常微分方程(王高雄)第三版 1.1.

du k (u ua ), dt
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型.
例3 100元钞票落地实验
能否夹住关键在于人的反应时间能 否小于人民币经过双指所耗费的时 间？ 实质：自由落体运动 牛顿第二定律：F=ma
解:
下落的位移s(t)是时间t的一元函数
F mg ,

u
t
Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;
2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻
du . 由Newton冷却定律, 得到 温度的变化速度为 dt
t 的温度为 u(t ). 根据导数的物理意义, 则
型的研究。
§1.1
微分方程:
常微分方程模型
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
例1 镭的衰变规律:
即
f ( x) 2 xdx C x 2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得
f (1) 3,
C 2. 故所求的曲线方程为:
y x 2 2.

x(0) 百度文库 0
经典的SI模型（易感染者和已感染者模型）
(3)对无免疫性传染病如痢 疾、伤风等， 治愈后会再次被感染。 设单位时间治愈率为 dx kx(N x ) x dt
称为SIS模型
(4)对具有免疫性传染病如 水痘、麻疹等， 治愈后不会再次被感染 。 设在时刻t的愈后免疫人数为 r(t ),治愈率为常数 l
常微分方程
第一章
• 始于十七世纪
绪论
• 牛顿、莱布尼茨、欧拉、 伯努利…
二体问题
海王星的发现
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象 运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、 化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许 多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定 律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发 展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨 伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的 描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模
y ' x ' 和y xy . y 1 y ' 2 由题目条件有: ( x ' )( y xy ) a 2 y
2. 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲
线所满足的微分方程.
解: 设所求的曲线方程为
y f ( x). 由导数的几何意义, 应有
f ' ( x) 2 x,
这里k 0, 是由于R(t )随时间的增加而减少 .
解之得 : R(t ) R0e kt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
u 100 C. 试决定此物 u0 150 C,10分钟后测量得温度为 1
dr 解: lx dt x(t ) y(t ) r(t ) N
消去r(t)，得到
dx kxy lx dt
dx kxy lx , x(0) x 0 dt 称为SIR模型 dy kxy , y(0) N x 0 dt
思考与练习
1.曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形 的面积都等于常数 a 2 ,求该曲线所满足的微分方程. 解: 过点 (x ,y ) 的切线的横截距与纵截 距分别为 :
设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t 0时, 镭元素的量为R0克, 试确定在 任意t时该时镭元素的量.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t ),
dR (t ) 由于镭元素的衰变律就 是R(t )对时间的变化律 , dt 依题目中给出镭元素的 衰变律可得:
dR dt kR , R(0) R0
于是得到
d s a . 2 dt
2
d 2s g, 2 dt
1 2 s(t ) gt c1t c2 2
经计算，人民币经过双指的时间不超过 0.18秒 ，而
一般人的反应时间大于等于0.2秒，因此夹不住！
例4 传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型. (艾滋病,SARS, H5N1,埃博拉等)
假设在疾病传播期内所 考察地区的总人数 N不变, 时间以天为计量单位 , 假设条件为:
(1) 在时刻t人群中健康人数和已感 染者 (病人) 分别为y(t ) 和x(t ).
(2)单位时间内一个病人能 传染的人数与当时 健康人数成正比（比例 系数k）
解: 根据题设,每个病人每天可使 dx kx(N x ) dt