应用多元统计分析(全套课件533P)
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《多元统计分析》PPT课件
上式中的第一项Y’ Σ-1Y与i无关，则舍去，得一个等价的函数
gi (Y ) 2y1i i1i
将上式中提-2，得
gi
(Y )
2(y
1 i
0.5i1i)
令 fi (Y ) (y1i 0.5i1i)
则距离判别法的判别函数为：
§2 距离判别
（一）马氏距离
距离判别的最直观的想法是计算样品到第i类 总体的平均数的距离，哪个距离最小就将它判 归哪个总体，所以，我们首先考虑的是是否能 够构造一个恰当的距离函数，通过样本与某类 别之间距离的大小，判别其所属类别。
设 x (x1, x2,, xm )和 y ( y1, y2,, ym ) 是从
样本，来检验方法是否稳定的问题。
判类
原类
G1 G2 Gk
G1
G2
合计
Gk
m11
m12
m1k
n1
m21
m22
m2k
n2
mk1
mk 2
mkk
nk
简单错判率：p
1 n
k i 1
k
mij
j 1
ji
加权错判率：
设qi是第i类的先验概率， pi是第i类的错判 概率，则加权错判率为
1 1
1
1 1
)
2y1(1 2 ) (1 2 )1(1 2 )
2[y
(1
2
2
)]1 (1
2
)
令 1 2
2
1(1 2 ) (a1, a2,, ap )
gi (Y ) 2y1i i1i
将上式中提-2，得
gi
(Y )
2(y
1 i
0.5i1i)
令 fi (Y ) (y1i 0.5i1i)
则距离判别法的判别函数为：
§2 距离判别
（一）马氏距离
距离判别的最直观的想法是计算样品到第i类 总体的平均数的距离，哪个距离最小就将它判 归哪个总体，所以，我们首先考虑的是是否能 够构造一个恰当的距离函数，通过样本与某类 别之间距离的大小，判别其所属类别。
设 x (x1, x2,, xm )和 y ( y1, y2,, ym ) 是从
样本，来检验方法是否稳定的问题。
判类
原类
G1 G2 Gk
G1
G2
合计
Gk
m11
m12
m1k
n1
m21
m22
m2k
n2
mk1
mk 2
mkk
nk
简单错判率：p
1 n
k i 1
k
mij
j 1
ji
加权错判率：
设qi是第i类的先验概率， pi是第i类的错判 概率，则加权错判率为
1 1
1
1 1
)
2y1(1 2 ) (1 2 )1(1 2 )
2[y
(1
2
2
)]1 (1
2
)
令 1 2
2
1(1 2 ) (a1, a2,, ap )
《多元统计分析》课件
采用L1正则化，通过惩罚项来选择最重要 的自变量，实现特征选择和模型简化。
比较
应用场景
岭回归适用于所有自变量都对因变量有影 响的情况，而套索回归更适用于特征选择 和模型压缩。
适用于数据集较大、自变量之间存在多重 共线性的情况，如生物信息学数据分析、 市场细分等。
主成分回归与偏最小二乘回归
主成分回归
适用于自变量之间存在多重 共线性的情况，同时要求高 预测精度，如金融市场预测 、化学计量学等。
06 多元数据的典型相关分析
典型相关分析的基本思想
01
典型相关分析是一种研究多个 随机变量之间相关性的多元统 计分析方法。
02
它通过寻找一对或多个线性组 合，使得这些线性组合之间的 相关性达到最大或最小，从而 揭示多个变量之间的关系。
原理
基于最小二乘法原理，通过最小化预 测值与实际值之间的平方误差来估计 回归系数。
应用场景
适用于因变量与自变量之间存在线性 关系的情况，如预测房价、股票价格 等。
注意事项
需对自变量进行筛选和多重共线性诊 断，以避免模型的不稳定性和误差。
岭回归与套索回归
岭回归
套索回归
是一种用于解决多重共线性的回归方法， 通过引入一个小的正则化项来稳定系数估 计。
层次聚类
01
步骤
02
1. 将每个数据点视为一个独立的集群。
2. 计算任意两个集群之间的距离或相似度。
03
层次聚类
01 3. 将最相近的两个集群合并为一个新的集群。 02 4. 重复步骤2和3，直到满足终止条件（如达到预
设的集群数量或最大距离阈值）。
03 应用：适用于探索性数据分析，帮助研究者了解 数据的分布和结构。
《应用多元统计分析》聚类分析 ppt课件
中间距离将类Gp与Gq类合并为类Gr，则任意的类Gk和Gr的距 离公式为
Dk2r
1 2
Dk2p
1 2
Dk2q
D
2 pq
(1／4 0)
(5.15)
设Dkq＞Dkp，如果采用最短距离法，则Dkr = Dkp，如果采用 最长距离法，则Dkr = Dkq。如图5.2所示，(5.15)式就是取它 们（最长距离与最短距离）的中间一点作为计算Dkr的根据。
聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问 题。通常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。Q型聚类是对样 品进行分类处理，R型聚类是对变量进行分类处理。
第二节 相似性的量度
一 样品相似性的度量 二 变量相似性的度量
一、样品相似性的度量
在聚类之前，要首先分析样品间的相似性。Q型聚类分析， 常用距离来测度样品之间的相似程度。每个样品有p个指标 （变量）从不同方面描述其性质，形成一个p维的向量。如 果把n个样品看成p维空间中的n个点，则两个样品间相似程 度就可用p维空间中的两点距离公式来度量。两点距离公式 可以从不同角度进行定义，令dij 表示样品Xi与Xj的距离，存 在以下的距离公式：
在生物、经济、社会、人口等领域的研究中，存在着大量量 化分类研究。例如：在生物学中，为了研究生物的演变，生 物学家需要根据各种生物不同的特征对生物进行分类。在经 济研究中，为了研究不同地区城镇居民生活中的收入和消费 情况，往往需要划分不同的类型去研究。在地质学中，为了 研究矿物勘探，需要根据各种矿石的化学和物理性质和所含 化学成分把它们归于不同的矿石类。在人口学研究中，需要 构造人口生育分类模式、人口死亡分类状况，以此来研究人 口的生育和死亡规律。
dij
Dk2r
1 2
Dk2p
1 2
Dk2q
D
2 pq
(1／4 0)
(5.15)
设Dkq＞Dkp，如果采用最短距离法，则Dkr = Dkp，如果采用 最长距离法，则Dkr = Dkq。如图5.2所示，(5.15)式就是取它 们（最长距离与最短距离）的中间一点作为计算Dkr的根据。
聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问 题。通常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。Q型聚类是对样 品进行分类处理，R型聚类是对变量进行分类处理。
第二节 相似性的量度
一 样品相似性的度量 二 变量相似性的度量
一、样品相似性的度量
在聚类之前，要首先分析样品间的相似性。Q型聚类分析， 常用距离来测度样品之间的相似程度。每个样品有p个指标 （变量）从不同方面描述其性质，形成一个p维的向量。如 果把n个样品看成p维空间中的n个点，则两个样品间相似程 度就可用p维空间中的两点距离公式来度量。两点距离公式 可以从不同角度进行定义，令dij 表示样品Xi与Xj的距离，存 在以下的距离公式：
在生物、经济、社会、人口等领域的研究中，存在着大量量 化分类研究。例如：在生物学中，为了研究生物的演变，生 物学家需要根据各种生物不同的特征对生物进行分类。在经 济研究中，为了研究不同地区城镇居民生活中的收入和消费 情况，往往需要划分不同的类型去研究。在地质学中，为了 研究矿物勘探，需要根据各种矿石的化学和物理性质和所含 化学成分把它们归于不同的矿石类。在人口学研究中，需要 构造人口生育分类模式、人口死亡分类状况，以此来研究人 口的生育和死亡规律。
dij
第二章 多元正态分布 《应用多元统计分析》 ppt课件
写字母表示； 随机变量用大写字母表示，其实现值用小写字母表示。
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进 行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘 密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp
1
一、随机向量
在理论上，对多维随机向量的研究和对一维随机 变量的研究思路是类似的，通过分布及其特征进 行刻画。不同的是，可能要考虑变量之间的相关 关系。
在统计应用上，对多维随机向量的研究和对一维 随机变量的研究思路也是一样的，要通过样本资 料来推断总体。
19
二、多元正态分布的数字特征
若 X ~ Np μ, Σ ，则 E(X) μ，D(X) Σ ，即 μ 恰好是
多维随机向量 X的均值向量， Σ 恰好是多维随机 向量 X 的协差阵。其中，
1
μ
2
，
p
11 12
Σ
21
22
p1 p2
1p
2
p
pp
20
三、多元正态分布的参数估计
若 X 的联合分布密度为 f (x1, x2 , , xp )，则 X(1) 的边缘 密度函数为：
f (x1, x2 , , xq )
f (x1, x2 ,
, xq , xq1,
, xp )dtq1
dt，p (2.3)
多维随机向量的独立性。若 p个随机变量
X1, X 2 ,, X p的联合分布密度等于各自边缘分布的 乘积，则称 X1, X 2 ,, X p是互相独立的。
1
x)(x( )
x)
n
(x1 x1)2
1
1 n
n
(x1 x1)(x 2 x2 )
1
n
(x 2 x2 )2
1
n
x 2
1
n
x
p
1
n
( x 1
x1)(x p
xp
应用多元统计分析.ppt
多元统计分析研究 的对象就是多 维随机向量.
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
研究的内容既包括一元统计学中某 些方法的直接推广，也包括多个随机 变量特有的一些问题。
多元统计分析是一类范围很广 的理论和方法。
第一章
§1.1
绪
论
引言--多元分析的研究对象和内容
就以学生成绩为例，我们可以研究很多 问题：用各科成绩的总和作为综合指标来 比较学生学习成绩的好坏(如成绩好的与成 绩差的，又如文科成绩好的与理科成绩好 的）；研究各科成绩之间的关系（如物理 与数学成绩的关系，文科成绩与理科成绩 的关系）；……等等。所有这些都属于多 元统计分析的研究内容。
课程其它事项
教学软件: R 课程主页: 课程评估:
作业 : 期中 : 期末 :
10% 40% 50%
答疑时间: 周二 9:30—11:30
第一章
§1.1
绪
引 言
论
在实际问题中，很多随机现象涉及到 的变量不止一个，而经常是多个变量，而 且这些变量间又存在一定的联系。我们常 常需要处理多个变量的观测数据。例如考 察学生的学习情况时，就需了解学生在几 个主要科目的考试成绩。 下表给出从某年级随机抽取的12名学 生中5门主要课程期末考试成绩。
0 . 1025 X 0 . 2852 X 4 12 Z1是12个变量的线性组合，且系数都是正数， 数值有大有小。显然数值大的变量对综合指标 （主成分）的贡献大；数值小的变量对综合指 标（主成分）的贡献小。
教育学-主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
12个原始变量（课程）提供的信息各为多少？用什 么量来表达？最经典的方法是用变量的方差Var(Xi)为 多少来表达。 如果某课程全班学生的成绩都差不多，比如都是80 分左右，则这门课程在学生成绩的排序中不起什么作 用。这反映在原始变量的线性组合Z1 （第一主成分） 上该变量对应的系数会很小（如0.1025). 如果另一门课程全班学生的成绩相差很大，有的 100分，有的只有30多分，则这门课程在学生成绩的 排序中起的作用很大。这反映在原始变量的线性组合 Z1 （第一主成分）上该变量对应的系数会很大（比如 0.4525).
《应用多元统计分析》第五版PPT(第七章)
xi,yk
Cov(xi ,yk )
V xi V yk
k ii
tik ,
i, k 1, 2,, p
❖ 在实际应用中，通常我们只对xi (i=1,2,⋯,p)与yk (k=1,2,⋯,m)的相关系数感兴趣。
23
4.m个主成分对原始变量的贡献率
❖ m个主成分y1,y2,⋯,ym从原始变量x1,x2,⋯,xp中提取的 信息量，可度量为xi与y1,y2,⋯,ym的复相关系数的平 方，它是xi的方差可由y1,y2,⋯,ym联合解释的比例， 称之为y1,y2,⋯,ym对原始变量xi的贡献率。
16
多元正态总体的主成分方向
❖ 以二元正态密度的等高线族为例。
17
二、主成分的性质
❖ 1.主成分向量的协方差矩阵 ❖ 2.主成分的总方差 ❖ 3.原始变量xi与主成分yk之间的相关系数 ❖ 4.m个主成分对原始变量的贡献率 ❖ 5.原始变量对主成分的影响
18
1.主成分向量的协方差矩阵
❖
V(y)=Λ
图7.1.1 寻找主成分的正交旋转
7
§7.2 总体的主成分
❖ 一、主成分的定义及导出 ❖ 二、主成分的性质 ❖ 三、从相关阵出发求主成分
8
一、主成分的定义及导出
❖ 设 x (x1, x2, , xp )，E(x)=μ，V(x)=Σ。考虑如下的 线性变换
y1 a11x1 a21x2 ap1xp a1x
┆
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
14.2
25.2
96.8
278.3 1135.5 1881.9
280.7
10.8
51.6
96.8
《应用多元统计分析》第五版PPT(第十章)
12
2.不同组的典型变量之间的相关性
❖
ρ(ui,vi)=ρi，i=1,2,⋯,m
ui , v j Cov ui , v j Cov aix, bj y aiCov x, y bj
αiΣ111
2
Σ12
Σ
1 22
2
β
j
jαiα j
0，
2
典型相关分析的应用例子
❖ 在工厂里，考察产品的q个质量指标(y1,y2,⋯,yq)与原材料的p 个质量指标(x1,x2,⋯,xp)之间的相关关系；
❖ 牛肉、猪肉的价格与按人口平均的牛肉、猪肉的消费量之间 的相关关系；
❖ 初一学生的阅读速度、阅读才能与数学运算速度、数学运算 才能之间的相关关系；
❖ 硕士研究生入学考试的各科成绩与本科阶段一些主要课程成 绩之间的相关关系；
第十章 典型相关分析
❖ §10.1 引言 ❖ §10.2 总体典型相关 ❖ §10.3 样本典型相关 ❖ §10.4 典型相关系数的显著性检验
1
§10.1 引言
❖ 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种 统计分析方法，它能够有效地揭示两组变量之间的 相互线性依赖关系。
❖ 典型相关分析是由霍特林（Hotelling,1935,1936）首 先提出的。
Σ 1 22
Σ21
Σ 1 11
2
相应于
12
,
2 2
,L
,
2 m
的正交单位特征向量。
➢
a1,a2,⋯,am为
Σ 1 11
Σ12
Σ
1 22
Σ21
相应于12
Байду номын сангаас
《应用多元统计分析》教学全套课件
应用多元统计分析
1
第一章 绪 论
本章主要讨论:
●多元统计分析概述 ●多元统计分析的应用 ●线性代数基础
2
第一节 多元统计分析概述
本节基本内容:
一、多元统计分析的涵义 二、多元统计研究的内容和方法
3
一、多元统计分析的涵义
多元统计分析（简称多元分析），是运用数理统 计的方法来研究多变量问题的理论和方法，它是 一元统计学的推广。
量乘法和加法可分别定义为：
cx (cx1, cx2 ,L , cxn )
x y (x1 y1, x2 y2 ,L , xn yn )
12
二、矩阵及基本运算
矩阵：
将 n p个数 x11, x12 ,L , xnp 排成一个形如 n 行 p 列的
长方形表：
x11 x12 L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
x21 M
可以得到如下运算规律：
(X Y) X Y
(XY) YX
15
二、矩阵及基本运算
X(Y1 Y2 ) XY1 XY2
X
k
Y
k
XY
1 1
c(X Y) cX cY
若 X 为方阵，满足 XX XX I，则称 X 为
正交矩阵。
16
二、矩阵及基本运算
矩阵分块
矩阵的分块是处理阶数较高的矩阵时常用的方法。 有时，我们把一个高阶矩阵看成是由一些低阶矩阵 组成的，就像矩阵由数值组成一样。设 X (xij )为 n p 矩阵，将 X 剖分称四块，表示成
x22
L
X
x2 p
MM
M
xp1 xp2 L xpp
(1) ( j1 j2L jp ) x x 1 j1 2 j2 L xpjp
1
第一章 绪 论
本章主要讨论:
●多元统计分析概述 ●多元统计分析的应用 ●线性代数基础
2
第一节 多元统计分析概述
本节基本内容:
一、多元统计分析的涵义 二、多元统计研究的内容和方法
3
一、多元统计分析的涵义
多元统计分析（简称多元分析），是运用数理统 计的方法来研究多变量问题的理论和方法，它是 一元统计学的推广。
量乘法和加法可分别定义为：
cx (cx1, cx2 ,L , cxn )
x y (x1 y1, x2 y2 ,L , xn yn )
12
二、矩阵及基本运算
矩阵：
将 n p个数 x11, x12 ,L , xnp 排成一个形如 n 行 p 列的
长方形表：
x11 x12 L
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
x21 M
可以得到如下运算规律：
(X Y) X Y
(XY) YX
15
二、矩阵及基本运算
X(Y1 Y2 ) XY1 XY2
X
k
Y
k
XY
1 1
c(X Y) cX cY
若 X 为方阵，满足 XX XX I，则称 X 为
正交矩阵。
16
二、矩阵及基本运算
矩阵分块
矩阵的分块是处理阶数较高的矩阵时常用的方法。 有时，我们把一个高阶矩阵看成是由一些低阶矩阵 组成的，就像矩阵由数值组成一样。设 X (xij )为 n p 矩阵，将 X 剖分称四块，表示成
x22
L
X
x2 p
MM
M
xp1 xp2 L xpp
(1) ( j1 j2L jp ) x x 1 j1 2 j2 L xpjp
《应用多元统计分析》第五版PPT(第四章)-简化版(JMP13.1)-作为选读
μ
:
n pn
pn 1
x
μ
S
1
x
μ
F
p,
n
p
❖ 当p=1时，它是一个区间；当p=2时，它是一个实心椭圆，这
时可将其在坐标平面上画出；当p=3时，它是一个椭球体；
当p＞3时，它是一个超椭球体；它们均以 x 为中心。
9
置信区域与假设检验之间的关系
❖ 一般来说，μ0包含在上述1−α置信区域内，当且仅当 原假设 H0：μ=μ0在显著性水平α下被接受。
H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0
表4.2.1
某地区农村男婴的体格测量数据
编号 1 2 3 4 5 6
身高（x1） 78 76 92 81 81 84
胸围（x2） 60.6 58.1 63.2 59.0 60.8 59.5
上半臂围（x3） 16.5 12.5 14.5 14.0 15.5 14.0
6
➢
两个项目的测试成绩
编号
12345678
甲项成绩（x1） 62 80 66 84 75 80 54 79 乙项成绩（x2） 70 77 75 87 87 91 61 84
➢ n=8，p=2，取1−α=0.90，查表得F0.10(2,6)=3.46，于是， T0.10(2,7)=2.841。
x
72.5
❖ 可以通过构造的置信区域的方法来进行假设检验。 实践中，该方法通常用于p=2时的情形，并借助于 平面置信区域图形。
10
❖ 例4.2.2 为评估某职业培训中心的教学效果，随机抽取8名受 训者，进行甲和乙两个项目的测试，其数据列于表4.2.2。假 定x=(x1,x2)′服从二元正态分布。
表4.2.2
37.3760 35.5936
第八章 对应分析 《应用多元统计分析》 ppt课件
1 2 m ， 0 m min(p, n) ，
4
二、对应分析的基本思想
可以证明，如果 A 的特征根 i 对应的特征向量为 ui ，则 B 的特征根 i 对应的特征向量就 是 Zui vi 。根据这个结论就可以很方便地借助 R 型因子分析得到 Q 型因子分析的结果。
因为求出 A 的特征根和特征向量后很容易地写出变量点协差阵对应的因子载荷矩阵(记为 F )：
假定矩阵 X 的元素 xij 0 ，否则对所有的数据同加上一个适当的数，便可满足这个要
求 ， 然 后 写 出 X 的 行 和 、 列 和 ， 以 及 行 列 总 和 ， 分 别 记 为 xi ( i 1, 2, , n ) ，
x j ( j 1, 2, , p )和 x ，如表 8.1 所示。
的非零特征根。
推论：如果 u 是 A ZZ 的特征向量，则 Zu 是 B ZZ 的特征向量。如果 v 是
(2)在处理实际问题中，样品容量往往较大， 使型因子分析的计算量非常巨大，比如有1000 个样品，就要计算1000×1000阶矩阵的特征根 和特征向量，计算代价相当之高。
2
一、什么是对应分析
(3)在进行数据处理时，为了将数量级相差很大的变量 进行比较，需要对变量进行标准化处理，然而这种只 按照变量列进行的标准化处理对于变量和样品是非对 等的，这给寻找型因子分析和型因子分析的联系带 来—定的困难。
1
一、什么是对应分析
(1)型因子分析和型因子分析是分开进行的。 当研究的对象是变量时，通常作型因子分析， 当研究的对象是样品时，则采用型因子分析， 而且把型和型看成两种分离的概念，无法使型 和型因子分析同时进行，这样将型和型割裂开 后就会损失很多有用的信息，而且还不能揭示 变量与样品之间的相关信息。
4
二、对应分析的基本思想
可以证明，如果 A 的特征根 i 对应的特征向量为 ui ，则 B 的特征根 i 对应的特征向量就 是 Zui vi 。根据这个结论就可以很方便地借助 R 型因子分析得到 Q 型因子分析的结果。
因为求出 A 的特征根和特征向量后很容易地写出变量点协差阵对应的因子载荷矩阵(记为 F )：
假定矩阵 X 的元素 xij 0 ，否则对所有的数据同加上一个适当的数，便可满足这个要
求 ， 然 后 写 出 X 的 行 和 、 列 和 ， 以 及 行 列 总 和 ， 分 别 记 为 xi ( i 1, 2, , n ) ，
x j ( j 1, 2, , p )和 x ，如表 8.1 所示。
的非零特征根。
推论：如果 u 是 A ZZ 的特征向量，则 Zu 是 B ZZ 的特征向量。如果 v 是
(2)在处理实际问题中，样品容量往往较大， 使型因子分析的计算量非常巨大，比如有1000 个样品，就要计算1000×1000阶矩阵的特征根 和特征向量，计算代价相当之高。
2
一、什么是对应分析
(3)在进行数据处理时，为了将数量级相差很大的变量 进行比较，需要对变量进行标准化处理，然而这种只 按照变量列进行的标准化处理对于变量和样品是非对 等的，这给寻找型因子分析和型因子分析的联系带 来—定的困难。
1
一、什么是对应分析
(1)型因子分析和型因子分析是分开进行的。 当研究的对象是变量时，通常作型因子分析， 当研究的对象是样品时，则采用型因子分析， 而且把型和型看成两种分离的概念，无法使型 和型因子分析同时进行，这样将型和型割裂开 后就会损失很多有用的信息，而且还不能揭示 变量与样品之间的相关信息。
《应用多元统计分析》第五版PPT(第一章)
即a1,a2,⋯,ap为一组正交单位向量。同理，由AA′=I 可证a(1),a(2),⋯,a(p)也是一组正交单位向量。
13
§1.3 行列式
❖ p阶方阵A=(aij)的行列式定义为
A
1 a a j1 j2 jp 1j1 2j2
a pjp
j1 j2 jp
这里 表示对1,2,⋯,p的所有排列求和，τ(j1j2⋯jp)是排列
|Ip+xy′|=1+y′x
17
代数余子式
❖ 设A为p阶方阵，将其元素aij所在的第i行与第j列划 去之后所得(p−1)阶矩阵的行列式，称为元素aij的余 子式，记为Mij。Aij=(−1)i+jMij称为元素aij的代数余子 式。有以下公式成立
p
p
A aij Aij aij Aij
j 1
24
特征值和特征向量的基本性质
❖ (1)A和A′有相同的特征值。
❖ (2)若A和B分别是p×q和q×p矩阵，则AB和BA有相同的非零 特征值。
❖ 证明 因为
Ip
0
A Ip
I
q
B
A Iq
I
p AB
B
0
I
q
所以
Ip
B
0 Ip
I
q
B
A Iq
I
0
p
A
Iq BA
I p AB 0 I p
rank(ABC)=rank(B)
❖ (7)p阶方阵A是非退化的，当且仅当rank(A)=p(称作A满秩)。
❖ (8)rank(AA′)=rank(A′A)=rank(A)。
22
§1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹
❖ 一、特征值和特征向量 ❖ 二、矩阵的迹
第三章 多元回归分析 《应用多元统计分析》 ppt课件
n
n
ei2
yi b0 b1xi1 b2 xi2
2
bp xip
i 1
i 1
达到最小。解形如下式的正规方程：
yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
bp xip )
0
xi1 yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
bp xip ) 0
xip yi (b0 b1xi1 b2 xi 2
二、逐步回归分析
每步都要进行显著 性检验，以便保证 每次引入变量前回 归方程中只包括显 著性变量。这个过 不能 程反复进行，直到 既无不显著变量从 回归方程中剔除， 又无显著变量需要 选入回归方程时为 止。
开始
能否引入 不在方程中的变量
能
引入变量
能否剔除 已在方程中的变量
能
引入变量
不能
筛选结束
二、逐步回归分析
可以进一步证明最小二乘法估计量 b 服从正态分布，
即
b ~ Np1[β, 2(XX)1]
此时，最小二乘估计是一切无偏估计中方差最小的估计。
特别地，有 bj N[ j , 2 cjj ] ( j 0,1, , p )，其中，cjj 表
示矩阵 (XX)1 中第 j 行第 j 列的元素。
二、模型检验
通常来说，模型的设定只是基于定性分析作出的 假设。这种假设是否符合实际，能否得到样本数据 的支持，还需要在求出线性回归方程后，对回归方 程进行显著性检验。多元线性回归方程的显著性检 验与一元线性回归方程的显著性检验思想是一致的， 但也有不同之处。这里我们介绍两种方法，一是回 归方程整体显著性的 检验F ，另一个是回归系数显
从回归模型的简洁性上看，回归方程中包含自变量个数 越小越好。
《应用多元统计分析》第五版PPT(第五章)
, xini是从组πi中抽取的
(i=1,2,⋯,k)。
1 ni
xi
n1
xij
j 1
26
Σ1=Σ2=⋯=Σk=Σ的情形
❖ Σ的联合无偏估计为
S p
1 nk
k
ni
i 1
1 Si
其中n=n1+n2+⋯+nk，Si
样本协方差矩阵。
1 ni 1
ni j 1
( xij
xi )( xij
xi )为第i组的
➢ 要做破坏性的试验（如欲获知某电子仪器的寿命） ➢ 成本高昂（如许多疾病只有通过代价高昂的手术才
能确诊）。 ❖ 实践中往往是依据不完备信息来进行判别分类的。
3
判别分类的例子
❖ 有偿付力与无偿付力的财产责任保险公司。 测量变量：总资产，股票与债券价值，股票与债券
的市值，损失支出，盈余，签定的保费金额。 ❖ 非溃疡胃病组（胃功能紊乱者）与控制组（“正常”
5
本章讨论的判别分析
❖ 每一组中所有样品的p维指标值 x x1, x2 , , xp 构 成了该组的一个p元总体分布。 ❖ 我们对新样品x进行的判别归类将在很大程度上依赖
于各组的总体分布或其分布特征。 ❖ 距离判别和贝叶斯（Bayes）判别只能用于分类。 ❖ 费希尔（Fisher）判别即可用于分类，也可用于分
x x
1, 2,
若W x 0 若W x 0
因为
W x I1x c1 I2x c2
(5.2.14) (5.2.15)
25
❖ 实践中μ1,μ2,⋯,μk和Σ1,Σ2,⋯,Σk一般都是未知的，它们的值可
由相应的样本估计值代替。设xi1, xi2 , 一个样本，则μi可估计为
多元统计分析ppt课件
dij xik x jk
k 1
❖ 当各变量的单位不同或测量值范围相差很大时，应
先对各变量的数据作标准化处理。最常用的标准化
处理是，令
xi*j
xij
xj s jj
,
i 1, 2,
, n,
j 1, 2,
,p
变其量中的xj样 本1n i均n1 x值ij 和和样s jj 本 n方1差1 i。n1 xij xj
则可求得第一主成分为
y1 t11x1 t21x2 t p1xp t1x
它的方差具有最大值 1 。
❖ 如果第一主成分所含信息不够多，还不足以代表原 始的 p 个变量，则需考虑再使用一个综合变
量 y2 a2x ，为使 y2所含的信息与y1 不重叠，应要求
Cov y1, y2 0
我们在此条件和约束条件 a2a2 1 下寻求向量a2 ，使
❖ 主成分分析的目的就是为了减少变量的个数，因而 一般是不会使用所有 p个主成分的，忽略一些带有
较小方差的主成分将不会给总方差带来大的影响。
❖ 前 m个主成分的贡献率之和
称为主成分 y1, y2,
m
p
i i
i 1
i 1
, ym 的累计贡献率，它表明
y1, y2, , ym解释 x1, x2, , xp的能力。
动态聚类法
❖ 动态聚类法的基本思想是，选择一批凝聚点或给出 一个初始的分类，让样品按某种原则向凝聚点凝聚， 对凝聚点进行不断的修改或迭代，直至分类比较合 理或迭代稳定为止。类的个数k可以事先指定，也可 以在聚类过程中确定。选择初始凝聚点(或给出初始 分类)的一种简单方法是采用随机抽选(或随机分割) 样品的方法。
最短距离法
❖ 定义类与类之间的距离为两类最近样品间的距离， 即
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多元统计的应用
经济学上的应用 ：如不同地区的经济发展水平比较，综合的经济效 益评价等 医学上的应用 ：如研究某种病的起因，研究某种新药或某种医疗方 法的治疗效果，利用计算机初步诊断病情等。 体育科学的研究：如对运动员的心理研究、体能研究等。 另外在生态学、地质学、社会学、考古学、生物学、军事科学等等领 域，多元统计都得到了广泛的应用。
E(X 1) 1 E(X ) 2 2 X E(X P ) p
随机向量的数字特征
随机向量X自协方差阵:
D(X) cov(X,X) E(X EX)(X EX) cov(X1,X 2) cov(X1,X p) D(X1) cov(X ,X ) D(X 2) cov(X 2,X p) 2 1 D(X p) cov(X p,X1) cov(X p,X 2) ( ij)
应用多元统计分析
什么是多元统计分析
在我们对某现象进行研究时，常常需要同时观测多个指标。 如，衡量一个地区的经济发展水平时，不仅要考虑国内生产总值水平、 而且还要考虑收入、消费、投资、进出口等多个指标；
上述指标，在统计中通常称为变量。
什么是多元统计分析
如何同时对多个变量进行有效的分析和研究？ 一种做法是把多个变量分开分析，一次仅分析一个变量，最多也就是 研究两个变量之间的关系，这就是我们已经在统计学中学过的一元统 计分析； 另一种做法是对这些所要研究的变量同时进行分析研究，即多元统计 分析。
x11 x12 x1 p x x x 21 22 2p X (X 1，X 2， ，X p) xn1 xn2 xnp
X(1) X (2) X(n)
随机向量的数字特征
随机向量X的均值:
多元统计的产生
多元分析起源于本世纪初， 1928 年 Wishart 发表 论文《多元正态总体样本协方差阵的精确分布》， 是多元分析的开端。 多元统计分析主要发展于三、四十年代， Fisher 、Hotelling、Roy、徐宝禄等人做了一系列的多 元统计分析的理论探索。 但是由于多元分析的计算复杂，计算量又大，使 其发展受到影响。随着计算机的普遍应用及统计 软件的广泛应用，多元统计重新出现活力，现已 大量应用于各种领域中。
我们所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测p个指标（即 变量），又进行了n次观测得到的，常用向量表示：
X ( X 1，X 2， ，X P )
样品 变量
X1
X2
…
XP
1 2 n
x11 x21 xn1
x21 x22 xn2
… … …
xP1 xP2 xPn
随机向量
样本资料矩阵可用矩阵语言表达：
SPSS软件应用的回顾
现有统计系某年级三个班（经分、调预、电统）的学生（部分）在某 学期完成的课程学习成绩资料（见下表）。其中三个班级相同的课程 有六门：经济统计、管理统计、调查理论与方法、银行信用学、统计 预测和计量经济学。请将这三个班学生的学号、班级、性别以及六门 课程的成绩输入到SPSS中，并保存（自己可现编几个数据）。
随机向量的数字特征
本课程特点
主要介绍各种多元统计分析方法的基本思 路和原理，而不主要讲述各种方法的数学 推导过程； 主要利用统计软件 —— SPSS，学习和掌握 各种多元统计方法； 从数据入手，来讲述各种分析方法，最后 得出结论； 学习的目标：在理解多元统计分析方法的 基本原理和掌握每种方法的应用前提条件 下，会使用统计软件 SPSS，进行多元统计 分析。
本课程的主要内容
•第二、从假设检验入手，讲述一元总体均值
的检验，进而引入到多元总体均值的检验。 •第三，从一元方差分析入手，介绍方差分 析的原理，进而到多元方差分析。
本课程的主要内容
第四，主要讲述把对象分类和归类的聚类 与判别分析的基本原理和实现方法。 第五，是寻找多个变量的代表：主成分分 析和因子分析 第六，介绍能反映行变量和列变量的列联 分析和对应分析 第七，介绍能够确定两组变量的关系：典 型相关分析
本课程的主要参考书目
《多元统计分析》何晓群、中国人民大学出版社 《多元统计分析》于秀林、任雪松 中国统计出版社 《多元统计引论》张尧庭、方开泰、科学出版社
《社会统计分析方法-SPSS软件应用》郭志刚、中国人民大学出版社
《统计分析与spss的应用》薛薇、中国人民大学出版社
多元统计的 产生和应用
多元统计的应用
复旦大学李贤平教授与它的学生对《红楼梦》进 行了多元统计分析。 把《红楼梦》的 120回，作为120个样本，以虚词 做为变量，计算在每一回中（样本）变量（虚词） 出现的次数，然后用聚类的方法进行分类。 结论：120回分为两类 前80回为一类—进一步与曹雪琴著作 相比分析，答案是肯定的。 后40回为一类—进一步分析，证实不是
什么是多元统计分析
多元统计分析是研究多个变量之间关系以及内在的统计规律的一门统 计学科。 利用多元统计分析的方法不仅可以对多个变量之间的相互依赖关系以 及内在的统计规律进行分析，而且还可以对研究对象进行分类和简化。
本课程的主要内容
•首先介绍多元统计中的一些基本概念和表述
方法 主要包括：变量的类型 数据的特征 向量和矩阵 多维度数据的几何表达 多元正态分布和检验
SPSS软件应用的回顾
请将下表数据以变量形式输入SPSS中，并能以该表的形式输出，以文 件保存。
观点：赞成
低收 入 中等收入 高收入
观点：不赞成
低收入 中等收入 高收 入
男
女
20 25
10 15
5 7
5 2
8 7
10 9
第二章
多元数据与变量
变量的类型
变量的数字特征
均量