >0，则a 2m ＋b 2n ________(填“≥”“>”“≤”或“<”)a ＋b2m ＋n .解析：因为m ，n >0，利用柯西不等式， 得(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥a ＋b 2m ＋n .答案：≥7．设a ＝(－2,1)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________． 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b|≤|a||b|＝65，当且仅当a ＝k b 时取等号， ∴－65≤a ·b ≤6 5. ∴a ·b 的最小值为－6 5. 答案：－6 58．(2019·广东揭阳一中期末)若直线x cos θ＋y sin θ＝2(0≤θ≤π)和椭圆x 2＋3y 2＝6有公共点，则θ的取值范围是________________．解析：由柯西不等式，得22＝(x cos θ＋y sin θ)2＝(x ·cos θ＋3y ·13sin θ)2≤(x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ＋13sin 2θ＝6cos 2θ＋2sin 2θ，解得cos 2θ≥12，∴cos θ≤－22或cos θ≥22，∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤π4或34π≤θ≤π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪0≤θ≤π4或3π4≤θ≤π三、解答题9．(2019·福建泉州质检)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值．(2)求at ＋12＋bt 的最大值． 解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ， 则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.(2)由(1)知a ＝－3，b ＝1.∴－3t ＋12＋t ＝3·4－t ＋t ≤32＋12·4－t2＋t2＝24－t ＋t ＝4.当且仅当3·t ＝4－t ，即t ＝1时，等号成立， ∴(－3t ＋12＋t )max ＝4.10．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证： 2a ＋1＋b ＋13≤222. 证明：令α＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12， b ＋13，β＝(2，1)，则 |α·β|＝2a ＋1＋ b ＋13. 而|α|＝a ＋12＋b ＋13＝116， 又|β|＝3， ∴|α||β|＝222.由|α·β|≤|α||β|，得 2a ＋1＋b ＋13≤222.。
高二数学人教A版选修4-5教案：3.1二维形式的柯西不等式 Word版含解析
3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。
（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2， 当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。
数学人教A版选修4-5学案：课堂导学 3.1二维形式的柯西
课堂导学三点剖析一,利用二维形式的柯西不等式证明不等式【例1】(1)如果a,b>0,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.(2)如果a,b>0且a≠b,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.证明：(1)(a3+b3)(a2b+ab2)=［(3a)2+(3b)2］［(a b)2+(b a)2］≥(3a·a·b+3b·b·a)2=(a2b+ab2)2,“=”成立的条件是3a·b·a=3b·a·b,即a=b时成立,但a≠b,故“＝”不成立.∴(a3+b3)(a2b+ab2)>(a2b+ab2)2.∴a3+b3>a2b+ab2.(2)(a5+b5)(a+b)=［(5a)2+(5b)2］［(a)2+(b)2］>(5a·a+5b·b)2=(a3+b3)2.由(1)知a3+b3>a2b+ab2,∴(a5+b5)(a+b)>(a2b+ab2)2=a2b2(a+b)2.∴a5+b5>a2b2(a+b)=a3b2+a2b3.∴原不等式成立.温馨提示要利用二维形式的柯西不等式,就需要想法把要证的不等式写成两数平方和与另两数平方和的乘积的形式或者出现“乘积和的形式”(即两个数的乘积与另两个数的乘积之和的形式).各个击破类题演练1设a,b,c均为正实数,且acos2θ+bsin2θ<c.求证:a cos2θ+b sin2θ<c.证明:∵acos2θ+bsin2θ<c(a,b,c>0),∴(a cos2θ+b sin2θ)2=［(a cosθ)·cosθ+(b sinθ)·sinθ］2≤［(a cosθ)2+(b sinθ)2］·(cos2θ+sin2θ)=acos2θ+bsin2θ<c.故a cos2θ+b sin2θ<c.变式提升1证明下列不等式:(1)a,b,c ∈R +,(a+b+c)(cb a 11++)≥4. (2)α为锐角,(1+αsin 1)(1+αcos 1)≥3+22. 证明:(1)(a+b+c)(c b a 11++)=［(a+b)+c ］(cb a 11++)≥(1+1)2=4. 等号当且仅当b a +1=k(a+b)且c 1=k·c 时取得, 即(a+b)2=c 2时取等号. (2)(1+αsin 1)(1+αcos 1)≥(1+ααcos sin 1∙)2 =(α2sin 21+)2≥(1+2)2 =3+22,等号当且仅当α=4π时取得,此时ααcos 1sin 1=且sin2α=1. 二、利用二维形式的柯西不等式求最值【例2】 直线l 经过第一象限内的点M(a,b),与x,y 轴的正半轴相交于点P,Q,求线段PQ 的最小值,及取得最小值时直线的方程.解析:设l 的方程为n y m x +=1(m,n>0), 则nb m a +=1, 引进待定常数(a 2α+b 2α)(α∈R ).由柯西不等式得(m 2+n 2)(a 2α+b 2α)≥(ma α+nb α)2=(ma α+nb α)2·12=(ma α+nb α)2(nb m a +)2 =［(ma α+nb a )(n b m a +)］2 ≥［(nb nb m a ma ∙+∙αα)2］2 =(11+++ααb a )4. 当且仅当ααb n a m =时,第一个不等式取等号;当且仅当n b nb m ama αα=即2121αα--=b n a m 时,第二个不等式取等号.因此当且仅当两个等号同时成立时,即α=21α-,亦即α=31时,(22n m +)(3232b a +)≥(3232b a +)4取等号. 所以|PQ|=22n m +≥(3232b a +)23,|PQ|min =(3232b a +)23.此时k=3ab m n -=-, ∴l:y-b=3a b -(x-a). 类题演练2设x>0,y>0,x+y≤4,求yx 11+的最小值. 解析：4(y x 11+)≥(x+y)(yx 11+) ≥(1+1)2=4, ∴yx 11+的最小值为1. 等号当且仅当x=y=2时取得.变式提升2 求椭圆2222by a x +=1的切线夹在两条坐标轴之间的线段的最小值. 解析:设M(x 0,y 0)是椭圆上任一点, 则220220by a x +=1. 经过M 点的切线为l:2020by y a x x +=1, l 与x,y 轴分别相交于点P(02x a ,0),Q(0,02y b ).|PQ|2=(02x a )2+(02y b )2 =［(02x a )2+(02y b )2］(220220b y a x +) ≥(02x a ·a x 0+02y b by 0·)2 =(a+b)2. 当且仅当b a by a x +==1320320即|x 0|=b a a a +,|y 0|=ba b b +时等号成立. 于是|PQ|min =a+b.三、利用二维柯西不等式解决其他问题【例3】 求经过点P(5,1)与椭圆4)3(9)2(22++-y x =1相切的切线方程. 解析：设直线方程为Ax+By+C=0,由经过点P(5,1)得C=-(5A+B).于是直线方程可表示为A(x-2)+B(y+3)=3A+4B.由柯西不等式得(3A+4B)2=［A(x-2)+B(y+3)］2=［3A·3)2(-x +2B·2)3(+y ］2 ≤(9A 2+4B 2)［4)3(9)2(22++-y x ］ =9A 2+4B 2.直线与椭圆相切时不等式取等号,即(3A+4B)2=9A 2+4B 2,解得B=0或B=-2A.所以要求的切线方程为x-5=0和x-2y-3=0.温馨提示研究直线与圆锥曲线的常规方法是采用代入消元,化为一元二次方程,然后利用根的判别式求解,因这类问题常含有待定字母,导致解题过程冗长,计算烦琐.本例引用柯西不等式解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以减少计算,增强直观.一些题目通过观察,简单拼凑,即可达到目的,并且解题后易于复查.因此,适当引用柯西不等式解决几何中的含参数问题,确实是一个十分有效的好方法.类题演练3已知直线y=(1-x)tanθ与双曲线-x 2+y 2cos 2θ=1相切(-2π<θ<2π).求切线方程和切点坐标. 解析:由柯西不等式,y 2=(1-x)2tan 2θ=［1·1+(-1)·x ］2tan 2θ ≤2(1+x 2)tan 2θ=2y 2cos 2θtan 2θ=2y 2sin 2θ⇒sin 2θ≥21. 当且仅当111-=x ,即x=-1时,sin 2θ=21, 此时,由-2π<θ<2π得θ=±4π. 所以切线方程为y=x-1和y=1-x, 切点为(-1,±2).变式提升3已知2x+y=1,求3x 2+4y 2的最小值. 解析:∵(3x 2+4y 2)·1219 =［(3x)2+(2y)2］·［(32)2+(21)2］ ≥(2x+y)2=1,∴3x 2+4y 2≥1912. 当且仅当21×3x=32×2y 时, 即y=193,x=198时,“＝”成立. 故3x 2+4y 2的最小值为1912.。
人教A版高中数学选修4-5课件第三讲一二维形式的柯西不等式
2．柯西不等式的代数形式：设a1、a2、b1、b2均
(a1b1＋a2b2)2，当且仅 为实数，则(a＋a)(b＋b)≥___________ a1b2＝a2b1 等号成立． 当___________
|α·β| 数k，使α＝kβ
β是零向量或存在实
x1y2＝x2y1
提示：不可以．当b· d＝0时上述式子不成立．
行探索．法一用重要不等式求解．
用柯西不等式证明不等式
例3
【名师点评】 利用柯西不等式时关键问题是找 出相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需 分析、增补(特别对数字1的增补：a＝1· a)变形等 ．
误区警示
例 3x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值． 已知
【错因】 理形式．
柯西不等式的构造形式出错不符合定
课堂互动讲练
考点突破 利用柯西不等式求函数最值 已知 3x2＋2y2≤6，求w＝2x＋y的最大值． 例1
【名师点评】
要证的不等式是利用了
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)的形式．
利用柯西不等式求代数式的最值
例2
【名师点评】
运用柯西不等式证明不等式的关
键在于构造两组数，并依照柯西不等式的形式进
方法感悟
柯西不等式的两个主要应用是证明不等式和求最值,
利用柯西不等式证明不等式，先使用拆，利用柯西不等式求最值一定要注意检验等号
成立的条件．
第三讲
柯西不等式与排序不等式
一
二维形式的柯西不等式
一 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式
学习目标
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几 何意义； 2．会证明二维柯西不等式及向量形式．
人教版高中数学A版选修4-5 第三讲3.1二维形式的柯西不等式课程教学设计
二维形式的柯西不等式1．教学目标知识与技能（1）认识二维形式的柯西不等式，了解它的结构特征,并理解其几何意义.（2）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.（3）知道一般形式的柯西不等式.过程与方法（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会从几何到代数的数学研究一般方法.（2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。
如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式，给出二维柯西不等式的几何意义等.（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——建立具体问题与柯西不等式之间的联系，经过恰当变形，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步学会化归转化思想的运用技术。
情感、态度与价值观（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式的向量形式和三角不等式的几何意义，体会数形结合的思想，逐步提高观察、归纳和主动获取知识的能力，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
（2）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，品尝成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。
（3）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,体会事物间的辩证统一，感受数学的形式美。
2 学情分析柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。
本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式和二维形式的三角形不等式，以及它们的几何背景。
二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。
高中数学人教A版选修4-5 3-1 二维形式的柯西不等式 教
∴ ≤0，即…..
③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式： 或
或 .
④提出定理2：设 是两个向量，则 .
即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）
→讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线）
⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证 .
证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）
六、布置作业：P37页，4，5，7，8，9
2.教学三角不等式：
1出示定理3：设 ，则 .
分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明
→变式：若 ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
三、应用举例：
例1：已知a,b为实数，求证
说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2：求函数 的最大值。
3.1二维形式的柯西不等式
教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
教学难点：理解几何意义.
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？
答案： 及几种变式.
2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证
2.求函数 的最大值.
例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证
分析：注意到 ，有了 就可以用柯西不等式了。
四、巩固练习：
1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2.已知x+2y=1,求x2+y2的最小值.
3、若 ， ，求证： .
五、课堂小结：
二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案
[核心必知]1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d )(a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)x 21＋y 21＋x 22＋y 22x 1，y 1，x 2，y 2∈R )．(2)推论：（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．[问题思考]1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝cd 吗？提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝cd不成立．2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线，且P1，P2在原点两旁时，等号成立.2·a2＋c2≥a＋c，设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b，同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：2(a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2)≥2(a＋b＋c)，∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2·(a＋b＋c)．——————————————————利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋.1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)．证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)，由柯西不等式得[(a 1)2＋(a 2)2](a 21＋a 22)≥(a 1a 1＋a 2a 2)2， 于是a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32≥(a 31＋a 32)2. 故a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32≥a 31＋a 32， 同理a 32＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 33≥a 32＋a 33， a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥a 33＋a 31.将以上三个同向不等式相加，即得a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32＋a 32＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 23＋ a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥2(a 31＋a 32＋a 33)．设a ，b ，c ，d 是4个不全为零的实数，求证： ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d2≤ 2＋12. [精讲详析] 本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件． ab ＋2bc ＋cd ＝(ab ＋cd )＋(bc －ad )＋(bc ＋ad )≤2[（ab ＋cd ）2＋（bc －ad ）2]＋（b 2＋a 2）（c 2＋d 2） ＝2·（a 2＋c 2）（b 2＋d 2）＋（a 2＋b 2）（c 2＋d 2） ≤2·（a 2＋c 2）＋（b 2＋d 2）2＋（a 2＋b 2）＋（c 2＋d 2）2＝2＋12(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)．∴ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d2≤2＋12. ——————————————————利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．2．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有 [(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a 22－a ＋b22－b＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4（2－a ）＋（2－b ）＝2. ∴原不等式成立.若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值．[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式得(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2， 25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425. 当且仅当x 3＝y4时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4.得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.——————————————————利用柯西不等式求最值的方法(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一．3．如何把一条长为m 的绳子截成2段，各围成一个正方形，使这2个正方形的面积和最小？解：设这2段的长度分别为x ，y ，则x ＋y ＝m ，且2个正方形的面积和S ＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫y 42＝116(x 2＋y 2)．因为(x 2＋y 2)(12＋12)≥(x ＋y )2＝m 2，等号当且仅当x ＝y ＝m 2时成立， 所以x 2＋y 2有最小值m 22，从而S 有最小值m 232.把绳子两等分后，这2段所围成的2个正方形的面积和最小．柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点．本考题以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的应用，是高考命题的一个新亮点．[考题印证]已知实数a 、b 、c 、d 满足a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝2，求ac ＋bd 的最大值． [命题立意] 本题考查柯西不等式在求最值中的应用． [解] ∵a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝2，∴由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 得(ac ＋bd )2≤1×2＝2. ∴－2≤ac ＋bd ≤ 2.当且仅当ad ＝bc ，即c a ＝db ＝2时取最大值 2.∴ac ＋bd 的最大值为 2.一、选择题1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ]C ．[－10，10 ]D ．(－5， 5 ] 解析：选A ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2， 即20≥(a ＋b )2， ∴－25≤a ＋b ≤2 5.2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D.3625解析：选B 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝⎛⎭⎫12＋13·65 ≥65(2x ·22＋3y ·33)2＝65(x ＋y )2＝65. 3．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥Q D ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(ax ，b y )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝（ax ）2＋（by ）2·（a ）2＋（b ）2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ ax 2＋by 2，∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q .4．已知p ，q ∈R ＋，且p 3＋q 3＝2，则p ＋q 的最大值为( ) A ．2 B ．8 C.12D ．4解析：选A 设m ＝(p 32，q 32)，n ＝(p 12，q 12)， 则p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m |·|n | ＝p 3＋q 3·p ＋q ＝2·p ＋q .又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)， ∴（p ＋q ）22≤p 2＋q 2≤2p ＋q .∴(p ＋q )4≤8(p ＋q )． ∴p ＋q ≤2. 二、填空题5．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，则P 与Q 的大小________．解析：由柯西不等式，得 P ＝am ·b m＋nc ×dn≤（am ）2＋（nc ）2×⎝⎛⎭⎫ b m 2＋⎝⎛⎭⎫ d n 2＝am ＋nc ×b m ＋dn ＝Q . 答案：P ≤Q6．函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(x －6＋12－x )2≤(12＋12)·[(x －6)2＋(12－x )2]＝12， ∴x －6＋12－x ≤23(当x ＝9时，“＝”成立)． 答案：2 37．设xy >0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎫y 2＋1x 2的最小值为________． 解析：原式＝⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫2y 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 答案：98．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是________． 解析：(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2(4×1＋2)＝12.答案：12 三、解答题9．已知a 2＋b 2＝1, x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1. 证明：由柯西不等式得 (ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1. 故|ax ＋by |≤1成立．10．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1. 求证：－23≤c ≤1.证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得，3c 2－c －2≤0， 解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.11．若x 2＋4y 2＝5.求x ＋y 的最大值及最大值点． 解：由柯西不等式得 [x 2＋(2y )2]⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥(x ＋y )2即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝5，x ＝4y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，最大值点为⎝⎛⎭⎫2，12.。
高中数学人教A版选修4-5课件：3-1二维形式的柯西不等式
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题型一
题型二
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【变式训练1】 已知2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值.
解: ∵(4x2+9y2)(22+22)≥(4x+6y)2=4,
1 2 2 ∴4x +9y ≥ , 2
当且仅当 2× 2x=3y× 2,即 2x=3y 时,等号成立. 又 2x+3y=1,得 x= , ������ = . 故当 x= , ������ = 时,4x2+9y2 的最小值为 .
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1
2
2.柯西不等式取等号的条件 剖析：柯西不等式取等号的条件不易记住,我们可以多方面联系 来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取等号的条件是“ad=bc”,有点 像a,b,c,d成等比数列时,ad=bc;柯西不等式的向量形式中 |α· β|≤|α||β|,取等号的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ.我们可以从 向量的数量积的角度来理解和记忆.
,此
∴|a· b|≤ (-2)2 + 12 + 22 × 6 = 18,
当且仅当存在实数k,使a=kb时,等号成立. ∴-18≤a· b≤18. ∴a· b的最小值为-18, 此时b=-2a=(4,-2,-4). 答案：-18 (4,-2,-4)
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1
2
3Байду номын сангаас
3.二维形式的三角不等式
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题型一
人教版高中数学选修4-5《二维形式的柯西不等式》教案
《二维形式的柯西不等式》教课设计一、教课目的①认识二维形式的柯西不等式的三角形式②柯西不等式的一些简单应用二、教课要点：①认识二维形式的柯西不等式的几种形式②运用柯西不等式剖析解决一些简单问题，领会运用经典不等式的一般方法——发现详细问题与经典不等式之间的联系，经过适合变形，以经典不等式为依照得出详细问题中的不等关系三、教课难点：运用柯西不等式证明不等式四、教课过程：教课教学程序设计意图环节问题：上节课我们学习了二维形式的柯本节课其实是柯西不等式的一导西不等式，你能简要的归纳一下些简单应用，所以先让学生回首柯入吗？西不等式以及变形后的两个等价形（复习定理 1（二维形式的柯西不等式）式 :导入）若 a,b,c,d 都是实数 ,则a2b2c2d2ac bd(a 2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2当且仅当 ad=bc 时 ,等号建立 .a2b2c2d2ac | |bd ①察看：课本 P34 图 3.1-4①让学生经过察看得出二维形新在平面直角坐标系中，设点p1, p2式的三角不等式课x12 y12x22 y22(x1 x2)2 ( y1 y2 )2讲的坐标分别为 x1 , y1 , x1, y1，依据进而获得定理3（二维形式的授三角不等式）过△ Op1 p2的边长关系，你能发现②指引学生利用柯西不等式证程明定理 3，即以经典不等式为x1 , y1 , x2 , y2这四个实数蕴涵着何种大依照得出定理 3 中的不等关系，这是柯西不等式的一个小关系吗？简单的应用。
经过察看剖析推理后得出定理3③例 3的解决也是柯西不等式②以上是从几何的角度得出的结论，你的一个简单的应用，让学生引探可否利用柯西不等式，从代数的角度证领会柯西不等式的用途明这个不等式？④在解决问题的过程中，让学③解说例题（例3）生领会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决详细问题的方法。
④练习 P37 第7题第6题本节课其实是柯西不等式的一些小简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在此后的结证明某些不等式时有重要作用。
人教版数学高二A版选修4-5学案第三讲一二维形式的柯西不等式
一 二维形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥__________，当且仅当______时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论： (a ＋b)(c ＋d)≥________________(a ，b ，c ，d 为非负实数)；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥________(a ，b ，c ，d ∈R )；a 2＋b 2·c 2＋d 2≥________(a ，b ，c ，d ∈R )．【做一做1】 已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6 B.6 C ．6 D ．122．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤__________，当且仅当β是________，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．【做一做2】 设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为__________，此时b ＝__________.3．二维形式的三角不等式(1)设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥__________________.(2)推论：(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥____________________，(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．解决柯西不等式的应用问题，关键是把原有式子巧妙地转化为柯西不等式的形式．答案：1．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)(ac ＋bd )2 |ac ＋bd | |ac |＋|bd |【做一做1】 D (4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立． 2．|α||β| 零向量【做一做2】 －18 (4，－2，－4) 根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立．∴－18≤a ·b ≤18.∴a ·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．3．(1)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 (2)(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)21．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，(a 2＋b 2)(d 2＋c 2)≥(ad ＋bc )2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．“二维”是由向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量：横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系．2．柯西不等式取“＝”的条件剖析：柯西不等式取“＝”的条件，也不易记住，我们可以多方面联系来记忆，如(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是“ad ＝bc ”，有点像a ，b ，c ，d 成等比时，ad ＝bc 的结论，a ，b ，c ，d 的顺序不等式中是对应排列顺序的，柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|，取“＝”的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆．题型一 柯西不等式等号成立的条件【例1】 求证：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 反思：利用二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是ad ＝bc .因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a ，b ，c ，d ”的数或代数式，否则容易出错．题型二 利用柯西不等式证明某些不等式【例2】 设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2. 分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求a 22－a ＋b 22－b 的最小值，因而需出现(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)结构．把a 22－a ＋b 22－b视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a )＋(2－b )．反思：利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．答案：【例1】 证明：设Q (x ，y )是直线上任意一点，则Ax ＋By ＋C ＝0.因为|PQ |2＝(x －x 0)2＋(y －y 0)2，A 2＋B 2≠0.由柯西不等式，得(A 2＋B 2)[(x －x 0)2＋(y －y 0)2]≥[A (x －x 0)＋B (y －y 0)]2＝[(Ax ＋By )－(Ax 0＋By 0)]2＝(Ax 0＋By 0＋C )2，所以|PQ |≥|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 当且仅当x －x 0A ＝y －y 0B ＝－Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2时，取等号．由垂线段最短，得d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 因此，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 【例2】 证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )](a 22－a ＋b 22－b) ＝[(2－a )2＋(2－b )2][(a 2－a )2＋(b 2－b )2] ≥(2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b )2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2. 当且仅当2－a ·b 2－b ＝2－b ·a 2－a ， 即a ＝b ＝1时等号成立．∴原不等式成立．1．已知49x y+＝2，x ，y ∈R ＋，则x ＋y 的最小值是( ) A.252 B.254 C.52 D ．5 2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D. 36253．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1.4．已知a ＞b ＞c ，求证：11a b b c +--≥4a c-.5．设a ，b ，c ＞0，且acos 2θ＋bsin 2θ＜c.22θθ+答案：1．A由49x y+＝2，可得x＋y212＝21(23)2+＝252.，即x＝5，y＝152时等号成立．2．B2x2＋3y2＝[2)＋2)][2＋2]×15≥21)5+＝26()5x y+＝65.当且仅当2x＝3y，即x＝35，y＝25时等号成立．3．证明：由柯西不等式，得|ax＋by|＝1.当且仅当ay＝bx时等号成立．4．分析：原不等式可变形为(a－c)(1a b-＋1b c-)≥4.又a－c＝(a－b)＋(b－c)，利用柯西不等式证明即可．证明：(a－c)(1a b-＋1b c-)＝[(a－b)＋(b－c)](1a b-＋1b c-)＝[2＋2][2＋2]≥2＝4，即a－b＝b－c时等号成立．∴原不等式成立．5．证明：由柯西不等式及题设，得2θ2θ)2＝cos θθsin θθ)2≤[2)θ＋2)θ](cos 2θ＋sin 2θ)＝a cos 2θ＋b sin 2θ＜c .sin θθsin θθ， 即a ＝b 时等号成立．2θ2θ。
高中数学 第三讲 3.1二维形式的柯西不等式(一)教案 新人教A版选修4-5
2=+=+2c da⋅=<>|||cos,n m n m n22=+-+++，则x a b x ac bd x c d()()2()222+≥c dc d+≥22222d ac+≥,αβ是两个向量，则|β.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
人教A版选修4-5 二维形式的柯西不等式 教案
1、设
a
(2,1,2),
b
6
，则
a
b 之最小值为________；此时
b
________。
2、设
a
(1，0，
2)，
b
(x，y，z)，若
x2
y2
z2
16，则
ab的最大值为
。
达标检测
3、空间二向量
v a
(1, 2,3)
v ，b
(x,
y,
z)
，已知
v b
56 ，则
vv (1) a b 的最大值为多少？
v (2)此时 b ？
(a b c)( 4 9 36)
4、设 a、b、c 为正数，求
a b c 的最小值。
5 、 设 a, b, c 均 为 正 数 ， 且 a 2b 3c 2 ， 则 1 2 3 之 最 小 值 为 ________ ， 此 时 abc
a ________。
1.知识建构 反思总结 2.能力提高
a
(1，0，
2)，
b
(x，y，z)，若
x2
y2
z2
16，则
ab的最大值为
。
例 2、设 x，y，z R，且满足 x2 y2 z2 5，则 x 2y 3z 之最大值为
例 3、设 x，y，z R，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为 时，(x，y，z)
变式反馈
当变形，依据经典不等式得到不等关系. 认识二维形式的柯西不等式的几种不同 难点目标 形式，理解其几何意义
学做思一：
会用二维柯西不等式解决一些简单问题
自学探究
问题 1：看书（P31-33）后回答： 1. 什么是二维形式的柯西不等式？ 2. 二维形式的柯西不等式的取等条件是？ 3. 二维形式的柯西不等式的三角不等式？ 几何意义？ 4. 思考二维形式的柯西不等式。
高中数学人教A版选修4-531二维形式的柯西不等式导学案
3.1 二维形式的柯西不等式【学习目标】1. 认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义2. 能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值3.会使用二维柯西不等式证明一些简单的不等式【自主学习】1. 二维形式的柯西不等式的代数形式是什么？2. 柯西不等式的向量形式是什么？3. 柯西不等式的几何意义是什么？4. 二维形式的三角不等式是什么？5. 二维形式的柯西不等式你会证明吗？【自主检测】1. 已知22,,10a b R a b ∈+= ，则ab 的取值范围为.A ⎡-⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣2. 已知231x y +=，则2249x y +的最小值为＿＿＿＿3. 函数()f x 的最大值是＿＿＿＿【典型例题】例1.（1）已知22221,1,a b x y +=+=求证：1ax by +≤()2已知223x 26y +≤，求证：2x y +≤()3已知x,y R,a,b R ,1a b +∈∈+=，求证：()222ax by ax by +≤+例2.（1）已知0,,,2a b R πθ+⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，求证：()22222cos sin a b a b θθ+≤+ ()2已知1212,,,a a b b R +∈，求证：()()21211221212a a a b a b a a b b ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭()3已知,,2a b R a b +∈+=，求证：22222a b a b +≥--例3.（1）求函数()f x =的最大值（2）设1a b +=，求2211a b a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值 （3）若12a b +=求88a b +的最小值（4【课堂检测】1.设a,b R +∈，且a+b=1，则2的最大值是 ( )A. 2.已知2x+3y=1，则22x y +的取值范围是3. 设a,b R +∈，且4a b +≤，则11x y+的最小值是4.在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形5. 设a,b ，c ，d 是四个不全为零的实数，求证：22222ab bc cd a b c d ++≤+++ 【总结提升】1.柯西不等式是一个经典不等式，其二维形式是最简单的柯西不等式. 柯西不等式的最大优势是涉及的两组数没有苛刻的要求，只要实数即可2. 柯西不等式()()()2222212121122a a b b a b a b ++≥+ ，（等号当且仅当1221a b a b =取得时成立）从左到右使用可以缩小，从右到左使用可以放大，所以既可以求最大值也可以求最小值.。
「精品」高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5
一二维形式的柯西不等式对应学生用书P291．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有x 1－x32＋y1－y32＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x22＋y1－y22.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．对应学生用书P29[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a2cos 2θ＋b2sin 2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ.”然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) ≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1. 证明：由柯西不等式得(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1， ∴|ax ＋by |≤1.2．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 22≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2. 3．设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式：a 2＋b 2·12＋12≥a ＋b ，同理：2·b 2＋c 2≥b ＋c ， 2·a 2＋c 2≥a ＋c ，将上面三个同向不等式相加得：2()a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a 2＋b 2＋ a 2＋c 2＋ b 2＋c 2≥ 2·(a ＋b ＋c ).[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值． 解：2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤22＋12×2x2＋y 2＝3×2x 2＋y 2＝ 3.当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．已知2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值． 解：∵(4x 2＋9y 2)(22＋22)≥(4x ＋6y )2＝4， ∴4x 2＋9y 2≥12.当且仅当2×2x ＝3y ×2，即2x ＝3y 时等号成立． 又2x ＋3y ＝1，得x ＝14，y ＝16，故当x ＝14，y ＝16时，4x 2＋9y 2的最小值为12.6．求函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值及此时x 的值． 解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得(x －6＋12－x )2≤(12＋12)[(x －6)2＋(12－x )2]＝2(x －6＋12－x )＝12， 即x －6＋12－x ≤2 3. 故当x －6＝12－x 时即x ＝9时函数f (x )取得最大值2 3.对应学生用书P311．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝ax2＋by2·a2＋b2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ ax 2＋by 2，∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . 答案：A2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ] C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10，∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5. 答案：A3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65C.2536D.3625解析：(2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6，(当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号)即2x 2＋3y 2≥65.答案：B4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×x －52＋6－x2＝5(当且仅当x ＝265时取等号)．答案：B5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2·⎝⎛⎭⎪⎫y 2＋1x 2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y·y 2＝9.(当且仅当xy ＝2时取等号)答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤－2＋12＋22×6＝18，当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得 (2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11⎝⎛ 当且仅当x ＝411，⎭⎪⎫y ＝311时取等号，于是2x ＋y ≤11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x )2＋(y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2，时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．解方程4x ＋3＋2 1－2x ＝15. 解：15＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2·2x ＋32＋2 1－2x 2≤[(2)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋1－2x2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋32＋1－2x ＝6×52＝15. 其中等号成立的充要条件是2x ＋322＝1－2x2， 解得x ＝－13.10．试求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin 2x )则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin 2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos 2x ＋1＋sin 2x ·32＋42当且仅当m∥n时，上式取“＝”．此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0.解得sin x＝75，cos x＝325.故当sin x＝75，cos x＝325时．f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值5 2.。
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一二维形式的柯西不等式
对应学生用书
．二维形式的柯西不等式()定理：若，，，都是实数，则(＋)(＋)
≥
(＋)
，当且仅当＝时，等号成立．
()二维形式的柯西不等式的推论：
(＋)(＋)≥(＋)(，，，为非负实数)；
≥
＋
·
(，，，
)；
∈
≥
·
＋
∈
)．
(，，，
．柯西不等式的向量形式
α·β
≤
α
β·
是两个向量，则
α
，
β
定理：设
零向量
，当且仅当
β
时
α
＝
β
是
，或存在实数，使
，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤αβ，取等号“＝”的条件是β＝或存在实数，使α＝β.
．二维形式的三角不等式
()定理：＋≥(，，，∈)．
当且仅当三点，与共线，并且，点在原点异侧时，等号成立．
()推论：对于任意的，，，，，∈，有
＋
≥.
事实上，在平面直角坐标系中，设点，，的坐标分别为(，)，(，)，(，)，根据△的边长关系有＋≥，当且仅当三点，，共线，并且点，在点的异侧时，等号成立．
对应学生用书
[例]已知θ为锐角，，∈
，求证：＋≥(＋).
＋
[思路点拨]可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“＝θ＋θ.”然后用柯西不等式证明．
[证明]∵＋
＝(θ＋θ)
≥θ)· θ＋( θ)· θ))
＝(＋)，
∴(＋)≤＋.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用
添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而
利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
．已知＋＝，＋＝，求证：＋≤.
证明：由柯西不等式得
(＋)≤(＋)(＋)＝，
∴＋≤.
．已知，，，为正实数．
求证：(＋)≥(＋).
证明：(＋)＝[()＋()]≥
＝(＋).
．设，，为正数，
求证：＋＋≥(＋＋)．
证明：由柯西不等式：
·≥＋，
即·≥＋.
同理：·≥＋，
·≥＋，
将上面三个同向不等式相加得：
(＋)＋(＋)))≥(＋＋)
∴＋＋≥·(＋＋).。