第5章 系统工程-结构模型ISM

结构模型ISM(Interpretive Structure Model )邻接矩阵的数学形式 （图论－矩阵）（见后面） 设系统S 有n 个元素， S=［e 1、e 2、…e n ］ 则邻接矩阵A = 111112112212221121212n n n n n nn nS e a a a S e a a a S e a a a nS S S e ee ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 当S i 对Sj 有影响 其中各元素 a ij ＝0 当S i 对Sj 无影响这是布尔矩阵，应遵循布尔矩阵运算规则①逻辑和 AUB ＝C （C 为布尔矩阵对应元素）c ija ij Ub ijmax {},ij ij a b②逻辑乘 A B ＝C （C 为布尔矩阵对应元素） cijaijbijmin {},aij bij③A 和B 乘积 AB=D d ij a i1 b 1j a 12b 2j …{}in njik kj i11j i22j in nj 1a b a b =max min(a ,b ),min(a ,b ),,min(a ,b )n k =邻接矩阵的性质①邻接矩阵与系统结构模型图一一对应12345123450000010000100100010000100e e e e e e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦③邻接矩阵A 转置后的A T 是与A 相应的结构模型图箭头反过来后的图的相应的邻接矩阵010001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦123123000101010e e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦③邻接矩阵中如有一列元素都是0（如第I 列），则e i 是系统的源点，如图中的（e 5），如有一行（如K 行）元素全为0，则e k 为汇点，如图中的e 1④如果从e i 出发经k 段支路到达e j ， 我们就说e i 与e j 之间有“长度”为k 的通路存在。

我们计算A K ，得出的n ×n 方阵中各元素表示的便是相应各单元间有无“长度”为k 的通路存在。

以上图为例122345000000000000000100001000000000100101001000100001000010010010001000010010010e e e e e A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦三行三列的1表示e 3对e 1有经过e 4的间接影响 四行一列的1表示e 4对e 1有经过e 3的间接影响⑤如果我们需要知道从某一单位出发可能到达哪一些单元，则可以把A （直接地）、A 2，A 3…（间接地）结合在一起进行研究，取 R ＝A A 2A 3…A n有时为方便起见，我们认为任何Si 到自身也是可达的，这再加一个单位短阵，取 R ＝I A A 2A 3…A n我们称R 为可达矩阵，R 也是n ×n 方阵，其每元素C ij 表明S i 可否达到S j R 的简便算法（上式占有存贮单元多） 考虑到（I A ）2＝［I （I A ）］[A(I A)]=I A A 2 以此类推 （I A ）n =I A A2…A n ＝R 所以只算（IA ）n 就可以了不仅计算量少，而且存储中间结果少，R ＝（IA ）5＝51000000000100000100010000110000010*******0110000100010010110000010010010111⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它表明，e 1能达到本身，e 2可达e 1，e 2，e 3；e 4可达e 1，e 3，e 4；e 5可达e 1，e 3，e 4和本身e 5⑥如有回路存在，R 中必有子矩阵是满阵，如R 中三，四行和三，四列元素都是1，对应于e 3和e 4的回路，我们称从e 3到e 4与e 4到e 3都有连接的关系称为强连接。

⑦如结构模型图中无回路，则必然有这样一个()v v n ≤存在，使得0,K A K v =≥如果从可达矩阵看，则必然是T RR I =设已知 可达矩阵1000011000101101011010111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其结构模型图？共有五个步骤对可达矩阵进行分解 (1)，[]1();S S Z Z ⎡⎤∏⨯=⎣⎦关系划分(2)，[]212(),,,,k E L L L ∏=级别划分(3)，[]3(),E I K ∏=分部划分(4)，判明4()k L ∏是否强连接(有否回路)？ (5)，[]512(),,,,P E C C C ∏=如有强连接，求最大回路？SM 是由人和计算机通过多次对话建立起来的。

建模步骤一般工程系统因系统由各个零件和子系统按一定方式结合而成的邻接矩阵比较容易得到；但复杂系统特别是社会、经济系统则可达矩阵易得 (因为容易判断有无关系)，但邻接矩阵不易得(分不清直接、间接)所以分两步：第一步：先通过人机对话求可达矩阵； 第二步：再经过一定处理求结构模型。

第二步：由可达矩阵求结构模型为构成结构模型，需划分关系，明确系统的层次与结构细节。

(一)关系划分1()S S ∏⨯按各元素之间是否可达，划分为两大类,Z Z ；存在关系为Z ，否则为Z 。

根据可达矩阵，元素是1或0，很容易划分。

公式为[]1();S S Z Z ⎡⎤∏⨯=⎣⎦已知某系统表达矩阵为12345671234567100010101000000010110.0101000000010000101100000101S S S S S S S S S S S S S S ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦共49个元素，有15个1，34个0，划分后：[]1();[(1,1),(1,5),(1,7),(2,2),(3,3),(3,5),(3,6),(7,5),(7,7)][(1,2),S S Z Z ⎡⎤∏⨯==⎣⎦(1,3),(1,4),(1,6),(7,6)](二)级别划分2.1对每一单元Si 我们把Si 可达的单元汇成一个集合，称为Si 的可达集(或后果集)R(Si)；再把所有可达到Si 的单元汇成一个集合，称为Si 的前因集A(Si)。

从可达矩阵很容易得到这两个集合。

在Si 行中元素为1的列单元都在R(Si)之内， 在Si 列中元素为1的行单元都在A(Si)之内，2.2 Si 为最上级单元的条件为()()()i i i R S R S A S ={}212(),,,k S L L L ∏=得出最上级，暂时去掉,用同法可得次一级。

可用公式表示级别划分为便于表达，可引入第零级L 0，它是个空集0L φ=，则各级中元素的迭代求法可用下列公式表述：{}011111()()()j i j j i j i j i L S S L L L R S R S A S ----=∈----=其中1()j i R S -与1()j i A S -分别表示从(011j S L L L -----)子集中求得的Si 的可达集与前因集。

实际应用时用下列的表。

2.3表 表一 从表中可见，L1=[2，5](最上级的单元) 表二 L 2=[3，4，6，7]——第二级去掉3，4，6，7按012S L L L ---去找可得 表三因此 L 3=[1](三)分部划分3()S ∏把系统划分成为无直接或间接联系的几个部分，步骤自下而上。

第一步首先求底层单元B()i A S()i A S()i A S{}()()()i i i i B S S A S A S R S =∈=本例1，3，4，6四个单元合乎上述条件第二步再求哪些单元和它们是在一个部分(有向图)之 内。

如Si,Sj 的可达集有共同单元就是R(S i ) ，R(S j )的交集不是空集。

[()()]i j R S R S ≠∅则它们是同一个部分之内本例中，R(1)，R(3)，R(5)，R(6)，R(7)中有共同单元S 5，即[(1)(3)(5)(6)(7)][5]R R R R R =≠∅所以13567,,,,S S S S S 在一部分里，而因为4()R S 中与S 1，S 3，S 6无共同单元。

所以可以肯定S 4不在这一部分之内：[][][](1)(4)(3)(4)(6)(4)R R R R R R ===∅第三步2()S ∏我们再根据各可达矩阵中的单元，就可以确定，S 5与S 7是在S 1，S 3，S 5，S 6那一部分里，S 2在S 4那一部分里，因此[][]{}3()1,3,5,6,7;2,4S ∏=，我们从横的方面把七个单元分为两块(四)是否强连接单元的划分4()S ∏4.1判别准则如某单元不属于强连接部分，则对本层来说，它的可达集正是它本身，即()k i L i S R S =k l R 中k L 表明只对K 级这一层言这样，可得各层类是否有强连接 (级)分成两类，一内的，称I 类； 即 []4(),k L I k ∏=，I 和K 中很可能有一个是空集∅，但不都是空集。

4.2按不同集区分 在本例中，第一级 1(2)2;(5)5L L R R == 本级只有这两个单元，故[][]{}41()2,5;L ∏=∅第二级22(3)[3,6];(7)7L L R R ==22(4)4;(6)[3,6],L L R R ==因此[][]{}42()4,7;3,6L ∏=对第三级而言3(1)1L R = 因此[]{}43()1;L ∏=∅从上面划分可知在本层内，1，2，4，5，7全不在强连接内，3，6在强连接之内，而3，6又在第二级，所以第二级有一个强连接。

(五)强连接子集的划分5()S ∏这里的划分是要把具有强连接的子集回路划分出来512()[,,]y S C C C ∏=其中i C 表示一个最大回路集，Y 是这种回路的数组。

这里讲的“最大”是指如果在这个集合中再增加一个元素，就会破坏回路的性质。

本例中Y=2，[3，6]经过五步划分，可构成结构模型如后 第一步由2()S ∏已知第一级2，5； 第二级3，4，6，7； 第三级10 (纵)(2)从3()S ∏可知(横)可分两个部分。

即图中划在左、右两边的1，3，5，6，7和3，6 (3)从4()S ∏与5()S ∏划分可知3，6为强连接回路；(4)再从1() S S∏⨯可知：存在下列关系：17;35;65;75;42→→→→→利用这些关系划在图上，可得结构模型。