第二章 运筹学运输问题

i 1
j 1
m
n
ai bj时, 称为产小于销的运输问题.
i 1
j 1
对于产大于销的运输模型为:
Hale Waihona Puke Baidun
min S
cij xij
i1 j1


n
xij ai
i 1,2, , m
j1
m

xij
bj
j 1,2, , n
i1
xij 0
A1
4 3 7 3 11 3 12
A2 3
1
41 9 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
收 3 6 5 6 20 量
令第一,二,三行的乘数分别为 u1, u2 , u3.
令第一,二,三,四列的乘数分别为 v1, v2 , v3, v4.
且有 ui v j cij i 1,2,3. j 1,2,3,4.
第二章 运输问题
产销平衡的运输问题的数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题及其应用
教学目的与要求：使学生学会建模方法能用表 上作业法及WinQSB求解运输问题。
重点与难点：重点是产销平衡运输问题的表上 作业法，难点是基变量个数为m+n-1的理论及 操作方法.
教学方法:课堂讲授并辅以课件及软件.

解决方法:增加一个虚拟(Dummy)库存点(销地),
Bn1 其库存量为
m
n
bn1 ai bj .
i 1
j 1
再增加m个松弛变量 xi,n1, i 1,2, , m
表示产地 Ai 在 Bn1 处的库存量.在运价表中, 相应的运价 ci,n1 0 ,但这个运价不按最小元 素处理. 经过以上的处理,可将产大于销的运输问题变 为产销平衡的运输问题.

a1
a2


1
b

am

b1



b2
1 bn
x11
x12


x x1n

x21


xmn
C c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn
找出上例中各空格的闭回路
收
发
发 B1 B2 B3 B4 量 B1 B2 B3 B4
A1 A2 3
4 3 7 3 11 3 12
1
41 9 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
收 3 6 5 6 20 量
每个空格即非基变量的检验数的求法:
对应于空格xij的检验数ij等于xij的闭回路上奇转角点
运价之和减去偶转角点运价之和.
i1 j 1
1.编制初始调运方案
方法一:最小元素法(Minimal elements method) 在平衡表中,按运价最小者优先满足的原则,找 出m+n-1个有数字的格为基变量,空格为非基 变量.
方法二:西北角法(Northwest corner method)
注意:一般来说用最小元素法得到的初始调 运方案更接近于最优方案.
⑶ 出基变量的选择:在此闭回路上和奇转角 点上最小运量对应的基变量变为零,该变量 是出基变量,在新方案中它的位置是空格.
⑷ 在该闭回路中按奇,偶点进行运量的平衡 调整,得一新的调运方案.
⑸ 对新方案判优,调整,直到求出最优方案.
发收 B1
B2
B3
B4
发 量
B1
B2
B3
B4
A1 A2 3 A3
收3 量
请看下面的例子:
收
发
发 B1 B2 B3 B4 量 B1 B2 B3 B4
A1 22
3
25 1 6 4 8
3
A2
14
18
32
18
8
9
5
10
A3
13
0 13 7 2 4 3
收 22 13 17 18 70
量
14
第三行,第二 列任选一个
2. 对于有的运输问题,最优调运方案不止一个.
B1 B2 B3 B4 B5 发 B1 B2 B3 B4 B5
某研究院有 B1, B2, B3 三个区。每年取暖分别需要 用煤3500吨，1100吨，2400吨，这些煤都要由 煤矿 A1, A2 供应，价格，质量均相同。A1, A2 煤 矿的供应能力分别为1500吨，4000吨，运价如 下表所示。由于需求大于供应，经研究决定：B1 区供应量可减少0—900吨，B2 区必须满足需求 量，B3 区供应量不少于1600吨，试求总费用最 低的调运方案。
n
nm
m
n
及bj xi0j ,所以, ai bj.
j 1
j1 i1
i 1
j 1
充分性
m
设 ai
i 1

n
bj
j 1
M , 取xi0j

ai b j M
,i 1,2,
,m
j 1,2, , n
n xi0j
j 1
n aibj j1 M
ai M
n
bj
j 1

ai M
M
m
ai ,故
i 1
n
m
xi0j ai ,
j 1
i 1
mn
n
同理,
xi0j bj .
i1 j1
j 1
定理3 平衡的运输问题一定有最优解.
证明:
mn
xi0j 0, cij 0, S
cij xij 0,故 min S存在.
b1 b2 bn
(Supply)
a1 a2
am
m
n
ai bj
i 1
j 1
建立数学模型
设从i地调往j地的调运量为 xij ,i 1,2, , m
nm
min S
cij xij
j1 i1


n
xij ai
j1
m

xij
bj
i1
0
A2
3
2 5 2 10 3 5 9 0
A3
43
73 7 8 1 2 0
收 2 3 4 6 3 4 2 19
量
对于产销不平衡的运输问题中产小于销的情 况，可在产销平衡表中虚设一个产地，其产 量为
n
m
bj ai ，到各地的运价是0，变为产
j 1
i 1
销平衡的运输问题。
产销不平衡（需求量不固定）的运输问题实例:
思考题,讨论题,作业:教材中第三章作业.
参考资料:见前言
学时分配:4学时.
第二章 运输问题 (Transportation problems)
物资调运是一个典型的线性规划问题.1939 年前苏联经济学家康托洛维奇提出这一问 题,1941年美国数学家F.L.Hitchcock提出运 输问题数学模型,1951年Dantzig将此类问题 的解法系统化,完善化,改为用表上作业法求 解.
与闭回路法求得的检验数完全相同.
注意:
⒈ 要保证调运平衡表中填有数字的格数为 m+n-1,且不构成闭回路。
若 xij 填上调运量后,第i行发量及第j列销量都 已满足,则在运价表中只允许划去第i行与第j列 中的一个,而不允许将它们全划去.
此后,当运价 ckj 或 cil 最小时,要在 xkj 或 xil 的格子上填写0,它表示一个基变量,这属于LP中 退化的情形.
u1 0 u2 1

u2 u2
v1 v3

c21 c23

1 2

u3
v2

c32

4
u3 v4 c34 5
七个未知数,一定有解,且
有无穷多解.可令 u1 0, 得出一组解.
uv31
7 2

v2
11
v3 3

v4
12
由这组解按下面的公式求空格(非
基变量的检验数:
ij ui v j cij
ij ui v j cij
11 u1 v1 c11 0 2 3 1 12 u1 v2 c12 0 1111 0 22 u2 v2 c22 111 9 1 24 u2 v4 c24 112 8 3 31 u3 v1 c31 7 2 7 12 33 u3 v3 c33 7 3 10 14
A 11 2 1
3521432
A2 2
32713521
A3
5 1 35 6 1 4 3 2 1
收 2 2 5 4 5 18
11 35 0, x11, x35均可为入基变量 .
二.产销不平衡的运输问题
m
n
产销不平衡的运输问题是指 ai bj的情形.
i 1
j 1
m
n
当 ai bj时, 称为产大于销的运输问题;当
第一节 运输问题数学模型
一.平衡运输问题的数学模型
平衡表
运价 (Destination)
(Cost / Pr ofit) 销地
供应量
产地(Source)
A1 A2 Am
需求量(Demand )
B1 B2 Bn
c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn
二. 运输问题的表上作业法 例1 见下表:
收
发
发 B1 B2 B3 B4 量 B1 B2 B3 B4
A1 A2 3
4 3 7 3 3 11 3 12
1
411 9 2 8
A3
6
3 9 3 7 4 10 5
收 3 6 5 4 6 3 20
量
2. 最优方案的判别
方法一:闭回路法 闭回路:从非基变量格出发,沿水平或垂直方向 前进,碰到适当的基变量格转向,再回到原来的 空格,称为一个闭回路.在闭回路上的基变量格 称为转角点.可以证明,如果不考虑方向,则每一 个空格的闭回路唯一存在.
4 1 3 1 7 3
1 1
41
1
6
3 97
1
65
1
6 20
11 3 12 928 4 10 5
第一次调整后的新方案
收
发
发 B1 B2 B3 B4 量 B1 B2 B3 B4
A1
5 2 7 3 11 3 12
A2 3 1
41 9 2 8
A3
5
4 9 7 4 10 5
收 3 6 5 6 20 量
写出基变量的乘数方程: u1 v3 c13 3
u1 v4 c14 12

u2 u2
v1 v3

c21 c23

1 2

u3

v2

c32

4
u3 v4 c34 5
u1 v3 c13 3
u1 v4 c14 12 该乘数方程有六个方程,
定理1 在产销平衡的运输问题中,其约束方程组 的系数矩阵和增广矩阵的秩相等,且等于m+n-1.
定理2 方程组Ax b

x

0
有解的充要条件是
m
ai

n
bj.
i 1
j 1
证明:必要性
m
mn
设 xi0j 是方程组的一个可行解,则 ai
xi0j
i 1
i1 j1
ij 奇转角点运价之和 偶转角点运价之和.
11 (3 1) (2 3) 1 12 (12 4) (5 11) 0 22 (2 12 4) (3 5 9) 1 24 (2 12) (3 8) 3 31 (5 3 1) (12 2 7) 12 33 (5 3) (12 10) 14.
xij 0

i 1,2, , m j 1,2, , n
j 1,2, , n.
平衡运输问题数学模型的矩阵表示法 min S Cx
Ax b

x

0
1 1



A 1
1



1 11
1 1
1
1
1
11 1
1
经过四次迭代得到最优方案如下,总运费为85.
收
发
发 B1 B2 B3 B4 量 B1 B2 B3 B4
A1 2 A2 1
5
7 3 11 3 12
3 41 9 2 8
A3
6
3 9 7 4 10 5
收 3 6 5 6 20 量
方法二:乘数法 (位势法)
收
发
发 B1 B2 B3 B4 量 B1 B2 B3 B4
注意:1.空格为第0次 转角.2.当第一次出 现正检验数时,可停 止以下检验数的计 算.
调运方案的判优准则:对调运方案表中的每 一空格作一条闭回路,并求出检验数,如果检 验数全部小于等于零,则该调运方案最优.否 则要调整调运方案.
3. 方案的调整
⑴ 选取入基变量:第一个正检验数的空格对 应的非基变量为入基变量.本例中 x22 为入基 变量. ⑵ 入基变量的取值为θ,θ=min{奇转角点 运量}.即该非基变量的运量为θ,同时变为 基变量.
例3
收
发
发 B1 B2 B3 B4 量 B1 B2 B3 B4
A1
7 2 11 3 4
A2
5 10 3 5 9
A3
77 8 1 2
收 2 3 4 6 19
量
15
将其改为产销平衡的运输问题,并求出初始调 运方案
收 发
B1
B2
B3
B4
库 存
发 量
B1
B2
B3
库
B4 存
A1 2
3
2
75 2
2
11 3
4