公平席位分配方法
公平的席位分配等四个数学模型例子
补例2 洗衣节水问题
因为lim n
1
1 n
n
e，所以当n趋于无穷大时，(7)式分母
趋于e AW。
当n趋于无穷大时，N
的极限存在，并有
n
A
lim
n
Nn
N0
eW
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
18 8 4+3+2+2+2+4＝17
A7 13 23 10 7 28 18
4 2+2+2+4+4+4＝18
A8 17 11 27 22 14 8 4
3+2+2+2+4+4＝17
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论:
如何确定洗涤的次数 n 。
先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与
第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0
公平席位分配方法
某学校三个系共200名学生，其中甲系 100名，乙系60名，丙系40名. 若学生代表 会议设20个席位，公平而又简单的席位分配 办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙 三系分别应占10，6，4席位。 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系 人数如下表第二列所示
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例， 找到衡量公平分配席位的指标，并由此建 立新的分配方法。 建立数量指标 设两方人数分别 p1 和 p2 ， 占有 席位分别是 n1 和 n2 ，则两方每个席位代表 的人数分别为 p2 n2 和 p2 n2 ，显然仅当
一般假设 p1 n1 > p2 n2 ，即对A不公平，当再分 配一个席位时， 关于 pi ni (i = 1, 2) 不等式有三 种情况：
公平分配席位的原则是使得相对不公平值 尽可能地小，所以如果 rB ( n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1) 则这一席应分给A方，反之则应分给B方。 事实上，第一种情况也包含在上式中。 p22 n2 (n2 +1) < p12 n1(n1 +1)
模型推广：m方分配席位的情况. 设第i 方人数为 pi ，分配席位为 ni ，当总席位增 加1席时，计算
pi 2 Qi = , i = 1, 2, ..., m n i ( n + 1)
应将1席分给最大一方-------Q值法
1.作业：用Q法重新讨论甲乙丙三系分配 21席问题。
p1 n1 = p 2 n2
因为人数和席位都是正数，但通常有 p1 n1 ≠ p2 n2 这时席位分配不公平，且 p i n i 的数值较大 的一方吃亏，或者说对这一方不公平。
假设 p1 n1 > p 2 n2 ，不公平程度可 以用 p1 n1 − p 2 n2 衡量。 1. p 1 = 1 2 0 , p = 1 0 0 , n1 = n 2 = 1 0 2. p 1 = 1 0 2 0 , p 2 = 1 0 0 0 , n1 , n 2 不变 设 p1, p 2 为A，B 两方固定人数， n 1 , n 2 两方 分配席位（可变）。
公平的席位分配
Q值法推广：当有m方，第i方人数 pi ，占有 ni 席位， 当总席位增加1席，计算
pi2 Qi ni (ni 1)
应将席位分给Q值最大的一方。
问题解决
先按比例计算结果将整数部分的19席分配完，有 n1 10, n2 6, n3 3 ，再用Q值法分配第20，21 席。
1032 632 342 第20席：Q1 , Q2 , Q3 , Q1最大分给甲。 1011 6 7 3 4 1032 第21席：Q1 , Q2 , Q3不变, Q3最大分给丙。 1112
公平的席位分配
问题背景
某校有3个系共200名学生，甲乙丙系各100， 60，40名。若学生代表席位设20个席位。 公平而简单的席位分配办法：按学生人数 的比例分配。 分配结果（席位）：甲10；乙6；丙4。
若甲乙丙系人数分别：103、63和34，20个 席位如何分配？ 若上述人数不变，增加一个席位，分配结 果如何？ 这个结果对丙系太不公平，总席位增 加1席，而丙系席位却由4席减少为3席位。 找到衡量公平分配席位的指标，丙建立新 的分配方法。
练习
学校共1000名学生，235人住在A宿舍， 333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生 门要组织一个10人的委员会，使用下列办 法分配各宿舍的委员数。 （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名 额按惯例分给小数部分较大者。 （2）用Q值法
（3）d’Hondt法：将A,B,C各宿舍的人数用 n=1，2，3等相除，其商如下
p1 p2 n1 n2 1
公平分配的原则：使得相对不公平度尽可能地小
若 rB (n1 1, n2 ) rA (n1 , n2 1) ，则席位分给A；反之分给B。 Q值法 2 2
公平的席位分配
每席代表人数： p1/ n1
不公平
Байду номын сангаас程度
例： 120:10 100:10→2 例： 1020:10 1000:10→2 改进
改进
对A相对不公平值
rA ( n1 , n 2 ) = p1 p2 − n1 n2 p2 n2 p2 p1 − n2 n1 p1 n1
绝对不公平值 基数
对B
rB ( n 1 , n 2 ) =
模型分析
总人数 p=∑pi ，总席位 n=∑ni 按人数比例 p
ni = [
i
p
n ]
则 则
pi p p < ≤ i ni +1 n n
pi Qi = n i ( n i + 1)
2
例： 120:10 100:10→2 → 0.2 例： 1020:10 1000:10→2 →0.02
目标：rA, rB 尽量小
2、确定分配方案
假设 A,B 占有 n1,n2 席 不妨设 p1/n1>p2/n2 则 p1/(n1 +1)>p2/n2 == p1/(n1 +1)<p2/n2 对A不公平值(相对)
某校 共200人 20席 调整 人数比例 20席 实际分配 21席 实际分配
甲系 100 10 103 51.3 10.3 10 10.815 11
乙系 60 6 63 31.5 6.3 6 6.615 7
丙系 40 4 34 17 3.4 4 3.57 3
产生问题:分配不公
原因 20个,丙多占0.6 21个,不充分的席位都在增加
p2 (n1 + 1) rA(n1 +1,n2)= -1 p1n2 p1/n1 )>p2/(n2 +1)
公平席位的分配(韩文斌)
公平席位分配模型班级：09数学（2）班姓名：韩文斌学号：0907022011摘要：通过建立人数比例模型、最大剩余法模型及Q值法模型解决了公平席位的分配问题。
比较三种模型分配的结果方案，我发现了Q值法模型是解决公平席位分配问题较公平的方法。
关键词：公平分配绝对不公平程度 Q值法模型正文1 问题的提出某学校有3个系共100名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
1.1 若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是什么？1.2 现在丙系有6名学生转入甲乙两系（其中3人转入甲系，3人转入乙系），现在该如何分配呢？1.3 因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的结局，会议决定下一届增加1席。
在问题二中人数发生改变后的情况下，这1席又该分给哪个系呢？2 合理假设与变量说明假设3个系的总人数不再发生变动，各个系的人数除了问题二中人数的改动之外，不再发生任何改变。
3 模型建立3.1 人数比例模型公平标准iiP P N N =, i =1,2,3…通过计算总席位与总人数、各系席位数与各系总人数的比例相等，来确定各系的席位数的分配方案。
3.2 最大剩余法模型记,1,2,3ii iP R i N ==…的余数，i R 越大说明i 系分一个席位代表人数就越多，为了公平降低i R ，则剩余席位优先分给i R 最大的i 系。
3.3 Q 值法模型[1]当总席位增加1席时，计算令2(1)i i i i p Q n n =+，增加1席位应该分配给Q 值最大的一方。
3.3.1 不公平指标为简单起见考虑A ,B 两系分配席位的情况。
设两方人数分别为1P ,2P ，占有席位分别为1n ,2n ,则比值11p n ,22p n 为两方每个席位所代表的人数。
显然仅当1212p p n n =分配时才算完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通常1212p p n n ≠，分配不公平，并且对比值较大的一方不公平。
公平席位分配问题
200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.3
6.3
3.4
20
按惯例席位分配 10
6
4
20
惯例席位分配方法为:比例分配出现小数时,先按整数 分配席位,余下席位按小数的大小依次分配之
为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加一 席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席位, 有
1032 1011
96.4
Q2
632 67
94.5
应该将席位分给甲
Q3
342 3 4
96.3
第２１席的分配由Q值决定为
1032
632
Q1 1112 80.4 Q2 6 7 94.5
应该将席位分给丙
342 Q3 3 4 96.3
最后的席位分配 为：
Qi
pi2 ni (ni 1)
于是增加的席位分配由Qi的最小值决定，它可 以推广到一般情况，即n个组
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。
本问题的整数名额共分配了１９席，具体 为
甲
10.815 n1=10
乙
6.615 n2=6
丙
3.570 n3=3
第２０席的分配由Q值决定
Q1
1、 p1 p2 说明此一席给 A，对A还不公平，应给 A n1 1 n2
2、 p1 p2 说明此一席给A，对B不公平， n1 1 n2
不公平值为rB (n1
1, n2 )
(n1 1) p2 p1n2
1
3、p1 p2 说明此一席给B，还对A不公平， n1 n2 1
公平的席位分配问题
公平的席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
符号设定：N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）iQ ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）Z ：目标函数方法一，比例分配法：即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。
方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若2211n p n p >则称11221222211-=-n p np n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 12112111122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11n p >22n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平;2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为1)1(11),1(212111112221-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B3. 11n p >122+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为1)1(11)1,(121222221121-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r A4.11n p <122+n p ,不可能上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
公平的席位分配_图文
p1/n1> p2/n2 。
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
• 除数 A党
B党
C党
D党
• 1 199,000(1) 127,500(2) 124,000(3) 49,500
• 2 99,500 (4) 63,750
62,000 24,750
• 3 66,333 (5) 42,500
41,333 16,500
• 4 49,750
31,875
－
－
总席位 3
1
1
0
“公平”分配方法 将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
~ 对A的相对不公平度
公平席位分配
公平的名额分配摘要：公平分配的问题是关乎国家大局，人民情绪的重要问题。
多年以来，我们都在努力寻找“真正的公平”，就此本文讨论了两种常用的分配方法和一种名为d’Hondt方法，并结合人们公认的衡量公平分配的理想化原则，对两种基本方法进行深入剖析。
对于10个名额（席位）的分配，我们先按三个宿舍学生人数比例分配得到2：3：4，然后剩余的一个名额参照惯例分给比例中小数最大的A宿舍，这就是常用且简单的比例加惯例分配法。
当然若按照Q值方法，就必须舍弃所谓惯例，建立新的衡量指标——不公平度，按此指标计算，则多的一个名额应给C宿舍。
十个名额如此，十五个亦然。
d’Hondt法，对于名额（席位）不多的情况更易实施：只需将A,B,C三宿舍人数依次除以自然数列，商数按名额取大值即可，直观简单。
最小方差原则是希望各单位每个席位代表的人数差异不要太大，特别地应该与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数P/N差异不要太大。
模型简化后，可直接用比例分配的方差大小表示差异大小，方差小，则说明分配合理，反之，则是不合理。
关键词：比例惯例不公平度Q值方差。
一、问题的重述我们身边时时刻刻都能遇到分配问题，大到一个国家的政策，小到你我家庭中的琐事，任何一个处理不好，都可能引发意想不到的恶果。
因此，公平分配就显得尤为重要。
现在我们已知某校学生要组织一个一定人数的委员会，各宿舍人数给定，总人数亦可知道。
摆在我们面前有三种分配方案，我们需要做的是找到一种方案，这个方案一方面满足委员会的要求，另一方面也让个宿舍成员满意。
怎样做才既能让委员会发挥已有的作用，又不失公平。
这是个问题。
二、模型假设与符号说明假设：1、学校近期没有学生转入或转走现象2、此A,B,C三宿舍人员不再变动（即没有搬入，搬出或互换）。
3、此委员会需三个宿舍共同参与，且此三宿舍均想参与委员会管理。
4、此委员会中无职位差别。
符号表示：n0i比例法得到的整数部分Pi参与分配各方的人数N分配名额总数P参与分配总人数di模型衡量指标m参与分配的单位数量m’初次分配后待定名额ni各方最终分配名额[qiqi向左取整]-[qiqi向右取整]+Z目标函数z0变量名、z01三、问题分析与模型建立有了以上的假设，我们可按下面的思路得到分配方案的结果模型一：第一步：按各宿舍占总人数比例，计算得到固定名额部分第二步：将比例法所得各数取小数部分比较大小，剩余待定名额大者得。
姜启源数学模型第三版课件公平席位分配(可编辑)
姜启源数学模型第三版课件公平席位分配（可编辑）2.1席位分配问题 * * 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位, 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则表示某单位的席位数表示某单位的人数表示总人数表示总席位数 1 问题的提出 20个席位的分配结果 20/100 ?20 4 30/100 ?20 6 50/100 ?20 10 分配方案 40/200 40 丙 60/200 60 乙 100/200 100 甲席位数所占比例人数系别现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
17.0%?20 3.4 31.5%?20 6.351.5 %?20 10.3 分配方案 34/200 17.0% 34 丙 63/200 31.5% 63 乙103/200 51.5% 103 甲席位数所占比例人数系别 10 6 4 10 6 4 现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。
(不公平～) 为了在表决提案时可能出现10:10的平局，再设一个席位。
21个席位的分配结果 17.0%?21 3.570 31.5%?21 6.61551.5 %?21 10.815 分配方案 34/200 17.0% 34 丙 63/200 31.5% 63 乙103/200 51.5% 103 甲席位数所占比例人数系别 11 7 3 现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。
(不公平～) 惯例分配方法:按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案, 2 建模分析目标:建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
34/4 8.5 63/6 10.5 103/1010.3 每席位代表的人数 4 6 10 席位数好 34 丙差 63 乙中 103 甲公平程度人数系别 40/4 10 60/6 10 100/10 10 每席位代表的人数 4 40 丙 6 60 乙 10 100 甲席位数人数系别 34/3 11.33 63/7 9 103/11 9.36 每席位代表的人数 3 7 11 席位数差 34 丙好 63 乙中 103 甲公平程度人数系别一般地，每席位代表的人数席位数 B A 人数单位当席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。
席位公平分配的比例极差法及其改进方法
席位公平分配的比例极差法及其改进方法
座位公平分配比例极差法作为一种在座位分配时所采用的策略，它将每一位参
与者被分配到相同比例的座位上。
例如：A、B、C三人有80个座位可以分配，则A 获得80/3=26.7%的座位数、B获得80/3=26.7%与C获得80/3=26.7%。
传统的比例极差法存在一定的问题，例如座位数为80，比例可能会分成80/3、80/4、80/5等不同的份额，使参与者出现无中生有的状况，容易引起争端，因此，为了改变这种情况，人们提出了比例极差法的改进方法。
其一是将座位分成多个不同的比例份额，以增加参与者的分配数量，同时提供
精确的分配细节，使不同参与者分配到不同程度的座位数量。
例如，同样有80个
座位总数，通过多比例份额的分配，则可以将这80个座位分成四个比例：A：20％、B：30％、C：25％、D：25％，以此来更精确地分配该座位。
其二是采用多层次座位分配策略。
这种方法将参与者按照职业、年龄或其他标
准进行分组，以便相同的参与者可以获得相同程度的座位分配比例。
例如，A、B、
C三个群体，其中A群体有80/3=26.7%的座位，B群体有80/3=26.7%且C群体有
80/3=26.7%；而经过多层次座位分配策略处理，A群体在原有的26.7%的比例上可
以再次分配成20%、30%、30%，如此，不同参与者可以获得不同程度的分配权，也
可以有效地避免出现某种参与者突然受益的情况。
以上是座位公平分配比例极差法及其改进方法的简介，此法虽然可以很好的解
决座位分配的问题，但其也可能某些情况下产生偏差，如果要进一步改善，可以考虑采取机器学习、人工智能或者更高级的策略。
案例一 公平的席位分配
１、 p1 (n1 1) p2 n2 ，这说明即使 A 方增加１席仍对 A 方不公平，所以应分给 A 方。
２、 p1 (n1 1) p2 n2 ，说明 A 方增加１席时将 变为对 B 方不公平
与（６）式等价 其它两种情况可同样推导（略）
结论：当（６）式成立时增加的１席应分给 A 方，反之则 分给 B 方。 Qi pi2 ni (ni 1) ， i 1 , 2 ，则增加的１席 更一般的：若记
应分给 Q 值较大的一方。
推广到有 m 方分配席位的情况：
设第 i 方人数为 pi ，已占有 ni 个席位， i 1,2,3...m 。 当总席位增加１席时，计算
11 7 3 21
因为有 20 个席位的代表会议在表决提案时可能出现 10： 的局面， 10 会议决定下一届增加 1 席。按照上述方法重新分配席位，计算结果见表 6、7 列，而丙系却由 4 席减为 3 席
思考：
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指 标，并由此建立新的分配方法
寻找新的分配方法
（1）建立数量指标：
讨论 A、 两方公平分配席位的情况。 B 设两方人数分别为 p1 和 p2 ， 占有席位分别是 n1 和 n2 ， 则两方每个席位代表的人数分别为 p1 n1 和
p2 n2 。显然仅当 p1 n1 ＝ p2 n2 分配才是公平的。
系别
学生 人数
20 个席位的分配 学生人 比例分 参照惯 数的比 例（％） 配的席 例的结 位 果
A B C
１ 235 333 432
1.实验11-1公平的席位分配(参照惯例的席位分配方法)实验11-2公平的席位分配(q值方法)
1.实验11-1公平的席位分配(参照惯例的席位分配方法)实验11-2公平的席位分配(Q值方法)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March河北大学《数学模型》实验 实验报告一、实验目的了解参照惯例的席位分配方法和Q 值方法的区别，明确Q 值的意义，学会使用这两种方法解决问题。
掌握在MATLAB 下，席位分配问题的调用，熟悉循环的使用，floor 、sort 等函数的使用，学会使用最佳定点或浮点格式（5位数字）控制命令format short g 。
二、实验要求1. 公平的席位分配（参照惯例的席位分配方法）参照惯例的席位分配方法：(参考P278-279)n 为席位总数，p1,p2,…,pm 为各单位人数。
步骤：a. 按比例各单位所得席位为n*pi/(p1+p2+,…,pm)，i=1,2,…,m （结果可能含有小数）。
b. 对各单位所得席位取整。
c. 若对各单位所得席位取整数之和<n ，说明席位未分完。
将(1)中各数的小数部分按从大到小排序，把剩余的席位顺序分出去（每个单位至多分1个席位）。
某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。
1. 有20个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”和“求解过程”。
2. 有21个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”和“求解过程”。
1. 在命令窗口分别调用以上函数求解（使用最佳定点或浮点格式（5位数字）控制命令format short g ）。
2. 两个结果比较，合理吗2. 公平的席位分配（Q 值方法）Q 值方法：(参考P280-281)设第i 方人数为pi ，已占有ni 个席位，i=1,2,…,m 。
当总席位增加1席时，计算m i n n p Q i i i i ,2,1,)1(2=+=? 应将这一席位分给Q 值最大的一方。
六、公平的席位分配
甲 乙 丙 总和
103 63 34 200
51.5 31.5 17.0 100
对本例，Q值法可以从 n1 n2 n3 1 （即初始时每系已经占有1
席）开始计算，一直计算到19席的分配结果是 n1 10, n2 6, n3 3 . 再每次增加一席计算。
系别
学生人数
学生人数 的比例
%
20个席位的分配
按比例分 配的席位 10.3 6.3 3.4 20 参照惯例 的结果 10 6 4 20
21个席位的分配
按比例分 配的席位 10.815 6.615 3.570 21 参照惯例 的结果 11 7 3 21
甲 乙 丙 总和
103 63 34 200
51.5 31.5 17.0 100
%
20个席位的分配
按比例分 配的席位 10.3 6.3 3.4 20 参照惯例 的结果 10 6 4 20
21个席位的分配
按比例分 配的席位 10.815 6.615 3.570 21 参照惯例 的结果 11 7 3 21
甲 乙 丙 总和
103 63 34 200
51.5 31.5 17.0 100
按比例分 配的席位 10.3 6.3 3.4 20 参照惯例 的结果 10 6 4 20
21个席位的分配
按比例分 配的席位 10.815 6.615 3.570 21 参照惯例 的结果 11 7 3 21
甲 乙 丙 总和
103 63 34 200
51.5 31.5 17.0 100
因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10:10的局 面，会议决定增加一席。仍按照比例分配的原则进行，丙系却 因总席位增加了一席，而由4席减少为3席。这个结果显然是不 公平的。
公平的席位分配
公平的席位分配问题提出：某学校有3个系⼀共200名学⽣，其中甲系100名，⼄系60名，丙系40名。
如果学校代表会议设置20个席位，怎样公平地分配席位？思考：按照传统的思维⽅式，按照每个系的⽐例进⾏席位的分配。
在该问题中，甲⼄丙三个系的⼈数⽐例为100:60:40=5:3:2。
因此按照这个⽐例进⾏席位的分配可以公平简单的实现席位分配。
但是上⾯的例⼦有些特殊，因为每个系的⼈数⽐例正好是整数，并且能够恰好分配所有的席位。
现在将问题进⼀步⼀般化。
假设甲系学⽣103⼈，⼄系学⽣63⼈，丙系学⽣34⼈。
此时甲⼄丙学⽣⼈数所占⽐例分⽐为51.5%、31.%、17.0%。
仍然分配20个席位，此时甲⼄丙按⽐例分配的席位个数分别为：10.3、6.3、3.4三个系进过协商同意将最后⼀个席位分配给⽐例中⼩数部分最⼤的丙系。
此时甲⼄丙席位分别为10、6、4现在问题进⼀步复杂。
由于决策过程可能出现10:10的现象，会议决定将增加⼀个席位。
依旧按照上述的将最后⼀个席位分配给⼩数⽐例最⼤的那个系。
见下⾯表格不过现在通过表格可以看出：总席位的增加，反⽽导致丙系由4个席位减少⾄3个席位，这样的分配⽅法（将最后⼀个席位分配给⼩数⽐例最⼤的那个系）对丙系不公平。
因此问题出现在分配席位的⽅法上⾯。
该分配席位的⽅法称为最⼤剩余法或者最⼤分数法最⼤分数法明显的缺陷：⼈⼝悖论，某⽅⼈⼝增加反⽽导致该⽅席位数⽬减少。
例如上述三系学⽣变为114,64,34.按照最⼤剩余法，21个席位的分配结果应该是：11、6、4，⼄系学⽣⼈数增加席位反⽽⽐原来少1席，丙系学⽣数量不变席位反⽽多了1席。
为了寻找新的公平的席位分配⽅法，先讨论衡量公平的数量指标不公平度指标为了简单，只考虑A，B两⽅分配席位的情况。
设两⽅⼈数分别为p1,p2,占有席位分别为n1,n2.则⽐例p1/n1,p2/n2为两⽅每个席位所代表的⼈数。
显然只有当p1/n1=p2/n2时，分配才公平。
公平席位的分配模型(朱颖瑶)
公平席位的分配模型1 问题提出某高校有200名学生，其中1系有100名学生，2系有60名学生，3系有40名学生，现在要成立一个20席位的委员会， 按照要求解决下述问题：问题一：问应该如何分配，使每个学生得到席位的可能性相同？ 问题二：若现在学生中存在转系的情况，1系现有103名学生，2系现有63名学生，3系现有34名学生，那么如何分配才能使其公平？ 问题三：若现在增加一个席位，即21席，那又该如何分配？ 2 合理假设与变量说明 2.1 合理假设2.1.1 模型的公平定义是相同的。
2.1.2 模型所要求的公平是绝对公平。
2.1.3 模型不考虑各系自身的要求。
2.1.4 分配到各系的名额数目均为整数。
2.2 变量说明设 P 为总人数，i P 为各方人数， （,iP P N +∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅，n N +∈），N为总席数，i N 为各方的分配席数，（,1,2,,iNN i n+∈=⋅⋅⋅，n N +∈）且1n i i N N=∑=，1nii P P =∑=3 问题分析通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：学生代表席位分配数=学生总人数比例 总席位如果按照上述公式参与分配的一些学生代表的席位分配数出现小数，则先按席位分配数的整数分配席位，余下席位按所有参与分配学生中小数部分最大的优先分配。
得到最初学生人数及学生代表席位如下表：表1：按比例的席位分配表考虑学生转系以及增加一个席位等的情况，各系学生人数及学生代表席位变为：表2：按照比例并参照惯例的席位分配由上表（参考文献[1]）可以看出，20系应该1系10席，2系6席，3系4席这样分配，21席的分配结果由上表可知，这个结果出现增加一席后，3系比增加席位前少一席的情况，这就使人觉得席位分配明显不公平。
要怎样才能公平呢，这时需建立数学模型来解决。
4 模型建立 4.1 Q 值分配法模型设A 、B 两方的人数分别为1P ，2P ，占有的席位数分别是1N 和2N ，这两方每个席位代表的人数分别是11P N 和22P N 。
第四讲(一)初等模型-公平的席位分配-实物交换PPT课件
若rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),则这席位应给A,反之给B
10
当rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),该席给A
根据rA，rB的定义
p22
p12
n2 (n2 1) n1(n1 1)
该席给A，否则该席给B
M1
p3(x3,y3)
将所有与p1, p2无差别的点连接 起来，得到一条无差别曲线MN,
y2
.p2
N1
N
0
x1
x2
xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1
上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。
16
y
甲的无差别曲线族记作
设A,B分别有n1, n2席,若增加1席, 问应分给A?还是B?
9
不妨设初始时 p1 / n1 p2 / n2, 即对A不公平,分下列几种情况
1)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,则这席位应给A
2)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,应计算rB (n1 1, n2 ) 3)若 p1 / n1 p2 /(n2 +1),应计算rA (n1, n2 1)
第四讲 初等模型
一、公平的席位问题 二、实物交换
1
一、公平的席位分配
席位分配是日常生活中经常遇到的问题，在企业、公 司、学校、政府部门都能应用该模型解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会 等的具体座位。假设说，有一个公司要召集所有的部门开 一个员工会议，在公司的会议厅里只能坐40个人，而公 司总共有10个部门，10个部门总共有498个人，而每个部 门的人数都不尽相同。如果你是会议的策划人，你要合理 的分配会议厅的40个座位，既要保证每个部门都有人参 加，最关键的就是要对10个部门都公平，保证10个部门 对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建 模的方法来解决。
席位分配的方法
席位分配的方法
席位分配的方法可以根据不同的需求和情境来选择，以下是几种常见的席位分配方法：
1. 随机分配：通过随机的方式将人员分配到不同的席位上，确保公平性和随机性。
这种方法适用于没有特殊要求的场合，例如普通的会议或聚会。
2. 根据层级或地位分配：根据人员的层级、职位或地位等因素将其分配到不同的席位上。
这种方法常用于正式的场合和会议，以便根据身份进行整齐有序的安排。
3. 根据兴趣或专业领域分配：根据人员的兴趣、专业领域或研究方向等因素将其分配到相应的席位上。
这种方法可以促进人员之间的交流和合作，适用于专业会议或讨论活动。
4. 根据任务或工作需求分配：根据人员的任务或工作需求将其分配到适合的席位上。
这种方法可以提高工作效率和协作效果，适用于工作会议或团队项目中。
5. 自由选择分配：允许人员根据个人喜好或需要自由选择席位。
这种方法给予人员更大的自主权和便利性，适用于较小规模的会议或活动。
在实际应用时，可以根据具体情况综合考虑多种分配方法，灵活运用，以满足不同的需求和目标。
如何安排酒桌次序
如何安排酒桌次序如何安排酒桌次序一、正式或大型宴会1、宴会席位主要是根据出席人员礼宾次序安排的，同时还要综合考虑政治关系、语言使用、宗教信仰和专业等诸因素。
2、同一桌上，席位的高低以离主人的座位远近而定，右高左低。
3、两桌以上的宴会，其他各桌第一主人的位置可以与主桌主人位置同向，也可以面对主桌的位置为主位。
4、如遇主宾身份高于主人，为表示对他的尊重，可以把主宾摆在主人的位置上，而主人则坐在主宾位置上，第二主人在主宾的左侧。
5、如果出席人员中有身份高于主人者，可以由身份高者坐主位，主人坐在其左侧。
6、有女宾时，中国习惯把女方排在一起，即主宾坐男主人右上方，主宾夫人坐女主人右上方。
按照国际一般惯例，不安排夫妇坐在一起，通常是将男女掺插安排，以女主人为准，主宾在女主人右上方，主宾夫人在男主人右上方。
7、主宾带夫人，而主人的夫人又不能出席，通常可请其他身份相当的妇女作第二主人。
如无适当身份的妇女出席，也可以把主宾夫妇安排在主人的左右两侧。
8、如使用长桌，一桌6人、10人或14人时，男女主人可坐在餐桌两端的传统位置上。
如果一桌8人或12人时，男女主人就职宜坐在长桌两端。
9、如使用圆桌，译员一般安排在主宾的右侧；使用长桌时，也可以安排在主宾与主人的对面。
译员不上席时，则坐在主宾和主人的身后。
•上位：窗边的席位、里面的席位上、能眺望美景的席位上。
•请客人先入座。
•与上司同席，请上司在身旁的席位坐下，你应站在椅子的左侧，右手拉开椅子，而且不发出声响。
•预订场地时，应交待店方留好的位置，不要厕所旁或高低不平的角落。
二、常见的国内宴请大致分为以下三种：（一）设两个主陪式按普通的宴席来讲，一般主陪在面对房门的上方中间位置，副主陪在主陪的对面，1号客人在主陪的右手，2号客人在主陪的左手，3号客人在副主陪的右手，4号客人在副主陪的左手，其他可以随意。
（二)设一个主陪式这种方式适合客人较少且主宾比较突出的情况下适用。
(三）长条桌型式。
公平席位分配Q值法
1 问题的假设与符号定义1.1问题的假设:1.席位是以整数计量的,并且为有限个,设为N个；2.每个系别有有限个人,席位是按各集体的人员多少来分配的；3．每个系别的每个人被选举都是等可能的；4．每个单位至少应该分配到一个名额,如果某个单位,一个名额也不应该分到的话,则应将其剔除在分配之外；5．在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.1.2符号的定义：n---－表示某系别的席位数（n1、n2、n3分别表示甲、乙、丙的席位数）；p----表示某系别的人数（p1、p2、p3分别表示甲、乙、丙的人数）；q-------表示总席位数；N-------表示总的席位人数.Q-------表示某单位的Ｑ值.3 问题的分析通常人们都是按照人数比例来进行分配的.当比例中有小数时,人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以下结论：*公式：Npqn/4 模型建立目标:建立公平的席位分配方案.4.1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值:设A,B 两方人数分别为21,p p ；分别占有 1n 和2n 个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为11n p 和 22n p. 我们称 2211n p n p - 为.例：10,100,1202121====n n p p则22211=-n p n p ； 又 10,1000,10202121====n n p p 则22211=-n p n p 由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不公平值.①若 2211n p n p >则称 11221222211-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值, 记为 ),(21n n r A ；②若 2211n p n p <则称 12112111122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ,记为 ),(21n n r B .4.2给出相对公平的席位分配方案:如果，A B 两方分别占有1n 和2n 席,利用相对不公平值A r 和B r 讨论,当总席位增加1席时,应该分配给A 还是B.不妨设1122>p n p n ,即对A 不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况：I .当221>+11p pn n 时,这说明即使给A 增加1席,仍然对A 不公平,所以这一席显然应给A 方.II.当221<+11p pn n 时,这说明给A 增加1席,变为对B 不公平,此时对B 的相对不公平值为:21121211-1 ++=()(,)B p n r n n p n （3）III.当221>+11p pn n 时,这说明给B 增加1席,将对A 不公平,此时对A 的相对不公平值为:12122111-1 ++=()(,)A p n r n n p n （4）因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果121211+<+(,)(,)B A r n n r n n （5）则这1席给A 方,反之这1席给B 方.由(3)(4)可知,(5)等价于21222211<11++()()p p n n n n （6）不难证明上述的第I 种情况221>+11p pn n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方.若记:2, =1,21=+()i i i i p Q i n n则增加的1席给Q 值大的一方.4.3模型内部推广:上述方法可以推广到有m 方分配席位的情况.设第i 方人数为i p ,已占有i n 个席位.当总席位增加1席时,计算:2, =1,21=+()L i i i i p Q i m n n ，，则增加的1席应分配给Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为Q 值法.5 模型求解5.1下面用Q 值法讨论甲，乙，丙系分配20个席位的问题：先按照比例将整数部分的10席分配完毕n 1=10, n 2=6, n 3=3,.再用Q 值法分配第20席和第21席；分配第20席,计算得:Q1=96.4; Q2=94.5; Q3=96.3Q1最大,于是这1席应分给甲系.分配第21席,计算得:Q1=80.4;Q2=94.5;Q3=96.3;Q3最大,于是这1席应分给丙系.5.2现象分析及结果：根据Q值分配结果与假定情况一的现象,易得出:惯例分配总席位为21时,分配不公平,以至得出总席位数N增加一个,丙的席位数反而减少了一个的错误结论.6 模型评价●我们巧用绝对值,避免了分两种情况.从而简化了运算.●改进后的Q值法席位分配方案应用性推广,分配更公平.。
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无量纲化分析
将条件公式转化为s’与t’的表达式即可简 化模型
令s0=v2a-1 ，t0=va-1，则可以得到： s’=s/v2a-1 t’=t/va-1
由 代入条件公式中可以得到：
求NKS !
n2
rB (n1, n2 )
p2
n2 p1 p1 n1
n1
模型推广：m方分配席位的情况. 设第i
方人数为 pi ，分配席位为 ni ，当总席位增
加1席时，计算
Qi
pi2 , i ni (ni 1)
1, 2,..., m
应将1席分给最大一方-------Q值法
模型检验
对于甲： 对于已： 对于丙：
Qi
pi2 , i ni (ni 1)
1, 2,..., m
11 6 4
量纲分析法
求解匀加速直线运动位移公式
问题分析
匀加速直线运动涉及到的参数有s、v、a、 t，基本量纲为L、T。
[s]=L [v]=LT-1 [a]=LT-2 [t]=T
满足条件：
参数无量纲化
取s0与t0为参考尺寸 s’=s/s0 t’=t/t0
设 p1, p2 为A，B 两方固定人数，n1, n2 两方 分配席位（可变）。
若 p1 n1 p2 n2 ,，则定义
rA (n1, n2 )
p1
n1 p2 p2 n 2
n2
为对A的相对不公平值。
若 p1 n1 p2 n2，则定义
rB (n1, n2 )
p2
n2 p1 p1 n1
n1
为对B的相对不公平值。
此时，分配才能达到公平。
因为人数和席位都是整数，通常有
p1 n1 p2 n2
这时席位分配不公平，且 pi ni 的数值较大 的一方吃亏，或者说对这一方不公平。
假设 p1 n1 p2 n2 ，不公平程度可 以用 p1 n1 p2 n2 衡量。
1. p1 120, p2 100, n1 n 2 10 2. p1 1020, p2 1000, n1, n2 不变
分配原则： 使得不公平的数量指标 rA , rB 尽可能小。
确定分配方案 假设A，B 两方已分别占有 n1 和 n2 席，利用相对不公平讨论，当席位增 加1时，应该分配给A 还是B。
一般假设 p1 n1 p2 n2 ，即对A不公平，当再分 配一个席位时， 关于 pi ni (i 1, 2) 不等式有三 种情况：
模型建立的目的在于针对这样的问 题进行公平分配
要解决这个问题必须舍弃所谓惯例， 找到衡量公平分配席位的指标，并由此建 立新的分配方法。
建立数量指标设两方人数分别 p1和 p2 ，
席位分别是 n1 和 n2 ，则两方每个席位代表
的人数分别为 p1 / n1和 p2 / n2 ，显然仅当 p1 n1 p2 n2
公平分配席位的原则是使得相对不公平值 尽可能地小，所以如果
rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1)
则这一席应分给A方，反之则应分给B方。 事实上，第一种情况也包含在上式中。 p22 n2 (n2 1) p12 n1(n1 1)
rA (n1, n2 )
p1
n1 p2 p2 n 2
公平席位的分配
2002110091 郝海斌
问题分析
某学校三个系共200名学生，其中甲系 100名，乙系60名，丙系40名. 若学生代表 会议设20个席位，公平而又简单的席位分配 办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙 三系分别应占10，6，4席位。
现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系 人数如下表第二列所示