第三章 动量守恒定律和能量守恒定律 问题与习题解答

第3章 动量守恒定律和能量守恒定律 问题与习题解答

问题：3-1、3-3、3-7、3-10、3-14、3-19

3-1

如图所示，设地球在太阳引力的作用下，绕太阳作匀速圆周运动。试问：在下述情况下，（1）地球从点A 运动到点B ,（2）地球从点A 运动到点C ，（3）地球从点A 出发绕行一周又返回点A ，地球的动量增量和所受的冲量各为多少？ 答：

选太阳处为坐标原点O ，且O →C 方向为X 轴正方向，O →B 方向

为Y 轴正方向，设地球和太阳的质量分别为,m M ，两者间的距离为r ，地球沿反时针方向作匀速圆周运动的速率为v ，故根据万有引力定律，有：

2

2

v

m M m G

r

r

=，即

v =

（1）地球从点A 运动到点B 的动量增量为：

()())A B B A P m v v m vi vj i j ∆=-=-=-

根据质点的动量定理，地球所受的冲量为：

)A B A B I P m

i j =∆=-

（2）地球从点A 运动到点C 的动量增量和所受的冲量为：

()()2A C A C C A P I m v v m vj vj m

j ∆==-=--=-

（3）同理，地球从点A 出发绕行一周回到A 点的动量增量和所受的冲量为：

()0A A A A A A P I m v v ∆==-=

3-3

在上升气球下方悬挂一梯子，梯子站一人。问人站在梯子上不动或以加速度向上攀升，气球的加速度有无变化？ 答：

（1）人不动，则气球的加速度不变。

（2）以气球及梯子（总质量为M ）与人（质量为m ）为系统，地面为参照系，且设人相对

梯子上爬的速度为v 、气球相对地面的速度为V ，人相对地面的速度为v '

，则有

v v V '=+

如果设气球及梯子与人初始为匀速率0v 竖直上升，则可应用动量守恒定律，得

0()m v M V m M v '+=+

所以， 0()V v m v m M =-+

故得气球的加速度为

d V m d v a d t

m M

d t

=

=-

⋅+气

由此可知，当人相对于梯子的加速度0d v d t

=（相对梯子匀速爬上）时0a =气；

而当

0d v d t

>（加速爬上）时，0a <气。

【选地面为参照系，竖直向上为坐标的正方向；设气球及梯子与人初始的加速度大小为0a ，气球浮力为F F ；当人以加速度r a 向上爬时，气球及梯子的加速度为q a ，此时梯子与人之间的相互作用力大小为T F ，则根据牛顿定律，有

0()()F F m M g m M a -+=+ T r F m g m a -=

F T q F M g F M a --=

解得 00[()]q r a M a m a a M =-- 当人在梯子上不动时， 0r a a =，0q a a =；

当人以相对加速度0r a a -爬上时，气球及梯子的加速度00[()]q r a M a m a a M =--，有变化。】

【或应用质心运动定律求解。

将人与气球及梯子看成一个系统，其质心的加速度为

r q m a M a a m M

+=+

因为系统所受合外力恒定，故

0r q m a M a a m M ∆+∆∆==+

即得 r q m a a M

∆∆=-

，表明气球加速度的改变与人的加速度变化有关，改变的方向相

反。】 3-7

在水平光滑的平面上放一长为L ，质量为m '的小车，车的一端站有质量为m 的人，人和车都是静止不动的。当人以v 的速率相对地面从车的一端走向另一端，在此过程中人和小车相对地面各移动了多少距离？ 解：

如右图，设人、板相对于地面的速率分别为()v v t =、()u u t =，方向如图所示； 因为人和板组成的系统沿水平方向的合外力为零，故根据动量守恒定律得

0m u m v '-= 即 u m v m '=，

人相对于板的速率为

()m m v v t v u v m '+''==+=

⋅'

，设从板的一端走到另一端需要的时间为t ，则有

t t m m m m L v d t vd t x m m ''++'=

=

=

⋅'

'

⎰

⎰

，

上式中，0

t x vd t =⎰

为人相对于地面移动的距离， 所以，人相对于地面移动的距离为

m L x m m

'=

'+，

板相对于地面移动的距离为 m L S L x m m

=-='+ 。

【或应用质心运动定律求解：

选地面为参照系，开始时人的位置0x 为坐标原点，人走到车的另一端时人的坐标为1x 、车的中心位置坐标为1x '；

人车系统所受合力为零，则根据质心运动定律，有

0()

C d v m m d t

'=+ ，即得 C v C =

又由初始条件 00C v =

，得 0C v =

所以质心位置不变： 00

11C m x m x m x m x x m m m m ''''++=

=

'

'

++

即有 00

11m x m x m x m x ''''+=+ 110()2

2L L m m x m x '

'+=+-

解出 1m L x m m

'=

'+， 1m L S L x m m

=-=

'+ 】

3-10

质点的动量和动能是否与惯性系的选择有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理和动能定理是否与惯性系有关？请举例说明。 答：

在两惯性系（,S S '）中，质点的速度关系为v v u '=+

，故由p m v = 和2

12

K E m v =

知