第5章有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的实现介绍
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n 0
N 1
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实 部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:
hn sin n sin cos hn cosn
n N n
N
将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应 用三角函数的恒等关系得：
第5章
5.1
5.2 5.3
有限长单位脉冲响应（FIR）滤 波器的设计方法
线性相位FIR滤波器的特点
窗口设计法 频率采样设计法
5.4*
5.5
FIR滤波器的最优化设计法
IIR与FIR数字滤波器的比较
1
y ( n) FIR数字滤波器的差分方程描述：
N 1 i 0
a x(n i )
i 0 i
i
N 1
所以系统函数亦可表示为：
H ( z ) ai z
(1)
FIR滤波器为有限长单位脉冲响应滤波器，且：
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(2)
比较(1)、(2)两式可知 ai h(n) 。
2
FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)：
优点: (1)很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处 理、数据传输等系统中非常重要； (2)可得到多带幅频特性；
10
H ( e j ) e
N 1 j 2
N23 N 1 N 1 j n j n N 1 2 2 e ) h hn (e 2 n 0
N 3 2
N 1 j 2
n
N 1 N 1 2
h n e j n
N 1 j 2
N 1 j N 1 n j n h n e e h e 2 n0
4
5.1
线性相位FIR数字滤波器的特性
5.1.1 线性相位的条件
线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即:
( )
式中为常数，表示此时通过这一系统的各频率分量的时
延； 系统的群时延为:
d ( ) g d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
H e j h n e jn H e j ( ) H e j
(3)极点全部在原点(永远稳定)，无稳定性问题；
(4)任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足；
(5)无反馈运算，运算误差小。
3
缺点：
（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的 阶数为代价；
（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。
N 3 N 1 j 2 N 1 N 1 2 e h 2hn cos n 2 2 n 0
( N 3)/ 2 N 1 N 1 H ( ) h 2h(n)cos n 2 2 n 0
H 则：
n 0
( N 1) / 2
a(n) cos n
对这些频
12
由于 cos n关于 0，，2 偶对称，因此 率也呈偶对称，有 H ( ) H (2 ) 。
2．h(n)偶对称，h(n)=h(N-1-n)， N为偶数。
H e j
hn e
hnsin n
n
6
N
满足上式的条件是：
N 1 2 h n h N 1 n
, 0 n N 1
另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附 加的相位，即：
()
系统的群时延为:
h(n) 奇对称
图5.1.1 线性相位特性
8
5.1.2 线性相位FIR滤波器的幅度特性
对于线性相位FIR 滤波器h(n)有奇对 称和偶对称两种情 况，且每种情况包 含了N为奇数和偶 数，所以共分四种 情况:
h(n) h(n)
0
1
2
3 4
5
6
n
0
1
2
3
4
5
n
(a) h(n) h(n)
(b)
4 1 2 3
5
6
3
4
5
n
0
1
2
n
(c)
(d)
图5.1.2
线性相位FIR滤波器h(n)的四种对称形式
9
1．h(n) 偶对称，h(n)=h(N-1-n)，N为奇数 。
H e
j
H e
N 1 n 0 N 3 2
j
h(n)
h(n)e j n
0
1
2
3 4
5
6
nBiblioteka Baidu
N 1 j n h n e h e 2 n 0
N 1 ( ) 2
11
令
，则
( N 1) / 2
N 1 H ( ) h 2
m1
N 1 2h( m) cosm 2
N 1 N 1 N 1 n , n 1,2,, , a(n) 2h 令： a(0) h 2 2 2
利用类似的关系，可以得出： 2 h n h N 1 n
d ( ) g d
N 1 2
7
0
2
0
2
2
( N 1)
( N 0.5)
h( n)
偶对称
n 0 N 1 2 n 0
N 1 2
j n
h N 1 n e j N 1 n
N 1
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实 部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:
hn sin n sin cos hn cosn
n N n
N
将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应 用三角函数的恒等关系得：
第5章
5.1
5.2 5.3
有限长单位脉冲响应（FIR）滤 波器的设计方法
线性相位FIR滤波器的特点
窗口设计法 频率采样设计法
5.4*
5.5
FIR滤波器的最优化设计法
IIR与FIR数字滤波器的比较
1
y ( n) FIR数字滤波器的差分方程描述：
N 1 i 0
a x(n i )
i 0 i
i
N 1
所以系统函数亦可表示为：
H ( z ) ai z
(1)
FIR滤波器为有限长单位脉冲响应滤波器，且：
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(2)
比较(1)、(2)两式可知 ai h(n) 。
2
FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)：
优点: (1)很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处 理、数据传输等系统中非常重要； (2)可得到多带幅频特性；
10
H ( e j ) e
N 1 j 2
N23 N 1 N 1 j n j n N 1 2 2 e ) h hn (e 2 n 0
N 3 2
N 1 j 2
n
N 1 N 1 2
h n e j n
N 1 j 2
N 1 j N 1 n j n h n e e h e 2 n0
4
5.1
线性相位FIR数字滤波器的特性
5.1.1 线性相位的条件
线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即:
( )
式中为常数，表示此时通过这一系统的各频率分量的时
延； 系统的群时延为:
d ( ) g d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
H e j h n e jn H e j ( ) H e j
(3)极点全部在原点(永远稳定)，无稳定性问题；
(4)任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足；
(5)无反馈运算，运算误差小。
3
缺点：
（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的 阶数为代价；
（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。
N 3 N 1 j 2 N 1 N 1 2 e h 2hn cos n 2 2 n 0
( N 3)/ 2 N 1 N 1 H ( ) h 2h(n)cos n 2 2 n 0
H 则：
n 0
( N 1) / 2
a(n) cos n
对这些频
12
由于 cos n关于 0，，2 偶对称，因此 率也呈偶对称，有 H ( ) H (2 ) 。
2．h(n)偶对称，h(n)=h(N-1-n)， N为偶数。
H e j
hn e
hnsin n
n
6
N
满足上式的条件是：
N 1 2 h n h N 1 n
, 0 n N 1
另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附 加的相位，即：
()
系统的群时延为:
h(n) 奇对称
图5.1.1 线性相位特性
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5.1.2 线性相位FIR滤波器的幅度特性
对于线性相位FIR 滤波器h(n)有奇对 称和偶对称两种情 况，且每种情况包 含了N为奇数和偶 数，所以共分四种 情况:
h(n) h(n)
0
1
2
3 4
5
6
n
0
1
2
3
4
5
n
(a) h(n) h(n)
(b)
4 1 2 3
5
6
3
4
5
n
0
1
2
n
(c)
(d)
图5.1.2
线性相位FIR滤波器h(n)的四种对称形式
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1．h(n) 偶对称，h(n)=h(N-1-n)，N为奇数 。
H e
j
H e
N 1 n 0 N 3 2
j
h(n)
h(n)e j n
0
1
2
3 4
5
6
nBiblioteka Baidu
N 1 j n h n e h e 2 n 0
N 1 ( ) 2
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令
，则
( N 1) / 2
N 1 H ( ) h 2
m1
N 1 2h( m) cosm 2
N 1 N 1 N 1 n , n 1,2,, , a(n) 2h 令： a(0) h 2 2 2
利用类似的关系，可以得出： 2 h n h N 1 n
d ( ) g d
N 1 2
7
0
2
0
2
2
( N 1)
( N 0.5)
h( n)
偶对称
n 0 N 1 2 n 0
N 1 2
j n
h N 1 n e j N 1 n