圆轴扭转时横截面上的应力1

1 Pa 1 N/m
6 9
2
2 2
（帕）
（兆帕） （吉帕）
1 MPa 10 Pa 1 N/mm
1 GPa 10 Pa 1 kN/mm
工程制单位：Kgf/mm2，kgf/cm2。
2 轴向拉伸与压缩时杆的应力· 强度条件
一、横截面上的正应力
a F b a
c F
F
b
a
d c
c d
BC
CD
FN2 10 103 N 20 MPa 6 2 A 500 10 m
FN3 30 103 N 60 MPa 6 2 A 500 10 m
式中，负号表示为压应力；正号表示为为拉应力。
三、强度条件：
杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力
max
强度条件的应用
3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的
不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到 影响”。
二、 斜截面上的应力
k
1、 斜截面上的应力 以 p 表示斜截面 k - k上的应 力，于是有
F

k
F
k
F p A
F
k pα
Fα
A A cos
F F
d
F
F
D
解：杆件横截面上的正应力为:
4F 4 20 103 N 145.5 MPa 2 2 2 2 2 ( D d ) (0.02 0.015 ) m
因为 [ ] 156 MPa 所以满足强度校核。
例3 结构中 BC 和 AC 都是圆截面直杆，直径均为 d 20 mm
对截面内的一点产生顺时 针方向力矩的切应力为正， 反之为负。
F1
Байду номын сангаас
τ
P
ΔA M
正应力：σ
切应力：τ

p
2 2
F2
应力特点： 1. 应力是矢量； 2. 同一横截面上，不同点处的应力一般不同； 3. 过同一点，不同方位截面上的应力一般不同。
应力量纲：[力]· [长度]-2
应力单位：
国际单位：
m
F

FN
FN

m m
F
m
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线 段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假
设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横
截面上各点处的正应力 都相等。 4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
FN 。 A
注意：
1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些 特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假 设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。
已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力
作用如图所示，F1=10 KN， F2=20 KN ， F3=20 KN 。试求直杆 各段的正应力。
F1
A 1 B 2 C 3 D
F2
1 1m 2 2m
F3
3 1.5m
30kN
解：作轴力图
FN
10kN
x
10kN
应力计算：
AB
FN1 10 103 N 20 MPa 6 2 A 500 10 m
2.符号的规定 （1）α角
F 逆时针时 为正号 顺时针时 为负号
k
F

k
自 x 转向 n
n
拉伸为正 （2）正应力 压缩为负
F

k
x
pα
（3）切应力
对研究对象任一点取矩. 顺时针为正
逆时针为负


pα
讨论：
n
2
p cos cos
p sin
BC为 Q235钢杆，其许用应力 1 160 MPa ；AC为木杆，其许
杆，挂相同重物，哪根杆危险？ 若 WC WC , 哪根杆危险？
A
A
B
B
C
C
Ⅰ.应力的概念：构件截面上的内力分布集度，称为应力。 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力，pm 而言，随所取ΔA的大小而不同。 F1 ΔFS M ΔA M
F ，其方向和大小一般 A
F F p cos cos A A
k
将应力 pα分解为两个分量： 沿截面法线方向的正应力
F

F
k n
p cos cos2
沿截面切线方向的剪应力 F
k

k pα
x
p sin

2
sin2


pα

k
(1)当 = 00 时， (2) = 450 时，
F
k



2
sin2
x
max

2
0
max
k

2
(3) = -450 时， min
(4) = 900 时，

0,
2 0
例1
答疑课程：工程力学《一》 2014-11-09
知识点
1、应力的概念
2、轴向拉伸与压缩时杆件的应力·强度条件
3、材料的力学性能 4、应力集中的概念 5、圆轴扭转时的应力·强度条件 6、梁的弯曲应力·强度条件 7、提高构件强度的措施
1
应力的概念
思考： AB杆、A′B′杆材料相同，A′B′杆截面面积大于AB
FN max [ ] A
(1) 强度校核
FN max [σ ] A FN max (2)设计截面 A [ ] (3)确定许可荷载 FN max [ ] A
例2
一空心圆截面杆,外径 D 20 mm ,内径 d 15 mm ,承受
轴向载荷 F 20 kN 作用，材料的许用应力 156 MPa ，试校 核杆的强度。
F
b
d
1. 变形现象
F
b
a
a
c
c d
F
b
d
(1) 横向线ab和cd仍为直线，且仍然垂直于轴线; (2) ab和cd分别平行移至a'b'和c'd' , 且伸长量相等. 结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同. 2. 平面假设： 变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，且 仍垂直于轴线.
F
F1

p

F2
F2
该截面上M点处分布内力的集度为 p lim
A0
F dF ，其 A dA
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
F1 ΔFS M ΔA F1

M
F
p

F2
F2
总 应 力 p
法向分量 正应力
切向分量 切应力
背离截面的正应力为正， 指向截面的正应力为负。