线代第二章矩阵习题课

1 2 4
0 1 1
1 5 A A 2 6
0 0 1
0 0 1
22
3. 逆矩阵的求解、证明 例6: 求A的逆矩阵．
2 1 1
2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0
0 A 1 1
2 1 1
1
12
7. 初等矩阵与初等变换的关系：
初等变换
初等矩阵
初等逆变换
初等逆矩阵
定理：设 A 是 m
n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换， m 阶初等矩阵；
相当于在 A 的左边乘一个相应的 对 A 施行一次初等列变换， 乘一个相应的 n 阶初等矩阵。
相当于在 A 的右边
13
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
( ) A A A;
( A B ) A B .
设 矩阵与矩阵相乘： A ( a ij ) m s , B ( b ij ) s n , 规定 A B C ( c ij ) m n , 其中 c ij a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j a is b sj
T 1
( 2 E A ) ( 2 E A ) ( 2 E A )T ( 2 E A )
T
3
0 3 0
0 0 5
2
(2 E A) 0
3
2
2025
18
例3：设 4 阶方阵 A , 2 , 3 , 4 , B , 2 , 3 , 4 ,
( 其中 为数 );
E
m
A m n A m n A m n E n .
矩阵乘法不满足：交换律、消去律
5
方阵的幂： A是n 阶方阵， A A A A k个 m k mk 并且 A A A
k

A
m

k
A
mk
（m,k为正整数）
a1 x a0
1 2 1 1 2 0 2 0 1
0 1 r r3 1 0 ~ 0 1 0
1 r2 r3 ~ 0 0

0 ( 2 ) 1 r3 r1 1 ~ 0 1 0
7
伴随矩阵：行列式 A 的各个元素的代数余子式 A ij 所 构成的如下矩阵
A
AA

A 11 A 12 A1 n

A 21 A 22 A2n

An1 An2 A nn
A A A E.
8
3. 逆矩阵
定义：A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 A B B A E
9
满足规律： ( A ) A ,
(A )
T 1
1
1
( A )
1
T
1
1

A ( 0 )
1
1
(A ) ,
A
1
A
逆矩阵求法： （1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法
4. 分块矩阵
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．
10
5.
初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换． 初 等 变 换 逆 变 换
r i r j (c i c j )
r i r j (c i c j )
ri 1 k (c i 1 k )
r i k (c i k )
r i k r j (c i k c j )
r i ( k ) r j (c i ( k ) c j )
11
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 矩阵的等价： 就称矩阵A与矩阵B等价。记作 A ~ B
T

T
A;
T T T
2 A B A B ; 3 A A ;
T T
4 AB B A .
T T T
对称矩阵和反对称矩阵：
A 是对称矩阵 A 是反对称矩阵
A
T
A
A A
T
幂等矩阵： A 为n阶方阵，且 A 2 A
方阵的多项式：
f ( x ) ak x
k
a k 1 x
k 1
f ( A) ak A
k
a k 1 A
k 1
a1 A a0 E
方阵的行列式：
满足: 1 A T A ;
2 A n A ;
3 AB A B
6
一些特殊的矩阵: 转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A . 满足： 1 A
0 1 0
0 0 , 3
求 ( 2 E A ) T ( 2 E A ) 1 ( 4 E A 2 ) 的行列式。 分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算 解： ( 2 E A ) T ( 2 E A ) 1 ( 4 E A 2 )
( 2 E A ) ( 2 E A ) ( 2 E A )( 2 E A )
8( A B )
, 2 , 3 , 4 )
56
19
2. 方阵的幂 1 例4：设
1 1 1 1
1 1 1 1
1 A 1 1
1 1 1 1
求
A
m
.
解： （递推法）
4 4 4 4 E 22 E 4 4 3 2 2 A A A 2 4
( A E ) 施行初等行变换 变成了 A 1 .
或者对分块矩阵
A 施行初等列变换 E A
1
, 当把 A
变成 E 时 , 原来的 E 就变成了
初等行变换
.
即， A , E E ， A 1
A E 初等列变换 1 E A
1 2 1
0 解： A E ) 1 ( 1
1 r1 r2 ~ 0 1
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1 2 1
1 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 1 23
6. 初等矩阵
初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
E (i, j) E (i, j) 1 1 E ( i ( k )) E ( i ( )) k 1 E ( ij ( k )) E ( ij ( k ))
则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆 A 0 且 A 1 推论： 设A、B为同阶方阵，若 A B E ,
1 A A

则A、B都可逆，且 A 1 B， B 1 A
1 , 求与A可交换的所有矩阵。 1
1. 2. 3. 4. 5.
矩阵的基本运算 方阵的幂 逆矩阵的求解、证明 矩阵方程 矩阵的分块运算
a b cd b , a
a c 0, a d X 0
其中a，b为实数
17
1 例2：设 A 0 3
0 0 0
0 1 0 ,P 2 2 1
0 1 1
0 0 1
解： P 0
A PBP
P
1
1
存在
A
2
A
3
PB
PBP
2
1
P
1
PBP
PBP
1 1
PB P
2 3
1
PB P
( i 1, 2 , , m ; j 1, 2 , n )
4
a
k 1
s
ik
b kj
乘法满足 ( AB ) C A ( BC );
( AB ) ( A ) B A ( B ),
A ( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA ;
A
2
A
所以，当 m 2 k 时
A
m
A
2k

A 2
2 k
2
E4
2k

k
2
2k
E4 2 E4
m
当 m 2k 1 时
A
m
A
2 k 1
A
2k
A 2
E 4 A 2 m 1 A
20
1 AP PB , B 0 例5：已知 0 5 求A 与A .
T T
1
T
(A ) BT
T
1
X B A 1
16
二. 典型例题
1. 矩阵的基本运算
1 例1：设矩阵 A 0
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求 a b 解：设所求矩阵为 X , c d 由 AX XA,
ac 得 c b d a d c
2 结合律： A B C A B C . 3 A 0 A , 其中 A 与 O 是同型矩阵 . 4 A A O .
3
数与矩阵相乘： 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为 数 A A ( a ij ) 数乘满足 ( ) A ( A );
第二章
矩阵习题课
一. 主要内容
二. 典型例题
三. 测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由 m n 个数 a ij ( i 1 , 2 , , m ; j 1 , 2 , , n )
排成的 m 行 n 列的数表，
a 11 a 21 简称 m n 矩阵 . 记作 A 简记为A a ij 或 Am n a m 1 m n a 12 a 22 am2 a1n a2n a mn
其中 , , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，且已知行列式
A 4, B 3,
求行列式 A B .
分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求 解： A B , 2 2 , 2 3 , 2 4
8 , 2 , 3 , 4 8( , 2 , 3 , 4
15
9. 解矩阵方程的初等变换法
(1) AX B
初等行变换
(A B)
~
( E A 1 B ) X A 1 B
(2) XA B
A B
初等列变换
~
初等行变换
E X BA 1 B A
1
或者
(A
T
B )
T
~
(E (A ) B ) X
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论2：如果对可逆矩阵 A 和同阶单位矩阵 E 作同样的初等 行变换，那么当 A 变成单位矩阵 E 时，E 就变成 A 1 。
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要求可逆矩阵
A 的逆矩阵 , 只需对分块矩阵 , 当把 A 变成 E 时 , 原来的 E 就

实矩阵: 元素是实数
复矩阵： 元素是复数
2
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、
对角阵、数量阵、单位阵
2. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 加法满足 1 交换律： A B B A .
1
A PB P
5 5
1
21
2 又 B
1 0 0
0 0 0
0 0 , 1
B
3
1 0 0
0 0 0
0 0 B 1
B B
5
A PB P
5 5
1
1
PBP
1
A
0 0 1
又P