线代第二章矩阵习题课
同济五版线性代数习题答案第二章矩阵及其运算.doc
解(X] x 2x 3)第二章 矩阵及其运算（参考答案）（习题二心76）p 54 1.计算下列乘积:<4 3 r<7、⑴ 1 -2 3 2q7<b<4 3 r ['4x7 + 3x24-1x1、15、 解1 -23 2 — lx7 + (—2)x2 + 3xl — 6 q 70 /、5x74-7x2 + 0x1 \ z <49;3⑵(1,2,3) 2 .，3、解(1 2 3) 2 =(lx3 + 2x2 + 3xl) = (10).J;<2-1（5）3],易,工3）a \2<2‘2x(-1)2x2、 "-2 4、解1 (T 2)=1x(-1)1x2 -1 2X /<3x(-1) 3x2)厂3⑶ 1 (-1,2).31 1 \'1 3 1、"2 1 4 0、 0 -1 2(6 -7 8、 J T 3 4,1 -3 1_〔20 -5 —6,.4 0 一240 解\-2J。
a \2>i = -3Z] + z 2'力=2Z|+Z3y 3=-z 2-k3z 3=(%/] + a ]2x 2 + a ]3x 3 a l2x } + a^x 2 + a 13x 3 a u x } + a-,3x 2 + 6t 33x 3) x =a u x[ + a 22x^ + %3工；+ 2a l2x }x 2 + 2a l3x }x 3 + 2a 23x 2x 3。
2 1 0、<10 3 10 10 10 12-1(6).0 0 2 10 0-23^0 0 0 3, ^0 0 0 —3,<12 10、 Q 0 31<1 2 5 20 10 10 12-10 12-4解0 0 2 1 0 0-23 0 0-43^0 0 0 3, 、0 0 0 一3/,0 0 0 -9；q i i)'1 2 3、fl 1 1解 3AB — 2A=3 i i -i-1 -2 4 -2 1 1 -1 J t •>、05 1,J -1 b5 8、<1 1 qr-2 13 22、 0 -5 6 -2 1 1 -i -2 -17 20<29 0；<1-1<429 -2>求从Z], Z2, Z 3到X p X 2, W 的线性变换.<1 11、< 1 2 3、乌2.设A = 1 1-1 ,B =-1 -2 4<1 "I<o 5 L求 3 AB —2 A 及NB.<1 1 1) '1 2 3、<0 5 8、 A 『B = 1 1 -1 -1 -2 40 -5 6J -1 •> p 0 5 1)<2 9 o >P 54 3.已知两个线性变换而=2一+为< 邑=一2乂+3），2+2为 石=4名+力+5为/、< 2 0 1) 3、< 2 0 1) '-3 1 oy J-2 3 2-2 3 2 2 0 i<4 1 5>*4 \ 1 5, /-1 3^ 由己/ 、22k Z 3>所以有2、 3>8> AB 主 BA(2) (A + B)22、 "2 2、 r 8 14 5, 2 51429 / \ /\ <3 8、 %8、 / + + <4<8 12\‘10 16、J5 27,<2 (A + B)(A —B)=2V05人。
济大学线性代数第二章习题课件
cij
ai1b1j
ai2b2 j
aisbsj
s
aik bkj
k 1
(i 1,2,,m; j 1,2,n),
记作 C AB.
10
运算规律 (A)C B A (B)C ;
(A ) B (A )B A (B ),(其 为 中 );数
A(BC)ABAC , (BC)ABA CA ; E m A m n A m n A m n E n .
1 n
1 n
1 n
n 1 n n n
23
解
n 1 1 1 2
n 1
n n1
n 1
n n
n
1 n
1 n
1 n
n 1 n n n
1n11
n
1
1 n1
1
1 1
2
n1
24
n1
1 n2
1 1
1 n1 1
1 2 1 n1
n(n1) n n
行矩阵.
5
３ 同型矩阵和相等矩阵
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称 它们是同型矩阵．
如果 A(aij)与B(bij)是同型矩 ,并阵 且它 们的对应元,素 即相等
aijbij (i 1,2,,m;j1,2,,n). 那么就称A矩 与阵 矩B阵 相等 ,记作 AB.
6
４ 零矩阵 单位矩阵
元素都是零的矩 零阵 矩,称 阵 记为 作 O. 主对角线上的 1,其 元余 素元 都素 是都是 n阶方,叫 阵做 n阶单位 ,简阵 记E.作
元素是实数的矩 实阵 矩叫 .阵做 元素是复数的矩 复阵 矩叫 .阵做 (1)式可简记为
A(aij)mn或A(aij), mn矩阵 A也记作 Amn.
《线性代数》第二章矩阵(习题课)
13
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
第二章 矩阵习题课
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2,,m; j 1,2,,n)
排成的m行n列的数表， a11 a12 a1n
简称m n矩阵.
记作
A
a 21
a 22
a 2n
例1：设矩阵
A
1 0
1
1
,
求与A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为 X 由 AX XA,
a
c
b
d
,
得
ac
c
b
d
d
a c
a b
c
d
c 0,a d
X
a 0
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
1 交换律：A B B A.
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
3
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数课后习题答案第二章矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解)21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0.(2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k. 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k .8.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA kk kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫.用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA . 11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫⎝⎛5221;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛--=1225.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=θθθθc o s s i ns i n c o s *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθc o s s i ns i n c o s .(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n a a a A 10011211 .12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232.(2)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;解1111012112234311-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111.(4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012.13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ), 两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E , 或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E , 或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2, 即 |A ||A -E |=2, 故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1, )3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明: (1)若|A |=0, 则|A *|=0; (2)|A *|=|A |n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得 A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1. 19.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B ,求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A ,所以(A -E )可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E ,B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21,1 ,21(d i a g 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ,且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060006603001010010000161.23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠. 解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111||||||||==D C B A , 故 |||||||| D C B A DC B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4.解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A .29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====snE BC OBC OAC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛---O A B O O B A O 111.(2)1-⎪⎭⎫⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A .30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001.解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.。
线性代数第二章练习题
第二章 矩 阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或 （B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且 （C）00==Þ=B A 0AB 或 （D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ） （A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ） （A）AB 为对称矩阵 （B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵 （D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） （A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ） （A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ） （A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。
线性代数 2.5 矩阵及其运算习题课
0 0 0 ; 2 1 0 0 1 2 . 0 1 2
2731 2732 九 、 . 6 8 3 6 8 4
第 二 章
3n 0 0 7 . 1 2 5; 8 . 0 1 0 . 0 0 4n 1 B 1 1 二 、A B E E 3E A . 2 2 2 1 0 四 、X 1 3 4 . 1 0 2
3 8 0 1 3
0 0 0 1 . 2 1
九、(6分)
设 P 1 A P B, 求 A1 1 , 其中
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返 回 结
1 4 1 0 P , B 0 2 . 1 1
测试题答案
第 二 章
所以
d b 1 A ad bc . c a
1
评注 依定义求 A 的逆,实际上是求解 n 个系数相
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返 回 结
同而常数项分别为单位矩阵的各列的n元方程组.
方法二
求二阶矩阵逆矩阵可用 “两调一除”
的方法, 其做法如下:
第 二 章
a b , 则 A a d b c. 设 A c d a b 主对角元 d b 于是 A 调换位置 c a c d 1 d b 次对角元 d b 用 | A| 去除 c a c a , 换符号 | A| A 的元
n
n
第 二 章
4 2 3 六、(6分)设 A 1 1 0 , 求 A B A 2 B, B. 1 2 3
七、(每小题3分,共6分)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵
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线性代数第2章- 习题课
第二章 矩阵一 重点内容1 矩阵的基本运算 ∙ 矩阵的加法设nm ij a ⨯=)(A，nm ij b ⨯=)(B，则nm ij ij b a ⨯±=±)(B A .性质 ①AB B A +=+② )()(C B A C B A ++=++③ AO A=+ ④OA A =-+)(∙ 矩阵的数量乘法设k 为数，nm ij a ⨯=)(A ，则nm ij ka k ⨯=)(A.性质 ①AA =1② )()(A Al k kl =③ AA A l k l k+=+)( ④BA B A k k k +=+)(∙ 矩阵的乘法设nm ij a ⨯=)(A，sn ij b ⨯=)(B，则sm ij c ⨯=)(AB，∑==nk kj ik ijb ac 1.性质 ①)()(BC A C AB =② )()()(B A B A AB k k k ==③ ACAB C BA +=+)(；BCAC C B A +=+)(∙ 方阵A 的k 次幂：个k kA AA A =①mk mk+=AAA② kmmk AA =)(∙ 方阵A 的k 次多项式设111)(a x a xa xa x f k k kk +++=-- ，A 为n 阶方阵，则EA A A A 0111)(a a a a f k k kk +++=-- (E 为n 阶单位矩阵)∙ 方阵乘积的行列式定理：设A , B 为n 阶方阵，则BA AB ⋅=..∙ 转置矩阵若记nm ij a ⨯=)(A，mn Tji Ta ⨯=)(A，则T jiija a =.性质 ① AA =TT )(② TTTBAB A+=+)(③ T T k k AA =)(④ TTTAB AB=)(⑤ 若A 为方阵，则AA=T.∙ 对称矩阵：A =A T(即a ij =a ji )；反对称矩阵：A =－A T(即a ij =－a ji ). 2 逆矩阵的重要结论定义：若AB =BA=E ，A ,B 互为逆矩阵. (可逆矩阵必为方阵) ∙ 若A 可逆，则1-A 是唯一的∙ 矩阵A 可逆的充要条件是≠A (非奇异矩阵)，且*11AAA =-∙ 若A , B 为n 阶方阵，且AB =E ，则必有BA =E .∙ 设A , B 可逆，数k ≠0，则AB A A A , , ,1k T -皆可逆，且①AA=--11)(② 11)()(--=TTA A③ 111)(---=AA kk ④ 111)(---=ABAB⑤11--=AA3 伴随矩阵的重要结论定义：设A 为n 阶方阵，则其伴随矩阵TcofA A )(*=，即代数余子式矩阵的转置矩阵.①EA A A AA==**② AAA 2**)(-=n③ **)()(T TA A =④ 若A 可逆，则A * 也可逆，且*11*)()(--=AA⑤*1*)(AA -=n kk⑥ ***)(AB AB =⑦1*-=n AA4 分块矩阵的重要结论∙ 分块矩阵的加法(要求是同型矩阵，分块方式相同)；数量乘法； 乘法(在AB 可乘的前提下，A 的列的分块和B 的行的分块方式相同)；转置(“大转”再“小转”) ∙ 可逆分块矩阵的逆矩阵①⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m A A AA21 ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----112111m A A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mA A A A21 ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----111211A A A Am其中的子块i A 为方阵，且),2,1( 0m i i =≠A② ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B C A DO ⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----11111BCBAA DO⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C A D O ⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----11111B CA B O AD⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O B A CD ⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----11111CB A A BDO⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B A D O⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----O A BCAB D11111其中的子块A ,B 为方阵，且,0≠≠B A .二 典型题型：1 利用B A AB ⋅=计算(证明)行列式例1 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=a bcd ba d c c d ab dc b a A ，计算 |A |2 和 |A |。
线性代数第二章矩阵(答案).docx
线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1． 设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12． 设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33． 设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩 阵系专业 班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩 阵系专业班姓名学号第三节（二）矩 阵 的 秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零 （ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。
线性代数第二章课后习题
习题二 （A ）1 请按要求写出下列相应矩阵（1）3E ； （2）35O ⨯； （3）()3,1,2.=-3Λdiag2 设矩阵221,301A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭a b c c ，若A B =，请确定a,b,c 的值. 3 设矩阵300012111=,,565042112A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭，求,,23A B B C A C -++.4 设3023=12531⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,求,2,3--+A E E A A E . 5 设矩阵3111110=21,=212031112AB ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ，使得()53X B AB X +=+. 6 计算下列乘积：（1）AB 与BA ，其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛600040002，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ； （2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6543,2,1；（3）1023211231⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭；（4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321,,x x x a a a a a a a a a x x x ；（5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛32142143143243210110100101001000. 7 211312101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭A ，230101211⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，求23-AB B ,T A B 及()T AB .8 设矩阵110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求n A ，其中n 为自然数.9 设列矩阵A =()T12,n a a a ，满足T 1,=n A A E 为n 阶单位矩阵，T 2n =-B E AA ，证明（1）矩阵B 是对称矩阵；（2）T=n BB E .证毕10 设矩阵31212,01234031A B ⎛⎫- ⎪⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，λ是实数，（1）计算λ-E A 和λ-E B ； （2）计算-E A λ和E B -λ.11 求下列方阵的逆矩阵 (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4231；（2）cos sin sin cos ⎛⎫ ⎪-⎝⎭θθθθ； （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111011001； （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121； （5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6000340042102521. 12 解下列矩阵方程：（1）25323714⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X ； （2）211213*********-⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎝⎭X ；(3) 0314********X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝-⎭⎝-⎭； (4) 010********0001201001010120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X ．13 设矩阵 1111111111111111⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭A . (1) 求2A ；(2) 证明矩阵A 可逆，并求1-A ；(3) 求*1()-A .14 已知k=A O （k 为正整数），证明()121---=++++k E A E A A A .15 若矩阵A 满足224--=A A E O ，试证 (1) 矩阵A 可逆，并求1-A ;(2) 矩阵+A E 可逆，并求1()-+A E . 16 利用逆矩阵解下列线性方程组：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3531322522321321321x x x x x x x x x ；(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x ． 17 设矩阵A 和B 满足关系式2=+AB A B ，其中033011312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B . 18 设矩阵A 和X 满足关系式2+=-XA E A X ，其中120340567⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求矩阵X . 19（研2006数一，数二） 设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则=B .20 （研2008数一，数二，数三） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若3=A O ，则（ ）（A ）-E A 不可逆，+E A 不可逆； （B ）-E A 不可逆，+E A 可逆； （C ）-E A 可逆，+E A 可逆； （D ）-E A 可逆，+E A 不可逆.21 （研2009数一，数二，数三） 设,A B 均为2阶矩阵，,**A B 分别为,A B 的伴随矩阵.若2,3==A B ，则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭O A B O 的伴随矩阵为（ ）（A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ； （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ；（C ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ； （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O .22 （研2010数二，数三） 设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2,-==+=A B A B 则1-+=A B .23（研2012数二） 设A 为3阶矩阵，3=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*=BA .24（研2013数一，数二，数三） 设()ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若()0,1,2,3ij ij a A i j +==，则=A .（B ）1（研2002数二） 已知,A B 为3阶对称矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 为3阶单位矩阵.（1）证明：矩阵2-A E 可逆，并求()12--A E ；（2）若矩阵012012002B ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .2 设矩阵X 满足 12*-=+A X A B X ，其中111111111A ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，110101B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X .3（研2003数二） 设3阶矩阵,A B 满足2--=A B A B E ，其中E 为3阶单位矩阵，011002021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求B .4 设,A B 均为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵.已知2=+AB A B ，202040202⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求()1--A E .5 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明： (1) 若0=A ，则*0=A ； (2) 1*-=n A A.6 设矩阵111222⎛⎫=⎪⎝⎭A A A O A ，其中ij A 是j i n n ⨯矩阵，证明矩阵A 可逆的充分必要条件是11A 及22A 均为可逆矩阵，并求1A -.7 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1O O -⎛⎫⎪⎝⎭A B .8 求矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000000000121 n n a a a a 的逆矩阵，其中0≠i a ，n i ,,1 =.9（研2015数二）设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 且3=A O .（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足--+22X XA AX AXA =E ，E 为3阶单位阵，求X .10 设n 阶矩阵,,A B C 满足n ===AB BC CA E ，求222++A B C .。
线性代数：第二—三章 习题课
对A进行一次初等行变换, 相当于在A左边
乘 以 相 应 的m阶 初 等 方 阵 ；
对A进行一次初等列变换,相当于在A的 右边
乘 以 相 应 的n阶 初 等 方 阵 。
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3)定理：任何可逆方阵都可以表示为有限个初等方阵的乘积. 推论：m n矩阵A ~ B的充要条件是：
存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆方阵Q， 使PAQ B. 注：m n矩阵A经初等行变换化为B的充要条件是： 存在可逆方阵P，使PA B。
a21 x1
am1 x1
a22 x2
am2 x2
a2n xn amn xn
b2 bm
— m n方程组
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也 称 为 解.
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5.解的结构：x k11 k2 2 knr nr
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基础解系. 基础解系为解向量中一个最大无关组.
(1) 基础解系中的向量都是原方程组的解，
(2)基础解系中所含解向量的个数等于 n r( A)； (3) 方程组的每个解可以由基础解系的线性运算表示。
定理 如果 n 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则它
b k11 k2 2 kn n
成立，则称b是向量组
1
,
2
,,
的线性组合，
n
或称b 可由向量组1 , 2 ,, n线性表示，
其中k1, k2 ,, kn 称为表示系数.
注：线性方程组可表示成向量Fra bibliotek式x11 x2 2 xn n b
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如果方程组有解，就等价于存在一组数k1, k2 ,, kn使
线性代数矩阵习题课
= 19 18 28 5 -13 11
线性代数习题课（一）
3、用初等变换将矩阵A化成阶梯形矩阵、
行最简形矩阵、及标准型 。
2 -1 -1 1 2
A= 1 1 -2 1 4 r1↔r2 4 -6 2 -2 4
3 6 -9 7 9
1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
1 0 -1 1 0 1
线性代数习题课（一）
2、设n 维向量α =(a , 0 , … , 0 , a)T(a<0), A=E-ααT , B=E-ααT/a ,
其中A的逆矩阵为B，求a的值。
解：AB=E+(1-1/a-2a)ααT,
AB=E 1-1/a-2a =0 a=-1/2 ( a =1舍去)
1、设矩阵 A=
2 1
0 -2
4 4
1 3
B=
1 0
2 -2 2 -1
3 4
C=
3 2
4 -3
1 2
2 -1
则(1)A+B=
3 1
2 0
2 3
4 7
B-C=
-2 -2
-2 -3 5 -3
1 5
2A-3C= -5 -12 5 -4 -4 5 2 9
(2)若矩阵X满足A+2X=C ,
则X =(C-A)/2=
-1 0 3
k1 1 1
10、设A=
1 1
k 1
1 k
1 1
, 且r(A)=3,则 k = -3
11 1 k
线性代数习题课（一）
α
β
11、设三阶矩阵A= γ1 ,
γ2
B= γ1
熊维玲版线性代数第二章习题解答.Doc1
第二章 矩阵1（本题为类似题）．设111111111A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， 123124,051B ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭求32.TAB A A B -及解:32AB A -1111233111124111051⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1112111111⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ 0583056290⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1112111111⎛⎫⎪--⎪ ⎪-⎝⎭21322217204292-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭111123111124111051T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=--- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭058056290⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭2（部分原题，部分类似题）．计算下列乘积：(1)431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)()31,2,321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (3)()211,23⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(4)13121400121134131402⎛⎫⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪-⎝⎭； (5)111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解:(1)431712325701⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭47321117(2)231577201⨯+⨯+⨯⎛⎫ ⎪=⨯+-⨯+⨯⎪ ⎪⨯+⨯+⨯⎝⎭35649⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(2) ()31,2,321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(132231)(10)=⨯+⨯+⨯= (3) ()211,23⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭2(1)221(1)123(1)32⨯-⨯⎛⎫ ⎪=⨯-⨯ ⎪ ⎪⨯-⨯⎝⎭241236-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭(4) 13121400121134131402⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭6782056-⎛⎫= ⎪--⎝⎭(5) 111213112312222321323333(,,)a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭()111122133121222233131232333a x a x a x a x a x a x a x a x a x =++++++123x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++ (6) 12101031010101210021002300030003⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭1252012400430009⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭3．求,nA 其中n 为自然数，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010011A解：2=n 时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000100211000100111000100112A3=n 时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000100311000100111000100213A设k n =时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10001001k A k；则1+=k n 时，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+100010011100010011100010011k k A k故：由数学归纳法知，对任意的自然数n ，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10001001n A n4．矩阵A 称为反对称矩阵，若TA A -=。
线性代数矩阵习题课-
γ1, B=
γ2
γ1,
γ2
且|A|=2 , |B|=3, 则|3A|= 54
|A+B|= 20 , |A-B|= 0
|AT+BT|= 20
33
作业题答案
1.设矩阵
A=
2 1
0 -2
4 4
1 3
B=
1 0
2 -2 2 -1
3 4
C=
3 2
4 -3
1 2
2 -1
则(1)A+B=
• 1
2 0
2 3
4 7
线性代数矩阵习题课
线性代数习题课（一）
2.设n 维向量α =(a , 0 , … , 0 , a)T(a<0),
A=E-ααT , B=E-ααT/a ,
其中A的逆矩阵为B, 求a的值。 解: AB=E+(1-1/a-2a)ααT,
AB=E 1-1/a-2a =0 a=-1/2 ( a =1舍去)
2
线性代数习题课（一）
3.设A与A+E均可逆，G=E-(A+E)-1 ,求 G-1。 G =E-(A+E)-1 =(A+E)(A+E) -1-(A+E)-1 =A(A+E) -1 由A与A+E均可逆可知G也可逆, 且 G -1=(A(A+E) -1)-1=(A+E)A-1
3
线性代数习题课（一）
4.设四阶矩阵A=(α , r2, r3, r4), B=(β, r2, r3, r4), 其中α, β, r2, r3, r4均为4维向量, 且已知|A|=4 , |B|=1 , 求|A+B|。
d =-1×(-1)1+2×3×(-1)2+3×(2-3)
线性代数2-4(习题课)
可见,AB=BA只 可见,AB=BA只 在特殊条件下成立, 在特殊条件下成立 , 即矩阵的乘法没有 交换律! 交换律!
的对应元素相等, 令 AB, BA 的对应元素相等,得 a = b.
例2.3 已知 α = (1 2
3 )T , β = 1
1 2
1 , 求 (αβ T )10 . 3
2. 常见习题类型
是非判断题: 考察基本概念、运算律等； 是非判断题: 考察基本概念、运算律等； 矩阵的基本计算: 矩阵的基本计算: 具体矩阵的基本运算——注意通过算律的使用降低运算量，必要时 注意通过算律的使用降低运算量， (1) 具体矩阵的基本运算 注意通过算律的使用降低运算量 使用分块法简化计算； 使用分块法简化计算； 求抽象方阵的行列式的值. (2) 求抽象方阵的行列式的值. 求解矩阵方程 先化为如下标准方程形式之一 求解矩阵方程: 先化为如下标准方程形式之一 矩阵方程: 其中A可逆, (1) AX=B, 其中A可逆, 则X=A-1B; 其中A可逆, (2) XA=B, 其中A可逆, 则X=BA-1; 其中A,B都可逆, A,B都可逆 (3) AXB=C, 其中A,B都可逆, 则X=A-1CB-1. 证明题： 证明题： (1)关于对称阵的概念的; (1)关于对称阵的概念的; 关于对称阵的概念的 (3)关于方阵行列式的值的; (3)关于方阵行列式的值的; 关于方阵行列式的值的 (2)关于方阵可逆的判定(及求逆) (2)关于方阵可逆的判定(及求逆)的; 关于方阵可逆的判定 (4)与伴随矩阵相关的. (4)与伴随矩阵相关的. 与伴随矩阵相关的
(5) 4块的分块下三角阵
An×n , Bs×s
A O 可逆，且 均可逆时， 均可逆时， C B 可逆，
A O C B
线性代数第二章 习题课
矩阵
习 题 课
矩阵的定义
由 m n 个数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
am 1 am 2 amn
称为 m 行 n 列矩阵.简称 m n 矩阵.为表示它是一个整 体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记 作
定 义2 设 在 矩 阵A 中 有 一 个 不 等 于 0 的 r 阶子 式 D， 且 所 有r 1 阶 子 式 （ 如 果 存 在 的 ） 话全 等 于 0， 那 么D 称 为 矩 阵 A的 最 高 阶 非 零 子 式 ，
此时， D的阶数r称为矩阵A 的秩，记作 R( A) .
注 规定零矩阵的秩等于零 .
ri (k )rj (ci (k )c j )
初等矩阵
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵,三种初等变换对应着三种初等矩阵．
. E(i, j), E(i(k)) , E(ij(k))
初等矩阵是可逆阵
定理 设A是一个mxn矩阵，
对A施行一次初等行变换，相当于在A的左 边乘以相应的m阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右 边乘以相应的n阶初等矩阵
1
E A E A A2 Ak 1 . k A 0 方法二 E E Ak E A E A A2 Ak 1
1
E A A A2 A2 E A E A A
2
1
求矩阵的秩的基本方法
（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式 开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式， 则这个子式的阶数就是矩阵的秩． （２）用初等变换．
大学线性代数第二章习题答案
第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 1．解．,251=x 212=x .2.解． ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x 其系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----161109412316第二节 矩阵的运算一 填空题：1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛224210 2.3 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121 ， 13-k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121（k 为正整数）。
3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000004.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100010001 5. 0二选择题 ：CCCCC B三计算：1．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---632142（2）10 （3）322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++32155121232272i i i i ii i 2. ()()T T T A I A AA A I A A A T A A I +=+=+=⋅+=⋅+(1)00A A A I A I <⇒-+=+=.3.111101()()2()2000101n T n T n T n A αααααα----⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则2(2)n n aE A a a -=-. 4.设2222223T T x x xy xz y xy y yz x y z z xz yzy ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5.02()()()A E A B A B E A E A E B A E A E B E +≠--=⇒+-=+⇒-=112A EB B ⇒-⋅=⇒=. 6.()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-1154123600022B A B A7．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012328317 8．－80第三节逆矩阵 一 填空题：1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000031212. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24205100010 3. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----611859131320001 4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000213141 5.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123B 6. 541-；7.100122()(2)2()0102100B E AB A B A E B E E A E -⎡⎤-⎢⎥=+⇒--=⇒-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦8.21()(2)20B A E A E --⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦. 9.由21224()().22A E A EA A E O A E E A E -+++-=⇒-=⇒-=()()kA lE h A E +=10.由111021()102002AB B A A B B E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⇒=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二．选择题：ACBBD三.计算题：1.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3131002121001 (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----17162132130122. 由BA A BA A +=-61得，B E B A +=-61， 所以 E B E A 6)(1=--从而 ， 11)(6---=E A B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-7000400031A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--6321E A3.11010100001693471582100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001693471582100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=963852741. 4. 因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191，故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=622250207315. 由23**0T T ij ij a A A A AA AA A E A A A =⇒=⇒==⇒=⇒=或1A =.又22211111212131311121301A a A a A a A a a a A =++=++≠⇒=.6. 1100200611AP PB A PBP -⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.5511A PB P PBP A --===. 7.1*11112(3)2233A A A A A A -----=-=-,所以 1*131228116(3)2()332727A A A A A ----=-=-=-⋅=-.或 *1*1***114(3)222333A A A A A A A A ---=-=⋅-=-,则311**3*446416(3)2()332727A A A A A ---=-=-=-⋅=-.8.E BA E BA A A E B A A B -=-=-=--**11||)(，即E E A B =-)(*，因而⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-=--1030122211763452221)(11E A B *解 1*n A A-=.9.证 (1)由1124(2)(4)28A B B E A E B E E A E -=-⇒-⋅-=⇒-可逆,且 11(2)(4)8A EB E --=-(2)由(1)得102028(4)110002A E B E -⎛⎫⎪=+-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 四、证明题：1.证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2.证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的. 第四节 矩阵分块法1. 00011000100000010010010001000010010000100010010010000100011000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以100010001001000100100010010001000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31313231000000520021. 3.A ；4.若1A -易求得,由*1A A A -=最简便.显然111,A O C C A B OB ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1**11*A B A OB A OC C C O A B B O A B ---⎡⎤⎡⎤⇒===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5. (1) 1()T APQ O A b A ααα-⎛⎫=⎪-⎝⎭. (2) 由(1)得0211()P A TT P Q PQ A b A Q b A αααα=≠--⋅==-=-. 6. 23423422288()40A B A B αβγγγαβγγγ+=+=+=+=.7. 11100100112120(2)01221001001B O B O A I A I O O --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==⇒-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 8. (1)m m mnnnO A A O C B OOB =-从第n+1列开始每一列与前n 列逐列交换(1)mn m n A B =-(1)mn ab =-.自测题一.单项选择题：1.D 2.C 3.C 4．A5. B 二、填空题：1. 912.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-133 3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4332211 4.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-11001200005200211A 5. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----O O 21313725 三.计算题1.由B X A =*得，AB X AA =*，即 AB X A = ，因为2-=A ， 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00021152031000221X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020111.2、1) B E B A E A AB E B A B A A B AA ⇒=-⇒+=⇒+=-)|(|||)(1*可逆.2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=--1111116166666)8(11A EB .3.111()[()]()()T T T T T T T A E C B C E A C C B C E A C B C C E ----=⇒-=⇒-=1()()()T T T A C B CC E A C B E -⇒-=⇒-=110001100[()]12100121T A C B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⇒=-=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 4.-250；415. 由1113()3ABA BA E E A B E ---=+⇒-=.又3*82A A A ==⇒=,则**160000600()36(2)606010306A E B E B E A A -⎛⎫ ⎪⎪-=⇒=-= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭四.证明题1.证 由**T T A A AA AA A E =⇒==.假设0T A AA O =⇒=.考虑T AA 的主对角线上的元素,令()T ij AA B b ==,则222121200ii i i in i i in b a a a a a a =+++=⇒==== ,即A 的第i 行的元素全为零,由i 的任意性,得A 的元素全为零,即A O =,矛盾. 2.由23202A E A A E A E A ---=⇒⋅=⇒可逆,且12A EA --=.。
线性代数课件_第二章_矩阵及其运算——习题课 共56页PPT资料
a x1 b x3 1,
则有
c
a
x1 x2
d b
x3 x4
0, 0,
c x 2 d x 4 1.
x
1
ad
d bc
,
b
解得
x 2 x3
ad bc c
ad bc
, ,
x
4
ad
a bc
.
04.12.2019
04.12.2019
课件
6
２ 方阵 列矩阵 行矩阵
对 (1 )式 ,当 m n 时 ,A 称 n 阶 为.方阵
a1
只有一列的矩A阵
a2
叫做
列矩阵 ;
am
只有一行的矩A阵 (a1 a2 an)叫做
行矩阵.
04.12.2019
课件
7
３ 同型矩阵和相等矩阵
0 0 , 0 0
即 f(A)0.
04.12.2019
课件
30
二、逆矩阵的运算及证明
例３ 求a b(adbc0)的逆矩 . 阵 c d
解 方法一 用定义求逆阵 设 A1x1 x2, x3 x4
由 A 1AE,得
04.12.2019
课件
31
a bx1 x21 0, c dx3 x4 0 1
04.12.2019
课件
22
１１ 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证．
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
04.12.2019
课件
23
典型例题
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1 2 1
0 解： A E ) 1 ( 1
1 r1 r2 ~ 0 1
1 2 1
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 1 23
( i 1, 2 , , m ; j 1, 2 , n )
4
a
k 1
s
ik
b kj
乘法满足 ( AB ) C A ( BC );
( AB ) ( A ) B A ( B ),
A ( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA ;
2 结合律： A B C A B C . 3 A 0 A , 其中 A 与 O 是同型矩阵 . 4 A A O .
3
数与矩阵相乘： 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为 数 A A ( a ij ) 数乘满足 ( ) A ( A );
1
12
7. 初等矩阵与初等变换的关系：
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
定理：设 A 是 m
n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换， m 阶初等矩阵；
相当于在 A 的左边乘一个相应的 对 A 施行一次初等列变换， 乘一个相应的 n 阶初等矩阵。
相当于在 A 的右边
13
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
T 1
( 2 E A ) ( 2 E A ) ( 2 E A )T ( 2 E A )
T
3
0 3 0
0 0 5
2
(2 E A) 0
3
2
2025
18
例3：设 4 阶方阵 A , 2 , 3 , 4 , B , 2 , 3 , 4 ,
0 1 0
0 0 , 3
求 ( 2 E A ) T ( 2 E A ) 1 ( 4 E A 2 ) 的行列式。 分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算 解： ( 2 E A ) T ( 2 E A ) 1 ( 4 E A 2 )
( 2 E A ) ( 2 E A ) ( 2 E A )( 2 E A )
( 其中 为数 );
E
m
A m n A m n A m n E n .
矩阵乘法不满足：交换律、消去律
5
方阵的幂： A是n 阶方阵， A A A A k个 m k mk 并且 A A A
k
A
m
k
A
mk
（m,k为正整数）
a1 x a0
8( A B )
, 2 , 3 , 4 )
56
19
2. 方阵的幂 1 例4：设
1 1 1 1
1 1 1 1
1 A 1 1
1 1 1 1
求
A
m
.
解： （递推法）
4 4 4 4 E 22 E 4 4 3 2 2 A A A 2 4
0 0 0
0 1 0 ,P 2 2 1
0 1 1
0 0 1
解： P 0
A PBP
P
1
1
存在
A
2
A
3
PB
PBP
2
1
P
1
PBP
PBP
1 1
PB P
2 3
1
PB P
A
2
A
所以，当 m 2 k 时
A
m
A
2k
A 2
2 k
2
E4
2k
k
2
2k
E4 2 E4
m
当 m 2k 1 时
A
m
A
2 k 1
A
2k
A 2
E 4 A 2 m 1 A
20
1 AP PB , B 0 例5：已知 0 5 求A 与A .
15
9. 解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
(A B)
~
( E A 1 B ) X A 1 B
(2) XA B
A B
初等列变换
~
初等行变换
E X BA 1 B A
1
或者
(A
T
B )
T
~
(E (A ) B ) X
r i r j (c i c j )
r i r j (c i c j )
ri 1 k (c i 1 k )
r i k (c i k )
r i k r j (c i k c j )
r i ( k ) r j (c i ( k ) c j )
11
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 矩阵的等价： 就称矩阵A与矩阵B等价。记作 A ~ B
第二章
矩阵习题课
一. 主要内容
二. 典型例题
三. 测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由 m n 个数 a ij ( i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n )
排成的 m 行 n 列的数表，
a 11 a 21 简称 m n 矩阵 . 记作 A 简记为A a ij 或 Am n a m 1 m n a 12 a 22 am2 a1n a2n a mn
实矩阵: 元素是实数
复矩阵： 元素是复数
2
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、
对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足 1 交换律： A B B A .
7
伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式 A ij 所 构成的如下矩阵
A
AA
A 11 A 12 A1 n
A 21 A 22 A2n
An1 An2 A nn
A A A E.
8
3. 逆矩阵
定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 A B B A E
其中 , , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，且已知行列式
A 4, B 3,
求行列式 A B .
分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求 解： A B , 2 2 , 2 3 , 2 4
8 , 2 , 3 , 4 8( , 2 , 3 , 4
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论2：如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等 行变换，那么当 A 变成单位矩阵 E 时，E 就变成 A 1 。
14
要求可逆矩阵
A 的逆矩阵 , 只需对分块矩阵 , 当把 A 变成 E 时 , 原来的 E 就
( A E ) 施行初等行变换 变成了 A 1 .
或者对分块矩阵
A 施行初等列变换 E A
1
, 当把 A
变成 E 时 , 原来的 E 就变 A , E E ， A 1
A E 初等列变换 1 E A
T T
1
T
(A ) BT
T
1
X B A 1
16
二. 典型例题
1. 矩阵的基本运算
1 例1：设矩阵 A 0
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求 a b 解：设所求矩阵为 X , c d 由 AX XA,
ac 得 c b d a d c
1 2 1 1 2 0 2 0 1
0 1 r r3 1 0 ~ 0 1 0
1 r2 r3 ~ 0 0
0 ( 2 ) 1 r3 r1 1 ~ 0 1 0
T
T
A;
T T T
2 A B A B ; 3 A A ;
T T
4 AB B A .
T T T
对称矩阵和反对称矩阵：
A 是对称矩阵 A 是反对称矩阵
A
T
A
A A
T
幂等矩阵： A 为n阶方阵，且 A 2 A
方阵的多项式：
f ( x ) ak x
k
a k 1 x
k 1
f ( A) ak A
k
a k 1 A
k 1
a1 A a0 E
方阵的行列式：
满足: 1 A T A ;
2 A n A ;
3 AB A B
6
一些特殊的矩阵: 转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A . 满足： 1 A
6. 初等矩阵
初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。