近世代数第一章小结
近世代数知识点教学文稿
近世代数知识点近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元⇔ e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数第一章答案
近世代数第一章基本概念答案§ 1 ． 集合1.A B ⊂，但B 不是A 的真子集，这个情况什么时候才能出现？ 解 由题设以及真子集的定义得，A 的每一个元都属于B ，因此B A ⊂.于是由A B ⊂ B A ⊂得B A =.所以上述情况在A=B 时才能出现.2. 假设B A ⊂,?=⋂B A ?=⋃B A解 （i ） 由于B A ⊂,所以A 的每一个元都属于B ,即A 的每一个元都是A 和B 的共同元，因而由交集的定义得B A A ⋂⊂但显然有A B A ⊂⋂所以A B A =⋂(ii) 由并集的定义，B A ⋃的每一个元素都属于A 和B 之一，但B A ⊂,所以B A ⋃的每一元素都属于B :B B A ⊂⋃另一方面B A B ⋃⊂,所以B B A =⋃.§ 2 ． 映射1. A ={1,2,…，100}.找一个A A ⨯到A 的映射.解 用()b a ,表示A A ⨯的任意元素，这里a 和b 都属于A .按照定义做一个满足要求的映射即可，例如 Φ： ()b a ,→a 就是这样的一个，因为Φ替A A ⨯的任何元素()b a ,规定了一个唯一的象a ,而A a ∈.读者应该自己再找几个A A ⨯到A 的映射. 2.在你为习题1所找的映射之下，是不是A 的每一个元都是A A ⨯的一个元的象?解 在上面给出的映射Φ之下，A 的每一个元素都是A A ⨯的一个元的象，因为()b a ,中的a 可以是A 的任一元素.你自己找到的映射的情况如何？有没有出现A 的元素不都是象的情况？假如没有，找一个这样的映射.§ 3 ．代数运算1. A ={所有不等于零的偶数}.找一个集合D ，使得普通除法是A A ⨯到D 的代数运算.是不是找得到一个以上的这样的D ？解 一个不等于零的偶数除一个不等于零的偶数所得结果总是一个不等于零的有理数.所以取 D ={所有不等于零的有理数} 普通除法就是一个A A ⨯到D 的代数运算.可以找得到一个以上的满足要求的D .读者可以自己找几个. 2.{}c b a A ,,=.规定A 的两不同的代数运算.解 （i ）我们用运算表来给出A 的一个代数运算： a b ca a a ab a a ac a a a按照这个表，通过 ，对于A 的任何两个元素都可以得出一个唯一确定的结果a 来，而a 仍属于A ，所以 是A 的人一个代数运算.这个代数运算也可以用以下方式来加以描述 : ()y x a y x o =→, 对一切A y x ∈, (ii)同理: ()y x x y x o =→, 对一切A y x ∈,也是A 的一个代数运算.读者可用列表的方法来给出这个代数运算.读者应自己给出几个A 的代数运算.§4 ．结合律1. A ={所有不等于零的实数}， 是普通的除法:ba b a =o 这个代数运算适合不适合结合律？解 这个代数运算 不适合结合律.例如， 当4=a 2==c b时()122224224)(====o o o o o c b a ()()414224224==⎪⎭⎫ ⎝⎛==o o o o o c b a所以当a ,b 和c 取上述值时()()c b a c b a o o o o ≠2. A ={所有实数}，代数运算： （a,b ）→a+2b=a b适合不适合结合律？解读者可以用解上一题的方法来证明，所给代数运算不适合结合律.3.A={a,b,c}.由表a b ca ab cb bc ac c a b给出的代数运算适合不适合结合律？解所给代数运算 适合结合律.为了得出这个结论，需要对元素a,b,c的27（=33）种排列（元素允许重复出现）加以验证.但是利用元素a的特性，可以把验证简化.仔细考察运算表，我们发现以下规律：对集合A的任意元素x来说，都有a x=x a=x由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立.这一点读者可以自己验证.还剩下a不出现的排列.这样的排列共有8（=32）种.我们在这里验证4种，其余4种读者可以自己验证.（b b） b=c b=ab (b b)=b c=a所以（b b） b=b (b b)(b b) c=c c=bb (b c)=b a=b所以 (b b) c=b (b c)(b c) b=a b=bb (c b)= b a=b所以 (b c) b=b (c b)(b c) c=a c=cb (c c)=b b=c所以 (b c) c=b (c c)§5．交换律1.A={所有实数}. 是普通减法：a b= a b这个代数运算适合不适合交换律？解容易验证，当a = 1，b = 2时a b b a ≠ 所以这个代数运算不适合交换律. 2. A ={a , b ,c , d}，由表 a b c da abcd b b d a c c c a b d d d c a b所给的代数运算适合不适合交换律？解 要回答这个问题，只须考察一下运算表，看一看关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素.易知此运算表不对称，所以此代数运算不适合交换律。
近世代数基础知识点总结
近世代数基础知识点总结近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。
本文将对近世代数的基础知识点进行总结，包括群、环、域和向量空间等的定义和性质。
一、群群是近世代数的基础概念，它是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。
群的定义包括四个要素：集合、封闭性、结合律和单位元，还需要满足可逆性。
群的性质有唯一性、消去律、幂等性和逆元的唯一性等。
二、环环是在群的基础上引入了乘法运算的代数结构。
环的定义包括三个要素：集合、封闭性和满足环公理。
环的性质有零元的唯一性、加法逆元的唯一性、分配律和幂等性等。
三、域域是在环的基础上引入了除法运算的代数结构。
域的定义包括四个要素：集合、封闭性、满足域公理和乘法逆元的存在性。
域的性质有乘法单位元的唯一性、乘法逆元的唯一性和消去律等。
四、向量空间向量空间是线性代数的基础概念，它是一个集合和一个数域上的向量运算构成的代数结构。
向量空间的定义包括十个要素：集合、封闭性、加法单位元、加法逆元、加法交换律、加法结合律、标量乘法结合律、标量乘法分配律、标量乘法单位元和标量乘法结合律。
向量空间的性质有零向量的唯一性、加法逆元的唯一性和标量乘法的分配律等。
五、同态映射同态映射是近世代数中的一个重要概念，它是保持代数结构之间运算关系的映射。
同态映射的定义要求保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元。
同态映射的性质有保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元等。
六、理想理想是环和域中的一个重要概念，它是一个子集，并且满足加法逆元、封闭性和分配律。
理想的性质有加法单位元的存在性、加法逆元的存在性和分配律等。
七、同余关系同余关系是环中的一个重要概念，它是一种等价关系，表示两个元素具有相同的余数。
同余关系的性质有自反性、对称性和传递性等。
八、域的扩张域的扩张是域论中的一个重要概念，它是在一个域上构造出一个更大的域。
域的扩张可以通过添加一个或多个元素来实现，使得新的域仍然满足域公理。
第1章近世代数基本概念汇总
引言 近世代数理论的两个来源
有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能 求根。 最终解决这一问题的是法国年青数学家Galois(1811-
1832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新 的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群 与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代 数产生的一个最重要的来源。
An到D的一个n元映射。 一的d D,则称 是A1 A2
d叫做(a1 , a2 ,
an )在之下的象; (a1, a2 ,
an ) d (a1, a2 ,
an )叫做d 在下
an )
的一个逆象(原象). 用符号表示:
: (a1, a2 ,
2018/10/13
§2 映射
A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
n i 1
Ai A1
n
A2
n
An ,
i 1
Ai A1
A2
An .
x x
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i 1 n i 1
Ai Ai , x Ai . Ai Ai , x Ai .
§1 集合
集合的差运算： A B {x | x A但x B} 即A-B是由一切属于A但不属于B 的元素所组成。
则 不是一个A B到D的映射.
例5 设A=D=R. 定义
: a a, 若是 a 1
1 b, 这里 b2 1 则不是一个A到D的映射.
§2 映射
映射定义要注意以下几点:
1） 集合 A 1, A 2,
2） A1 , A2 ,
, An , D 可以相同;
近世代数引论-001概要
N : 全体正整数构成一个集 合.
近世代数引论
Z : 全体整数构成的集合 .
C : 全体复数构成的集合 . R : 全体实数构成的集合 .
Q : 全体有理数构成的集合 .
元素 : 集合A中每个对象a叫做A中的元素, 记为a A.
如果某个对象 b不属于A, 则表示成b A. 子集 : 设A和B是两个集合, 如果A中每个
2018/11/27 Zhang Aili 8
定理 假设 {Ai | i I }是下标集合为 I的集族
近世代数引论
存在一个集合 D和映射族 { i : D Ai | i I }满足以下性质：
对于每个集合 C和映射族 映射
任意多个集合形成的集 族{Ai | i I }的直积：
i 1
Ai {( ai )iI , | ai Ai , 对每个i I }
iI
2018/11/27 Zhang Aili 6
两个集合的 Cartesian 积A1 A2 : A1 A2 {(a1 , a2 ) | ai Ai , i 1,2}
Zhang Aili Department of Mathematic s Southwest Jiaotong Universit y Email : ailizhang@ peoplemail
2018/11/27 Zhang Aili 1
第一章 群
1.1 集合论预备知识
1.2 什么是群
A {a1, a2 ,, an }
集合的基本运算
集合A与B的交 :
n个集合A1, A2 ,, An的交：
n i 1
近世代数引论
近世代数第一章分析
1.1 集合 1.2 映射与变换 1.3 代数运算 1.4 运算律 1.5 同态与同构 1.6等价关系与集合的分类
运城学院
应用数学系
1.1 集合 1.2 映射与变换
教义和性质
映射，单射，满射，双射，逆
映射的定义及例子
变换，置换等的定义及例子
φ是单射 φ是满射 φ 是双
射
7.映射是函数概念的推广，是对应法则，A 是定义域，B包含值域，根据B是否与值域 相等，可将映射区分为是否是满射。A中不 同元素的像可能相同，也可能不同，据此 可区分映射是否为单射。 定义：设为A到B的一个映射，如果B中 每个元素在A中都有逆像，则称为A到B的一 个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也 不同，则称是从A到B的一个单射。如果既 是满射又是单射，则称是从A到B的一个双 射，或一一映射。
并称 στ
为 σ 与 τ 的合成或乘积。
x →σ（τ(x)）
12.集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换， 类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变 换）等。 将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒 等变换，φ ：A → Bφ 它是一个一 一变换。 x → x，
例：P9例9-10 定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。
A B表示A是B的真子集，即B中有不存 在A的元素
A B表示A不是B的子集
A B表示A不是B的真子集 A=B A B且B A 3.如果集合A含有无穷多个元素，则记为 |A|= ∞ ,如果A含有n个元素，则记为 =n 。（A的阶），有|A∪B|+ |B∪A| = |A| + |B|
4.称集合A-B={a| a A, a B}为集合A
10.设б与 τ 都是A到B的映射，如果 x A,都有б（x）=τ (x),则称б与τ 相
近世代数前两章知识总结
近世代数论文、上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幕集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为p（A）或2\ （含n个元素的集合的子集有2•个，即無集中的元素共有2,个）2、积（笛卡尔积）：AXB={ （a, b）|aEA, b€B}叫 A 与 B 的积。
（A XBHBXA）3、A到B的对应法则0为A到B的映射u>①VxWA, x有象②Vxe A, x的象唯一@Vxe A, X的象在B中。
4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有n"个，一一映射共有n!个。
5、代数运算：一个AXB到D的映射叫做一个AXB到D的代数运算。
（。
为AXB到D的代数运算oV（a, b）WAXB, anb有意义，且aob唯一，属于D）。
6、满射：VyG A,设y二0 （x）,求出x （x为y的函数），若x存在且xGA,则0为满射。
（4中的每一个元素都有原象）：单射：Va, beA,若aHb,则0 （a） H0 （b）。
（元素不同象不同）：一一映射：即单•乂满。
（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换:有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。
& 一个A到才的映射叫做一个对于代数运算。
申"来说的，A到才的同态映射，假如满足：Va, b€A, a-> a* b~*b则aob~*aob （运算的象二象的运算）；A与力同态u>A与4存在同态满射0°9、一个A到力的一一映射0，叫做一个对于代数运算。
和0来说的，A到4的同构映射。
（同构映射的逆映射也是同构映射）。
10、若R为法则，若R满足Va, bEA,要么aRb,要么龍乩唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系~叫做一个等1价关系，假如满足①反射律（VaGA,有a〜a）②对称律③推移律11、A的一个分类即为A的一些子集41、金、…令满足：① A】U 金U ...U A n =A. ®A t r\Aj-（b（iH j ）（不相交）。
近世代数课本1-2章重要内容集锦
第1章 基本概念1.1 集 合C R Q Z N C R + R - 2Za ∈A A a ∉ Ø |A|A ⊆B 或B ⊇A B A ⊄或 A B ⊃B A B A A ′B ∪ (I i Ai ∈) = I i ∈( B ∪ A i ) B ∩(I i Ai ∈) I i ∈= (B ∩A i )定理1.1 设A ，B ，C 是集合U 的三个子集，则有 （1）交换律： A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A（2）结合律：(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C)(A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C)（3）分配律： A ∪(B ∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C)A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)（4）模 律： 若A ⊆C ，则A ∪(B ∩C)=(A ∪B)∩C ∣∣∣∣∣（5）幂等律：A ∪A=A ，A ∩A=A（6）吸收律：A ∪(A ∩B)=A ∩(A ∪B)=A（7）两极律：A ∪U=U, A ∩U=A,A ∪Ø=A, A ∩Ø= ØB A ⊂(8) 补余律：A∪A' =U，A∩A'= Ø(9) 对合律:( A') '=A（10）对合律: (A∪B)'= A'∩B'，(A∩B)'= A'∪B',习题1.17. 设A={x∣x2-2x-3=0},写出A的幂集2A8.设A是包含n个元素的有限集，求A的幂集2A 所包含元素个数.1.2 映射定义1.5设A,B是两个给定的非空集合,若有一个对应法则f ,使Ab∈与其对应，则称f是A到B的一个映射，∀，通过f, ∃!Ba∈记作f: A−→−B或A−→−f B.A称为f的定义域，B称为f的值域.b称为a在f下的像，a称为b 在f下的原，记作b=f(a)或f: a b.例3．设A=R+={x∣x∈R, x>0},B=R ,则f: x x,Rx∈∀+是R+到R的一个映射.但是,h:x,Rx±∀+x∈不是R+到R的映射，因为x∈R+在h下的像不唯一.例5.设A是一个非空集合，则I A:xx ,A∀是A到A自身的一个映射，x∈称为A的恒等映射（或单位映射）.定义1.6设f是A到B的映射.(1)若AS⊆，则称B的子集{f(x)∣x∈S}为S在f下的像，记作f（S）.特别，当S=A时，f（A）称为映射f的像，记作Im f.(2)若BT⊆，则称A的子集{x∈A∣f(x)∈T}为T在f下的完全原像，记作f- -1（T）.特别，当T时单元集（{b}）也可记作f -1(b).定义1.8 设A,B,C是三个集合,f是A到B的映射，g是B到C的映射，规定 h: x g(f(x)), A∀x∈则h是A到C的映射，称为f是g的合成（或乘积），记作h=g°f，即（g°f）（x）=g(f(x)), Ax∈∀定理1.2设f: A→B，g: B→C，h: C→D, 则（1）h°（g°f）=( h°g)°f （结合律成立）;（2）I B°f =f ，I A°f=f.定义1.9设f是A到B的一个映射.(1)若∀a1,a2∈A ,当a1≠a2 时，有f(a1)≠f (a2)，则称f是A到B的一个单射；(2)若∀b∈B,∃Aa∈,使f(a)=b,则称f是A到B的一个满射；(3)若f既是满射，又是单射，则称f是一个双射.定理1.6设A，B是两个有限集，则A与B之间存在双射的充要条件为BA .习题1.22.(1)设f是A到B的单射，g是B到C的单射，证明g。
第1章近世代数基本概念资料
§1 集合
真子集 若B是A的子集,且至少有一个A的元素不属于B, 则说B是A的真子集，记为 B A .
集合相等: A B A B, 且 B A.
以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集，记 为P(A).
如果集合A包含有无穷多个元素，则记为 A =； 如果集合A包含n个元素，则记为 A = n，且 P(A) 2n.
高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本 概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因 此，在本课程的学习中，大家要多注意实例, 以加深 对概念的正确理解。
近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但 习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应 适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材 内容和方法以及习题课内容。
§1 集合
集合的差运算： A B {x | x A但x B}
即A-B是由一切属于A但不属于B 的元素所组成。 注意：并没有要求B是A的子集. 例如， C Ø 集合的积： 设A，B是两个集合，令 A B {(a,b) | a A,b B}
则称A×B为A与B的笛卡儿积(简称为积). 其中序对(a, b)的
2020/5/21
第一章 基本概念
§1.集合 §2.映射 §3.代数运算 §4.结合律 §5.交换律
§6.分配律 §7.一一映射、变换 §8.同态 §9.同构、自同构 §10.等价关系与集
合的分类
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§1 集合
集合 若干个固定事物的全体. 组成集合的对象称 为集合的元素。集合一般用大写字母 A，B，C，…来表 示。集合的元素一般用小写字母a，b，c，…来表示。
2020/5/21
引言 近世代数理论的两个来源
被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的
近世代数第一章小结
第一章小结本章主要研究群的有关问题：定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构，主要内容有：一、 基本概念⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩子集--相等集合交集集合集合运算并集积集（笛卡儿积）单射映射满射预备知识双射映射变换代数运算等价关系与分类 ),,,,)Abel a b G ab ba a b G ab ba G G n G G n ⎧∀∈=⎧⎪⎨∃∈≠⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎨⎪=∞⎪⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩交换群（阿贝尔群（有）非交换群（，使群定义有限群—阶无限群—阶子群子群正规子群群陪集--商群变换群——由一个非空集合的若干一一变换构成的群三种重要群置换群——由元有限集合的若干一一变换（置换）构成的群循环群——每个元素都是某个元的幂同态存在保运算的映射两个群的关系同构存在⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩保运算的一一映射 单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数.二、主要结论1.群的基本性质： 1）——5），定理1.2.1，1.2.2；2.元素阶的性质：定理1.2.3---1.2.43．子群的判别条件（重点）为群的非空子集. 则为的子群的充分必要条件是:(1) 任给, 有，任给, 有.（2）任给, 有.（3）任给, 有（只适合有限子集）子群的性质：子群的交集仍是子群4．陪集、商群性质设是的子群, 则（1）aH=Ha=H当且仅当 a∈H（2）当且仅当, ;（3）当且仅当, ;（4）的任何两个左(右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素. 因此可以表示成一些不相交的左(右)陪集之并.（5）(拉格朗日定理)有限群的任一子群的阶数是群的阶数的因子.且|G|=|H|[G：H]（6）有限群的任一元素a 的阶都是群的阶数的因子.即|a|||G|（7）设为有限群. , 则对任意的, .5. 正规（不变）子群的判别条件N是群的子群，则N是G的不变子群的充要条件是（1）任意的, 都有 aN=Na（2）, ;（3）, , .6. 变换群、置换群、循环群的结论（1）一个集合A的所有一一变换作成一个变换群。
近世代数知识点
近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元 e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数课程总结
近世代数基础II学习报告现代数学现代数学的主要研究方向为结构数学，结构反映事物构成部分之间的关系，部分与整体的关系，或儿种事物间的相互组成联系。
现代数学的基础是集合，在集合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。
本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。
群论是在集合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。
这些抽象的理论往往会在实际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。
一抽象代数1.1群定义群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。
一般说来，群G是指对于某种运算法则*满足以下四个条件的集合：⑴封闭性：若a,heG ,则存在唯一确定的ceG使得a*b = c ；(2)结合律成立：任意a、b、c eG ,有("*b)*c = a*(b*c)；(3)单位元存在：存在eeG对任意《G,满足= =(4)逆元存在：对任意“wG,存在唯一确定的b已G使得a^h = b^a=e \若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。
若群G中元素个数有限，则G为有限群；否则称为无限群。
有限群的元素个数称为有限群的阶。
子群对于群G,若集合H已G对于群G上定义的二元运算构成一个群，则称H是G的子群，记做H<G.小结在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，而不用去管某个元素的具体含义是什么。
1.2环当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓的环。
定义设是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法X,若(1) (E+)是交换群(2)(Ex)是半群(3)乘法对加法满足分配律则称R为一个环。
环也是一种群。
子环环的一个非空子集S,若对于人的两种运算构成一个环，则称S为R的子环。
整环设/?为含单位的环，且1工0。
近世代数第1章1.1
1.1 定义和例子
设S是一个集合，用记号S S表示S与S 的直积，也叫笛卡儿积。
把从S S到S的一个映射f 叫做S上 的一个二元运算。
结合律：a(bc) (ab)c，对于任意的a,b,c S。 交换律：ab ba, 对于a,b S.
S中的一个元素e称为S中的一个恒等元， 如果ea ae a,对于a S成立。
对于Abel群，群运算一般叫做加法，记为a b。
由有限多个元素构成的群G叫做有限群， 其中元素的个数记作 | G |，叫做G的阶。 |G | 表示G是无限群。
设g是群G中的一个元素，如果不存在自然数n 使得gn 1，则称g为一个无限阶元素， 否则使得gn 1成立的最小的自然数n称为 元素g的阶，记作o(g)。
命题1.1.2：可逆元的逆元是唯一的。 证明：设b，b是a的逆元，则
b be b(ab) (ba)b eb b.
定义1.1.3：带有一个二元运算的非空集合G 称为一个群，如果下面三个条件成立： （1）结合律成立； （2）恒等元存在； （3）每个元素是可逆元。
例：在Z10中，令H {2, 4, 6, 8}，证：H关于 剩余类的乘法构成群。
构成群，称为一般线性群，记作GLn (K ). 当n 1时它不是Abel群。
(4) K ,g 为幺半群，但它不是群， 因为元素0的逆元不存在。 K *,g 为Abel群，即为GL1(K )。 (5)最小的群只含一个元素。 （6）空集不是群。
例：设G是群.证明:如果对于任意的 x G,都有x2 e.则G是Abel群.
证明：Q (b1a1)ab b1(a1a)b b1b 1. (ab)1 b1a1.
பைடு நூலகம்
近世代数-第一章
三、GCD与LCM (6)
性质1: 如果a|b·c，且(a,b)=1，则a|c; 性质2: 如果a|c， b|c，且(a,b)=1，则
a·b|c； 性质3: 如果(a,c)=1，(b,c)=1，则
(a·b，c)=1;
三、GCD与LCM (7)
性质4: 如果(a,b)=1，则一定存在一对整数 u，v使得
ua vb 1 0 u b ,0 | v | a 其中 a 0,b 0 且a，b不全为1， 且符合上述条件的u,v是唯一的。
1. 互素
定义1.5 若两个数a与b的最大公因数是1，即 (a,b)=1，则称a与b是互素的。
a,b的任一公因数都是d的因数 则称d是a和b的最大公因数，记为d=(a,b)，
d=GCD(a,b)。
三、GCD与LCM (3)
性质1: d|a与d|b同时成立的充分必要条件是
d|(a,b)。
性质2: 设(a,b)=d，则(ka,kb)=kd；若k|a，k|b，
则
a k
,
b k
d k
性质3:
(a,b)=d的充分必要条件是
a d
,b d
1
三、GCD与LCM (4)
性质4: 如果(a,b)=d，则一定存在一对整数
u，v使得
ua vb d 0 u b ,0 | v | a
d
d
其中 ab 0, a b 且符合上述条件的u,v是唯一
的。
3.最小公倍数及性质
定义1.4 a,b不全为零，如果a,b的一个公倍 数m具有如下性质：
※1.1 整数的可除性 1.2 欧几里德算法与同余式 1.3 欧拉-费尔马定理 1.4 指数 本章小结
近世代数基础知识点总结
近世代数基础知识点总结近世代数是现代数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和代数运算的一般性质。
近世代数的基础知识点包括群论、环论和域论，这些知识点在数学研究和应用中都有着广泛的应用。
一、群论群是近世代数中最基本的代数结构之一。
群由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个性质。
群论的基本概念包括子群、陪集、正规子群、循环群等，并且研究了群之间的同构和同态等映射关系。
群论的应用非常广泛，例如在密码学、物理学、化学等领域都有着重要的应用。
二、环论环是一种比群更一般化的代数结构。
环由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。
环论的基本概念包括子环、理想、商环等，并且研究了环的同态和同构等映射关系。
环论在数论、代数几何、代数拓扑等领域有着广泛的应用。
三、域论域是一种比环更一般化的代数结构。
域由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质，并且其中一个二元运算有单位元和逆元。
域论的基本概念包括子域、域扩张、代数元和超越元等，并且研究了域之间的同态和同构等映射关系。
域论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。
四、线性代数线性代数是近世代数的一个重要分支，研究的是向量空间及其线性变换的性质。
线性代数的基本概念包括向量、线性组合、线性相关性、基、维数等，并且研究了线性变换、特征值和特征向量等。
线性代数在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
五、Galois理论Galois理论是近世代数的一个重要分支，研究的是域的扩张和多项式方程的解的关系。
Galois理论的基本概念包括Galois扩张、Galois群、Galois对应等，并且研究了可解多项式和不可解多项式的判别方法。
Galois理论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。
六、表示论表示论是近世代数的一个重要分支，研究的是群的表示及其性质。
近世代数第一章
（减法分配律）
设 S 是任意一个集， {Ai | i I } 是 S 中的一组子集，则有 (11) (12)
S S
iI
Ai Ai
iI
( S Ai ) ( S Ai )
iI
（1.1） （1.2）
iI
iI
证明. 记 S
iI
Ai 为 P ，记 ( S Ai ) 为 Q 。我们下面证明 P Q 。
(one one corespondence)） 。 (4) 如果 A=B ，双射 f 称为是一一变换；如果 A=B 是有限集合，双射 f 称为是置换 （Permutation） 。 例如，上面的例 1 的映射 f 是一个单射，也是满射，从而使一个双射。例 3 的映射 h 是 一个满射，但不是单射。对于映射 : A B ，其中 A {1, 2, 3} ， B {1,2,3,4} ，而 。则 是单射，但不是满射。 (i ) i 1, i 1, 2, 3 设 f 是集合 A 到 B 的一个映射， S 是 A 的一个子集，记 f ( S ) { f ( x) | x S} ，它是
A 或 2 。例如，若 (A ）
A={1,2,3} ，则 ( A ） ={， {1}， {2}， {3}， {1， 2}， {1， 3} ， {2 ， 3} ，A }。当 |A|< 时， | (A)| 即
| A| k 中元素个数正好是 2 。事实上，设 |A|= n ，则 A 的含有 k 个元素的子集共有个 Cn ， (A ）
a, b, c
等表示。
对于集合 A 来说， 某一事物 x 或是集合 A 的元素， 这时我们就说 x 属于 A ， 记为 x A ； 或者 x 不是 A 的元素，即 x 不属于 A ，记为 x A ；二者必居其一。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，如 A={1,2,3} ；另一种是规 定元素所具有的性质 P 来表示。例如， A={x | x 具有性质 P} 。 一个集合 A 的元素个数用 |A| 表示。当 A 中的元素个数有限时，称 A 为有限集（Finite set） ，否则，就称 A 为无限集（Infinite set） 。用 |A|= 表示 A 为无限集，用 |A|< 表示 A 为 有限集。 如果集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素，则称 A 为 B 的子集(Subset)，记为 A B ， 读作 A 包含在 B 中，或记作 B A ，读作 B 含有 A 。显然， A A 。不含有任何元素的集 合称为空集(Empty set 或 Null set)，记为 。例如， A={x | x 为有实数， x 2 1 0} 是一个 空集。如果 A B ，且 B 中有一个元素不属于 A ，称 A 是 B 的真子集（Proper set） 。 集合 A 与集合 B 称为相等的，记为 A=B ，如果它们含有相同的元素。所以， A=B 当且 仅当 A B 且 B A 。 由集合 A 的所有子集构成的集合称为 A 的幂集(Power set)，记作
近世代数主要知识点
除环、域
除环 1， R至少包含一个而不等于零的元 2，R有单位 元 3，R的每一个不等于零的元有一个逆元 域 一个交换除环叫做一个域 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说 的阶都一样的 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
变换群
定理1 假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒等 变换ε ，若是对乘法（ζ ：a→aζ，λ：a→a٨ 那么a→（a)ד٨）来说 做成一个群，那么G只包含A的一一变换。 变换群 一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个 群叫做A的一个变换群 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c · · · · · · · 我们在G里任意取出一个 元x来，那么גx：g→gx=g٨x是集合的一个变换。因为给了G的任意 元g，我们能够得到一个唯一的G的元g٨x。这样由G的每个元x，可 以得到G的一个变换גx。我们把所有这样的来的G的变换放在一起， 做成一个集合G’={ a’，b‘，c’ · · · · · · · }那么x→x’是G到G’的满射，但消 去律x≠y=>gx≠gy告诉我们若x≠y，那么x’ ≠y’，所以x→x’是一一 映射。在进一步看，是同构映射 所以任何群和一个变换群同构
同态、不变子群
一个群G同他的每一个商群G/N同态 同态映射的核 ：假定 &是一个群G到另一个群G’的一个同 态映射。G’的单位元e’在&之下的所有逆象所做成的G的 子集就叫做同态映射的核 。 定理 假定 G 与G’是两个群，并且G与G’同态，那么这个 同态映射的核N是G的一个不变子群，且G/N≌G’
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第一章小结
本章主要研究群的有关问题：定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构，主要内容有：
一、 基本概念
⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩子集--相等集合交集集合集合运算并集积集（笛卡儿积）单射映射满射预备知识双射映射变换代数运算
等价关系与分类 ),,,,)
Abel a b G ab ba a b G ab ba G G n G G n ⎧∀∈=⎧⎪⎨∃∈≠⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎨⎪=∞⎪⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩交换群（阿贝尔群（有）非交换群（，使群定义有限群—阶无限群—阶子群子群正规子群群陪集--商群变换群——由一个非空集合的若干一一变换构成的群三种重要群置换群——由元有限集合的若干一一变换（置换）构成的群循环群——每个元素都是某个元的幂同态存在保运算的映射两个群的关系同构存在⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
保运算的一一映射 单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数 .
二、主要结论
1.群的基本性质： 1）——5），定理1.
2.1，1.2.2；
2.元素阶的性质：定理1.2.3---1.2.4
3．子群的判别条件（重点）
为群的非空子集. 则为的子群的充分必要条件是:
(1) 任给, 有，任给, 有.
（2）任给, 有.
（3）任给, 有（只适合有限子集）
子群的性质：子群的交集仍是子群
4．陪集、商群性质
设是的子群, 则
（1）aH=Ha=H当且仅当 a∈H
（2）当且仅当, ;
（3）当且仅当, ;
（4）的任何两个左(右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素. 因此可以表示成一些不相交的左(右)陪集之并.
（5）(拉格朗日定理)有限群的任一子群的阶数是群的阶数的因子.且|G|=|H|[G：H]（6）有限群的任一元素a 的阶都是群的阶数的因子.即|a|||G|
（7）设为有限群. , 则对任意的, .
5. 正规（不变）子群的判别条件
N是群的子群，则N是G的不变子群的充要条件是
（1）任意的, 都有 aN=Na
（2）, ;
（3）, , .
6. 变换群、置换群、循环群的结论
（1）一个集合A的所有一一变换作成一个变换群。
(2)(凯莱定理) 任一群都同构于一个变换群.
推论：任一个有限群都同构于一个置换群.
(3)个元素的全体置换关于置换的乘法构成群.
(4)每一置换可唯一表为若干个不相交轮换(循环置换)的乘积
(5)每一循环置换都可以表为若干个对换的乘积.
(6)每一置换都可表为若干个对换的乘积
(7)设为群, , 则|a|=|a-1|
（8）设为群, ,ΙaΙ=n且, 则.
（9）设为群, , 如果|a|=n,则|a r|=n/d (d=(r,n))
（10）设为阶循环群, . 则为的生成元的充分必要条件是
（11）循环群必是交换群.
（12）循环群的子群必是循环群
（13）设为循环群, 且G=（a）则
如果, 则;
如果, 则
7. 同态、同构性质
(1)设G是一个群，G是一个非空集合，若G与G对于它们的乘法来说同态，则G也是一个群
(2)定理1.8.2 设与G是群, 是到G的同态映满射.
1) 如果是的单位元, 则是G的单位元;
2) 对于任意的, 是在G中的逆元. 即
(3) 定理1.8.3-----满射、单射的条件
(4) 定理1.8.4——同态映射保子群、正规子群.
(5) 定理1.8.5------同态基本定理
三、基本方法与题型
1、群的判别----定义法
2、子群的判别方法（四种方法）：定义法；定理1；定理2；定理3（有限）；
3、正规子群的判别方法（四种方法）：定义法；定理1）-3）；
4、求有限群的子群方法：（重点掌握循环群的子群求法）
1）确定子群的可能阶数； 2）按阶数确定可能的子集；3）判断哪个是子群。
5、求正规子群方法：1）求子群； 2）判别哪些子群是正规子群（交换群的子群都是正规子群）
6、求陪集：定义法
7、求商群方法：按定义
8、计算置换的乘积、逆、阶----定义方法
9、把置换表成不相连的循环置换的乘积或对换的乘积
10、求元素的阶：1）定义方法 2）有关性质
11、判别循环群方法：定义法
12、同态、同构映射的判断：定义方法
13、群同态、同构的证明：构造同态或同构映射
14. 单、满、双射的判断----定义法
15.等价关系的判断----定义法，传递性。