第六章 声波的辐射

③
r 是辐射抗，它对力学系统的影响相当于在声源
M 质量上附加了同振质 M
z
量
Mr＝
r
w
。
④力阻抗反映了力学系统的力学特性，而辐射阻抗反映了声源的辐射特性， 它具有相同量纲。
6
(2)脉动球源平均辐射功率 Wr 和同振质量 M ： r
Wr
1 ＝2
RruA2
(kr0)2 其中：Rr＝ρcs01+(kr0)2
第六章 声波的辐射
引言：物体在弹性媒质中振动时会在周围媒质中产生声波，形成辐射声场。本章 将研究：
(1)辐射声场的各种规律；(2)辐射声场对声源状态的影响。 §6-1 脉动球源的辐射
定义：脉动球源是产生声波的一种最简单的声源，它只是在球源表面上的各 点沿着径向作同振幅、同位相的振动。
1.声场特性 (1)声压表达式
质量称为辐射质量，也称为同振质量。下图表示辐射阻抗随 kr 的变化关系 0
7
(kr )2 kr 《1
0
0
Rr
(kr )2 0
ρcs ＝1+(kr )2 ＝
0.5
kr ＝1 0
0
0
1 kr 》1
0.5
Rr
0
ρcs
0
kr kr 《1
Zr
0
0
ρcs
0
Zr
kr 0
ρcs ＝1+(kr )2 ＝
0
0
0.5 kr ＝1 0
(3) ①辐射阻抗 z 的物理意义：z 是由于辐射声场对声源的反作用而引起的附加
r
r
于声源力学系统的力阻抗，称为辐射力阻抗，简称辐射阻抗 z ＝R +jz
r
r
r
②R 的物理意义：R 称为辐射阻，它象摩擦力阻 R 一样，反映了力学系统存
r
r
M
在着能量耗损，此能量耗损不是转化为热能而是转化为声能，以声波的形式传输 出去。
＝ρcs0 (kr0)2
kr 《1 0
＝ρcs0
平均辐射声功率仅决定于辐射阻 R r
ρck2r02s0
R＝ r
1+k2r02
同振质量：
ρckr
＝
r
1+(kr)2
ρr0s0＝ρ4πr02r0＝3M0
kr 》1 0
kr 《1 0
r
1 ρcs0kr0
M＝ r
ω
＝ ω
·1+(kr0)2
＝
0
kr 》1
0
4
其中 M0＝3
式中 ：A ＝
2
ρckr u 0A
1+(kr0) 2
θ= tg-1 1 kro
p=p ∴辐射声压
j(ωt–kr+θ)
e
A
其中 PA＝Ar ＝ r
2
ρckr u 0A
１＋(kr0) 2
θ= tan-1（ 1 ） kro
1
（1+ ）
质点径向速度 Vr＝
jkr ρc
p
（kr-j） ＝
p＝
ρckr
１＋(kr) 2 jθ＇
12 3 4
kr
0
0 kr 》1 0
§6-2 偶极声源 偶极声源就是由两个相距很近(与波长相比)并以相同的振幅和相反的位相
振动着的小脉动球组成的声源所产生的辐射。 例如没有安装在大障板（或箱体中）的小纸盆扬声器和活塞振动等，在低
频时，都属此类声源。
1．声压特性：设有两个脉动球源，相距为 l，它们以相同频率振动，且振动
klA ∴P＝－j r
Cosθej(ωt-kr)＝B r
ej(ωt-kr)
式中 B＝－jklACosθ
2.声源的辐射指向性 D(θ) 定义：任意θ方向的声压幅值与θ=00 轴上的声压值之比为该声源的辐射指
向特性，即
B P＝
ej(ωt-kr)＝－jklACosθ
ej(ωt-kr)
r
r
(PA)θ
D(θ) ＝
r
M＝
,M 也称为同振质量。M +M 称为有效质量
r
ω
r
Mr
从辐射声场对声源本身的反作用力来看：
r Fr＝-（Rr+j r）u＝-(Rru + ω jωu) ＝－Rru －
r du ω dt
du
式中第三项 是加速度，所以其前面的系数相当于一个质量，这个质量是由
dt
于声源辐射引起的，它附加于振动的声源上，随球源一起振动，因此这部分附加
klA ∵p＝－j r
Cosθej(ωt-kr)
1 ap vr＝－jωρ ar
-jkr
1 ∴vr＝－jωρ
＝I·4πr2＝2π A2 (I·4πr2＝ 1
W
ρc
2ρc
A r2
·4πr2)
可见，球面声源所辐射的声波的平均声功率是与距离无关的常数，这是符合 能量守恒定律的。
5
2.脉动球源的辐射阻抗 脉动球源在媒质中振动时，使媒质发生了疏密交替的形变，从而辐射了声波；
另一方面，声源本身也必然受到媒质中声场对它的反作用力，这个力的大小决定 了脉动球对媒质所作的功。 (1)辐射声场对声源本身的反作用力 Fr
1
(1+ )
A
1
j(ωt -kr)
jkr
A j(ωt -kr)
＝rρc (1+jkr ) e
＝ ρc p (∵p＝ r e
)
A
1
其rρc (1+jkr )为径向速度振幅
(3)声阻抗率：
p ρc 声阻抗率 Zs＝vr ＝ 1
1+ jkr
jρckr jρckr(1-jkr)
＝
＝
1+jkr (1+jkr)(1-jkr)
l
r ≈r－ Cosθ
-
2
ejx＝CosX＋jSinX e-jx＝CosX－jSinX ejx－e-jx＝2jSinX
8
A j(ωt-kr)
-jk(1/2)Cosθ
+jk(1/2)Cosθ
P＝r e ( e －e ) ∴
A ＝
e (- j(ωt-kr)
2jSinkl
Cosθ)
r
2
∵kl＜1
∴SinklC2osθ ≈klC2osθ
为径向速度幅值
θ＇＝tan-1-1 kr
θ＝ tan-1 1 kro
讨论：
π
①
当
kr 《1 0
时
A L≈ρckr02uA
θ≈ 2
即低频辐射时，脉动球源可称为点源
2
ρckr
p＝
0
r
j(π/2) j(ωt –kr)
uA e ·e
4
2
＝j
kρc(4πr 0
uA)
j(ωt –kr)
kρc
j(ωt –kr)
kr 《1 0
ω 2πf 2π k＝ ＝ ＝
ccλ
∴ A L《ρcr0uA＝ A H
这说明球源半径小，振动频率低所辐射的声压比球源半径大，振动频率高所辐射的声压 小得多。
当 uA 一定时，由
A
L
得：r
↑
或
0
f↑→p↑
r 一定：f↑→p↑ 0
f 一定：r ↑→p↑ 0
(5)球面波的声强和平均声功率： 求出 p 和 Vr 后，可根据下式求得球面声波的声强
的振幅相等而位相相反即相位差为π。
声压表示式：
P＝ A e + A e j(ωt-kr+)
j(ωt-kr-+π)
r
r
r
+
+
-
＝ A e - A e j(ωt-kr+)
j(ωt-kr-)
r
r
+
-
+
θ
ejπ＝Cosπ+jSinπ
l
rr -
∵ r》l 对振幅部分有：r+≈r
r ≈r -
l 对位相部分有：r+≈r＋ 2 Cosθ
A j(ωt -kr) B＝0 ∴p＝ r e
上式说明，声压振幅随
A r
r r r+dr 球面波辐射声压振幅与距离关系
(2)径向质点振动速度表达式： 对简谐球面波其相应的质点振动速度为：
由运动方程：
径向距离成反比地减少，即
在球面声场中，离声源愈远 的地方声音愈弱，这是球面 声场的一个重要特征，常利 用来作为鉴定消声室是否符 合自由声场的依据。
dv （dr·ds）ρ r
dt
＝F1 r－F2
r+dr ＝p ds－(p ds＋
ap ar
dr
ds)
ap ＝－ dr·ds
ar
dv r
∴ dt
1 ＝－
ρ
ap ar
1 ap Vr＝－jωρ ar
2
1
a A j(ωt -kr)
1
AA
j(ωt -kr)
＝－ jωρ
ar
[r
e
]＝－ jωρ
[－r2
+
r
(－jk)] e
0
1+jkr
(jkr0)uA＝
0A
0
0
(1+jkr )(1-jkr )
0பைடு நூலகம்
0
0
2
2
( ) ρckr u
ρckr u
0A
＝ 1+(kr )2
(kr0+j)
0A
＝ 1+(kr )2
[
kr +1 e ] 2 0
jtg-1(1/kro)
0
0
jθ
＝A e
3
( ) （∵kr0+j＝
kr +1 e 2 0
jtg-1(1/kro) ）
πr 3ρ为球源排开同体积媒质的质量,同振质量的 0
Mr
物理意义,
为使球源表面振动,尚需克服同振质量所附加的惯性力而作功,这部分能量不是 向外辐射声能,而是贮藏在系统中。
④ r 的物理意义: r 称为辐射抗,因 r 是正的,所以 r 表现为惯性抗。
r
对力学系统的影响相当于在声源本身的质量
M M
上附加了一个辐射质量
A
1
j(ωt -kr)
Vr＝rρc (1+jkr ) e
j(ωt –kr )
j(ωt –kr )
边界条件：(Vr)r=r0＝u＝uAe
0 ＝u e A
0
A
1
j(ωt –kr )
j(ωt –kr )
即
(1+ ) e
r0ρc
jkr 0
0 ＝u e A
0
ρcr
ρcr u [jkr +( kr )2]
∴A＝
ρc(kr)2+ jρckr
＝
1+(kr)2
＝Rs + j s
ρc(kr)2 其中：Rs＝ 1+(kr)2 为声阻率
ρckr s＝1+(kr)2 为声抗率
常数 A 取决于边界条件，即取决于球面的振动情况。
(4)声辐射与球源大小的关系：
设球源表面
j(ωt
r=r 0
的振动速度为：u=uAe
–kr0)
uA 为球源振速幅值
设有一半径为 r 的球体，在 r
0
0
r
附近沿径向以微小量 dr 作简
谐振动，它向空中辐射的显然
r0
是均匀球面波，即沿径向球面
对称的声波。
∵波动方程：▽2p＝C102
a2p at2
▽为拉普拉斯算符
对直角坐标：▽2＝aax22
+
a2 ay2
+
a2 az2
对球坐标：
▽2＝r12
a ar
(r2aar
)+
1 r2 Sinθ
e
＝j
Qe
4πr
4πr 0
j(π/2)
注：e ＝Cos
π
+
jSin
π
2
2
Q0＝4πr02uA 称为小脉动球的体积速度幅值，通常称为点源强度。
2
ρckr u
A＝
0A
１＋(kr0) 2
②当
kr 》1 0
时
A H＝ρcr0uA
即高频辐射或球源半径
r 0
较大
③辐射声场与球源大小及声波频率的关系
∵
AL≈ρcr0uA(kr0)
e ρckr
( ) １＋ kr
p P V e ＝ ρckr
2
j(ωt–kr+θ+θ＇)
j(ωt–kr+θ+θ＇)
· Ae
＝ rA
1 -j2 注： ＝ ＝-j
jj
其 中 VrA ＝
１＋(kr) 2
ρckr
·
r
2
ρckr u 0A
１＋(kr0) 2
r2 0
＝ r2
1+(kr) 2 1+(kr0) 2 uA
a aθ
a ( Sinθaθ
)+
1 r2 Sin2θ
a2 aϕ2
θ为 r 与 z 轴夹角，ϕ为 r 在 x,y 平面上投影，与 x 轴的夹角 因为脉动球源向空间辐射的声波是均匀的球面波，即声压仅与 r 有关，与θ、
ϕ无关
∴▽2＝r12
a ar
(r2aar
a2 )＝ar2
2 +r
a ar
a2p 2 ap 1 a2p
∴波动方程变为： ar2
+r
ar
=2 c0
at2
a2Y 1 a2Y
令 Y=pr
∴ ar2
=2 c0
at2
j(ωt -kr)
j(ωt+kr)
∴Y=Ae + Be
1
[∵a2a(rp2r)
=
a ar
a(pr) [ ar
a ] =ar
ap [p + r·ar
ap ]= ar
+
a ar
ap ( r·ar
)
ap ap
s p Fr＝－ 0 r=r0
其中 s0 为声源表面积 s0＝4πr2
负号表示 Fr 力的方向与 p 的变化方向相反
p
∴Fr＝－s0(v
·v) ＝－s z (r )·v
r=r0
0s 0
r=r0
v ＝u r=r0
＝－s0[Rs(r0) +jxs(r0)]u＝－(Rr+jxr)u＝－Zru
ρck2r 2s
a2p ap
a2p
=ar + ar + r·ar2 =2ar + r·ar2
a2Y at2
=
a2(pr) at2
a2p = r· at2
]
Y
A B j(ωt -kr)
j(ωt ＋kr)
∴ p＝ r ＝ r e
＋r e
球面声压表达式物理意义： 式中右边第一项代表向外辐射的声波，第二项代表向球心会聚的球面波。若 球面波在各向同性均匀无限大的媒质中传播，因而无反射波
1T
pA2
A
I＝T
⌡⌠
Re
p·ReV
dt＝
2ρc
p＝ A
r
0
上式说明球面波的声强与声压幅值的关系形式上的仍与平面声场一样。但
因现在 p 与 r 成反比，因而声强不再处处相等，而是随距离 r 的平方成反比地 A
减少。 因所考虑的球面声场是各向均匀对称的，所以平均声功率应等于声强乘上半
径为 r 的球面面积。即
00
∴R ＝s R (r )＝
r
0s 0
1+k2r 2
＝
0
2
ρc(kr ) s 00
kr 《1 0
ρcs 0
kr 》1 0
ρc(kr)2
R＝ s
1+(kr)2
为声阻率
ρckr s＝1+(kr)2
为声抗率
ρckr s
s＝s0
(r )＝
s0
00
1+k2r 2
＝
0
ρckr s 00
0
kr 《1 0 kr 》1 0
＝ Cosθ＝
(PA)θ=0
0 θ＝ ±90°
O
+
-
1 θ ＝ 0 ° ， 180 °
+
-
+
-
O
振幅分布方向性
左图表示声偶极源振幅分布
方向性，圆圈大小表示同一球面 上声压和径向振速幅值的大小， 图中正负号表示振动相位同相 或反相。
指向性 D(θ)＝Cosθ 在极坐标图上是一倒 8 字形
9
θ
+
-
3.径向质点速度 vr