量子力学基础

《大学物理》作业 No .8量子力学基础

班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个答案正确。） 1. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系： [ C ] (A)

v ∝λ (B) v 1

∝λ (C) 2211c

v -∝

λ (D) 22v c -∝λ 解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式 2

201

1c v m mv h

p -=

==

λ

得2

20

1

1c v m h -

=λ，即2211c v -∝λ

2. 不确定关系式 ≥∆⋅∆x p x 表示在x 方向上

[ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定

(C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定

3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 [ D ] (A) 增大2

D 倍。 (B) 增大2D 倍。 (C) 增大D 倍。 (D) 不变。

4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：

)(23cos

1)(a x a a x a

x ≤≤-=

πψ

那么粒子在6

5a

x =处出现的概率密度为 [ A ] a 21(A )

a

1

(B) a

21(C) a 1(D)

解：概率密度 )23(cos 1)(22

a

x

a x πψ=

将65a x =代入上式，得 a

a a a x 21)6523(cos 1)(22=⋅=πψ

5. 波长 λ = 5000 Å的光沿x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量∆λ=103-Å，则利用不确定关系h p x x ≥∆⋅∆可得光子的x 坐标的不确定量至少为：

[ C ] (A) 25cm （B ）50cm (C) 250cm (D) 500cm 解：由公式p =

λh

知： △322105000

-⨯-=∆-=h h p λλ 利用不确定关系h p x x ≥∆⋅∆，可得光子的x 坐标满足

91025⨯=∆≥

∆x

p h

x Å=250cm

二、填空题

1. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比=αP :p p

1:1 ；动能之比=αP :E E 4:1 。 解：由p =

λ

h

知，动量只与λ有关，所以1:1:αP =p p ； 由非相对论动能公式m

p E 22

k =，且αp p p =，所以1:4:αP ==p m m E E α

2. 在B = 1.25×10

2

-T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗

意波长是 0.1 Å 。(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷e = 1.6×10-19

C)

解：由牛顿第二定律=

evB 2R mv 2得eBR mv p 2==，又由λ

h

p =得 1.0(m)10998.010

66.11025.1106.121063.62112

21934

≈⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===-----eBR h p h λÅ 3. 若令c

m h

e c =

λ (称为电子的康普顿波长，其中m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普

朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是λ=

3

1

λc 。

解：由题意,202k c m mc E -= 所以2

20222c m c m mc E e ===

又λ

h c m E E c p E c p E e ==-=

∴+=31,2

022

0222 所以有c e c m h p

h

λλ3

1

3===

。 4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1nm (1nm =10-9

m), 电子束垂直射在单缝上，则

衍射的电子横向动量的最小不确定量=∆y p s N 1006.124⋅⨯-（或s N 1063.624

⋅⨯-）。

(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s)

解：根据a y p y y =∆≥∆⋅∆, ，得 24

9

341006.110

1.01006.1---⨯=⨯⨯=≥∆a p y (N ⋅s) 若用公式h p y y ≥∆⋅∆，则可得 241063.6-⨯=≥

∆a

h

p y (N ⋅s)

5. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是概率波，波函数不表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。

三、计算题

1. α粒子在磁感应强度为B = 0.025 T 的均匀磁场中沿半径为R =0.83 cm 的圆形轨道运动． (1) 试计算其德布罗意波长．

(2) 若使质量m = 0.1 g 的小球以与α粒子相同的速率运动．则其波长为多少？

(α粒子的质量m α =6.64×10-27 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60

×10-19 C)

解：(1) 德布罗意公式：)/(v m h =λ

由题可知α 粒子受磁场力作用作圆周运动

R m B q /2v v α=，qRB m =v α

又 e q 2= 则

eRB m 2=v α 4分

故 nm 1000.1m 1000.1)2/(2

11--⨯=⨯==eRB h αλ 3分

(2) 由上一问可得 αm eRB /2=v 对于质量为m 的小球

αααλλ⋅=⋅==

m

m m m eRB h

m h 2v =6.64×10-34 m 3分

2. 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它