曲率的计算公式

§3.7 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
曲线的弯曲线程度 与哪些因素有关. 怎样 度量曲线的弯曲程度？
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一、弧微分
•曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数. 在曲线yf(x)
上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向.
Ds0 Ds ds
ds
曲率：
记 K lim D
Ds0 Ds
称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率.
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❖曲率的计算公式
在 lim D d 存在的条件下 K d .
Ds0 Ds ds
ds
设曲线C的方程为yf(x) 且f(x)具有二阶导数.
因为tan y 所以
sec 2dydx
计算？
3. 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 提示：
1. 设直线方程为yaxb 则ya y 0. 于是K0.
2.
K
|j(t)y (t) j(t)y (t) | [j2(t)y 2(t)]3/2
.
3. 圆的参数方程为xR cos t yR sin t .
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三、曲率圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ曲率半径
❖曲率圆与曲率半径
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❖弧微分公式 设x xDx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x)
上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以
ds lim Ds lim (Dx)2 (Dy)2 lim 1(Dy)2
dx Dx0 Dx Dx0
|Dx|
Dx0
Dx
1 y2 . 由此得弧微分公式
ds 1 y2 dx .
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二、曲率及其计算公式
观察与思考： 观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量
曲线的弯曲程度？ 提示：
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度.
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❖曲率 设曲线C是光滑的 曲线上
x2
x3
因此y|x11 y|x12. 曲线在点(1 1)处的曲率为
K
| (1
y| y2)3
2
2 (1(1)2)3 2
1 2
2. 2
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曲率的计算公式： K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
.
例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？
解 由yax2bxc 得
y2axb y2a 代入曲率公式 得
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( (
一、弧微分
•有向弧段 M0M 的值 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称
弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0.
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 ss(x).
s<0
s>0
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K
| 2a |
.
[1(2axb)2]3 2
显然 当2axb0时曲率最大.
曲率最大时 x b 对应的点为抛物线的顶点. 2a
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|.
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讨论：
1. 直线yaxb上任一点的曲率是什么？
2. 若曲线的参数方程为xj(t) yy(t) 那么曲率如何
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.
y0.8x y0.8
y|x00 y|x00.8. 把它们代入曲率公式 得
K
| y| (1 y2)3
2
0.8.
抛物线顶点处的曲率半径为
rK11.25.
因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长.
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d
y
sec2
dx
1
y
tan2
dx
y 1 y2
dx
.
又知 ds 1 y2 dx 从而得曲率的计算公式
K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
.
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曲率的计算公式： K
d
ds
| (1
y| y2)3
2
.
例1 计算等边双曲线xy1在点(1 1)处的曲率.
解解
由
y
1 x
得
y 1 y 2 .
点M对应于弧s 在点M处切线的
倾角为 曲线上另外一点N对
应于弧sDs 在点N处切线的倾
角为D .
平均曲率：
记 K D
Ds
称 K 为弧段 MN 的平均曲率.
曲率：
记 K lim D
Ds0 Ds
称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率.
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❖曲率的计算公式
在 lim D d 存在的条件下 K d .
设曲线在点M处的曲率为K(K0).
在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为
rK1的圆.
上述圆叫做曲线在点M 处的曲率圆 其圆心叫做曲
曲率半径
曲率中心
率中心 其半径r叫做曲率半
径.
❖曲率与曲率半径关系
曲率圆
r 1
K
K
1
r
.
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？