2-3 数据的拟合及积分微分方程求解2解析
微分方程的数值解法
法，就产生了不同的有限差分法与不同的有限元法。
其它数学基础： 数理方程、数值代数、最优化理论与方法等
第一部分 常微分方程初值问题的数值解法
自然界与工程技术中的许多现象，其数学表 达式归结为常微分方程定解问题。 一些偏微分方程问题可以转化为常微分方程 问题来（近似）求解。 常微分方程的数值解法为偏微分方程的数值 解法提供了可供借鉴的思路。 常微分方程数值解法主要分为两大部分：
三 线性多步公式建立的基本思想
利用前面多步的信息计算 un k，以获得较 高精度的数值公式。
设 t n t0 nh ，u (t n ) 的近似值为 u n ,并记 f n f (t n , un )，k步线性多步方法一般形式为
0un 1un 1 k un k h( 0 f n 1 f n 1 k f n k )
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 , x ˆ2 ) 若 4 A( x1 , x2 )C ( x1 , x2 ) B ( x 为椭圆型偏微分方程
二阶偏微分方程的基本分类方法，可以推广到含 有两个以上自变量的非线性高阶偏微分方程。
初值问题的数值方法 边值问题的数值方法
这里只介绍初值问题。
目的：建立一阶常微分方程初值问题的数值解法。 模型
du f (t , u (t )) dt u (t0 ) u0 t0 t T
设初值问题的解析解 (理论解) 用 u (t n ) 表 示，数值解法的精确解用 u n 表示。其中n=1, 2, ，t n t n 1 hn 。 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解u(t)在点列 t n t n 1 hn 上的近似值 u n (n 0, 1, ) 。 以下设 hn不变，记为h。
微分方程的解析解和数值解
微分方程的解析解和数值解微分方程是数学中一个重要的概念，它描述了物理、工程、经济等领域中许多现象和过程。
解析解和数值解是求解微分方程的两种常见方法。
本文将从解析解和数值解两个方面介绍微分方程的求解方法，并分析它们的优缺点。
解析解是指能够用已知的数学函数表达出来的微分方程的解。
它通过变量分离、直接积分、常数变易等方法求得。
解析解具有形式简洁、具有普适性和精确性等特点。
例如，二阶线性常系数齐次微分方程可以通过特征方程的求解得到解析解。
解析解的求解过程通常需要运用复杂的数学技巧和方法，因此对于一些复杂的微分方程，可能难以求得解析解。
数值解是指通过数值计算的方法求解微分方程的解。
数值解的求解过程通常基于离散化方法，将微分方程转化为差分方程，并利用数值计算的方法进行求解。
数值解具有计算简单、适用范围广和可自动化计算等特点。
例如，常见的数值解方法有Euler方法、Runge-Kutta方法等。
数值解的求解过程通常需要选择合适的步长和计算精度，以保证计算结果的准确性。
解析解和数值解在求解微分方程时各有优势和适用范围。
解析解适用于形式简单、已知解的微分方程，能够给出精确的解析结果，有助于深入理解微分方程的性质和规律。
然而，随着微分方程的复杂度增加，求解解析解的难度也会增加，有时甚至无法获得解析解。
这时就需要借助数值解的方法来求解微分方程。
数值解适用于各种类型的微分方程，无论是线性方程还是非线性方程，无论是常微分方程还是偏微分方程。
数值解方法可以通过逐步逼近的方式来求得近似解，可以通过调整步长和计算精度来控制计算结果的准确性。
数值解方法的实现相对简单，只需要编写相应的计算程序即可。
然而，数值解方法的计算结果通常是近似解，存在一定的误差。
此外，数值解方法的计算量较大，对计算资源的要求较高。
解析解和数值解是求解微分方程的两种常见方法。
解析解适用于形式简单、已知解的微分方程，能够给出精确的解析结果；而数值解适用于各种类型的微分方程，能够通过数值计算的方式求得近似解。
微分方程的解析解、数值解和图形解
缺点
线性多步法的稳定性较差，对初值敏感，需要选择合适的步长和算法参数以保证计算稳定 性。
线性多步法
线性多步法
一种通过利用前面多个步长的信息来预测下一个步长的数值解方法。其基本思想是将微分 方程转化为差分方程进行求解。
应用
相平面法常用于分析微分方程的平衡点、稳定性、周期解 等问题。通过观察相平面图，可以判断微分方程的解是趋 于稳定还是发散，以及是否存在周期解等。
相平面法
01
定义
相平面法是研究一阶和二阶常微分方程的一种图解法，通 过在相平面上绘制微分方程的解曲线，可以直观地了解解 的性质和动态行为。
02 03
原理
步骤
将微分方程化为可分离变量的形式，对两边同时积分， 解出未知函数。
分离变量法
原理
通过把微分方程中的变量进行分离，使得方程两边分 别只含有一个变量，然后对两边同时积分求解。
适用范围
适用于一阶线性微分方程、齐次微分方程等可分离变 量的微分方程。
步骤
将微分方程化为可分离变量的形式，对两边同时积分， 解出未知函数。
目录
PART 01
微分方程基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
PART 01
微分方程基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
微分方程定义与分类
微分方程定义
描述未知函数与其导数之间关系的数 学方程。
分类
根据方程中未知函数的最高阶导数， 可分为一阶、二阶等；根据是否线性， 可分为线性与非线性微分方程。
然后利用全微分的性质求解。
拟合及微分方程数值解法 ppt课件
26
3、关于矩阵的提取，:运算
取矩阵a第三行
取矩阵a第1、2行与第2、 3列交叉点的数
将矩阵a所有元素作一列
2021/2/5
27
Matlab使用
1、matlab使用环境
2、四则运算与一些常用函数
3、关于矩阵提取
4、图形功能
5、M-文件编写
2021/2/5
28
二维图形功能（一）
plot: x轴和y轴均为线性刻度 注： 1、图形颜色：y(黄) k(黑) w(白) b(蓝) g(绿) 2、线条形状：-(实线） -.（点虚线） --（虚线） 3、数轴范围调整：axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) 3、图形的各种注解与处理：
5、定义函数: function y=new_fun(x)
2021/2/5
33
用Logistic模拟水稻叶伸长生长
生长观测记录数据
时间 重量 时间 重量
1
1.8
2.6
3.4
4.1
4.8
5.4
6.1
6.8
7.4
8.1
0.3
0.5
0.9
1.4
2.5
3.2
4.3
积分方程的数值解法
dy = − 2 g (h − y ) sin β ， dt
因此
dt = −
上式两边从 0 到 h 积分，并记
dy . 2 g (h − y ) sin β
2
ϕ ( y) =
就有
1 ， sin β
∫
h
0
ϕ ( y) dy = − 2 g f1 (h) . h− y
记- 2 g f1 (h) = f (h) ,最后得到
Abstract ： This paper describes two numerical solution methods of integral equations ,namely,successive approximation method and the use of any nuclear degenerate kernel approximation method. This paper is structured as follows.first briefly introduces the basic knowledge of integral equations, then discusses whether the solutions of four common equations exist and how to slove a special kind of equation (Degenerate equation) , finally since for the majority of the integral equations we can not find out their exact analytical solutions,therefore we turn to introducing the two numerical solution methods of integral equations. Key words： integral equation of integral equations equations with degenerate kernel numerical solution
数值计算中的常微分方程求解和数值积分
数值计算中的常微分方程求解和数值积分数值计算是一门非常重要的学科，它在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
在数值计算中，常微分方程求解和数值积分是两个基础性的问题，它们的解法对于数值计算的其他问题具有重要的指导意义。
本文将就这两个问题进行探讨。
一、常微分方程求解常微分方程是描述自然界中许多过程的重要工具，它们由一个或多个未知函数及其一定数量的导数组成。
例如，牛顿第二定律和斯托克斯方程等经典物理学方程中均包含了一阶常微分方程。
近年来，生物过程的数学建模也成为常微分方程的热点研究领域，例如病毒扩散、癌症生长和人口增长等都可以用常微分方程来描述。
在解常微分方程的过程中，我们通常会使用数值方法。
常用的数值方法包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
以欧拉法为例，令 $y\left( t_0 \right) = y_0$，则在 $t_0$ 到 $t_1$ 的时间段内，有：$y_{n+1} = y_n + hf\left( t_n,y_n \right)$，其中 $y_{n+1}$ 表示 $t=T_{n+1}$ 时的函数值，$f\left( t_n,y_n \right)$ 表示 $t_n$ 时刻的导数值，$h$ 表示步长。
欧拉法是一种一阶方法，即误差的大小与步长成线性关系，因此需要选择足够小的步长以确保精度。
对于高阶常微分方程，我们通常需要将其转化为等价的一阶方程组进行求解。
例如，二阶常微分方程 $y'' + q\left( t \right)y' +p\left( t \right)y = g\left( t \right)$ 可以转化为以下一阶方程组：$z_1^\prime = z_2$$z_2^\prime = -q\left( t \right)z_2 - p\left( t \right)z_1 + g\left( t\right)$其中 $y = z_1$，$y' = z_2$。
微分方程的解析与数值解法
微分方程的解析与数值解法微分方程既是数学分析的重要分支，也是许多学科领域的基础。
在实际问题的求解中，我们常常需要寻找微分方程的解析解或者数值解。
本文将围绕微分方程的解析和数值解法展开讨论。
一、微分方程的解析解解析解指的是通过代数计算得到的方程的解。
对于某些简单的微分方程，我们可以通过分离变量、变量代换等方法得到解析解。
下面以一阶线性常微分方程为例，讨论解的求解过程。
考虑一阶线性常微分方程形式如下：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$为已知函数。
我们可以通过以下步骤求解该微分方程：1. 将方程改写为标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y - Q(x) = 0$2. 求解齐次线性微分方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$。
记其解为$y_h$，即$y_h = Ce^{-\int P(x)dx}$，其中$C$为常数。
3. 利用常数变易法，假设原方程的解为$y = u(x)y_h$，其中$u(x)$为待定函数。
4. 将$y = u(x)y_h$代入原方程，得到关于$u(x)$的方程。
5. 求解$u(x)$的方程，得到$u(x)$的表达式。
6. 将$u(x)$代入$y = u(x)y_h$，得到原方程的解析解。
上述过程就是一阶线性常微分方程求解的一般步骤。
对于其他类型的微分方程，也有相应的解析解求解方法。
但并非所有微分方程都存在解析解。
二、微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程，无法找到解析解，此时我们需要借助数值方法求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是一种较为简单的数值解法，其基本思想是通过离散化微分方程，将微分方程转化为差分方程。
具体步骤如下：将求解区间$[a, b]$等分成$n$个小段，步长为$h = \frac{b-a}{n}$。
利用微分方程的导数定义，将微分方程转化为差分方程，即$y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_i, y_i)$，其中$f(x, y)$为微分方程右端的函数。
微分方程的解析解和数值解
微分方程的解析解和数值解解析解和数值解在微分方程中的应用微分方程是数学中一个重要的分支，它描述了许多自然现象，如物理、化学和生物学等。
微分方程的解析解和数值解是解决微分方程的两种不同方法。
本文将探讨这两种方法的应用。
解析解是指能够用一组公式或函数表达式精确地表示出微分方程的解。
它通常用于简单的微分方程，如一阶线性微分方程和二阶常系数齐次微分方程等。
解析解的优点是计算精度高，但它只能解决某些简单的微分方程，而对于更复杂的非线性微分方程，几乎不可能得到解析解。
数值解是通过数值计算方法得到微分方程的近似解。
它通常用于复杂的非线性微分方程，如偏微分方程和随机微分方程等。
数值解的优点是可以解决各种类型的微分方程，并且计算精度可以通过增加计算量来不断提高。
但是，数值解的计算过程比解析解复杂，需要使用计算机进行计算。
解析解和数值解在微分方程中的应用是相互补充的。
对于简单的微分方程，解析解是最好的选择。
例如，对于一阶线性微分方程y'+ay=b，可以使用分离变量法得到解析解y=b/a+(C/a)e^(-at)，其中C是任意常数。
对于二阶常系数齐次微分方程y''+by'+cy=0，可以使用特征方程法得到解析解y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)，其中r1和r2是特征方程的根。
对于复杂的非线性微分方程，数值解是最好的选择。
例如，对于一般的非线性微分方程y'=f(x,y)，可以使用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等数值计算方法来获得近似解。
这些方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后使用迭代计算的方法逐步得到近似解。
在实际应用中，解析解和数值解常常需要相互配合使用。
例如，在生物学中，通过建立动力学模型可以得到微分方程，然后使用解析解来分析模型的稳定性和动态行为；同时，使用数值解来模拟生物系统的时间演化过程。
在物理学中，通过微分方程描述物理现象的规律，然后使用解析解来推导出物理规律的数学表达式；同时，使用数值解来计算物理过程中的复杂变化。
第三章数值积分与常微分方程的数值解法
i 1,2,, n xi x0 ih
（1）式积分
xi1 dy xi1 f (x, y)dx
xi
xi
y(xi1) y(xi )
xi1 f (x, y)dx
xi
（2）
数值积分
3-2-1-1 Euler法及其改进——问题的提出 例：异丙苯氧化反应的动力学
C6 H5C3H7 (RH ) [o] ROOH
输入：A、B两物质和积分上、下限A，B A1，B1
两次调用离散点积分法子程序计算A，B物质的峰面积S，S1 （其中调用Lagrange插值法子程序计算任意点的函数值）
计算A，B物质的相对含量之比S/S1
输出：S/S1
结束
3-1-3 –3 离散点数据的求积——应用示例
例6：在简单蒸馏釜内蒸馏1000 Kg含C2H5OH质量分数 为60%和H2O质量分数为40%的混合液。蒸馏结束时，残 液中含C2H5OH质量分数为5%。试求残液的质量是多少千 克？该体系的汽液平衡数据如下：其中 x为液相中C2H5OH 的质量分数，y 为汽相中C2H5OH的质量分数。
1 2
h[ f
(xk1)
f
(xk )]
h[ 2
f
(a)
f
(b)]
n1
h
k 1
f
(xk )
Ik
y=f(x)
a
xk-1 h xk b
x
3-1-1 梯形法——方法原理
变步长：
N个区间，h，T1
2N个区间，h/2，T2
|T2-T1|<EPS
（xk-1,xk）
xk-1/2
T2n
已知：t=0时的[RH]、[ROOH]，120℃时的反应速率常数k， 计算0-14h每隔2h的[ROOH]。
(整理)微分方程的解2
微分方程的解微分方程的解析解（一）求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)。
记号: 在表达微分方程时，用字母D 表示求微分，D2、D3等。
表示求高阶微分.任何D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省.例如，微分方程 022=dx yd 应表达为：D2y=0.（二）simplify(s)：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简．例如：syms xsimplify(sin(x)^2 + cos(x)^2)ans=1例1 求21u dtdu += 的通解. 解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t') 结果：u = tg(t-c)例2 求微分方程的特解.⎪⎩⎪⎨⎧===++15)0(',0)0(029422y y y dx dy dx y d 解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结 果 为 : y =3e-2xsin （5x ）例3 求微分方程组的通解.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=z y x dtdz z y x dtdy zy x dt dx 244354332解 输入命令 ：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't')；x=simple(x) % 将x 化简y=simple(y)z=simple(z)结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2ty = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。
微分方程概念及数值解介绍
凡含有未知函数的导数（偏导数）或微分的方程 叫微分方程. 例
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
y xy ,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
hn 在计算上采用相等的步长 h
n 点 xn x0 nh ， 0,1, 2, ．
，这时等距节
• 初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是 顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按 递推方法由已知的 y0 , y1 ,, yn求出 yn 1。所以，
初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称之. 分类2: 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
y f ( x , y );
高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0,
y
( n)
,, y ( n1) ). f ( x, y, y
xn h xn
f (t , y (t ))dt
（看成矩形）
yn 1 yn hf ( xn , yn ) y0 y ( x0 )
• 向后差商
隐式Euler方法
y ( xn 1 ) y ( xn ) / y f ( x, y ) h y ( x0 ) y 0 yn 1 y n hf ( xn 1 , y n 1 ) y ( x0 ) y 0
梯形公式(续)
• 梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法和隐式 Euler方法的算术平均。 • 梯形公式的精度为二阶。
数学一数学二和数学三的数学微分方程解法
数学一数学二和数学三的数学微分方程解法数学微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
数学一、数学二和数学三是大学数学学科中的三个重要组成部分，其中涉及到的微分方程也是逐步深入的。
本文将为您介绍数学一、数学二和数学三中微分方程的解法。
一、数学一中的微分方程解法数学一中主要涉及到一阶微分方程的解法。
一阶微分方程是指最高阶数为一的微分方程，常见形式为dy/dx=f(x)。
以下是数学一中常见的微分方程解法方法：1. 可分离变量法：将微分方程两边进行分离，然后分别进行求积分，最后得到解析解。
2. 齐次方程法：对微分方程进行适当的变量代换，将方程转化为齐次方程，然后再进行求解。
3. 线性方程法：对微分方程进行线性变换，将方程转化为线性方程，然后再进行求解。
4. 恰当方程法：对微分方程进行适当的变换，使其变为恰当方程，然后再进行求解。
二、数学二中的微分方程解法数学二中主要涉及到二阶微分方程的解法。
二阶微分方程是指最高阶数为二的微分方程，常见形式为d²y/dx²=f(x)。
以下是数学二中常见的微分方程解法方法：1. 特征方程法：对二阶微分方程进行特征方程的求解，得到特征根，然后再根据特征根的不同情况得到解析解。
2. 变量代换法：对二阶微分方程进行适当的变量代换，将方程转化为可分离变量的形式，然后再进行求解。
3. 常数变易法：对二阶微分方程的解进行设定，设定一些常数的取值，然后再通过代入原方程进行求解。
4. 幂级数法：对二阶微分方程的解进行幂级数展开，得到幂级数的系数，从而求得近似解。
三、数学三中的微分方程解法数学三中主要涉及到高阶（大于二阶）的微分方程的解法。
高阶微分方程的解法较为复杂，常见的解法方法如下：1. 特征方程法：对高阶微分方程进行特征方程的求解，得到特征根，然后再根据特征根的不同情况推导解析解。
2. 常数变易法：对高阶微分方程的解进行设定，设定一些常数的取值，然后通过代入原方程进行求解。
微分方程的解析与数值方法
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了自然界中许多现象的变化规律。
解析方法和数值方法是解决微分方程的两种主要途径。
本文将介绍微分方程的解析方法和数值方法，并比较二者的优劣。
解析方法是指通过代数运算和数学变换来寻找微分方程的解析解的方法。
这种方法的优点是能够给出精确的解析解，从而能够得到问题的详细解释和解析结构。
解析方法通常适用于简单的微分方程，并且对于一些特殊的方程，如线性常系数微分方程、分离变量的方程等，解析方法更为有效。
例如，对于一阶线性常系数微分方程，解析方法可以通过分离变量和积分求得解析解。
解析方法的缺点是求解过程较为繁琐，对于复杂的非线性微分方程难以找到精确的解析解。
数值方法是指通过近似计算和数值逼近来求解微分方程的方法。
数值方法的基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后利用离散化的方法进行逼近求解。
数值方法的优点是能够求解复杂的非线性微分方程，并且通常具有较好的稳定性和精度。
常见的数值方法有欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法通过离散化时间和空间，将连续的微分方程转化为离散的差分方程，并通过迭代计算得到数值解。
数值方法的缺点是无法给出精确的解析解，只能得到数值近似解，而且对误差较为敏感。
解析方法和数值方法各有优劣。
解析方法能够得到精确的解析解，从而提供了问题的详细解释和解析结构，但对于复杂的非线性微分方程较为困难。
数值方法能够求解复杂的非线性微分方程，并且具有较好的稳定性和精度，但只能得到数值近似解，而且对误差较为敏感。
因此，在实际应用中，需要根据问题的特点和要求来选择合适的方法。
总结起来，微分方程的解析方法和数值方法是求解微分方程的两种主要途径。
解析方法能够给出精确的解析解，而数值方法能够求解复杂的非线性微分方程。
在实际应用中，需要根据问题的特点和要求来选择合适的方法。
解析方法和数值方法的进一步发展将为微分方程的研究和应用提供更多的可能性。
微分方程的数值解法
微分方程的数值解法微分方程是数学中的一种重要的基础理论，广泛用于科学技术的研究中。
微分方程的解析解往往比较难求得，而数值解法则成为了解决微分方程的重要手段之一。
本文将阐述微分方程的数值解法，探讨一些经典的数值方法及其应用。
一、数值解法的基本思想微分方程的数值解法的基本思想是建立微分方程的差分方程，然后通过数值计算的方法求得差分方程的近似解，最终得到微分方程的数值解。
其中，差分方程是微分方程的离散化，将微分方程转化为差分方程的过程称为离散化或网格化。
离散化的目的是将连续问题转化为离散问题，使问题求解更为方便。
差分方程的计算通常需要将区间分成若干份，每一份都对应着一个节点，节点的个数与区间长度有关。
在每个节点处采集函数值，根据这些函数值计算出差分方程的值，再根据差分方程的迭代公式计算出每个节点的函数值。
因此差分方程的求解问题就转化成了求解节点函数值的问题。
二、欧拉法欧拉法是微分方程数值解法中最简单的一种方法，广泛应用于各种领域。
欧拉法的基本思想是运用泰勒公式，将函数在某一点展开成一次多项式，用两个相邻节点之间的差分来逼近导数的值，从而得到连续问题的离散解。
具体实现过程如下：1. 将微分方程的初始值问题区间[a,a]分成若干个小区间，每个小区间长度为a，共有a个节点，其中节点序列为a0,a1,a2,⋯,aa，节点之间的间隔为a。
2. 根据微分方程的迭代公式得到差分方程，即令aa+1=aa+aa(aa,aa)3. 按照差分方程的迭代公式，从初始值a0开始，逐一计算得到函数值，a1,a2,⋯,aa。
欧拉法的精度比较低，误差常常会较大，但是它运算速度快，实现简单，计算量小，因此在计算简单模型时常常使用。
三、龙格-库塔法龙格-库塔法是微分方程数值解法中精度最高的一种方法，具有比欧拉法更精确、更稳定的特点，广泛应用于各种实际问题中。
龙格-库塔法的主要思想是用多阶段逼近法估算每一步的函数值，从而提高时间的精度。
具体实现过程如下：1. 将微分方程的初始值问题区间[a,a]分成若干个小区间，每个小区间长度为a，共有a个节点，其中节点序列为a0,a1,a2,⋯,aa，节点之间的间隔为a。
微分方程数值解2
1.取步长h=0.1，用改进Euler 法解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤+=1)0(10,'y x y x y 并将计算结果与准确解相比较。
取更小的步长上机计算，结果又如何？解：（1）调用文件P641.m ，即改进的欧拉法，可以得出计算结果，如下图：在MATLAB 中输入：>> dz=x+y;>> dz=f(x,y);>> dz=x+y;>> [x,y]=P641('f',0,1,1,0.1); >> plot(x,y,'-.b');（2）当取更小的步长时（右图为放大图）：dz=f(x,y);dz=x+y;[x,y]=P641('f',0,1,1,0.1);plot(x,y,'-.b');hold on;[x,y]=P641('f',0,1,1,0.01);plot(x,y,'-k');legend('改进欧拉法精度0.1','改进欧拉法精度0.01')(3)计算结果与准确解相比较直接调用文件file.m可得如下图（右图为放大图）：4.取步长h=0.1，用四阶Runge-Kutta 方法解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤+=1)0(10,'y x y x y 并和题1的计算结果比较。
解：调用M 文件file3.m,即四阶Runge-Kutta 方法，得到的图形如下：比较：将第一题中的改进欧拉法和第四题的四阶Runge-Kutta 方法进行比较，调用文件file4.m ：。
2-3微分方程的经典解法
等式两端各对应幂次的系数应相等，有：
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解得： B11 3, B29 2, B31 20 7
得特解： ypt13t292t1207
(2 )当 ft e t时 ,选 y p t B e t。 其中B是待定系数。
B e t 2 B e t 3 B e t e t e t
B(常数)
k
B oB 1 t B k 1 tk 1B ktk B iti
i 0
Be t
不等于特征根
(B0B1t)et 等于特征单根
si n t/co ts B 1 sin t B 2 co ts
tketsin t
k
tketcost
et [B isi ntD ico st]ti
i0
例：
写出系 d d t3 3y统 t 7d d 方 t2 2yt 程 1d d 6 tyt 1y 2 tft
分别求两种情况下此方程的特解。
解 1 将 ： ftt2代入方 ,得t程 2到 2t,右端
为使等式两端平衡，选特解函数式
yptB 1t2B 2tB 3 这里, B1,B2,B3为待定系数。
将此式代入方程得到 （推导见讲义 p2）
3 B 1 t 2 4 B 1 3 B 2 t 2 B 1 2 B 2 3 B 3 t 2 2 t
齐次解的表达式。
解：系统的特征方程为
3 7 2 16 1 2 0
2230 特征根 1,22, 33
齐次解的表达式为 y h t A 1 t A 2 e 2 t A 3 e 3 t
例：
给定系统方程为 d 2 d y t2 t 2 d d y tt 3 y t d d ftt ft 如果已知：1 ft t2 ;2 ft e t,
2-3微分法
§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分求函数的微分或导数的方法称为微分法.要是每次求一个函数的微分或导数时，都按照定义去做一遍，这不仅麻烦，而且有时根本行不通.莱布尼茨为如何求初等函数的微分和导数，设计出了一个切实可行的方案：先列出一些求微分和导数的一般规则；再列出一些简单初等函数的微分和导数的公式.求初等函数的微分或导数时，按照给出的规则和公式，一步一步往下做就行了.1.四则运算规则 若函数)(x f 和)(x g 在点x 都可微分，则⑴[]d ()d ()cf x c f x =, []()()c f x c f x ''=（c 为常数）; ⑵[]d ()()d ()d ()f x g x f x g x ±=±, []()()()()f x g x f x g x '''±=±; ⑶[]d ()()()d ()()d ()f x g x g x f x f x g x =+, []()()()()()()f x g x g x f x f x g x '''=+;⑷2()()d ()()d ()d ()()f x g x f x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦, 2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. 证 读者已经知道，可微与可导是等价的.因此，先证可微或先证可导是一样的.规则⑴和⑵的证明是简单的，譬如证⑵.因为函数)(x f 和)(x g 在点x 都可微分，根据式（2-1）,则)()();()(x o x x g g x o x x f f ∆+∆'=∆∆+∆'=∆因此，[()()]()()[()()]()f x g x f x g x f x g x x o x ''∆±=∆±∆=±∆+∆注意，其中()()()o x o x o x ∆±∆=∆.根据式(2-1)，函数)]()([x g x f ±在点x 也可微分，而（微分）d[()()][()()]()()f x g x f x g x x f x x g x x ''''±=±∆=∆±∆d ()d ()f x g x =±， （导数）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±.规则⑴和⑵说明，微分运算和导数运算都是线性运算，即[][][]d ()()d ()d ()f x g x f x g x αβαβ±=±，[]()()()()f x g x f x g x αβαβ'''±=±.其中α和β都是常数.规则⑶和⑷的证明要麻烦一点.据说，莱布尼茨花了一周时间才得出规则⑶[当然，他用的不是我们现在用的方法].注意，下面又换了一种证法，即先证可导（当然也可先证可微）.为证规则⑶，首先注意，根据函数)(x g 在点x 的可微性，且可微必连续，则得lim ()()x g x x g x ∆→+∆=其次，因为[]()()()()()()f x g x f x x g x x f x g x ∆⋅=+∆⋅+∆-⋅[]()()()()=+∆⋅+∆-⋅+∆f x x g x x f x g x x []()()()()+⋅+∆-⋅f x g x x f x g x[][]()()()()()()f x x f x g x x f x g x x g x =+∆-+∆++∆-()()()()f x g x x f x g x =∆⋅+∆+⋅∆§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 73所以[]()()()()()()∆∆∆=+∆+∆∆∆f x g x f x g x g x x f x xx x因此，函数乘积的导数为[][]d ()()()()limd x f x g x f x g x xx ∆→∆=∆000()()lim lim ()()lim∆→∆→∆→∆∆=⋅+∆+⋅∆∆x x x f x g x g x x f x x xd ()d ()()()d d =+f x g x g x f x x x[注意，0lim ()()x g x x g x ∆→+∆=] 在两端同乘d x ，则函数乘积的微分为[]d ()()d ()()()d ()=⋅+⋅f x g x f x g x f x g x为证规则⑷，下面分成两步.我们首先证明函数1()g x 在点x 可导.事实上，因为 111()()()()()()()⎡⎤-+∆∆=-=⎢⎥+∆+∆⎣⎦g x g x x g x g x x g x g x x g x ()()()g x g x x g x ∆=-+∆ 所以函数1()g x 的导数为0001()1()1lim lim lim ()()()∆→∆→∆→⎡⎤∆⎢⎥'⎡⎤∆⎣⎦==-⋅⎢⎥∆∆+∆⎣⎦x x x g x g x g x x x g x x g x 2()()g x g x '=- 其次，根据规则⑶，函数)(1)()()(x g x f x g x f ⋅=在点x 也可导，且导数为 ()111()()()()()()()'''⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=⋅=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦f x f x f x f xg x g x g x g x 22()()()()()()()()()()''''-=-=f x g x f x g x f x g x f x g x g x g x 而微分为2()()()()()()d d d ()()()'''⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦f x f x f xg x f x g x x x g x g x g x 2()d ()()()d ()f x x g x f x g x x g x ''⋅-⋅=2d ()()()d ()()f xg x f x g x g x ⋅-⋅=例9 证明：1111d()d mm xx x m ---=-；1111()m mx x m---'=-.证 根据商的微分规则和例7（§2-1），112d()d d -⎛⎫===- ⎪⎝⎭mm m x x x 111121d 1d m m mx x m x x m x ---=-=- 从而，导数为1111d()1d m mmx x x x m ----'⎛⎫==- ⎪⎝⎭例10 ()2sin (sin )cos sin (cos )tan cos cos '''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭x x x x x x x x 222cos sin cos x x x +=221sec cos ==x x. 同理，()2cos (cos )sin cos (sin )cot sin sin '''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭x x x x x x x x 222sin cos sin x x x --=221csc sin =-=-x x . 请你计算：()1(i)sec cos x x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭ ()1(ii)csc sin x x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭答案：(i)sec tan x x ； (ii)csc cot x x -.习题一1.根据微分规则，求下列函数在指定点的微分或导数：⑴504,2y x x ==； ⑵201,102s gt t ==； ⑶0231,2y x x==； ⑷01u x ==； ⑸0log ,10a y x x ==； ⑹0tan ,4y x x π==.答案：⑴d 320d ,320y x y '==；⑵d 10d ,10s g t s g '==；⑶d 48d ,48y x y '=-=-；⑷11d d ,55u x u '==；⑸d 1d ,10ln 10ln x y ya a'==；⑹d ,y x y '== 2.填空：§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 75⑴5d _______x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ⑵13d 4________x -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；⑶(d _________-=； ⑷d(log 2)_________x =； ⑸2d(sin )_______________x x =； ⑹d(e tan )______________x x =； ⑺d _______________cot x x ⎛⎫=⎪⎝⎭； ⑻d _____________=. 答案：⑴25d x x -；⑵x ；⑶x ；⑷2ln 2d ln x x x -； ⑸2(2sin cos )d x x x x x +；⑹2(e tan e sec )d x x x x x +；⑺22cot csc d cot x x x x x +；⑻x . 3.求下列函数的微分或导数（根据你的习惯，先求微分或先求导数都可以）：⑴43237y x x -=-+； ⑵23(1)(241)y x x x =+-+；⑶11x y x -=+； ⑷1y x =-⑸2e (329)x y x x =-+； ⑹e cos sin ln x y x x x =+.答案：⑴34d 49d y x x x -⎛⎫=+ ⎝；⑵422(5324)y x x x '=-+-； ⑶22d d (1)y x x =+；⑷21y x '=-+；⑸2d e (347)d x y x x x =++； ⑹sin e cos e sin cos ln x x xy x x x x x'=-++.4.设函数()u x 、()v x 、()w x 都可微分.证明：[]()()()()()()()()()()()()u x v x w x u x v x w x u x v x w x u x v x w x ''''=++提示：[()()()][()()]()[()()]()u x v x w x u x v x w x u x v x w x '''=+.5.设有球形薄壳，外半径为2m ，厚度为0.1cm . 求薄壳体积的近似值.答案：30.050(m )≈2.链式规则 函数12+=x y 虽然简单，但用上面的规则求不出它的微分或导数.因此，我们还需要一个求微分和导数的规则，即链式规则.函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算（见§1-3）.例如，上面那个函数是由函数u y = 和 12+=x u复合而成的复合函数，其中u y =为外函数，12+=x u 为内函数或中间变数.链式规则 若内函数)(x u u =在点),(b a x ∈可微分，且外函数)(u f 在点),()(B A x u u ∈=可微分，则复合函数)]([x u f y =在点x 也可微分，且微分为()()d [()()]d ()d ()u u x u u x y f u u x x f u u x =='''=⋅= (2-4)而导数为)()(d )(d d )(d d d )(x u u f xx u u u f x y x u u '⋅'=⋅== (2-5) 证 设自变量x 有增量x ∆，则中间变量u 就有增量)()(x u x x u u -∆+=∆[于是u u u x u x x u ∆+=∆+=∆+)()(]而复合函数)]([x u f y =的增量)()()]([)]([u f u u f x u f x x u f y -∆+=-∆+=∆ )()]()()[()()(u o x o x x u u f u o u u f ∆+∆+∆''=∆+∆'= [因为)(u f 可微分] [因为)(x u 可微分][()()]()()()f u u x x f u o x o u '''=⋅∆+⋅∆+∆[注意，()()()f u o x o x '⋅∆=∆；()()o u o x ∆=∆（见下注）][()()]()()f u u x x o x o x ''=⋅∆+∆+∆)()]()([x o x x u u f ∆+∆'⋅'=因此，复合函数)]([x u f y =在点x 可微分，而且(微分)()d [()()]d ()d ()u u x y f u u x x f u u x ='''=⋅=， (导数))()(d )(d d )(d d d )(x u u f xx u u u f x y x u u '⋅'=⋅==. 【注】因为0,0()()(1)[()()],0u o u o u u o u x x o x u u∆=⎧⎪∆=∆⎨'∆=∆+∆∆≠⎪∆⎩， 所以()()o u o x∆=∆.现在，我们可以很容易地求出函数y =.因为1,2+==x uu y所以微分和导数依次为22122111d d(1)(2d )2u x u x y x u x x -=+=+'=⋅+=⋅x =，d d y y x'==链式规则就像“锁链”一样，通过中间变量u 求出了复合函数)]([x u f y =的微分和导数.正确地运用这个规则是能够求出复合函数微分和导数的关键．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.读者只有多做习题，才能够熟练地掌握它.§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 77例11 证明：11)(;d )(d --='=m km k m k mk x mk x x x m k x (其中k 为整数，m 为正整数). 证 令m x u 1=，则k mk u x=. 根据链式规则，11111d()1d()d d()d d kk k k mm m u x u ku x ku x x u m---=⋅=⋅=⋅ 1d km k x x m -=，1d )(d )(-=='m kmk mkx mk x x x . 【注】 对于有理指数的幂函数，我们已经得到上述微分和导数的公式.它实际上对于一般幂函数x μ也成立，因为根据链式规则和对数函数的微分公式，ln ln 1d()d(e )e d(ln )d d x x x x x x x x xμμμμμμμμ-===⋅=于是又有导数公式1d()()d x x x xμμμμ-'==同理，还有一般指数函数的微分公式和导数公式：ln ln d()d(e)ed(ln )ln d x x ax axa x a a a x ===， d()()ln d x xx a a a a x'==.例12 求函数42100(2)y x a =+的微分和导数.解 若不用链式规则，就要先把它按牛顿二项式公式展开成101项之和，再用四则运算规则求它的微分和导数.这显然太麻烦了! 若用链式规则的话，就能够很容易地求出它的微分和导数.令422u x a =+，则100uy =,于是，1009942993d ()d 100d(2)100(8d 0)y u u u x a u x x '==+=+34299800(2)d x x a x =+，d d yy x'==34299800(2)x x a +.例13 设函数22ax xy +=(0>a 为常数).求它在点0=x 的微分和导数.解 先求微分或先求导数都可以.譬如先求微分，根据商的微分规则，2222222)()(d d d a x a x x a x x y ++⋅-+⋅=其中2211()22221d()d()2u x a u u x a x =+-=======+=所以，x ax a x a x a x a x x a x y d )(d d 222222222222++=++-+=，d d y y x '=22222)(a x a x a ++=. 于是，微分01d d x y x a==，而导数0d 1(0)d x y y x a ='==. 习题二1.填空：⑴()d e ________-=x ； ⑵()2d e ________=x ； ⑶2d(e )________x =； ⑷[]d ln(3)________x =；⑸d(sin 2)________x =； ⑹()2d sin ________=x ； ⑺()2d sin _________=x ； ⑻d cos ________3⎛⎫= ⎪⎝⎭x ； ⑼d________=； ⑽(d ________=；⑾()d tan 4________=x ； ⑿()4d tan _________=x ； ⒀(d tan ________=； ⒁d cot________⎛= ⎝. 答案：⑴e d x x --；⑵22e d x x ；⑶22e d x x x ；⑷1d x x；⑸2cos2d x x ；⑹sin 2d x x ；⑺22cos d x x x ；⑻1sin d 33xx -；⑼x；⑽x ；⑾24sec (4)d x x ；⑿324tan sec d x xx ；2x2x. 2.求下列函数的微分或导数（根据你的习惯，先求微分或先求导数都可以）： ⑴y x=；⑵(1)y x =+ ⑶232(3)xa y a x +=++； ⑷232(3)xa y a x +=+；⑸ln ln ln y x =； ⑹3ln y x =； ⑺sin cos m y x mx =； ⑻sin sin sin y x =⑼22sin cos x y x =； ⑽sin cos cos sin x x xy x x x -=+； ⑾2tan cot 2x y x=-； ⑿22tan tan tan 2y x x x =++；⒀23sin cos (tan )y x ⎡⎤=⎣⎦； ⒁2y =.§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 79答案：⑴32y '=；⑵y '=；⑶23212ln 2(3)x a y xa a ax x +-'=++； ⑷22323212ln (3)2(3)xa xa y xa a x a ax x ++-'=⋅++⋅+；⑸1ln ln ln y x x x'=；⑹23ln x y x '=；⑺1sin cos(1)m y m x m x -'=+；⑻cossinsin cossin cos y x x x '=⋅⋅；⑼22222sin 2cos 2sin sin cos x x x x x y x +'=；⑽22(cos sin )x y x x x '=+；`⑾222122sec csc 22x y x x '=-； ⑿22222tan sec 2sec 2sec (2)y x x x x x '=++；⒀233223cos cos (tan )sin(2tan )tan sec y x x x x '⎡⎤=-⎣⎦；⒁22ln 2secy '=⋅3.若圆半径以2cm 等速度增加，求圆半径为10cm 时圆面积增加的速度.答案：240cm s π.3.隐函数和用参数方程表示的函数的微分和导数 函数x y =可以看成“函数方程”)0,0(02≥≥=-x y x y的解.所谓函数方程，就是未知函数)(x y y =满足的恒等式0)](,[≡x y x F 或简写成0),(=y x F由函数方程0),(=y x F 确定的函数)(x y y =称为隐函数（顾名思义，隐藏在方程中的函数）.一个方程(在实数范围内)可能无解(如2210x y ++=)，所以有的方程不能够确定隐函数.由方程确定的隐函数常常是多值的，例如方程122=+y x 至少确定有两个函数|1)y x =≤在这种情形下，要把它们分开来研究，因为微积分研究的是单值函数.在高等多元函数微积分中（在本书下册中），专门有这样的定理，它指出在什么条件下，一个方程(组)能够确定出可微分的隐函数(组).这里假定方程确定有可微分的隐函数，你可按照下面的方法（口诀）求它的微分和导数：在方程两端同时求微分或同时关于自变量求导数，然后解出隐函数的微分或导数. 例14 设方程2522=+y x . 求隐函数)(x y y =分别在点)4,3(与在点)4,3(-的微分和导数.并求圆周2522=+y x 在点)4,3(的切线方程和法线方程(图2-12).解 在方程两端同时求微分，即0d 2d 2=+y y x x ，则得x y x y d d -=；yx x y y -=='d d .或者在方程两端关于自变量x 同时求导数，即022='+y y x (注意y 是x 的函数)，则x yxx y y y x y d d d ;-='=-='. 于是，3,43,433d d ,44x y x y y x y ===='=-=-；3,43,433d d ,44x y x y y x y ==-==-'==.根据直线的点斜式方程，圆周2522=+y x 在点)4,3(的切线方程为33(4)4y x -=--而法线方程为43(4)3y x -=-例15 求幂指函数x y x =的微分和导数（底数和指数上都含有自变量的函数称为幂指函数）.解一 根据对数恒等式ln e y y =，则ln e x x y =. 因此，ln ln ln 1d d(e )e d(ln )e ln d d x x x x x x y x x x x x x x ⎛⎫===+⋅ ⎪⎝⎭(ln 1)d x x x x =+,(ln 1)x y x x '=+.解二 在x y x =两端取对数，则得方程ln ln y x x =. 把其中的()y y x =看作由方程ln ln y x x =确定的隐函数，并在两端同时求微分，则得11d d ln d(ln )ln d d (ln 1)d y x x x x x x x x x x y x=⋅+=+⋅=+ 即得d (ln 1)d (ln 1)d x y y x x x x x =+=+， (ln 1)x y x x '=+或在ln ln y x x =两端同时关于自变量x 求导数，即1ln 1y x y'=+ 因此，(ln 1)(ln 1)x y y x x x '=+=+，d (ln 1)d x y x x x =+.在几何、物理或其他应用科学中，有时用参数方程图2-12§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 81()()()x x t t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩表示曲线或质点运动的轨道.为了求曲线切线的斜率或质点运动的速度，就需要y 关于x 的导数.若()0x t ≠，则有d ()d ()d ()d ()y y t t y t x x t t x t ==（其中d t 为有限量） 例如，圆周cos (02)sin x R tt y R t π=⎧≤≤⎨=⎩，则d cos cot d sin y y R t t x x R t===--(0,,2)t ππ≠ 例16(旋轮线) 设有半径为a 的圆在一直线上(无滑动地)向前滚动，P 为圆周上一固定点，则点P 的运动轨迹是一条曲线(称为旋轮线或摆线).为求它的方程，需要建立坐标系；又为了使方程简化，像图2-13那样，把圆开始滚动时的点P 放在坐标原点上.设圆向Ox 轴正方向滚动，圆半径O P '转过的角为t (弧度)，点P 的坐标为),(y x ，则点P 的运动方程为⎩⎨⎧-=-==-=-==)cos 1(cos )()sin (sin )(t a t a a t y y t t a t a at t x x 图中的曲线是旋轮线的第一拱(02t ≤≤π).⑴ 对于0(0,2)t ∈π，记)(),(0000t y y t x x ==，求旋轮线上点),(00y x 处的切线方程和法线方程；⑵ 验证旋轮线的切线通过滚动圆的最高点，而法线通过滚动圆的最低点(由此得到画切线和法线的方法).解 ⑴t a t y t a t x sin )(),cos 1()(='-='，所以d sin (02)d 1cos y tt x t=<<π- 因此，旋轮线上点),(00y x 处的切线方程为)(cos 1sin 000x x t t y y --=-其中)cos 1(),sin (00000t a y t t a x -=-=；而法线方程为图2-13.)(sin 000x x t y y --=-0()t ≠π或πa x = 0()t =π⑵滚动圆的最高点的坐标为)2,(a at ，而最低点的坐标为)0,(at .把它们分别代入切线方程与法线方程，就可以验证所说结论⑵.习题三1.设由方程2222x xy y x +-=确定隐函数()y y x =，分别在点(2,4)和(2,0)求导数y '答案：2,452x y y =='=；2,012x y y =='=-. 2.求下列由方程确定的隐函数()y y x =的微分或导数：⑴sin cos 0xy y x x y --=； ⑵cos()2x y x -=；⑶)sin(e y x y+=，在点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭； ⑷1ln e =+y y x ，在点)1,0(；⑸0)cos(sin =--y x x y ，分别在点0,2⎛⎫π ⎪⎝⎭与30,2⎛⎫π ⎪⎝⎭. 答案：⑴cos cos sin sin y x y yy x x x y+-'=-+；⑵21sin()y x y '=+-；⑶0；⑷21-；⑸31,122ππ-+.3.求下列幂指函数的导数：⑴11xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ⑵sin x y x =； ⑶223(1)x y x +=+.答案：⑴1111ln 11xy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦； ⑵sin sin cos ln x x y x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭；⑶22322(23)2(1)ln(1)1x x x y x x x ++⎡⎤'=+++⎢⎥+⎣⎦. 4.简单反三角函数的可微性 若函数)(x f y =在某区间,a b 上可微分且有反函数1()x f y -=，则当()0f x '≠(*)时，反函数)(1y f x -=也可微分，其导数为[])(11)(1)(y f x x f y f-=-'='事实上，因为()()y f x x f x ∆=+∆-，即()y y f x x +∆=+∆，所以1()f y y x x -+∆=+∆.注意到00y x ∆→⇐⇒∆→，因此11100()()()()lim lim ()()y x f y y f y x x x f y yf x x f x ---∆→∆→+∆-+∆-'==⎡⎤⎣⎦∆+∆-(*)在§2-4的习题19中指出，()0f x '≠能够保证函数()y f x =有反函数1()x f y -=.§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 8310()011lim()()()()()lim x x f y x x f x x f x f x x f x f x x-∆→=∆→∆===+∆-'+∆-∆⑴ 函数sin y x =可微分且(sin )cos 022x x x ππ⎛⎫'=≠-<< ⎪⎝⎭，所以它的反函数arcsin (11)x y y =-<<有导数()()11arcsin cos sin y x x '=='⑵ 函数cos y x =可微分且()cos sin 0(0)x x x '=-≠<<π，所以它的反函数)11(arccos <<-=y y x也有导数()()11arccos sin cos y x x '====-'⑶ 函数tan y x =可微分且()0sec tan 2≠='x x 22x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，所以它的反函数)(arctan +∞<<-∞=y y x也有导数()()2221111arctan sec 1tan 1tan y x x yx '====++'⑷ 函数cot (0)y x x =<<π可微分且()0csc cot 2≠-='x x (0)x <<π，所以它的反函数)(cot arc +∞<<-∞=y y x也有导数()()2221111arccot csc 1cot 1cot y x x y x '===-=--++'因为习惯上用x 表示自变量，所以常常把上面的反函数及其导数公式中的y 和x 对调位置.习题四⑴y =⑵y =； ⑶arctan e x y =； ⑷2(arc cot )y x =； ⑸22arcsin y x x =； ⑹arccos xy x=.答案：⑴y '=y '=2e 1e x xy =+； ⑷22arccot 1x y x '=-+；⑸322arcsin y x x '=；⑹y '=.5.简单初等函数的微分公式 下面汇集了简单初等函数的微分公式，你根据函数微分和导数之间的关系，当然可以把它们都转换成导数公式.⑴=d 0c⑵-=1d()d x x x μμμ，特别，⎛⎫=-⎪⎝⎭211d d x x x ，=x ⑶=d()ln d x x a a a x ， 特别，=d(e )e d x x x ⑷=1d(log )d ln a x x x a ，特别，=1d(ln )d x x x⑸=d(sin )cos d x x x ⑹=-d(cos )sin d x x x⑺==221d(tan )sec d d cos x x x x x⑻=-=-221d(cot )csc d d sin x x x x x⑼()=<d arcsin (||1)x x x ⑽()=<d arccos (||1)x x x⑾()=-∞<<+∞+21d arctan d ()1x x x x ⑿()=--∞<<+∞+21d arccot d ()1x x x x总结⑴微分运算和导数运算都是线性运算.⑵简单初等函数【除了(1)x μμ<在点0】在它的定义域内每一点处都是可微分的. ⑶求初等函数的微分或导数都是套用规则或公式.第一步运算是：若函数式的最后一次运算为代数运算（和、差、积、商），就按四则运算规则求微分或导数；若函数式的最后一次运算为复合运算，就按链式规则求微分或导数.如此方法反复进行，直到求出微分或导数. 6.二阶导数和二阶微分 若函数)(x y y =在某区间),(b a 内处处可微分，则导数)(x y y '='又是自变量x 的函数(函数值是导数).例如，nx y =，则1-='n nx y .有时称)(x y y '='为导函数，或仍简称它为导数.导函数)(x y y '='的导数，即()()()limx y x x y x y y x∆→''+∆-''''==∆就称为函数)(x y y =的二阶导数 (即“导函数的导数”).例如，当2n ≥时，§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 8512()()(1)n n n n x x nx n n x --'''''===-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦例17 sin y x =，则cos ,sin y x y x ''==-；或者根据三角恒等式（奇变偶不变，符号看象限）做成：cos sin 2y x x π⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭，sin cos cos sin 222222y x x x x x ''⎛⎫πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+=++=+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.同理，(cos )sin x x '=-，(cos )(sin )cos x x x '''=-=-；或者(cos )sin cos 2x x x π⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，(cos )cos sin cos 2222x x x x '⎡⎤πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+=-+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【二阶导数的物理意义】 若质点沿直线的运动方程为)(t s s =，则(加速度)[]0()()()()limt s t t s t s t s t t∆→''+∆-''''==∆0()()lim ()()t v t t v t v t a t t ∆→+∆-'===∆设函数)(x y y =在某区间),(b a 内处处可微分，则微分为d ()y y x x '=∆. 若导(函)数)(x y '在点x 又可微分，则有[][][]2d d(d )d ()d ()()y y y x x y x x y x x x ''''==∆=∆=∆∆22()()()(d )y x x y x x ''''=∆=(这里把x ∆看成与x 无关的有限量)称它为函数)(x y y =在点x 的二阶微分.于是，则当0)(≠''x y 时，二阶微分y 2d 2()(d )y x x ''=是关于基本无穷小量d x x ∆=的二阶无穷小量.因为习惯上常把2)d (x 写成2d x [注意,不是)d(2x ]，所以函数)(x y y =的二阶导数，按照莱布尼茨的记法，则为22d d x y[注意分子与分母上“2”的位置] 由此看出，同一阶导数和一阶微分的关系一样，二阶导数与二阶微分之间的转换也可用“乘或除”运算来完成，即22d d )(xyx y =''， 22d )(d x x y y ''=注意，其中2d x =2)d (x .需要指出，函数)(x y y =的一阶微分x x y y d )(d '=中，不管其中的x 是自变量还是函数)(t x x =，微分x x y y d )(d '=的这种形式不改变(称为一阶微分形式不变性).事实上，若函数)(x y y =中的)(t x x =是函数，即)]([t x y y =，则微分为d d d d d d ()d d d d y x yy t x y x x x t x'=== 但是在二阶微分中，例如函数xy e =的二阶微分中，若x 是自变量，则二阶微分为222d e d d x x y y x =''=而若其中的)(t x x =是函数，则22d d(d )d(d )d(e d )d(e )d e d x x x y y y x x x x '====⋅+⋅22e d e d x x x x =+⋅即多出一项x x 2d e .因此，二阶微分不具有形式不变性！习题五1.求下列函数的二阶导数和二阶微分： ⑴221gt s =； ⑵xy 1=； ⑶x y =； ⑷12+=x y .答案：⑴22d d s g t =；⑵2232d d y x x =；⑶22d y x =； ⑷22d y x =.请你再写出它们的二阶导数.2.设一质点沿直线运动的规律为252010t t s -+=.求它运动的速度)(t v 和加速度)(t a .答案：10)(;1020)(-=-=t a t t v .3.求下面由方程确定的隐函数)(x y y =的二阶导数y ''：⑴122=+-y xy x ； ⑵42ln 2x y y =+； arctane(0)yxa a >.答案：⑴2236()(2)x y xy y x y +-''=-；⑵22262236(1)4(1)(1)x y y x y y y y ++-''=+；⑶2232()()x y y x y +''=-.4.设函数)(x y y =满足方程)sin(e y x y +=. 在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处，求二阶导数y ''和二阶微分y 2d .答案：22d d ;1x y y -=-=''.5.对于用参数方程)()()(βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x x 表示的曲线弧，其中)(t x 和)(t y 有二阶导数且()0x t ≠. 证明：223d ()()()()d [()]y y t x t y t x t x x t -=读者已经知道函数的微分和导数之间的关系.因为微分运算和导数运算是平行的，所以你可根据自己的习惯，先求微分或先求导数都可以.1.求微分d y 或导数y '：⑴29y=； ⑵y =；⑶22e (23)x y x x =-+； ⑷ln y x =；§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 87⑸[]sin(ln )cos(ln )y x x x =-； ⑹arcsin (0)xy a a=>； ⑺1arctan (0)xy a a a=>；⑻y =-；⑼arccos y x x =+； ⑽arctan e arctan e x x y -=+；⑾2arcsin (0)2a x y a a=>；⑿y = ⒀xxax a x y a x x =++； ⒁21tan =xy a.答案：⑴y '=+2y '=⑶2222e (23)e (22)x x y x x x '=-++-；⑷y '=；⑸2sin(ln )y x '=；⑹y '=221y a x '=+；⑻2(1)y x '=+；⑼y x '=； ⑽0y '=；⑾y '=；⑿)21ln y x x'=-；⒀()()()xxaxaxy a x x ''''=++,其中()()()()()ln ln ln e e ln ln ln e x x x xxx x a x axx x x x x a x a aa x a a '''''====()()ln ln e ln ln ln 1x xx x x x x a a x x a a x x '=⋅=⋅+()()()ln ln 1e e ln ln ln xxxx aaxaxxa x x x a x x a a x a x ''⎛⎫'===⋅+⋅ ⎪⎝⎭ ()1ln ln xa x x a a x x -=+()()()ln ln 11e e ln ln aaaaxxxxxa xa a x x x x ax x x x -''⎛⎫'===+ ⎪⎝⎭()111ln (ln 1)aax a a x a x ax x x x x a x ---=+=+因此，()ln ln 1xx x y a a x x '=⋅++()1ln ln xa x x a a x x -+1(ln 1)ax a x x a x -++.⒁2211tan tan 2221111ln tan ln 2tan sec xx y aa a a x x x x '-⎛⎫'=⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ 21tan 222ln 11tan sec x a a x x x=-.2.求d d x y y x '=，其中()y y x =满足方程arctan yx=答案：+'=-x x yy x y. 3.设函数()f u 可微分.求d d x yy x'=，其中： ⑴2()y f x =； ⑵22(sin )(cos )y f x f x =+；⑶()(e )e x f x y f =； ⑷[]{}()y ff f x =.答案：⑴22()y x f x ''=；⑵22sin 2(sin )(cos )y x f x f x '''=-⎡⎤⎣⎦；⑶()e e (e )(e )()f x x x xy f f f x '''⎡⎤=+⎣⎦；⑷[]{}[]()()()y f f f x f f x f x ''''=⋅⋅.4.sin 29;cos151;arctan1.05.答案 1.007≈；sin 290.485≈；cos1510.874;≈- arctan1.050.810≈.5.研究函数2e ,0()1sin ,0x x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0的可微性.提示：分别研究()f x 在点0的左、右导数. 答案：不可微分.6.应用题⑴ 设曲线(y x =+在下列点处求它的切线方程和法线方程：(1,0);(2,3);(3,0)A B C -. 答案：在点(1,0)A -处，曲线的切线方程和法线方程分别是1),1)=+=+y x y x . 在点(2,3)B 处，切线方程为3y =；法线方程为2x =.在点(3,0)C 处，切线方程为3x =；法线方程为0y =(即Ox 轴).⑵ 证明：圆周222R y x =+上任意一点),(b a 处的切线方程和法线方程依次为2R by ax =+ 和 0=-bx ay .⑶ 证明：双曲线1=xy 上任意点),(00y x 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于常数.⑷ 证明：曲线)0(>=+a a y x 上任意点),(00y x 处的切线，在两坐标轴上的截距之和等于常数a .⑸ 求曲线x y 42=与2=xy 在交点处的夹角θ.答案：交角arctan3θ=(或arctan3π-).⑹ 已知曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点)0,1(-相切，求c b a ,,与公切线的方§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 89程.答案：1,1a b c ==-=；公切线的方程是02(1)y x -=+.⑺ 设一质点沿Ox 轴运动的方程为261t t x +-=(长度单位为m ，时间单位为s ).(i)求质点运动的速度)(t v 和加速度()a t ；(ii)求质点运动的初速度)0(v 与4=t 时的速度)4(v 和加速度(4)a ；(iii)质点在何时何处改变运动方向.答案：(i)()()62==-+v t x t t ，()2=a t ；(ii)(0)6=-v ，(4)2=v ，(4)2=a ；(iii)3,8==-t x .。
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m
y
i 1
m
i m
a xi b xi2
i 1 i 1
x y
i 1 i
i
称为一元线性最小二乘法的正规方程组。它是一 个二元线性方程组，可以通过求解得到ａ和ｂ。
b Lxy / lxx a y bx
Lxx为x的 离 差 平 方 和 1 2 Lxx ( xi x ) x ( xi ) m i 1 i 1 i 1
(2)能化为线性拟合的非线性拟合；
(3)非线性拟合
(1)和(2)这两种方法可以归结为线性拟合，从数学处理的
角度就是建立线性代数方程组并求解而获得体系的模型参
数值。第(3)种方法的实质是反复调整体系的模型参数值，
使理论曲线与实验曲线达到最大限度吻合。一旦实现这个 目标，就将此时的一组参数定为体系的模型参数。拟和得 到的参数还可以用作进一步的数据处理。
一、一元线性拟合 一般介绍： 设物理量x与y之间存在着线性关系: y＝a＋bx
当x取值为x1，x2，…xm时，测得的y值分
别为y1，y2，…，ym。现在要根据这m对
（x，y）数据求出 y＝a＋bx中的截距a和斜
率b，建立y与x之间的这种线性关系。这个
问题就是一个一元线性拟合问题。
如果把上述数据画在x--y直角坐标图中，这 些原始数据散点一般不会刚好分布在一条直线 上。这是因为尽管y与x之间在理论上存在线性 关系，但由于实验误差不可避免，散点必然要 偏离直线。为了确定a和b，只能寻找这样一条 直线，它在所有直线中最靠近测量数据(xi， yi)(i=1,2,...m)通常称这样一条特殊的直线为回归 线，与之相应的直线方程称为回归方程。
Q 0 b 2 Q 0 2 b
m m Q 2 yi 2m a 2b xi 0 a i 1 i 1 m m m Q 2 2 xi yi 2a xi 2b xi 0 b i 1 i 1 i 1
整理可得
m a b xi
•
在非线性拟合过程中要反复对参数进行 调整与修改，并反复将算得的理论值与实 验数据进行比较，直到满足给定的允许误 差条件为止。此法的优点是可以求解含多 个参数、模型复杂以及难以用解析法求解 的一些问题。原则上，它仅要求被观测物
理量之间有明确的数学关系式，并有足够
的实验数据，不论模型的形式怎样复杂，
2 2 i m m m
Lxy为x的 离 差 与 y的 离 差 乘 积 之 和 Lxy ( xi x )( yi y )
i 1 m
相关系数： r
Lxy Lxy 平 方 和
m 1 2 2 2 Lyy ( yi y ) yi ( yi ) m i 1 i 1 i 1 m
• 一元线性最小二乘法原理 m m Q i2 ( yi a bxi ) 2
由上式可知，当一组实验观测值给定以后残差平方和 Q是ａ，ｂ的函数，要求得Q为最小值的“ａ和ｂ”， 按微积分中求极值的原理，也就是要满足以下方程：
i 1 i 1
极值条件 极小条件
Q 0， a 2 Q 0， 2 a
都可以用非线性拟合法求待定参数。
• 当然，非线性拟合也不是万能的。首先， 实验数据必须有足够的精度和足够的数量， 这是拟合的根本依据，其次，所用的数学 模型和推导过程必须是合理的，否则只能 在形式上达到最佳拟合，而所得结论是错 误的。另外，有些参数的稳定性很差，拟 合的结果也是靠不住的。 • 由于计算机数值方法的兴起，拟合方法 在各方面得到了广泛应用，以上几点务必 引起注意。
二、多元线性拟合：
简要介绍：在一元回归方程中只有一个自变量， 但实际上影响体系性质y的因素往往是多个，这 时就必须考察应变量y与多个自变量x1,x2,x3,...xn 之间的关系。假设它们之间仍保持线性关系：
这就是—个多元线性回归方程，其解法与一元 线性回归方程的解法十分相似。一元线性回归系 数a和b通过解二阶线性代数方程组求得的，类似 地，n元线性回归系数b1,b2,b3,b4...bn，将通过解 n+1阶线性方程组求得。多元线性回归方程可以通 过调用任何一种高斯消去法函数来求解。
怎样判断一条直线与各原始数据的散点最为靠 近呢？常用的判断标准是“残差平方和最小”。 第i点的残差为
则残差平方和可以表示为:
m i 1 2 i
Q ( yi a bxi )
i 1
m
2
“平方”也称为二乘，因此按照残差平方和最小的 原则求回归线的方法称为最小二乘法。当回归线 是只有一个自变量x和一个应变量y的直线时，该 法称为一元线性最小二乘法。
可以看出，b与r的符号相同，都取决于Lxy。当b>0 和r＞0时称为正相关，当b＜0和r＜0时称为负相关。r的 绝对值愈靠近1．表明y与x的线性相关程度愈为密切。
推荐的一元线性拟和函数：
void lisql(float x[],float y[],int m) { float x0=0,y0=0,lxx=0,lxy=0, lyy =0; int i; for(i=0;i<=m-1;i++) { x0+=x[i];y0+=y[i]; } x0= x0/m;y0= y0/m; for(i=0;i<=m-1;i++) { lxx+=(x[i]-x0)*((x[i]-x0)); lyy+=(y[i]-y0)*((y[i]-y0)); lxy+=(x[i]-x0)*((y[i]-y0)); } b=lxy/lxx; a=y0-b*x0; r=lxy/sqrt(lxx*lyy); }
2.3 实验观测数据的拟合及模型参数的确定 • 一个体系的性质通常可以用包含若干参数 描述体系的参数个数就越多．用参数描述
的数学模型来描述。一般讲，体系越复杂， 体系性质往往比数据列表和图表等更具有
因此，求解体系数学模型的参数是化学实 验数据处理的重要手段。
普遍意义，能够更深刻地反映体系的性质。
•根据实验数据求解模型参数的方法大致可以分为3 类: (1)线性拟合；