2015年合工大五套题(数学三)(完整版)(答案全)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及详解
D1 (r , ) 0 , 0 r 2sin 4 D2 (r , ) , 0 r 2cos 4 2
所以
D
f ( x, y)dxdy 4 d
0
2sin
0
f (r cos , r sin )rdr 2 d
(8) 设总体 X ~ B m, , X1 , X 2 , 值,则 E X i X (A)
, X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均
n i 1
2
(
) (B) m n 1 1 (D) mn 1
m 1 n 1
判别法可得
n
n 1
n!
n
收敛；
(1)n 1 (1)n 1 (1) n 对于选项 C， ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， ln n n 1 n 1 ln n n 1 ln n n 1 ln n
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d (e x2 y 3 z xyz) e x2 y 3 z d ( x 2 y 3z ) d ( xyz ) e x2 y 3 z (dx 2dy 3dz ) yzdx xzdy xydz 0
把 x 0 ， y 0 ， z 0 代入上式，得 dx 2dy 3dz 0 所以 dz (0,0) dx
【解析】原极限 lim
x 0
(10)设函数 f ( x) 连续， ( x)
x2
0
xf (t )dt , 若 (1) 1, (1) 5, 则 f (1) ________ .
2015考研数学三真题
2015考研数学三真题（正文）2015考研数学三真题一、选择题1. 设函数f(x) = x^2 + bx + c，其中b，c为常数，且对任意实数x满足f(x)f(x + 1) ≤ 0，那么f(x) = 0的一个实根的取值范围是（）A. (0, ∞)B. (–∞, 0)C. (–∞, 1] ∪ (0, ∞)D. [0, 1]E. [–1, 0]分析：根据题意，只需找到一个实根即可。
对于f(x)从负数到正数的变化过程，如果存在f(x)≤0的区间，那么一定包含一个实根。
根据选项分析，只有选项C满足题意。
答案：C2. 若小于正整数n的正整数中，有k个的约数个数为偶数，n的约数个数是奇数，那么k的值为（）A. 0B. 1C. 2D. n - 1E. n分析：根据题目描述，小于n的正整数中k个的约数个数是偶数，即k个数都是完全平方数。
若n的约数个数是奇数，根据数论中完全平方数的特性可知，n本身也是一个完全平方数。
因此，k的值为n - 1。
答案：D二、填空题3. 设数列an满足an = 2an-1 - 1，其中a1 = 4，则a5 = ______。
分析：根据数列的递推关系可得，a2 = 7，a3 = 13，a4 = 25，a5 = 49。
答案：494. 设A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则A的不同划分数为______。
分析：根据集合的划分原理可得，A的不同划分数为Bell数B(7) = 877。
答案：877三、解答题5. 已知复数z满足|z + 1| = |z - 1|，求z的所有可能值。
解析：根据复数的绝对值定义，|z + 1| = |z - 1|等价于对应实部和虚部的平方和相等。
设z = x + yi，其中x，y为实数，则可得到方程组：(x + 1)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2解得x = 0，即z为纯虚数。
因此，z的所有可能值为z = yi，其中y 为实数。
答案：z = yi，其中y为实数。
数学三2015
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(7) 若 A, B 为任意两个随机事件,则: (A) P AB P A P B (C) P AB 【答案】(C)
(
) (B) P AB P A P B (D) P AB
2
2 2 【解析】由 x Py ，故 f xT Ax y T ( PT AP ) y 2 y12 y2 .且 y3
2 0 0 P AP 0 1 0 0 0 1 .
T
1 0 0 Q P 0 0 1 PC 0 1 0 2 0 0 QT AQ C T ( PT AP )C 0 1 0 0 0 1
n
所以根据正项级数的比值判别法
n
n 1
n!
n
收敛，所以选 C。
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1 1 1 1 (5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷多解的充分 1 4 a 2 d2
x, y x
2cos 0
2
y 2 2 x, x 2 y 2 2 y ,函数 f x, y 在 D 上连续,则 f x, y dxdy
D 2 4
4 0
d d
f r cos , r sin rdr d f r cos , r sin rdr 2 d
所以
D
f ( x, y )dxdy 4 d
数3--15真题答案
2015年考研数学（三）试题答案速查一、选择题（1）D （2）C （3）B （4）C （5）D （6）A （7）C （8）B 二、填空题（9）12− （10）2 （11）1(d 2d )3x y −+ （12）2e 2e x x −+（13）21 （14）21三、解答题 （15）111,,23a b k =−=−=−. （16）π245−. （17）（Ⅰ）略.（Ⅱ）30p =. （18）8()4f x x=−. （19）（Ⅰ）略.（Ⅱ）121212()()()()()()()()()().n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ （20）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X .（21）（Ⅰ）4,5a b ==.（Ⅱ）1231100101,010011005−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .（22）（Ⅰ）2217{}(1),2,3,88n P Y n n n −⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）16EY =.（23）（Ⅰ）21X θ=−其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）12min{,,,}n X X X θ=.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】D ．【解答】数列收敛，那么它的任意子列都收敛于相同的极限．所以A,C 正确．D 明显是部分子列收敛，并不代表所有子列都收敛于相同的极限，所以D 选项不正确，故选择D ． （2）【答案】C ．【解答】拐点出现在二阶导数等于0的点或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由)(x f ''的图形可得，曲线)(x f y =存在两个拐点，故选C ． （3）【答案】B ．【解答】如图所示，在极坐标下该区域要分成两部分1π{(,)0,02sin },4D r r θθθ= 2ππ{(,),02cos }42D r r θθθ=． 所以(,)d d Df x y x y ⎰⎰ππ2sin 2cos 42π04(cos ,sin )d d (cos ,sin )d d f r r r r f r r r r θθθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰,故选B ．（4）【答案】C ．【解答】A 为正项级数，因为131331lim 1<=++∞→nn n n n ，所以A 收敛． B 3211)~n n +，故B 选项也是收敛的．而 ∑∞=+−1ln 1)1(n n n ∑∑∞=∞=+−=11ln 1ln )1(n n n n n ，根据莱布尼茨判别法可知∑∞=−1ln )1(n nn 收敛，由∑∞=∞→⇒+∞=1ln 11ln 1lim n n nnn 发散．故选C ．x对于选项D ，利用正项级数的比值审敛法，1(1)!1(1)lim lim 1!1nn n n nn n n n n en +→∞→∞++⎛⎫==< ⎪+⎝⎭，收敛． （5）【答案】D ．【解答】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭A b . 由()(,)3r r =<A A b 得12,12a a d d ====或且或，故选D ． （6）【答案】A ．【解答】由题意知T200010001⎛⎫⎪= ⎪⎪−⎝⎭P AP ，又100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q P PC ，T T T 200()010001⎛⎫⎪==− ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ C P AP C ，故选择A ．（7）【答案】C .【解答】由于,AB A AB B ⊂⊂，所以()(),()()P AB P A P AB P B ，故()()()2P A P B P AB +，因此选C ．（8）【答案】B ．【解答】根据样本方差212)(11∑=−−=ni i X X n S 的性质)1(2θθ−==m DX ES ，从而 )1()1()1(])([221θθ−−=−=−∑=m n ES n X X E ni i ，故选择B ．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】12−. 【解答】211cos lim )1cos 1ln(lim cos ln lim 202020−=−=−+=→→→x x x x x x x x x .（10）【答案】2. 【解答】由22()()d ()d x x x xf t t x f t t ϕ==⎰⎰，得2220()()d 2()x 'x f t t x f x ϕ=+⎰，再由(1)1(1)5,ϕϕ'==，得1()d 1f t t =⎰，解得(1)2f =．（11）【答案】1(d 2d )3x y −+.【解答】当00x ,y ==时解得0z =，对该式两边分别对,x y 求偏导得，2323(3e )e x y z x y z zxy yz x++++∂+=−−∂， 2323(3e )2e x y z x y z zxy xz y++++∂+=−−∂，将)0,0,0(带入得(0,0)d z =1(d 2d )3x y −+． （12）【答案】2e2e xx −+.【解答】由题可知特征方程为220λλ+−=，特征根121,2λλ==−，所以通解为212e e x x y C C −=+，再有0)0(,3)0(='=y y ，得122,1C C ==，所以2()e 2e x x y x −=+．（13）【答案】21.【解答】由矩阵A 的特征值为2，-2，1，可知矩阵B 的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，37121=⨯⨯=B ． （14）【答案】21. 【解答】由已知可得)1,0(~),1,1(~N Y N X ,且,X Y 相互独立，故{0}{(1)0}P XY Y P X Y −<=−< {10,0}{10,0}P X Y P X Y =−><+−<>11{10}{0}{10}{0}[{1}{1}]22P X P Y P X P Y P X P X =−><+−<>=>+<=.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：由题可知极限3ln(1)sin lim1x x a x bx xkx →+++=．而，原式2333330()()236limx x x x x a x o x bx x o x kx →⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=23330(1)()()23lim x a aa xb x x o x kx →++−++=． 要使得该极限值为1，必有10,0,23a a a b k +=−==，所以111,,23a b k =−=−=−．解：由条件可知积分区域关于y 轴对称，所以由二重积分的对称性可知，d d 0Dxy x y =⎰⎰，所以2()d d d d DDx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰． 而π222402d d 2sin 2cos d 5Dx x t t t ⋅−⎰⎰⎰π22021π2π22sin d 522545u t u u =−=⋅−=−⎰．（17）（本题满分10分）解：（Ⅰ）由于利润函数()()()()L Q R Q C Q pQ C Q =−=−,两边对Q 求导得d d d ()d d d L p pp Q C Q p Q MC Q Q Q'=+−=+− 当且仅当d 0d L Q = 时，利润最大，又由于d d p pQ Qη=−⋅，所以d 1d p p Q Q η=−⋅， 故当11MCp η=−时，利润最大． （Ⅱ）由于d ()22(40),d 40p Q pMC C Q Q p Q P pη'===−=−⋅=−则带入（I ）中的定价模型，2(40)401p p p P−=−−，得30p =.（18）（本题满分10分）解：设)(x f 在点))(,(00x f x 的切线方程为))(()(000x x x f x f y −'=−． 令0y =，得000(),()f x x x f x =−+'由条件知000()1()42()f x f x f x ⋅='， 可得218y y '=,18xC y =−+.又(0)2f =,有12C =，因此8(),4f x x I x =∈−.解：（I ）[]0()()()()()()limh u x h v x h u x v x u x v x h→++−'=000()()()()()()()()lim()()()()()()()()lim lim h h h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x hu x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h h→→→++−+++−=++−++−=+()()()().u x v x u x v x ''=+（II ）由题意知121212()()()()()()()()()().n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++（20）(本题满分11分)解：（I ）由3=A O ，得31011001a a a a=−==A ，故可得0a =．（II ）由条件22−−+=X XA AX AXA E ，可知222()()()()A −−−=−−=X E AX E A E A X E A E ．所以 1212121()()[()()]()−−−−=−−=−−=−−X E A E A E A E A E A A ．因为 2011111112−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭E A A ，利用初等变换可得 21312()111211−−⎛⎫⎪−−=− ⎪ ⎪−⎝⎭E A A ，所以 312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X ．（21）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,A B 相似，所以()()tr tr =A B 且=A B ，即31123a b a b +=++⎧⎨−=⎩①② 联合①②两式，解得45a b =⎧⎨=⎩． （Ⅱ）因为,A B 相似，所以21200(1)(5)031b λλλλλλλ−−=−=−=−−−−E A E B ， 得矩阵A 的特征值为11λ=（二重），25λ=.当11λ=时，解方程组()−=0E A x ，得基础解系为T T12(2,1,0),(3,0,1)==−ξξ， 当25λ=时，解方程组(5)−=0E A x ，得基础解系为T3(1,1,1)=−−ξ．令可逆矩阵123231(,,)101011−−⎛⎫⎪==− ⎪⎪⎝⎭P ξξξ,使得1100010005−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）记p 为观测值大于3的概率，则31{3}2ln 2d 8x p P X x +∞−=>==⎰． 从而Y 的概率分布，,3,2,8781)1()1(}{22211=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−==−−−n n p p p C n Y P n n n（Ⅱ）22227228171(1)(1)888n n n n x EY n n n n x−∞∞−===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.记11,)1()(221<<−−=∑∞=−x xn n x S n n ，则321)1(2)(x x x S n n −="⎪⎭⎫⎝⎛=∑∞=， 322212)1(2)1()1()(x xx n n x xn n x S n n n n −=−=−=∑∑∞=−∞=−，3222223)1(2)1()1()(x x xn n xx n n x S n n n n−=−=−=∑∑∞=−∞=， 所以xx S x S x S x S −=+−=12)()(2)()(321， 故 16)87(==S EY .（23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）由-1()d 2EX xf x x X θ+∞∞+===⎰，解得21X θ=−． 所以θ的矩估计量为21X θ=−，其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）设12,,n x x x 为样本观测值，则似然函数);()(1θθ∏==ni i x f L .当1i x θ时，1()1nL θθ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，可得ln ()ln(1)L n θθ=−−，所以，d ln ()d 1L nθθθ=−，关于θ单调增加． 故θ的最大似然估计量12min{,,,}n X X X θ=.。
2015年5月合肥三模文科数学答案
合肥市2015年高三第三次教学质量检测数学试题(文)参考答案及评分标准一㊁选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.题号12345678910答案D A C C B A D B A C 二㊁填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上.11.若|x|ʂ1,则xʂ1.㊀㊀㊀12.5㊀㊀13.3㊀㊀㊀14.㊀㊀15.①④⑤三㊁解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.解:(Ⅰ)=㊀㊀㊀㊀㊀㊀==函数的最小正周期,且>0㊀ 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知=,令=0可得即或,解得或,则当时,的零点为及.12分17.解:(Ⅰ)甲厂20件产品中属于优等品的有16件,则优等品率为乙厂15件产品中属于优等品的有12件,则优等品率为设甲厂的抽查产品数据平均数为,则(m m)设乙厂的抽查产品数据平均数为,则(m m)甲厂的抽查产品数据方差为S21=14.4,乙厂的抽查产品数据方差为S22ʈ15.07,所以,从优等品率来看,两个厂家保持一致;从平均尺寸来看,甲厂与乙厂保持一致并与设计要求吻合;从方差来看,甲厂方差较小,稳定程度更好一些.6分(Ⅱ)由数据知,抽检产品中的非优等品共计7件,其中甲厂4件,记为A1,A2,A3,A4;乙厂3件,记为B1,B2,B3.随机抽取2件,所有可能的结果共有21种,即:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1, B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3, A4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(B1,B2),(B1, B3),(B2,B3)其中,来自同一厂的情况共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A2,A3),(A2,A4), (A3,A4),(B1,B2)(B1,B3)(B2,B3)计9种,则抽取的两件来自于同一厂家的概率为. 12分18.解:(Ⅰ)取B E中点M,连AM㊁M F,则ʊB C且ʊB C且ʊM F且,即四边形A D F M为平行四边形EM FCBAD ʊD F又面A B E,D F面A B ED Fʊ面A BE . 6分(Ⅱ)由为等边三角形,面B C E面A B C D,B C=2可知点E到面A B C D的距离为,则点F到面A BC D的距离为.ȵ四边形为等腰梯形,且A B=A D=D C=1,B C=2易求得,. 12分19.解:(Ⅰ)对,令,可得令,可得,即令,可得,即5分(Ⅱ),则当时,有,相减得,即㊀㊀㊀㊀①又㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀②②①并整理得,故,于是,数列为等差数列.又在中,令n=1,得,而,故该数列的公差为,所以,. 10分则当且仅当时取得最大值,等价于>0且<0,即>3,且<,故 13分20.解:(Ⅰ)(),由得,注意到a +b =1,故,即,因为a >b ,所以,(否则,),于是,,.6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得(),即().因为时,,且时,,故;同理,时,.于是,函数的单调增区间为,减区间为.13分21.解:(Ⅰ)直线l :y =k x +k 恒过点,故b =1㊂又t a n øF A B =(其中c为椭圆E 的半焦距),故,从而,,即椭圆E 的标准方程为.6分(Ⅱ)当k =时,将直线l :y=x +与椭圆E 的方程联立并整理得,于是,点P 的横坐标为,即㊂因为,故.易知直线P B 的方程为,直线P C 的方程为.令为øB P C 平分线与轴的交点,则点Q 到直线P B ㊁P C 的距离相等,即,解得或㊂考虑到点Q 在B ,C 之间,则,即点Q 坐标为,则易求得,此即øB P C 平分线所在的方程.13分。
2015年合肥三模理科数学和答案1
合肥市2021 年高三第三次教学质量检测数学试题〔理科〕本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部,总分值150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺利！第一卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.()(1)2a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位),那么||a bi +等于 A.2 B.222.命题“对于任意x R ∈,都有0x e >〞的否认是x R ∈,都有0x e ≤x R ∈,使得0x e ≤0x R ∈,使得00x e >0x R ∈,都有00x e ≤ 3.假设函数|2|2y x =--的定义域为集合{|22}A x R x =∈-≤≤,值域为集合B ,那么A.A B =B.A B ⊂C.B A ⊂D.AB =∅ 4.在等差数列{}n a 中,1823(4)a a =-,那么该数列的前11项和11S 等于5.执行如下图的程序框图,假设将判断框内“100S >〞改为关于n 的不等式“0n n ≥〞且要求输出的结果不变,那么正整数0n 的取值6.在极坐标系中,点(4,1),(3,1)2A B π+,那么线段AB 的长度是A.1B.214π+7.某三棱锥的三视图如下图,那么该三棱锥的各个面中,最大的面积是A.62B.1C.22D.64 8.某校方案组织高一年级四个班开展研学旅行活动,初选了,,,A B C D 四条不同的研学线路,每个班级只能在这四条线路中选择其中的一条,且同一线路最多只能有两个班级选择,那么不同的选择方案有9.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,假设2sin sin a b c B A+=,那么A ∠的大小是 A.2π B.3π C.4π D.6π 10.定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,那么不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为A.(0,)+∞B.(,0)(3,)-∞+∞C.(,0)(0,)-∞+∞D.(,0)-∞ 第二卷〔非选择题 共100分〕二、填空题: 本大题共5小题, 每题5分, 共25分, 把答案填在答题卡的相应位置上.11.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系,将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组,分组区间为[35,40),[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),由此得到频率分布直方图如图,那么这80名教师中年龄小于45岁的教师有 人12.设6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,那么1350246a a a a a a a ++=+++ 13.在平面直角坐标系中,不等式组02y x x y ≤≤⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为1Ω,直线:(1)0(0)l kx y k k ---=<将区域1Ω分为左右两局部,记直线l 的右边区域为2Ω,在区域1Ω内随机投掷一点,其落在区域2Ω内的概率13P =,那么实数k 的取值为14.设点F 是抛物线22y x =的焦点,过抛物线上一点P ,沿x 轴正方向作射线//PQ x 轴,假设FPQ ∠的平分线PR 所在直线的斜率为2-,那么点P 的坐标为 15.向量,OA OB 满足1||||1,2OA OB OA OB ==⋅=,动点C 满足OC xOA yOB =+,给出以下命题: ①假设1x y +=,那么点C 的轨迹是直线; ②假设||||1x y +=,那么点C 的轨迹是矩形;③假设1xy =,那么点C 的轨迹是抛物线; ④假设1x y =,那么点C 的轨迹是直线; ⑤假设,那么点的轨迹是圆.以上命题正确的选项...... (写出你认为正确的所有命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题总分值12分)函数5()sin()cos()(0)412f x x x ππωωω=+++>的最小正周期为4π. (Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)设12,[,]22x x ππ∈-,求12|()()|f x f x -的最大值.17(本小题总分值12分)数列{}n a 满足*()2n n n S a n N =∈,(其中n S 是数列{}n a 的前n 项和,且22a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设2((nn n n a b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数））,求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18(本小题总分值12分) 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,过其右焦点F 且垂直于x 轴的弦MN 的长度为b . (Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)点A 的坐标为(0,)b ,椭圆上存在点,P Q ,使得圆224x y +=内切于APQ ∆,求该椭圆的方程.19(本小题总分值13分)如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 是边长为1的正方形,BF ⊥平面,//.ABCD DE BF (Ⅰ)求证:AC EF ⊥;(Ⅱ)假设2,1,BF DE ==在EF 上取点G ,使//BG 平面ACE ,求直线AG 与平面ACE 所成角θ的正弦值.20(本小题总分值13分)某校高三年级研究性学习小组共6人,方案同时参观科普展,该科普展共有甲,乙,丙三个展厅,6人各自随机地确定参观顺序,在每个展厅参观一小时后去其他展厅,所有展厅参观完毕后集合返回,设事件A 为:在参观的第一小时时间内,甲,乙,丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人;事件B 为:在参观的第二个小时时间内,该小组在甲展厅人数恰好为2人.(Ⅰ)求()P A 及(|)P B A ;(Ⅱ)设在参观的第三个小时时间内,该小组在甲展厅的人数为ξ,那么在事件A 发生的前提下,求ξ的概率分布列及数学期望.21(本小题总分值13分)函数()ln 2 3.f x x x =-+(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)设函数2()1t g x x x=-+,假设()()g x f x >对0x >恒成立,求整数t 的最小值.。
2015年考研数学三真题
2015年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设{}n x 是数列，则下列命题中不正确的是（ ）（A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则331lim lim n n n n x x a -→∞→∞== (D) 若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=2．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）33．设{}222222(,)|,D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）224204cos sin (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（B ）224204sin cos (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（C）112(,)xdxf x y dy ⎰⎰（D）12(,)xdx f x y dy ⎰4．下列级数发散的是（ ）（A ）13n n n ∞=∑ （B）111)n n ∞=+ （C ）211()ln n n n ∞=-+∑（D ）1!n n n n ∞=∑５．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）2()()()P A P B P AB +≤（D ）2()()()P A P B P AB +≥8．设总体12~(.),,,,n X B m X X X θ为来自总休的简单随机样本，X 为样本均值，则()21ni i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （A ）11()()m n θθ-- （B ）11()()m n θθ-- （C ）111()()()m n θθ--- （D ）1()mn θθ-二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．20ln(cos )limx x x →=10．设函数()f x 连续，2()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ．11．若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则00(,)|dz = ．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ．13．设三阶矩阵A 的特征值为221,,-，2B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值． 16．（本题满分10分） 计算二重积分()dxdy Dx x y -⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y xy y x =+≤≥为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求随意性0()η>．（1）证明定价模型为11MCp η=-； （2）若该商品的成本函数为21600()C Q Q =-，需求函数40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此的价格． 18．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+； （2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．20．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ---=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ．21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY23．（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．。
2015年考研数学三真题及答案详解
(3)设D x,y x2y22x,x2y22y,函数f x,y在D上连续,则f x,y dxdy( )
D
(A)
04d
0
2cos
0
f
r cos
,r sin
rdr
2d
4
2sin
0
f
r cos
,r sin
rdr
(B)
4d
0
2sin
0
f
r cos
,r sin
rdr
2d
2cos
0
f
r cos
,rsin
则lim xn
a
n
n
n
(C)
若lim
xn
a,则lim
x3n
lim x3n 1
a
n
n
n
(D)
若limn
x3n
lim x3n 1
n
a,则lim xnn
a
答案】(D)
解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系
确；D错(D选项缺少x3n 2的敛散性),故选D
f (x) 0的点处产生.所以y f (x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改 变的点； 二阶导函数f (x)符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知， 拐点个数为2，故选C.
2015
、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项
符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题．纸．．指定位置上
(1)设xn是数列,下列命题中不正确的是( )
(A)
若limn
xn
a,则limn
x2n
lnim x2n 1
2015年考研数学三真题与答案详细讲解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则 221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C) 若lim →∞=n n x a ,则 331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设 (){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则( )【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A)(B)(D) 【答案】(C)【解析】ABCD为正项C.(5)穷多解的充分必要条件为( )【答案】(D)故选（D）(6) 设二次型( )【答案】(A)选（A ） (7) ,则: ( )【答案】(C)(C) .(8)值,( )【答案】(B)(B) .二、填空题：小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(10)(11)(12)3，则(13)设3E为3阶单位矩阵，则【答案】(14)【答案】指定位置上.解答应写出文字三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分).【答案】【解析】法一：则有，法二：由已知可得得c；求进一步，b值代入原式(16)(本题满分10 分)【答案】(17)(本题满分10分)MC(I)(II)试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略【解析】(I). (II)(I)中的定价模(18)(本题满分10 分)4，表达式.此为可分离变量的微分方程,(19)(本题满分10分)（I（II求导公式.【解析】（I（II）由题意得(20) (本题满分11分)(I)(II)3【解析】(II)由题意知(21) (本题满分11 分)(I)（II.【解析】A(22) (本题满分11 分),直到第2个大于3(I)(II)【答案】；【解析】(I)3(II) 法一:分解法:,.注：Ge表示几何分布)法二:直接计算(23) (本题满分11 分).(I) (II).【答案】；【解析】(I)；(II).文档容由金程考研网整理发布。
安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷文(含解析)
安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．32．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N3．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．8 C．16 D．2165．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1 B．1或一1 C．2 D．2或一27．（5分）=（）A．B．C．D．18．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1 D．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期T=4π（I）求ω；（Ⅱ）当x∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接计算即可．解答：解：∵z2+3=0，∴z=±i，∴z•=﹣3i2=3，故选：D．点评：本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．2．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N考点：函数的值域；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的大电影与值域，即可判断两个集合的关系．解答：解：集合M={x∈R|y=}={x|x≥﹣1}=考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线，转化求解离心率即可．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，可得，即b=2a，c2﹣a2=4a2，可得e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．8 C．16 D．216考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟运算即可．解答：解：第一次1≤6，b=2，a=1+2=3，第二次3≤6，b=4，a=3+2=5，第三次5≤6，b=24=16，a=5+2=7，第四次7≤6不成立，输出b=16，故选：C点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查5．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜a=sin2＜1，b=log2＜0，c=log=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1 B．1或一1 C．2 D．2或一2考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质计算即得结论．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则q==2或﹣2，∴a4==1，∴a1a7=a2a6=a3a5==1，∴T7=1，故选：A．点评：本题考查等比数列的前几项的积，利用等比中项的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）=（）A．B．C．D．1考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由倍角公式和和差化积公式化简后即可求值．解答：解：===1．故选：D．点评：本题主要考查了倍角公式和和差化积公式的应用，熟记相关公式是解题的关键，属于基础题．8．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1，∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB=，PC=，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=，∴三棱锥P﹣A BC的所有面中，面积最小的是△PAB，为．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，把AB与AD，cos∠ABC的值代入求出BD的长，进而确定出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长即可．解答：解：在△ABD中，∠ABC=30°，AB=，AD=1，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠A BC，即1=3+BD2﹣3BD，解得：BD=1或BD=2，若BD=1，则BC=2CD=2，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+4﹣6=1，解得：AC=1；若BD=2，则BC=2CD=4，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+16﹣12=7，解得：AC=，综上，AC的长为1或．故选：A．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得本题即求函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，数形结合可得结论．解答：解：由函数f（x）=，可得f（x﹣2）=，关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数，即函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数为3，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为若|x|≠1，则x≠1．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．解答：解：有否命题的定义可知：命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为：“若|x|≠1，则x≠1”．故答案为：若|x|≠1，则x≠1．点评：本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为5．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值．解答：解：∵点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），∴=（a﹣1，2）；又∥，∴（a﹣1）﹣2×2=0，解得a=5，∴实数a的值为5．故答案为：5．点评：本题考查了平面向量的坐标表示与平面向量的平行问题，是基础题目．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣z，显然直线过（1，0）时，z最大，z最大值=1，直线过（0，1）时，z最小，z最小值=﹣2，故答案为：3．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为{﹣1，0}．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数，判断函数的奇偶性，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．解答：解：令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则﹣f（2）﹣m2﹣m+4=0，即f（2）=﹣m2﹣m+4=﹣（m+）2+，令x=y=1，则f（1+1）=f（1）+f（1），即f（2）=2f（1）≥4，即﹣m2﹣m+4≥4，即﹣m2﹣m≥0．则m2+m≤0，解得﹣1≤m≤0，∵m是整数，∴m=﹣1或0，故m取值的集合为{﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是⑤（写出所有正确命题的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：①设C（cosθ，sinθ）（θ∈（cosθ，sinθ），θ∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由条件利用三角恒等变换函数f（x）的解析式，为f（x）=sin（ωx+），由函数f（x）的最小正周期T==4π，求得ω=的值．（Ⅱ）当条件求得sin（x+）=，可得x+=2kπ+或x+=2kπ+，由此求得x的值．解答：解：（I）函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=sinωx++cosωx=sin（ωx+），且函数f（x）的最小正周期T==4π，∴ω=，f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）当x∈时，由f（x）﹣，可得sin（x+）=，∴x+=2kπ+或x+=2kπ+，求得x=4kπ﹣，或 x=4kπ+π，k∈z，∵x∈，∴x=﹣，或x=π．点评：本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足∴AD∥MF，AD=MF，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF，∵AM⊂面ABE，DF⊄面ABE，∴DF∥面ABE；（Ⅱ）解：由△BCE为等边三角形，面BCE⊥面ABCD，BC=2，可得点E到平面ABCD的距离为，∴点F到平面ABCD的距离为，∵ABCD为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S△BCD=，∴V B﹣CDF=V F﹣BCD=．点评：本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B一CDF的体积，证明四边形ADFM是平行四边形是关键．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=n（a n+4）（n∈N*）（I）设a2=5，求a4；（Ⅱ）设a2=t，若当且仅当n=5时S n取得最大值，求实数t的取值范围．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）通过对2S n=n（a n+4）（n∈N*）中令n=1，3，4，结合a2=5计算即得结论；（Ⅱ）通过2S n=n（a n+4）（n∈N*）可得当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两者相减可得（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，进而有（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两者相减可得数列{a n}为等差数列，计算即得结论．解答：解：（I）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），a2=5，∴当n=1时，可得a1=4；当n=3时，2（a1+a2+a3）=2（4+5+a3）=3（a3+4），即a3=6；当n=4时，可得2（a1+a2+a3+a4）=2（4+5+6+a4）=3（4+a4），即a4=7；（Ⅱ）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），∴当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两式相减可得：2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1+4，即（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，又∵（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两式相减可得：（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1=（2n﹣2）a n（n≥2），∴a n+1+a n﹣1=2a n（n≥2），即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1（n≥2），即数列{a n}为等差数列，在2S n=n（a n+4）中令n=1可得a1=4，又a2=t，∴数列{a n}的公差为t﹣4，∴a n=（t﹣4）n+8﹣t，当且仅当n=5时，S n取得最大值，等价于a5＞0且a6＜0，即t＞3，且t＜，故t∈（3，）．点评：本题考查是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得a，b的方程，解方程可得a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）求出f（x）的导数，由x=e，求得导数，再由x＞e，结合对数的性质可得减区间，由0＜x＜e可得增区间．解答：解：（Ⅰ）f（x）=的导数为f′（x）=（x＞0），由f′（1）=2﹣，得=2﹣，由a+b=1，可得=2﹣，即=，由a＞b，a，则a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=（x＞0），即f′（x）=（x＞0），由x=e时，f′（e）=0，且x＞e，e﹣x＞0，ex（1﹣lnx）＜0，故f′（x）＜0，同理0＜x＜e，f′（x）＞0，于是函数的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用函数的性质是解题的关键，属于中档题．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）先求出b，再利用求∠FAB=30°，求出c，可得a，即可求出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，求出P，B，C的坐标，可得直线PB，PC的方程，利用Q到PB，PC的距离相等，求出Q的坐标，即可求出求∠BPC平分线所在直线的方程．解答：解：（Ⅰ）由题意，A（﹣1，0），所以b=1，因为tan∠FAB==，所以c=，所以a2=，所以椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，所以P的横坐标为，即P（，1）．因为B（1，0），3+2=0，所以C（﹣1.5，0），所以直线PB的方程为2x+y﹣2=0，直线PC的方程为x﹣2y+1.5=0．令Q（t，0）为∠BPC平分线与x轴的交点，则Q到PB，PC的距离相等，即，所以t=或t=．考虑到Q在B，C之间，则t=，即Q（，0），所以∠BPC平分线所在直线的方程为6x﹣2y﹣1=0．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。
合肥工业大学近两年高数上试卷
2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（ ）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（ ）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（ ）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫． ６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫． 四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 ．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（ ）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（ ）．（A ）1,a b =为任意实数 （B ）1,b a =为任意实数 （C ）1,a b ≠为任意实数 （D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（ ）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（ ）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（ ）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫． 四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =． （１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ． 七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。
2015数三题目最终
一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分 （1）设{}n x 是数列，下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则331lim lim n n n n x x a +→∞→∞==（D ）若331lim lim n n n n x x a +→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（2）设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（ ）（A ）0 （B ）1 (C) 2( D) 3（3）设2222{(,)|2,2}D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（A ）2cos 2sin 4204(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（B ）2sin 2cos 420004(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（C）1012(,)xdxf x y dy ⎰⎰（D）12(,)xdxf x y dy ⎰（4）下列级数中发散的是（ ）（A ）13n n n ∞=∑（B）11)n n ∞=+（C ）1(1)1ln n n n ∞=-+∑ （D ）1!n n n n ∞=∑（5）设矩阵21111214A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（ ）（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω（D ）,a d ∈Ω∈Ω （6）设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中 123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（ ）（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ）2221232y y y ++ （7）若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ） ()()()2P A P B P AB +≤（D ）()()()2P A P B P AB +≥（8）设总体(,)X B m θ ，12,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21[()]ni i E X X =-=∑（ ）（A ）(1)(1)m n θθ-- （B ）(1)(1)m n θθ-- （C ）(1)(1)(1)m n θθ---（D ）(1)mn θθ- 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分 （9）20ln cos limx x x→=.（10）设函数()f x 连续，2()()x x xf t dt ϕ=⎰，若(1)5ϕ=，则(1)f =. （11）若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则(0,0)dz=.（12）设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x =.（13）设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =++，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =.（14）设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(0)P XY Y -<=.三、解答题：15-23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值. （16）（本题满分10分）计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中222{(,)1,}D x y x y y x =+≤≥. （17）（本题满分10分）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（0η>）. （Ⅰ）证明定价模型为11MC P η=-；（Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格. （18）（本题满分10分）设函数()f x 在定义域I上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成的区域的面积为4，且(0)2,f =求()f x 的表达式.（19）（本题满分10分）（Ⅰ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明[()()]'='()()()()'u x v x u x v x u x v x +（Ⅱ）设函数12(),()...()n u x u x u x 可导，12()()()...(),n f x u x u x u x =写出()f x 的求导公式.（20）（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎭⎝，且30A =.（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，其中E 为三阶单位矩阵，求X .（21）（本题满分11分）设矩阵02-3-1331-2A a ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪ ⎭⎝相似于矩阵1-2000031B b ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎭⎝. （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角阵.（22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为-2ln20()=00x x f x x ⎧>⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数. （Ⅰ）求Y 的概率分布； （Ⅱ）求EY . （23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为11(;)=10x f x θθθ⎧≤≤⎪-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12.....n X X X ，为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计.。
安徽省合肥市高考数学三模试卷文(含解析)
安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．32．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N3．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．8 C．16 D．2165．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1 B．1或一1 C．2 D．2或一27．（5分）=（）A．B．C．D．18．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1 D．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题（本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期T=4π（I）求ω；（Ⅱ）当x∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足方程z2+3=0，则z•（表示复数z的共扼复数）的值是（）A．﹣3i B．3i C．﹣3 D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接计算即可．解答：解：∵z2+3=0，∴z=±i，∴z•=﹣3i2=3，故选：D．点评：本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．2．（5分）设集合M={x∈R|y=}，N={y∈R|y=x2﹣1，x∈R}，则集合M和N的关系是（）A．M=N B．M∪N=R C．N⊊M D．M⊈N考点：函数的值域；集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数的大电影与值域，即可判断两个集合的关系．解答：解：集合M={x∈R|y=}={x|x≥﹣1}=考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线，转化求解离心率即可．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的斜率为2，可得，即b=2a，c2﹣a2=4a2，可得e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．4 B．8 C．16 D．216考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图进行模拟运算即可．解答：解：第一次1≤6，b=2，a=1+2=3，第二次3≤6，b=4，a=3+2=5，第三次5≤6，b=24=16，a=5+2=7，第四次7≤6不成立，输出b=16，故选：C点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查5．（5分）已知a=sin2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜a=sin2＜1，b=log2＜0，c=log=log23＞1，∴c＞a＞b．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=，a6=4，记{a n}的前n项积为T n，则T7=（）A．1 B．1或一1 C．2 D．2或一2考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比中项的性质计算即得结论．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则q==2或﹣2，∴a4==1，∴a1a7=a2a6=a3a5==1，∴T7=1，故选：A．点评：本题考查等比数列的前几项的积，利用等比中项的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）=（）A．B．C．D．1考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由倍角公式和和差化积公式化简后即可求值．解答：解：===1．故选：D．点评：本题主要考查了倍角公式和和差化积公式的应用，熟记相关公式是解题的关键，属于基础题．8．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥各面中，最小的面积为（）A．B．C．1 D．考点：由三视图求面积、体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1，∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，侧面△PAB的面积为S2=××1=，侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，在侧面△PBC中，BC=，PB=，PC=，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S4=××=，∴三棱锥P﹣A BC的所有面中，面积最小的是△PAB，为．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．9．（5分）在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，把AB与AD，cos∠ABC的值代入求出BD的长，进而确定出BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AC的长即可．解答：解：在△ABD中，∠ABC=30°，AB=，AD=1，由余弦定理得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠A BC，即1=3+BD2﹣3BD，解得：BD=1或BD=2，若BD=1，则BC=2CD=2，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+4﹣6=1，解得：AC=1；若BD=2，则BC=2CD=4，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=3+16﹣12=7，解得：AC=，综上，AC的长为1或．故选：A．点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得本题即求函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，数形结合可得结论．解答：解：由函数f（x）=，可得f（x﹣2）=，关于x的方程f（x）=f（x﹣2）解的个数，即函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数，如图所示：数形结合可得函数y=f（x）的图象和y=f（x﹣2）的图象的交点个数为3，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共5}J题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．（5分）命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为若|x|≠1，则x≠1．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：直接利用四种命题的逆否关系，写出结果即可．解答：解：有否命题的定义可知：命题“若|x|=1，则x=1”的否命题为：“若|x|≠1，则x≠1”．故答案为：若|x|≠1，则x≠1．点评：本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．12．（5分）已知点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），若∥，则实数a的值为5．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量平行的坐标表示，列出方程，求出a的值．解答：解：∵点A（1，2），B（a，4），向量=（2，1），∴=（a﹣1，2）；又∥，∴（a﹣1）﹣2×2=0，解得a=5，∴实数a的值为5．故答案为：5．点评：本题考查了平面向量的坐标表示与平面向量的平行问题，是基础题目．13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值与最小值之差为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣z，显然直线过（1，0）时，z最大，z最大值=1，直线过（0，1）时，z最小，z最小值=﹣2，故答案为：3．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）≥2．若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则m取值的集合为{﹣1，0}．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据抽象函数，判断函数的奇偶性，结合一元二次不等式的性质进行求解即可．解答：解：令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，若存在整数m，使得f（﹣2）﹣m2﹣m+4=0，则﹣f（2）﹣m2﹣m+4=0，即f（2）=﹣m2﹣m+4=﹣（m+）2+，令x=y=1，则f（1+1）=f（1）+f（1），即f（2）=2f（1）≥4，即﹣m2﹣m+4≥4，即﹣m2﹣m≥0．则m2+m≤0，解得﹣1≤m≤0，∵m是整数，∴m=﹣1或0，故m取值的集合为{﹣1，0}，故答案为：{﹣1，0}．点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．综合考查函数的性质．15．（5分）已知B，C两点在圆O：x2+y2=1上，A（a，0）为x轴上一点，且a＞l．给出以下命题：①•的最小值为一1；②△OBC面积的最大值为1；③若a=，且直线AB，AC都与圆O相切，则△ABC为正三角形；④若a=，且=λ（λ＞0），则当△OBC面积最大时，|AB|=；⑤若a=，且=，圆O上的点D满足，则直线BC的斜率是．其中正确的是⑤（写出所有正确命题的编号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：①设C（cosθ，sinθ）（θ∈（cosθ，sinθ），θ∈时，求函数：y=f（x）﹣的零点．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由条件利用三角恒等变换函数f（x）的解析式，为f（x）=sin（ωx+），由函数f（x）的最小正周期T==4π，求得ω=的值．（Ⅱ）当条件求得sin（x+）=，可得x+=2kπ+或x+=2kπ+，由此求得x的值．解答：解：（I）函数f（x）=sinωx+cos（ωx+）=sinωx+cosωx﹣sinωx=sinωx++cosωx=sin（ωx+），且函数f（x）的最小正周期T==4π，∴ω=，f（x）=sin（x+）．（Ⅱ）当x∈时，由f（x）﹣，可得sin（x+）=，∴x+=2kπ+或x+=2kπ+，求得x=4kπ﹣，或 x=4kπ+π，k∈z，∵x∈，∴x=﹣，或x=π．点评：本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（12分）某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供，已知该管材的内径设计标准为500mm，内径尺寸满足∴AD∥MF，AD=MF，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF，∵AM⊂面ABE，DF⊄面ABE，∴DF∥面ABE；（Ⅱ）解：由△BCE为等边三角形，面BCE⊥面ABCD，BC=2，可得点E到平面ABCD的距离为，∴点F到平面ABCD的距离为，∵ABCD为等腰梯形，且AB=AD=DC=1，BC=2，∴S△BCD=，∴V B﹣CDF=V F﹣BCD=．点评：本题考查线面平行的判定，考查求三棱锥B一CDF的体积，证明四边形ADFM是平行四边形是关键．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=n（a n+4）（n∈N*）（I）设a2=5，求a4；（Ⅱ）设a2=t，若当且仅当n=5时S n取得最大值，求实数t的取值范围．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（I）通过对2S n=n（a n+4）（n∈N*）中令n=1，3，4，结合a2=5计算即得结论；（Ⅱ）通过2S n=n（a n+4）（n∈N*）可得当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两者相减可得（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，进而有（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两者相减可得数列{a n}为等差数列，计算即得结论．解答：解：（I）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），a2=5，∴当n=1时，可得a1=4；当n=3时，2（a1+a2+a3）=2（4+5+a3）=3（a3+4），即a3=6；当n=4时，可得2（a1+a2+a3+a4）=2（4+5+6+a4）=3（4+a4），即a4=7；（Ⅱ）∵2S n=n（a n+4）（n∈N*），∴当n≥2时，有2S n﹣1=（n﹣1）（a n﹣1+4）（n∈N*），两式相减可得：2a n=na n﹣（n﹣1）a n﹣1+4，即（n﹣2）a n=（n﹣1）a n﹣1﹣4，又∵（n﹣1）a n+1=na n﹣4，两式相减可得：（n﹣1）a n+1+（n﹣1）a n﹣1=（2n﹣2）a n（n≥2），∴a n+1+a n﹣1=2a n（n≥2），即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1（n≥2），即数列{a n}为等差数列，在2S n=n（a n+4）中令n=1可得a1=4，又a2=t，∴数列{a n}的公差为t﹣4，∴a n=（t﹣4）n+8﹣t，当且仅当n=5时，S n取得最大值，等价于a5＞0且a6＜0，即t＞3，且t＜，故t∈（3，）．点评：本题考查是一道关于数列的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数，其中常数a，n满足a＞b，且a+b=1，函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率是2﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由条件可得a，b的方程，解方程可得a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）求出f（x）的导数，由x=e，求得导数，再由x＞e，结合对数的性质可得减区间，由0＜x＜e可得增区间．解答：解：（Ⅰ）f（x）=的导数为f′（x）=（x＞0），由f′（1）=2﹣，得=2﹣，由a+b=1，可得=2﹣，即=，由a＞b，a，则a=e，b=1﹣e；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=（x＞0），即f′（x）=（x＞0），由x=e时，f′（e）=0，且x＞e，e﹣x＞0，ex（1﹣lnx）＜0，故f′（x）＜0，同理0＜x＜e，f′（x）＞0，于是函数的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用函数的性质是解题的关键，属于中档题．21．（13分）已知动直线l：y=kx+k恒过椭圆E：=1（a＞b＞0）的一个顶点A，顶点B与A关于坐标原点O对称，该椭圆的一个焦点F满足∠FAB=30°．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）如果点C满足3+2=，当k=时，记直线l与椭圆E的另一个公共点为P，求∠BPC 平分线所在直线的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）先求出b，再利用求∠FAB=30°，求出c，可得a，即可求出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，求出P，B，C的坐标，可得直线PB，PC的方程，利用Q到PB，PC的距离相等，求出Q的坐标，即可求出求∠BPC平分线所在直线的方程．解答：解：（Ⅰ）由题意，A（﹣1，0），所以b=1，因为tan∠FAB==，所以c=，所以a2=，所以椭圆E的标准方程为；（Ⅱ）当k=时，将直线l：y=x+与椭圆E的方程联立并整理得2x2+x﹣1=0，所以P的横坐标为，即P（，1）．因为B（1，0），3+2=0，所以C（﹣1.5，0），所以直线PB的方程为2x+y﹣2=0，直线PC的方程为x﹣2y+1.5=0．令Q（t，0）为∠BPC平分线与x轴的交点，则Q到PB，PC的距离相等，即，所以t=或t=．考虑到Q在B，C之间，则t=，即Q（，0），所以∠BPC平分线所在直线的方程为6x﹣2y﹣1=0．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
2015 年全国硕士研究生入学一致考试数学三试题一、选择题 :1～ 8 小题，每题4 分，共 32 分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项切合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定地点上 .．．．1.设 { x k } 是数列，以下命题中不正确的选项是（）(A) 若lim x k a ，则 lim x2k lim x2k 1 a .k k k(B) 若lim x2k lim x2k 1 a ，则 lim x k ak k k(C)若 lim x k a ，则 lim x3k lim x2k1ak k k(D) 若lim x3k lim x3k 1 a ，则 lim x k ak k k2.设函数f (x)在(,) 连续，其二阶导函数 f ( x) 的图形如右图所示，则曲线 y f (x)的拐点个数为（）（A） 0 (B)1 (C)2 (D)33.设D(x, y) x2y22x, x2y22y ，函数f (x, y)D上连续，则 f ( x, y)dxdy=D（）( A)2cos f ( r cos, r sin)rdr 2 d2sin)rdr4 df (r cos , r sin004( B)2sin f (r cos,r sin)rdr 2 d2cos)rdr4 df (r cos , r sin0041xf (x, y)dy(C)2dx0 1 1 x12x x(D)2dx f ( x, y)dy0X4.以下级数中发散的是（）（A ）n(B)1ln(11)(C)(1)n1(D)n!n 1 3n n 1n n n 2ln n n 1 n n11115.设矩阵A 12 a , b d, 若会合(1,2) ，则线性方程组Ax b 有无量多解的14a2 d 2充足必需条件为（）( A)a, d(B )a, d(C )a, d( D )a, d6.设二次型 f ( x x , x )在正交变换x p y下的标准形为2y 2y2y2，此中1 ,23123123，若132则123在正交变换 x Qy 下的标准形为（）p ( e , e , e )Q (e , e , e ),(x , x, x )（A ）2y12y22y32(B) 2 y12y22y32(C)2y12y22y32(D) 2 y12y22y32 7.设 A,B 为随意两个随机事件，则（）（A ）P( AB)P( A)P(B)(B) P( AB)P( A)P(B)(C) P( AB)P( A)P(B)(D) P( AB)P( A)P(B) 228.设整体X B(m,) ，x1, x2, x n为来自该整体的简单随机样本，X 为样本均值，则nE( x i X )2（）i 1（ A ）(m1)n(1)(B)m(n1)(1 )(C) (m1)(n1)(1 )(D)mn(1)。