岩土工程数值分析

1.1 应力应变分析 一、应力张量
a
3
土的本构模型
x
x
z
z
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy
x z x xy xz
ij yx
y
yz
yz
zx zy z
zx zy z
xy
yx
yy
11 12 13
21
22
23
31 32 33
有效应力（也称应力强度、或广义剪应力）
3 J 21 2(1 2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2
在简单拉伸时，应力强度还原为简单拉应力
1 1 2 0 故
有效剪应力（也称剪应力强度）
T J21 6(12 )2 (23 )2 (31 )2
在纯剪时剪应力强度还原为简单剪应力
1 0 2 0 3 0故 T ＝
a
10
土的本构模型
等斜面与八面体
3
2
1
l mn 1
a
3
11
土的本构模型
八面体上正应力
8 N 1 l 2 2 m 2 3 n 2 1 3 ( 1 2 3 ) m I 1 3
八面体上剪应力
8N1 3 (12)2(23)2(31)2
2 3
J2
2
3
82 94(122232)
a
12
土的本构模型
应力张量可分解为： ij Pij Sij
球应力张量：
m 0 0
Pij 0 m
0
mij
0 0 m
a
6
土的本构模型
偏应力张量：
Sij xyx m
xy y m
xz yz
S1 1 S2 1
S1 2 S2 2
S1 3
S2
3
zx
zy z m S31 S32 S33
ij mij
应力球张量也称为静水压力张量，对于金属材料，一般 认为，静水压力只产生材料的体积变形，不引起形状改 变。对于金属材料，描述其塑性变形时一般与静水压力 无关。偏应力张量只引起形状a 改变，不引起体积变化。 7
a
18
土的本构模型
f(破坏点) 1/a
正常固结粘土与松砂应力－应变双曲线 a
q1
3
1 ab1
19
土的本构模型
上图中，1/a为双曲线初始切线斜率，1/b为双曲 线渐近线值(极限值 qul t (13)ul)t 。
破坏比： R (1 3) f
(1 3)ult
加工硬化曲Leabharlann Baidu：土体在加载时，主应力差 (13) 随着应变的增加而不断增加。
土的本构模型
应力张量
球应力张量
偏应力张量
a
8
土的本构模型
应力偏量不变量
s3J1s2J2sJ30
J1 (x m)(y m)(z m)Sx Sy Sz 0
J2
(SxSy
SySz
SzSx)Sx2y
Sy2z
Sz2x
S1S2
S2S3
S3S1
1 2
(Sx2
Sy2
Sz2)Sx2y
Sy2z
Sz2x
1 2
(S12
P
r
O
tan x y1 32 2 1 1 331 3 3
1
2 2 1 1 33a 321 的模与方位角（罗德角）
x
15
土的本构模型
三、应变分析
x
ij
1
2
yx
1 2
xy
y
1
2 1
2
xz yz
1 2
zx
1 2
zy
z
m 0
0
m
0 0
ex e yx
e xy ey
O Q ON
ON 3mI1 3
OQ S12 S22 S32
1 3
(12)2 (2 3)2 (31)2
2J2 a 2T 38
14
土的本构模型
在平面内取坐标系oxy, 其中y轴方向与 在2 平 面上的投影一致。主应
力向量OP在平面上的
投影O为P ，OP与 x轴的夹 角为 ，称为罗德角。
y
2
r
e xz e yz
0
0
m
e
zx
e zy
ez
a
16
土的本构模型
应变不变量
II1 2'' x xyy yz z 1 zx2 x 22y V y 2zz2x122331
I3' 123
偏应变不变量
J J1 2'' exe xeeyy eeyzez e1 e zeex2eex 23y e02 yzez2xe1e2e2e3e3e1
岩土工程数值分析
岩土工程问题解析分析
基于弹塑性理论和结构力学，适用于连续介质、未知 量少、边界条件简单，有局限性。
岩土工程问题数值分析
借助于计算机，材料复杂（非线性、非连续、非均质、 各向异性等）、边界条件复杂、任意荷载、任意几何 形状，适用范围广。 包括：有限差分法、有限单元法、边界单元法、离散单 元法等。
J3' e1e2e3
a
17
土的本构模型
1.2 土的变形特性
一、土的应力应变关系
应用土的三轴试验，可以测得土的应力应变曲线。 通常有两种方法：(1) r 不2变3的三向压缩固结
试验，土体先在等压条件下固结，
然后增加轴压 直至破坏；1
(2)试验时，保持
不变，1增23
加 ，减小 1 。 r(23)
二、应力空间、罗德参数
主应力空间与平面
平面
2
应力点
N
O
3
Q
a
P 1
三个主应力构成的 三维应力空间 平面总是过原点 O的 平面的方程：
1230
13
土的本构模型
在主应力空间内，某点的主应力可用向量OP描述，
它可分解为两部分：垂直于平面上的球应力张量
ON、位于平面上的偏应力张量OQ
O P 1 i 2j 3 k(s1 is2js3 k )(m i m j m k )
a
4
土的本构模型
应力不变量
II121(12232331) I3123
I1xyz
I2
xy
yz
zx
x2y
y2z
2 zx
I3xyz 2xyyzzxxy2zyz2xzx2y
a
5
土的本构模型
主应力方程： N 3I1N 2I2NI30
平均应力： m 1 3(x y z)1 3(1 2 3)1 3I1
S22
S32)
1 6
(x
y)2
(y
z)2
(z
x)2
6(x2y y2z
z2x)
1 6
(1 2)2 (2 3)2 (3 1)2
2 3
(12
22
32)
J3 SxSySz 2xyyzzxSxy2z Syz2xSzx2y S1S2S3
弹塑性本构关系中，J 2 J反3 映切应力大小及方向。
a
9
土的本构模型
a
1
绪论
岩土工程数值分析方法发展过程
20世纪40年代：差分法，用差分网格离散求解域，用 差分公式将控制方程转化为差分方程。 20世纪60年代：有限元法 20世纪70年代：边界元法，离散元法
a
2
第一章 土的本构模型
岩土工程问题数值分析的精度很大程度上取决于 所采用本构模型的实用性和合理性。 本构模型：土的应力应变关系的数学表达式，也称本 构方程。 主要有：弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型、内 蕴时间塑性模型、损伤模型等。