江苏省南京市金陵中学2019_2020学年高一数学上学期10月月考试题(含解析)

江苏省南京市金陵中学2019-2020学年高一数学上学期10月月考试题（含解析）一、单选题：本大题共 12小题，每题 4 分，共 48 分． 1.集合A ={1,2,3},B ={2,3,4},则A B =()A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】先观察两集合中的公共元素，再求交集即可得解. 【详解】解：因为集合{}1,2,3A =,{}2,3,4B =, 所以{}2,3A B ⋂=， 故选B.【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2.一元二次不等式2201920200x x --<的解集为（ ）. A. (1,2020)- B. (2020,1)- C. (,1)(2020,)-∞-+∞ D.(,2020)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由2201920200x x --<得(1)(2020)0+-<x x ，解得12020x -<<. 故选：A【点睛】本题主要考查解不含参数的一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.3. 下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. y ＝x ＋1 B. y ＝－x 3C. 1y x=-D. y ＝x|x|【答案】D 【解析】试题分析：A 中函数是增函数但不是奇函数；B 中函数是奇函数但不是增函数；C 中函数是奇函数但不是增函数；D 中函数既是奇函数又是增函数 考点：函数奇偶性单调性4.若集合A ＝｛x ｜mx 2＋2x ＋m ＝0，m ∈R ｝中有且只有一个元素，则m 的取值集合是 A. ｛1｝ B. ｛1-｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1-，0，1｝【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论0m =及0m ≠时0∆=．【详解】当0m =时，{}{|20}0A x x ===，满足题意； 当0m ≠时，2440m ∆=-=，解得1m =±． 综上m 的取值集合是{1,0,1}-．点睛：集合的元素具有互异性，当二次方程的两根相等时，方程的解集只有一个元素，另外一元一次方程有解也最多只能有一个解．5.函数1()2f x x =+的定义域是 （ ） A. [3,)-+∞ B. [3,2)--C. [3,2)(2,)--⋃-+∞D. (2,)-+∞【答案】C 【解析】分析：根据定义域求法即可. 详解：由题可得：30{320x x x +≥⇒≥-+≠且2x ≠-，故选C.点睛：考查函数的定义域，属于基础题.6.已知函数23,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -的值为（ ）.A. 4B. 12C. 16D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式，由内到外逐步代入，即可得出结果.【详解】因为23,0(),0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，所以(2)4f -=，因此((2))(4)12-==f f f .故选：B【点睛】本题主要考查求分段函数值，由内到外逐步代入即可求解，属于基础题型. 7.若对任意的[1,3]x ∈，不等式230x x m --<都成立，则实数m 的取值范围为（ ）. A. (2,)-+∞ B. 9(,)4-+∞C. 9(,0)4-D. (0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】先由题意得到23m x x >-在[1,3]x ∈恒成立，记2()3g x x x =-，根据二次函数求出2()3g x x x =-的最大值，即可得出结果.【详解】由题知，23m x x >-在[1,3]x ∈恒成立， 记2()3g x x x =-，则函数()g x 开口向上，对称轴为32x =； 又[1,3]x ∈，所以函数()g x 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；因为(1)132=-=-g ，(3)990=-=g ，所以max ()(3)0g x g ==； 所以0m >. 故选：D【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记二次函数的性质即可求解，属于常考题型.8.已知{2A x x =<-或}3x >，{}21B x a x a =≤≤-，若A B A ⋃=，则实数a 的取值范围为（ ）.A. 1(,)(3,)2-∞-+∞B. (,1)(3,)-∞+∞C. 1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ D. (,1][3,)-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据A B A ⋃=得B A ⊆，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可求出结果. 【详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆. 若B =∅，则21a a >-，解得1a <；若B ≠∅，则1212a a ≥⎧⎨-<-⎩或13a a ≥⎧⎨>⎩，解得3a >；综上，实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞.故选：B【点睛】本题主要考查由集合的并集结果求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.9.若2()(3)1f x ax a x =++-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）. A. [1,)-+∞ B. [1,0]-C. [0,1]D. [0,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】当0a =时，得到()31f x x =-满足题意；当0a ≠时，根据二次函数性质，得到0312a a a>⎧⎪+⎨-≤⎪⎩，求解，即可得出结果.【详解】若0a =，则()31f x x =-，符合题意；若0a ≠，由2()(3)1f x ax a x =++-在区间(1,)+∞上是增函数，可得：0312a a a>⎧⎪+⎨-≤⎪⎩，解得0a >.综上，a 的取值范围为[0,)+∞. 故选：D【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记二次函数性质，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型. 10.已知函数()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x <时，函数的图像如图所示，则不等式()0xf x >的解集为（ ）.A. (2,1)(1,2)--⋃B. (2,1)(0,1)(2,)--⋃⋃+∞C. (,2)(1,0)(1,2)-∞--D. (,2)(1,0)(0,1)(2,)-∞--+∞【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，以及函数图像，得到0x <时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果. 【详解】当0x <时，由()0xf x >得()0f x <；由函数图像可知，(2,1)x ∈--； 由函数()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞上奇函数，所以当(1,2)x ∈时，()0f x >，此时也满足()0xf x >； 综上，不等式()0xf x >的解集为(2,1)(1,2)--⋃. 故选：A【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.11.设3()2kf x x x=++，其中k 为参数，k ∈R .若函数()y f x =在区间[2,1]--上的最大值为4，则函数()y f x =在区间[1,2]上有（ ）.A. 最小值2-B. 最小值0C. 最小值4D. 最大值2【答案】B 【解析】 【分析】先设3()kg x x x=+，则()()2g x f x =-，根据题意得到()g x 在区间[2,1]--上的最大值为2，再判断函数()g x 是奇函数，求出()g x 在区间[1,2]上的最小值为2-，即可得出结果.【详解】设3()kg x x x=+，则()()2g x f x =-， 因为函数()y f x =在区间[2,1]--上的最大值为4， 所以()g x 在区间[2,1]--上的最大值为2.又3()()-=--=-kg x x g x x，所以()g x 是奇函数， 所以()g x 在区间[1,2]上的最小值为2-，此时()()2f x g x =+有最小值0. 故选：B【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数最值，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.12.已知266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）.A. 11(,6)3B. 18(,)33-C. 11(,6]3D. 18(,]33-【答案】A 【解析】 【分析】先作出函数图像，由题意得互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()===f x f x f x k ，根据函数图像确定34-<<k ，再设123x x x <<，得出236x x +=，17(,0)3x ∈-，进而可求出结果.【详解】作出函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩的图像如下：若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()===f x f x f x k ， 由图像可得：34-<<k ；不妨设123x x x <<，则236x x +=， 由13344-<+<x ，可得17(,0)3x ∈-；所以123x x x ++的取值范围为11(,6)3. 故选：A【点睛】本题主要考查函数与方程的综合应用，根据转化与化归的思想，将问题转化为函数交点问题，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型. 二、填空题：本大题共 4小题，每题 4 分，共 16 分． 13.若21{2,}x x ∈+，则实数x 的值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】分别讨论21x +=和21x =两种情况，即可得出结果.【详解】若21x +=，则1x =-，所以21x =，此时22x x =+，不符合集合中元素的互异性； 若21x =，则1x =±，当1x =时，223+=≠x x ，满足题意； 综上，1x =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查由元素与集合间的关系求参数的问题，熟记元素的特征即可，属于基础题型.14.若定义运算2,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()(2)=⊗-f x x x 的值域为________.【答案】[1,)+∞ 【解析】 【分析】先由题意得到2,1()(2),1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，根据一次函数与二次函数值域，分别求出1x ≥，1x <时()f x 的范围，即可求出结果.【详解】因为2,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩， 所以22,2,1()(2)=(2),2(2),1x x x x x f x x x x x x x x ≥-≥⎧⎧=⊗-=⎨⎨-<--<⎩⎩， 当1x ≥时，()1=≥f x x ；当1x <时，2()(2)=-f x x 单调递减，所以()(1)1f x f >=；综上，所求函数值域为[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞【点睛】本题主要考查求分段函数的值域，熟记一次函数以及二次函数的性质即可，属于常考题型.15.若函数2()()1f x a a x =++在区间[,1]a a +上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值为________. 【答案】1或2- 【解析】 【分析】先由题意得到20a a +≠，推出()f x 为一次函数，所以有()(1)2f a f a -+=，求解，即可得出结果.【详解】因为函数2()()1f x a a x =++在区间[,1]a a +上的最大值与最小值的差为2， 所以20a a +≠，因此()f x 为一次函数，则()(1)2f a f a -+=，即()()()221112++-++-=a a a a a a ，即22+=a a ，所以22+=±a a ，解得1a =或2-. 故答案为：1或2-【点睛】本主要考查由函数最值的差求参数的问题，熟记函数单调性即可，属于常考题型.16.已知函数21()21f x x x =--+，若(2)(2)f a f a ≤-，则实数a 的取值范围为________. 【答案】2[2,]3-【解析】 【分析】先由奇偶性的定义，判断函数()f x 为偶函数，再由0x >时，21()21f x x x =--+，根据二次函数与反比例函数的单调性，得出21()21f x x x =--+单调递增，进而原不等式可化为：22a a ≤-，求解即可得出结果.【详解】因为21()21f x x x =--+，所以21()2()1-=--=+f x x f x x ， 因此函数21()21f x x x =--+为偶函数， 又当0x >时，21()21f x x x =--+，显然单调递增； 所以(2)(2)f a f a ≤-等价于22a a ≤-， 解得2[2,]3a ∈-.故答案：2[2,]3-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性，以及基本初等函数的单调性即可，属于常考题型. 三、解答题：本题共 6小题，共 56 分． 17.在实数范围内解下列不等式或方程.（1）2340x x -->； （2）3210x x -+=【答案】（1）4(,1)(,)3-∞-⋃+∞ （2）1231,x x x ===. 【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；（2）先由3210x x -+=得到2(1)(1)0x x x -+-=，推出1x =或210x x +-=，进而可求出结果.【详解】（1）由2340x x -->得(1)(34)0x x +->， 解得43x >或1x <-； 所以不等式的解集为：4(,1)(,)3-∞-⋃+∞. （2）由3210x x -+=，得2(1)(1)0x x x -+-=， 所以1x =或210x x +-=，解得1x =或12x -=或12x -+=；因此原方程的解为：1231,x x x ==. 【点睛】本题主要考查解不含参数的一元二次不等式，以及三次方程，熟记不等式的解法，以及因式分解的方法即可，属于常考题型.18.已知集合{}2870A x x x =-+<，{}22220B x x x a a =---<. （1）当4a =时，求AB ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}16x x <<；（2）(,5][7,)a ∈-∞-+∞ 【解析】 【分析】（1）先化简集合A ，根据4a =，化简集合B ，再由交集的概念，即可求出结果； （2）先由A B B ⋃=，则A B ⊆，将原问题化为对任意(1,7)x ∈，2222a a x x ->-恒成立，令2()2g x x x =-，根据二次函数性质，求出2()2g x x x =-在(1,7)x ∈上的最大值，解不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}287017A x x x x x =-+<=<<，当4a =时，{}{}{22240(6)(4)046}B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<， 所以{}16A B x x ⋂=<<； （2）若A B B ⋃=，则A B ⊆.所以对任意(1,7)x ∈，2222a a x x ->-恒成立.令2()2g x x x =-，则函数2()2g x x x =-开口向上，对称轴为1x =， 又因为(1,7)x ∈，所以2()2g x x x =-单调递增， 因此2()2(1,35)=-∈-g x x x ， 所以只需2235a a -≥， 解得(,5][7,)a ∈-∞-+∞.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合交集的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.19.如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形的面积为()f t ，试求函数()f x 的解析式，并画出函数()y f t =的图象.【答案】2()23f t =,图象见解析. 【解析】 【分析】分三种情况讨论，在求()f t 的解析式时,关键是要根据图象,对t 的取值进行恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象.【详解】当01t <≤时,如图,设直线x t =与OAB 分别交于C 、D 两点,则|Ot|=t , 又3,||3CD BCCD t OC OE==∴= 2113()||||322f t OC CD t t ∴=⋅=⋅= (2)当12t <≤时,如图,设直线x t =与OAB 分别交于M 、N 两点,则||=2AN t -,又|||33,||3(2)||||MN BE MN t AN AE ==∴=- 221133()23||||3)23322f t AN MN t t ∴=⋅⋅⋅=-=+(3)当2t >时,()3f t =综上所述223,0123()233,123,2t f t t t t <≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪>⎪⎪⎩,图象如图，【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 20.设函数()af x x x=+，其中0a >. （1）证明：函数()y f x =在a 上是单调减函数，在,)a +∞上是单调增函数； （2）若函数()y f x =在区间(0,]a 上的最小值为4，求实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）4a = 【解析】 【分析】（1）先设120x x <<，作差法得到12121212()()()--=-x x af x f x x x x x ，分别讨论120x x a <<≤12a x x ≤<两种情况，根据函数单调性的定义，即可得出结论；（2）分别讨论01a <≤，1a >两种情况，根据（1）的结论，结合函数最小值，即可得出结果.【详解】（1）设120x x <<， 则211212121212121212()()()()()a x x x x a a af x f x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+=-，若120x x <<≤120x x -<，且12<x x a ，120x x a -<,所以12())0(f x f x ->，因此函数()y f x =在上是单调减函数，12x x ≤<，则120x x -<，且1212,0x x a x x a >->，所以12())0(f x f x -<，因此函数()y f x =在上是单调增函数；综上，函数()y f x =在上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数；（2）若01a <≤，则a ≤1）可得：()f x 在(0,]a 上单调减， 所以min ()()14f x f a a ==+=，解得3a =，不合题意，舍去；若1a >，则a 1）得()f x 在上单调减，)+∞上单调增，所以min ()4f x f ===，解得4a =，经检验，符合题意. 综上，4a =.【点睛】本题主要考查由单调性的定义判断函数单调性，以及由函数最值求参数，熟记函数单调性的定义，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.21.已知函数()()22,*f x ax x c a c N =++∈，满足①()15f =；②()6211f <<．（1）求a ，c 的值．（2）设()()231g x f x x x =--+-，求()g x 的最小值． 【答案】（1）1，2；（2）14-． 【解析】 【分析】（1）根据条件列不等式与方程，根据正整数的限制条件求a ，c 的值．（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，再根据各段单调性求各段最小值，最后比较两个最小值得函数最小值.【详解】（1）()125f a c =++=，()()2446,11f a c =++∈，又523c a a =--=-， ∴443a a ++-()376,11a =+∈，∴1433a -<<， 又*a N ∈， ∴1a =，2c =．（2）()222f x x x =++，∴()()231g x f x x x =--+-222231x x x x =++--+- 211x x =+--，1x ≥时，()22g x x x =+-，此时()g x 在[]1,+∞上单调递增， ∴()()min 11120g x g ==+-=，1x <时，()2g x x x =-，()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴()min 11112424g x g ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，又104-<， ∴()min 1124g x g ⎛⎫==-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查一元二次函数解析式以及单调性应用，考查基本分析求解能力. 22.函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =.（1）确定()f x 的解析式；（2）判断并证明()f x 在(2,2)-上的单调性； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<. 【答案】(1)2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-；(2) ()f x 是(2,2)-上增函数，证明见解析；(3)1(1,)2-. 【解析】试题分析：（1）若奇函数在x=0处有定义，则f （0）=0，代入即可得b ，再由1(1)3f =代入即可得a 值；（2）因为函数为奇函数，故只需判断x ＞0时函数的单调性即可，利用单调性定义即可证明；（3）利用函数的单调性和奇偶性将不等式中的f 脱去，等价转化为关于t 的不等式组，解之即可. 试题解析：(1)由函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数知(0)04b f -==，所以0b =，经检验，0b =时2()4axf x x=-是(2,2)-上的奇函数，满足题意. 又21(1)413a f ==-，解得1a =，故2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-. (2) ()f x 是(2,2)-上增函数.证明如下：在(2,2)-任取12,x x 且12x x <，则210x x ->，1240x x +>，2140x ->，2240x ->，所以2121122122222121()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----0>，即21()()f x f x >，所以()f x 是(2,2)-上增函数.(3) 因为()f x 是(2,2)-上的奇函数，所以由(1)()0f t f t -+<得，(1)()()f t f t f t -<-<-， 又()f x 是(2,2)-上增函数，所以1,212,22,t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩解得112t -<<，从而原不等式的解集为1(1,)2-.试题点睛：本题综合考查了函数的奇偶性和函数的单调性，奇函数的性质，函数单调性的判断方法，利用函数性质解不等式.。