三重积分对称性

o
x
A
y
x yP
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
2015年11月4日5时11分
11
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
dr
r sin
r sind
dv r2 sindrdd ,
r
rd
d
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
2015年11月4日5时11分
3
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面x2 y2 3z
所围的立体.
x r cos
解
由
y
r
sin
,
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1,
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
2015年11月4日5时11分
16
由三重积分的性质知 V dxdydz ,
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
9
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
2015年11月4日5时11分
10
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P，
r
M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
0
4 5 10
2015年11月4日5时11分
15
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
三个有次序的数 r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
2015年11月4日5时11分
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z z.
2015年11月4日5时11分
z
M (x, y, z)
z
o
r P(r, )
y
x
2
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
dv rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
2015年11月4日5时11分
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例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz ，其中 是锥面
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
0 r 4
1 :
r2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
2015年11月4日5时11分
7
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1 8
I1 rdrd r2 fdz
0
0
0
2
4
sin
(
2a)3 d 4 (
2 1)a3 .
0
3
3
2015年11月4日5时11分
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补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域关于 xoy平面对称，且被 积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分为 零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z 的偶函数，则三重 积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分 的两倍.
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M(x, y,z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 Fra Baidu bibliotek数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
M(x, y,z)
o
x
r
y
P(r, )
2015年11月4日5时11分
1
如图，三坐标面分别为
是曲线 y2 2z ， x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
2015年11月4日5时11分
6
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
r
3,
2015年11月4日5时11分
4
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
2015年11月4日5时11分
5
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
2015年11月4日5时11分
8
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y,z) 为空间内一点，则点M 可用
2015年11月4日5时11分
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例５ 利用对称性简化计算
cos
4
2015年11月4日5时11分
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I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin3dr
0
0
0
2
4 sin3
0
1 a5 5 (cos5
0)d
a5. 10
2015年11月4日5时11分
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解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,