分式方程检验实用技巧
分式方程教案：教你轻松掌握解题技巧
分式方程教案：教你轻松掌握解题技巧教你轻松掌握解题技巧随着数学教育的不断发展，分式方程已经成为中学数学中重要的一个章节。
然而，许多学生在学习分式方程时发现难以掌握解题技巧，给考试和课堂成绩带来了一定的负面影响。
为此，本文将为大家介绍分式方程教案，帮助大家轻松掌握解题技巧。
一、分式方程基本概念在学习分式方程前，首先需要了解一些基本概念。
所谓分式，就是由分子和分母组成的表达式。
而分式方程就是将分式放入等式中，例如：$$\frac{x+1}{x-2}=2$$其中，$\frac{x+1}{x-2}$就是一个分式，这个等式称为分式方程。
二、分式方程求解步骤1.将分式方程化简在解分式方程时，首先需要将分式方程化为简单的分式形式。
这种形式是分式中只有一项且分母为整数的形式。
例如，将下面的分式方程化简：$$\frac{2x-1}{x^2+3x+2}-\frac{3}{x+1}=\frac{x-4}{x^2+2x-3}$$化简后的分式如下：$$\frac{-x^3+2x^2-3x+2}{(x+1)(x-1)(x+2)}=0$$2.判断方程有无解化简分式方程后，需要判断方程是否存在解。
如果分母变成零，那么方程将没有解。
例如，如果分母为$(x+1)(x-1)(x+2)$中的任意一个，那么分母就会变成零。
3.求出分子为零时的解如果方程有解，那么下一步就是寻找分子为零时的解。
因为如果分子为零，那么整个方程就为零。
寻找分子为零时的解需要用代数的方法，例如分解因式、配方等。
例如，在上面化简后的分式方程中，当分子为零时，$x$的解如下：$$x=1,x=-1,x=\frac{1}{2}$$这样，如果方程有解，那么分子为零时就已经找到了解，在利用因式分解等方式，拓展解的范围。
4.判断最终解的有效性对所有的解进行检验，判断最终符合原方程的解有哪些。
判断的方法是将求解出的解代入原方程中，查看是否正确。
例如，在上面的例子中，当代入$x=1$时，原方程中的等式如下：$$\frac{2x-1}{x^2+3x+2}-\frac{3}{x+1}=\frac{x-4}{x^2+2x-3}$$$$\frac{3}{2}=\frac{-3}{2}$$显然，这个等式是不成立的，因此，我们需要进一步查找或检验其它解。
初中数学“六招”搞定分式方程的检验
“六招”搞定分式方程的检验湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞先看两道解分式方程的题目：(1)；(2)。
解：(1)方程两边同乘以，得﹒解得x=3﹒(2)方程两边同乘以，得﹒解得x=0﹒方程(1)中未知数的取值范围是，方程(2)中未知数的取值范围是﹒在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程(1)的解x=3﹒由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因﹒虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来﹒那么如何对分式方程进行检验呢？下面向你介绍六招：第一招代入验根法将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根．例1方程的解为＿＿．解：方程两边同乘以，得﹒解得﹒检验：把代入原方程，得左边==，右边==，左边=右边，∴原方程的解．点评：运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确．第二招比较检验法令分式方程中各分母等于零，求出使各分母为零的未知数的值，然后与所得的根进行比较，相同的即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒例2解方程解：方程两边同乘以，得﹒解得．检验：令=0，得；令=0，得．比较，得是原方程的根﹒点评：比较检验法适合所得根比较复杂的题型．第三招公分母检验法把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒例3解方程．解：方程两边同乘以，得．解得．把代入，得=1≠0，∴是原方程的根．点评：公分母检验法比较简单，因此常被广泛地应用﹒第四招无需检验法虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法(把同分母分式合并)，从而避免分式方程产生增根，因此用这种方法解分式方程无需验根﹒例4解分式方程，可知方程( )A．解为B．解为C．解为D．无解解：原方程即，，，即1=8．∴原分式方程无解．答案选D．点评：本题若按常规方法会产生增根．由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验．除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设，则﹒原方程可化为﹒即﹒0=-2．∴原方程无解﹒第五招根据取值范围检验例5已知x为实数，且，那么的值为( )A．1B．-3或1C．3D．-1或3解：设，原方程变形为．即．解得，．经检验，，都是原方程的根．但，∴．而不满足，满足．∴是原方程的根，故应选A．点评：本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”，如果不注意的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”．第六招根据题意检验例6A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道？解：设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道千米．根据题意，得．方程两边同乘，得．整理，得．解得x=-2或x=3．经检验，x=-2或x=3都是原方程的根．由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度，不可能为负数，因此x=-2不合题意，所以x=3．点评：解分式方程应用题要注意进行“双重”检验：不仅要对方程的解进行检验，还要对题意进行检验，看看方程的解是否符合问题的实际意义．。
《分式方程》解题技巧
《分式方程》解题技巧《《分式方程》解题技巧》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、分式方程的概念：分母里含有未知数的方程叫做分式方程.说明：理解分式方程的定义，并不是看方程是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.例：都是分式方程.而关于x的方程，不是分式方程.2、解分式方程的基本思想我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程的解法，解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想与前者相同，就是设法将分式方程“转化”为整式方程，即二、重难点知识归纳及讲解1、解分式方程的方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法.在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，约去分母，把分式方程化为整式方程.因此解分式方程必须验根.为了检验方便，可把整式方程的根分别代入最简公分母，如果使最简公分母为0，则这个根叫分式方程的增根，必须舍去.如果使最简公分母不为0，则这个根是原分式方程的根.注意：增根是所得整式方程的根，但不是原分式方程的根.用去分母法解分式方程的一般步骤：(Ⅰ)把原方程的分母因式分解，找出最简公分母;(Ⅱ)去分母，把分式方程转化为整式方程.(Ⅲ)解所得的整式方程.(Ⅳ)验根.(2)换元法在解代数问题时，对于某些难度较大的问题，可通过添设辅助元素解决，辅助元素的添设是把原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法.用换元法解分式方程的一般步骤：(Ⅰ)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式表示原方程中的代数式.(Ⅱ)解关于辅助未知数的方程.(Ⅲ)把辅助未知数的值代入“设”中，求出原未知数的值.(Ⅳ)验根并做答.说明：(1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是通过换元把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为一个比较简单的方程.(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法.(3)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤.2、解分式方程产生增根的原因及验根的方法在解分式方程时，我们在方程的两边同乘了含有未知数的代数式，从而把分式方程变换为整式方程.因此，原来分式方程中分母不为零的限制被无形地取消了，这样就使未知数的取值范围扩大了——就产生了增根的可能.所以解分式方程必须验根.验根的方法是：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零(即是否符合“分母不为零”的限制)，如果分母不为零，则被验的根就是分式方程的根;如果使分母为零，则这个根就是增根，必须舍去.3、列分式方程解应用题的一般步骤(1)设未知数;(2)找出等量关系，列出分式方程;(3)解分式方程;(4)验根作答(不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”.)三、解题方法技巧点拨1、用去分母法解方程例1、解下列方程(1)(黄冈市中考题);(2)(北京市海淀区中考题).分析：所考知识点是用去分母的方法解分式方程.两个方程可用去分母方法来解.解答：(1)先找它们的最简公分母，∵2-x=-(x-2)，(x2-4)=(x+2)(x-2)，所以最简公分母为(x+2)(x-2);原方程即为-，两边同乘以(x+2)(x-2)，约去分母整理得x2-3x+2=0.解这个方程，得x1=1，x2=2.经检验，把x=1代入(x+2)(x-2)，它不等于0，所以x=1是原方程的根;把x=2代入(x+2)(x-2)中，它等于0，所以x=2是增根.∴x=1是原方程的根.(2)原方程化为，用3x(x-1)乘以方程的两边，去分母，得3(x+1)-(x-1)=x(x+5)，整理得x2+3x-4=0，解得x1=-4，x2=1.检验：把x1=-4代入3x(x-1)≠0，所以x=-4是原方程的根;把x=1代入3x(x-1)=0，所以x=1是原方程的增根.∴原方程的根是x=-4.点拨：解题规律是通过去分母，把分式方程转化为整式方程求解，由于在解分式方程时可能产生增根，所以必须要检验，对于增根要舍去.2、用换元法解分式方程例2、解方程组解答：设点评：注意观察本题的特点，将，再进行换元.例3、解下列分式方程(1)(四川省内江市中考题).(2)(河南省中考题).分析：若用去分母的方法解分式方程，便得到一个四次方程，增加了解题的难度.仔细观察这两个分式方程的特点，可采用换元法较简便.解答：(1)原方程可化为，设∴原方程可化为：，∴y2-5y+6=0，解得y1=2，y2=3.当y1=2时，则，解得x1=1，;当y2=3时，则，解得.经检验，x1,x2,x3,x4都是原方程的根.∴原方程的根为x1=1，，.(2)原方程可化为设，则原方程变形为y2-3y-4=0，解得y1=4，y2=-1.当y=4时，即，所以x2-4x+1=0，解之得;当y=-1时，即，去分母，整理得x2+x+1=0，此方程无实数根.经检验，x1,x2都是原方程的根.∴原方程的根是.点评：用换元法解分式方程应结合方程本身的特征进行换元.注意观察方程中的各代数式是否具有相同、成比例、互为倒数等特征，巧设未知数，如第(2)小题应熟悉这一代数变形.3、含字母系数的分式方程的解法例4、解关于x的方程.分析：此方程是含字母系数的分式方程，其中x是未知数，a是字母系数，此方程不具备换元条件，所以选用去分母法，它的最简公分母为2a(-x+a)即2a(a-x).解答：方程两边都乘以2a(a-x)，得2ax+2(a+x)(a-x)=5a(a-x)，整理，得2x2-7ax+3a2=0，解得x1=3a，.检验：由原方程可知-x+a≠0，a≠0，否则原分式方程就没有意义了.∵当x=3a时，2a(a-x)=-4a2≠0，当时，2a(a-x)=a2≠0.∴原方程的根为x1=3a，.点悟：解含有字母系数的分式方程的方法与解数字系数的分式方程的方法是相同的，但是要特别注意从题目的隐含条件中识别字母系数的取值范围并根据具体情况进行讨论.例5、解关于x的方程：.分析：方程中只有x是未知数，而a、b都是表示已知数的字母，解方程时，可把它看作已知数对待，本题可选用换元法解，因为互为倒数.解答：设，则原方程转化为，去分母、整理，得y2-5y+4=0.∴y1=1，y2=4.当y1=1时，，解得.当y2=4时，，解得.检验：把代入最简公分母(b+x)(a-x)，.∵a+b≠0，∴(b-x)(a-x)≠0.把代入最简公分母(b+x)(a-x)，.∵a+b≠0，∴(b+x)(a-x)≠0.∴原方程的根是.点评：(1)不是任何一个方程都能用换元法解.能用换元法解的方程必须具有换元特点，即换元以后，原方程化为只含有辅助未知数的方程，这就是说，换元以后的方程中不能含有原来的未知数.(2)分式方程解法的选择是先观察方程是否具有换元的特点(一般情况下，方程中具有平方关系或倒数关系)，如有换元特点，选择换元法解;如没有换元特点，一般选去分母法解.(3)无论用什么方法解分式方程，都必须验根.(4)解字母系数的分式方程和数字系数的分式方程方法相同.4、有关增根问题的解法例6、若分式方程有增根x=2，求a的值.分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a.解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0.把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0，.∴时，x=2是原分式方程的增根.点拨：分式方程的增根有两个要点，第一它必须是由分式方程转化成的整式方程的根;第二它能使原分式方程的最简公分母等于0.正确理解增根的概念，对解决有关增根的问题非常重要.5、列分式方程解应用题问题(1)工程问题例7、一个水池有甲乙两个进水管，甲、乙两水管同时开放，6小时将水池注满;单独开放甲水管，比单独开放乙水管少用5小时就注满水池，求单独开放甲管和单独开放乙管各需多少小时才能注满水池?分析：由题意可知，这是注水问题，也属于工程问题，此题可将总工程看作整体“1”，即注满水池的总工作量为1，设单独开放乙管注满水池，需要x小时，则单独开放甲管注满水池需要(x-5)小时，根据基本等量关系：可知，乙管和甲管的工作效率分别为，又根据题中的相等关系：甲、乙同时开放6小时，可列出方程.解：设单独开放乙管x小时注满水池，则单独开放甲管注满水池需(x-5)小时，根据题意，得，解得x1=15，x2=2.经检验x1=15，x2=2都是所列方程的根，但x2=2不符合题意，舍去.∴x=15，x-5=10.答：单独开放甲管需10小时注满水池，单独开放乙管需15小时注满水池.点悟：列方程解应用题的一般步骤都是“设”、“列”、“解”、“检验”、“答”，但如果所列的方程是分式方程，那么检验时必须进行“双检”，既要检验是否有增根，又要检验求得的解是否符合题意.(2)行程问题例8、甲、乙两地间的路，有一部分是上坡路，其余是下坡路，邮递员骑自行车从甲地到乙地需2小时40分，从乙地回到甲地少用20分钟，已知他骑自行车走下坡路比走上坡路多走6千米，又甲、乙两地之间路程为36千米，求他骑自行车上下坡的速度以及甲地到乙地上、下坡的长度.分析：本题是一般行程问题，其等量关系是：路程=速度×时间，关键应注意，邮递员从甲地到乙地是先上坡后下坡，而从乙地回到甲地也是先上后下，如图所示.本题设两个未知数比较方便.解：设上坡速度为x千米/时，则下坡速度为(x+6)千米/时;又设甲地到乙地上坡为y千米，则下坡为(36-y)千米，依题意，得①+②得，整理，得5x2-42x-6×36=0，∴(x-12)(5x+18)=0，∴x1=12，.∵速度不能为负值，∴x2不符合题意，舍去.∴只取x=12.把x=12代入①得.∴y=2436-y=12答：(略)点评：在求解的过程中，发现不符合题意，就及时将其舍去，省去了将代入方程①求y的值的过程.例9、A、B两地间的路程为15km，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20min后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40min.然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10km，问几点钟甲、乙两人同时到达B地?分析：本题可以从两个角度考虑：(1)用时间做相等关系：甲步行15km 所用的时间比乙骑车走30km所用的时间多(20min+40min)=1h.(2)用速度做相等关系，乙的速度-甲的速度=10km.解法一：设甲步行每小时走xkm，则乙骑车每小时走(x+10)km.由题意得整理得x2+25x-150=0解得x1=5，x2=-30经检验：x1=5，x2=-30都是原方程的根，但x=-30不符合题意，舍去.∴x=5.∴甲走15km用的时间为15÷5=3h.∵甲早6时出发，∴9时到B地.答：上午9时整，甲、乙两人同时到达B地.解法二：设甲从A地到B地步行所用时间为x h，则乙往返B、A两地骑车用的时间为(x-1)h.由题意得整理得2x2-5x-3=0，解得x1=3，.经检验：x1=3，都是原方程的根，但不合题意，舍去.∴x=3.∵甲早6时出发，∴9时到B地.答：略.《分式方程》解题技巧这篇文章共13106字。
中考数学总复习 对分式方程的解进行检验
分式方程 整式方程
求解
检验
2.思考：检验是如何进行的？
①代入原方程； ②代入最简公分母。
结论
重点讲解
通过一个具体的例子，理解解分式方程需要验根的 数学原理。
重点讲解
例1 解方程:
x
1
2
4 x2
4
x2 4 (x 2)(x 2)
解：两边同乘 x 2 x 2 ，得
x24
解得
x2
检验：当 x 2 时， x 2 x 2 0
归纳提升
• 整式方程的解并不一定是分式方程的解，但 分式方程的解，一定是整式方程的解。
这是首选的检 验方法哦！
解分式方程
要记得
检验 检验 检验
代入最简公分母 代入原方程
• 一般而言，分式方程无解，可以理解为：整式方程的解 在检验过程中，代入最简公分母后，其值为0。
漏掉检验。
难点突破
例2 下列解方程的过程是否正确？
16
（2）
0 x 3 x2 9
解 ：原分式方程化为
x
1
3
x
6
3
x
3
0
两边同乘 x 3x 3 ，得
x 36 0
解得 x=3
经检验：x=3是原分式方程的解。
仅把检验当作一过 场，没有走心。
检验：当x=3 时， x 3 x 3 0
所以，x=3 不是原分式方程的解，即原分式方程无解。
检验方法： 代入最简公分母
所以，x 2 不是原分式方程的解，即原分式方程无解。
重点讲解
知识小贴士
每 一
思考：解分式方程为什么一定同，那么
步
变 化 都
14 x 2 x2 4
分式方程解题技巧
分式方程解题技巧以下是 7 条关于分式方程解题技巧的内容：1. 哎呀呀，分式方程解题技巧之一就是要会找最简公分母呢！比如说对于方程$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=3$，找到最简公分母可重要了，不然怎么解方程呀！最简公分母就像是一把钥匙，能打开分式方程的大门，让你顺利解题呢！你说是不是呀？2. 嘿，咱得注意把分式方程转化成整式方程哦！就像一个变形魔法一样，比如方程$\frac{1}{x+2}=\frac{3}{x}$，两边同时乘以最简公分母，它就乖乖地变成整式方程啦！这多奇妙呀，能让难题瞬间变简单，你还不赶紧试试？3. 哇塞，验根这个步骤可不能忘啊！比如说解完方程$\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$，一定要代入原方程看看是不是真的成立呢。
这就好比给解出来的答案做个检查，马虎不得呀，不然可就前功尽弃啦，你可别不当回事儿啊！4. 嘿呀，遇到复杂的分式方程别慌乱呀！要像勇士一样勇敢面对，比如$\frac{3}{x}-\frac{4}{x+1}=\frac{2}{x(x+1)}$。
把它一点点拆解，各个击破，就一定能解出来的呀！难道还能被它难住不成？别害怕，大胆去解！5. 哇哦，有时候要灵活运用乘法法则呢！瞧这个方程$\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}=c$，你就得巧妙地根据法则来呀。
这就像拥有了一项独特的技能，能让你在分式方程的世界里如鱼得水呢，还不赶紧掌握起来？6. 哎呀，做完一道分式方程题也要多想想呢！想想过程中有没有其他方法呀，就像解完$\frac{2}{x+3}=\frac{1}{x-1}$后再回味一下。
这能让我们不断进步呢，说不定下次就能更快地解出来啦，你平时会这样做吗？7. 嘿，分式方程解题技巧可是很重要的哦！掌握了这些，就能在分式方程的海洋中畅游啦！不管遇到什么样的题目，咱都能轻松应对，让分式方程不再是难题！这就是我的观点，你觉得呢？。
八年级数学下册10.5分式方程验根方法简介素材
验根方法简介解分式方程的必不可少的步骤是验根，验根方法较多。
一、代入法【例1】解方程11112-=-x x . 【思考与分析】按照解分式方程的一般步骤解此方程，先同乘以（x ２－1），去分母化成整式方程求解再验根.将解得的根代入原方程的左、右两边，若左、右两边相等，则此根为原方程的根，否则此根为原方程的增根.解：原方程变形为：11)1)(1(1-=-+x x x . 方程两边同乘以（x-1）（x+1），得1=x+1解得x=0检验：当x=0时，左边=-1，右边=-1左边=右边 ∴x=0是原方程的根．反思： 此验根方法不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确.二、比较法【例2】解方程211=-++xx x x . 【思考与分析】分母不同要按照解分式方程的一般步骤求解，在验根时可以转换一种思路，令方程中各分母等于零，求出方程的所有增根，与解得的根相比较.相同时，为原方程的增根，否则为原方程的根.解：方程两边同乘以x （x ＋1）得：x 2+（x-1）·（x+1）=2x （x+1）整理得：2x=-1 解得：x=－21， 检验:令x （x+1）=0，得ｘ＝-1或x=0，所以原方程的增根为x ＝－1或x=0.∴x ＝－21不是原方程的增根. ∴原方程的根为x ＝－21． 反思：此种验根方法，适合求得的根比较复杂，到初三后，此验根方法将显露出更大的优势．三、公分母值判别法【例3】解分式方程：13132=-+--xx x 【思考与分析】将分式方程两边同乘以（x-3）化成整式方程后再求解.把解得的根代入同乘的最简公分母中，进行判断.使公分母为零的根为原方程的增根，否则为原方程的根． 解：原方程变形为13132=-+--xx x 方程两边同乘以（x-3）得2－x －1＝x －3，即－2x ＝－4．解得x ＝2．检验：把x ＝2代入（x-3）得：x-3≠0．∴ x ＝2是原方程的根．反思：此验根方法比较简单，因此被广泛的应用．四、条件约定法【例4】解方程求x ，)1(1≠=+-b b ax a . 【思考与分析】我们观察到此类方程中含有字母系数，可以把字母系数当成是数字按照求解一般方程的步骤进行，可以省略验根的步骤.解：方程两边同乘以x-a 得：a+b （x-a ）=x-a ，a+bx-ab=x-a解得x ＝12--b a ab . 反思：解字母系数分式方程的验根需要分类讨论，较为复杂，所以现行教材约定此类分式方程毋须验根.。
“六招”搞定分式方程的检验
“六招”搞定分式方程的检验湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞先看两道解分式方程的题目：(1)；(2)。
解：(1)方程两边同乘以，得﹒解得x=3﹒(2)方程两边同乘以，得﹒解得x=0﹒方程(1)中未知数的取值范围是，方程(2)中未知数的取值范围是﹒在去分母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程(1)的解x=3﹒由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因﹒虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来﹒那么如何对分式方程进行检验呢？下面向你介绍六招：第一招代入验根法将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根．例1方程的解为＿＿．解：方程两边同乘以，得﹒解得﹒检验：把代入原方程，得左边==，右边==，左边=右边，∴原方程的解．点评：运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确．第二招比较检验法令分式方程中各分母等于零，求出使各分母为零的未知数的值，然后与所得的根进行比较，相同的即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒例2解方程解：方程两边同乘以，得﹒解得．检验：令=0，得；令=0，得．比较，得是原方程的根﹒点评：比较检验法适合所得根比较复杂的题型．第三招公分母检验法把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒例3解方程．解：方程两边同乘以，得．解得．把代入，得=1≠0，∴是原方程的根．点评：公分母检验法比较简单，因此常被广泛地应用﹒第四招无需检验法虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法(把同分母分式合并)，从而避免分式方程产生增根，因此用这种方法解分式方程无需验根﹒例4解分式方程，可知方程( )A．解为B．解为C．解为D．无解解：原方程即，，，即1=8．∴原分式方程无解．答案选D．点评：本题若按常规方法会产生增根．由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验．除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设，则﹒原方程可化为﹒即﹒0=-2．∴原方程无解﹒第五招根据取值范围检验例5已知x为实数，且，那么的值为( )A．1B．-3或1C．3D．-1或3解：设，原方程变形为．即．解得，．经检验，，都是原方程的根．但，∴．而不满足，满足．∴是原方程的根，故应选A．点评：本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”，如果不注意的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”．第六招根据题意检验例6 A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道？解：设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道千米．根据题意，得．方程两边同乘，得．整理，得．解得x=-2或x=3．经检验，x=-2或x=3都是原方程的根．由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度，不可能为负数，因此x=-2不合题意，所以x=3．点评：解分式方程应用题要注意进行“双重”检验：不仅要对方程的解进行检验，还要对题意进行检验，看看方程的解是否符合问题的实际意义．。
分式方程(4)---分式方程要验根
解：原方程两边同乘以（x+1）(x-1)，得（x+1）2-4=(x+1)(x-1)，
解得x=1.
检验：把x=1代入原分式方程的各个分母，得x-1=0，x2-1=0.所以x=1是增根，原方程无解.
三、公分母验根法
把解得的值代入最简公分母中进行检验，使得最简公分母为0的值不是原分式方程的解，否则即为原分式方程的解.
解得x=-10.
检验：把x=-10分别代入原分式方程的左边和右边，左边= ，右边= ，左边=右边，所以x=-10是原分式方程的解.
说明：运用直接验根法，不仅能检验出原分式方程的解，而且还能检验求得的解是否正确.
二、各分母验根法
把所求得的值代入原分式方程中的各个分母中，如果使各个分母的值都不为0，则此解为原分式方程的解；若有分母为0，则不是原分式方程的解.
例3解方程
解：原分式方程两边同乘以x(x+1)，得1=2（x+1），
解得
检验：把 代入最简公分母x(x+1)，得
所以，原分式方程的解为
说明：公分母验根法比较简单，因此常被广泛地采用.
四、根据实际意义验根
例4一批零件甲组单独做15小时完成，乙组单独做12小时完成，甲、乙、丙三组合作7小时完成.如果丙去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0，所以解分式方程必须验根.而验根的方法一般有以下四种：
一、直接验根法
将解得的值分别代入原分式方程的左边和右边，若左边等于右边，此解即为原分式方程的解，否则，此解就不是原分式方程的解.
例1解方程
解：原方程两边同乘以x(x-5)，得2（x-5）=3x.
解：设丙组单独做x小时完成，根据题意，得
解得x=-140.
六招搞定分式方程的检验
分式方程【例1】：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的分母中不含有未知数的方程叫做整式方程。
【例2】：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？【例3】：解整式方程解：方程两边同乘以6，得： 解得：175x =同理：如何解分式方程？方程两边同乘以(20+v)(20-v) ，得：解得：检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原分式方程的解。
【例4】：解分式方程：解：方程两边同乘最简公分母（x-5）（x+5），得：x+5=10 解得：x=5检验：将x=5代入x-5、x 2-25的值都为0，相应分式无意义。
所以x=5vv -=+2060201002(1)23x x -=437x y +=13(2)2x x =-3(3)2x x π-=(1)(4)1x x x-=-105126=-+x x ）（215=-x x ）（2131x x x++=31423xx -=-+)1(224)3(3x x -=-+v v -=+206020100）（v v +=-2060)20(1005v =2110525x x =--不是原分式方程的解。
∴原分式方程无解。
增根的定义：在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.（使最简公分母为零的根）思考：1、上面两个分式方程中，为什么 去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而 去分母后得到的整式方程的解却不是原分式方程的解呢？我们来观察去分母的过程：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同。
两边同乘(x+5)(x-5)分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解。
分式方程验根有捷径
分式方程验根有捷径
传统的分式方程验根方法是将所求得的根一一代入最简公分母，看看最简公分母是否等于零，若等于零，则为增根，若不等于零，则为原方程的根。
但是在实际验根过程中，这种方法显得尤为不足。
随手举个例子：
解方程：3x2+5x－22
3x5x1
++=0
解得：
1
2
x
3
=-
，1
x1
=-
，
3
x=
，
4
x=。
可以预见，要按正统的验根方法，将所求四个结果一一代入3x2+5x+1中运算的话，其过程将很复杂，学生很可能就畏缩不前，甚至干脆不加验算就得出“经验根”的结论，这种凭空臆断不但破坏了数学的严密性，也不利于学生养成良好的思维品质。
通过大量的教学实践，我得出了分式方程验根的一个更简便的方法——反向思维，对比排除法。
一个分式方法的增根是很容易确定的，如：方程
63
1
(x1)(x1)x1
-=
+--它的增根是x=1
和x=－1（能使最简公分母等于零），而方程
2
2
x22x
3
x x2
-
+=
-的增根则是x=0，
，
x=
结果是否为原方程的根。
总之，一个方程的增根是通过观察、口算或者简单的笔算很容易求得的，这种增根与解方程求得的根对比排除的验根方法，既简便又准确，是学生很乐意接受的，掌握了这种方法，学生也就不会因畏繁畏难，不加检验，就凭主观臆断下“经检验”的结论了。
分式方程应用题解题方法
分式方程应用题解题方法
一、分式方程应用题解题方法
1、首先，明确分式方程的解的定义：分式方程的解是满足分式方程的定义的分式。
2、然后，解决分式方程时，要仔细检查被等式边的分式是否相等：
（1）检查两边的分母是否相等；
（2）如果分母相等，则检查两边的分子是否相等；
（3）如果分母不相等，则求出其最小公倍数，然后将两边的分子与最小公倍数相乘，以消去分母，再比较两边的分子是否相等；
（4）如果分子不相等，则分式方程无解。
3、最后，验证解的有效性：
（1）将解代入分式方程，判断两边是否相等；
（2）若相等，则解有效，否则，解无效。
六招搞定分式方程的检验
步骤：方程 有增根，则它的增根是（ ）
A.0B.1C.-1 D.1和-1
2.分式方程 的解为（ ）
A.x=1 B.x=2C.x=3D.x=4
3.解方程：
【例2】：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
【例3】：解整式方程
解：方程两边同乘以6，得：
解得：
同理：如何解分式方程？
方程两边同乘以(20+v)(20-v) ，得：
解得：
检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原分式方程的解。
【例4】：解分式方程：
解：方程两边同乘最简公分母（x-5）（x+5），得：x+5=10
分式方程
【例1】：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的分母中不含有未知数的方程叫做整式方程。
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同。
两边同乘(x+5)(x-5)
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解。
2、怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解。
解得：x=5
检验：将x=5代入x-5、x2-25的值都为0，相应分式无意义。所以x=5不是原分式方程的解。
∴原分式方程无解。
增根的定义：在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.（使最简公分母为零的根）
解分式方程的检验格式
解分式方程的检验格式解分式方程的检验一般分为以下几个步骤：1. 求解方程2. 将所求的解代入原方程3. 验证解是否符合原方程下面我们以一个具体的例子来说明解分式方程的检验过程。
假设有一个分式方程：$\frac{3x-1}{2x+5} = 4$，我们的任务是求解并检验该方程的解。
首先，我们要对该分式方程进行求解：$\frac{3x-1}{2x+5} = 4$首先将分数方程转化为普通方程：$3x-1 = 4(2x+5)$$3x-1 = 8x+20$将未知数移到同一边：$3x-8x = 1+20$$-5x = 21$$x = -\frac{21}{5}$所以，我们得到方程的解为$x = -\frac{21}{5}$。
接下来，我们将所求解代入原方程进行验证：$\frac{3 \cdot (-\frac{21}{5}) - 1}{2 \cdot (-\frac{21}{5}) + 5} = 4$计算左边的分式：$\frac{-63/5 - 1}{-42/5 + 5} = 4$$\frac{-63/5 - 5/5}{-42/5 + 25/5} = 4$$\frac{-68/5}{-17/5} = 4$$\frac{-68/5}{-17/5} = 4$$4 = 4$经过验证，我们发现方程的解$x = -\frac{21}{5}$符合原方程，因此该解是正确的。
总的来说，解分式方程的检验是一个非常重要的步骤，它可以帮助我们确定求解的准确性。
在进行检验的过程中，要注意细节，避免计算错误，以确保所求解的准确性。
希望以上内容能帮助大家更好地理解解分式方程的检验过程。
分式方程检验的标准格式
分式方程检验的标准格式
分式方程检验的标准格式是：将分式方程化为一般形式，即将分式方程化为$\frac{P(x)}{Q(x)}=0$，其中$P(x)$和$Q(x)$分
别为多项式，检验的步骤如下：
（1）检查$P(x)$和$Q(x)$的系数，看是否有公因子，如果有，则将其分解；
（2）检查$P(x)$和$Q(x)$的次数，如果$P(x)$和$Q(x)$的次数
不同，则将$P(x)$和$Q(x)$的次数调整为相同，即$P(x)$和
$Q(x)$的次数都为最高次数；
（3）将$P(x)$和$Q(x)$的系数分别乘以一个常数，使$P(x)$和$Q(x)$的系数都为整数；
（4）求解$P(x)$和$Q(x)$的根，即求解$P(x)=0$和$Q(x)=0$的根；
（5）检查$P(x)$和$Q(x)$的根，如果$P(x)$和$Q(x)$的根有重根，则将重根消去；
（6）检查$P(x)$和$Q(x)$的根，如果$P(x)$和$Q(x)$的根有共
同根，则将共同根消去；
（7）检查$P(x)$和$Q(x)$的根，如果$P(x)$和$Q(x)$的根有不同根，则将不同根求出，即求出分式方程的解。
分式方程的解的判定与求解
分式方程的解的判定与求解分式方程是初中数学中的一个重要知识点，它常常出现在方程与不等式的解题中。
掌握分式方程的解的判定与求解方法，对于提高解题能力和数学思维能力都有着重要的作用。
本文将从解的判定和求解两个方面进行论述，希望能对中学生和他们的父母有所帮助。
一、解的判定在解分式方程之前，我们首先要判断一个数是否是方程的解。
对于分式方程，我们可以通过将待求的数代入方程中，然后进行计算，看是否能够使等式成立。
例如，对于方程$\frac{x}{2}+\frac{1}{3}=2$，我们可以将$x$代入方程中，得到$\frac{x}{2}+\frac{1}{3}=2$，然后进行计算，如果最终两边相等，那么该数就是方程的解。
二、解的求解当我们确定一个数是方程的解之后，接下来就是求解方程，即找到满足方程的所有解。
对于一元一次分式方程，我们可以通过一些基本的求解方法来解决。
1. 清除分母当方程中存在分母时，我们可以通过乘以分母的倒数来消除分母。
例如，对于方程$\frac{x}{2}+\frac{1}{3}=2$，我们可以通过乘以6来清除分母，得到$3x+2=12$，然后继续进行求解。
2. 合并同类项在清除分母之后，我们需要将方程中的同类项合并在一起。
例如，对于方程$3x+2=12$，我们可以将3x和2合并为一个整体，得到$3x+2-2=12-2$，即$3x=10$。
3. 移项求解在合并同类项之后，我们需要将方程中的未知数移到一个边上，将常数移到另一边上。
例如，对于方程$3x=10$，我们可以将2移到等号的另一边，得到$3x-2=10-2$，即$3x=8$。
4. 求解未知数在移项之后，我们可以通过除以系数来求解未知数。
例如，对于方程$3x=8$，我们可以将等号两边都除以3，得到$x=\frac{8}{3}$，即$x=\frac{8}{3}$是方程的解。
三、举例说明下面通过一个具体的例子来说明分式方程的解的判定与求解。
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分式方程的检验技巧
先看两道解分式方程的题目：
(1)；(2)。
解：(1)方程两边同乘以，得﹒解得x=3﹒
(2)方程两边同乘以，得﹒解得x=0﹒
方程(1)中未知数的取值范围是，方程(2)中未知数的取值范围是﹒在去分
母将分式方程转化为整式方程后，未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时，若所得整式方程的解不在扩大的部分，那么所得的解就是原分式方程的解，如方程(2)的解x=0；若整式方程的解恰好在扩大的部分，那么此解就是原分式方程的增根，如方程(1)的解x=3﹒
由此可见，增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中，未知数的取值范围扩大而导致的，这是增根产生的原因﹒
虽然在解分式方程时可能产生增根，但它可以通过“检验”找出来﹒那么如何对分式方程进行检验呢？下面向你介绍六招：
第一招代入验根法
将所得的根代入原方程的左、右两边，若左边等于右边，则此根即为原方程的根，否则，此解为原方程的增根．
例1方程的解为＿＿．
解：方程两边同乘以，得﹒解得﹒
检验：把代入原方程，得左边==，右边==，
左边=右边，∴原方程的解．
点评：运用代入检验法，不仅能检验出原方程的增根，而且可以检验出求得的根是否正确．
第二招比较检验法
令分式方程中各分母等于零，求出使各分母为零的未知数的值，然后与所得的根进行比较，相同的即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒
例2解方程
解：方程两边同乘以，得﹒
解得．
检验：令=0，得；令=0，得．
比较，得是原方程的根﹒
点评：比较检验法适合所得根比较复杂的题型．
第三招公分母检验法
把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别，使公分母为零的值即为原方程的增根，否则即为原方程的根﹒
例3解方程．
解：方程两边同乘以，得．解得．
把代入，得=1≠0，
∴是原方程的根．
点评：公分母检验法比较简单，因此常被广泛地应用﹒
第四招无需检验法
虽然在解分式方程时可能产生增根，但对于某些特殊的分式方程，我们可以用合并法(把同分母分式合并)，从而避免分式方程产生增根，因此用这种方法解分式方程无需验根﹒
例4解分式方程，可知方程( )
A．解为B．解为C．解为D．无解
解：原方程即，
，，即1=8．∴原分式方程无解．答案选D．
点评：本题若按常规方法会产生增根．由于运用了合并法，从而避免了增根的产生，因此运用合并法解分式方程不需要检验．除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外，
还可运用换元法避免分式方程产生增根，如在解分式方程时，若按常规方法会产生增根，若采用换元法，设，则﹒原方程可化为﹒即﹒0=-2．∴原方程无解﹒
第五招根据取值范围检验
例5已知x为实数，且，那么的值为( )
A．1B．-3或1C．3D．-1或3
解：设，原方程变形为．
即．解得，．
经检验，，都是原方程的根．
但，∴．
而不满足，满足．
∴是原方程的根，故应选A．
点评：本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”，如果不注意的值的范围，极易错选B，正中命题者的“陷阱”．
第六招根据题意检验
例6A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道？
解：设甲工程队每周铺设管道x千米，则乙工程队每周铺设管道千米．
根据题意，得．
方程两边同乘，得．
整理，得．解得x=-2或x=3．
经检验，x=-2或x=3都是原方程的根．由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度，不可能为负数，因此x=-2不合题意，所以x=3．
点评：解分式方程应用题要注意进行“双重”检验：不仅要对方程的解进行检验，还要对题意进行检验，看看方程的解是否符合问题的实际意义．。