数学3.1《空间向量及其运算》教案(新人教A版选修2-1)

第一课时3.1.1空间向量及其加减与数乘运算

教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：由平面向量类比学习空间向量．

教学过程：

一、复习引入

1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

2. 向量的加减以及数乘向量运算：

向量的加法：

向量的减法：

实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa

＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a

4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？

二、新课讲授

1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？

2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）

3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．

⑴加法交换律：a +b = b + a ；

⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．

4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；

⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则．

5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；

1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3

AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练

6. 练习：课本P 92

7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）

三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题.

第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）

教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．

教学过程：

一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）. ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a ．

其中向量a 叫做直线l 的方向向量.

推论证明如下：

∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a ．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-，

∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a ． ①

若在l 上取AB =a

，则有OP OA t AB =+．(**) 又∵ A B O B O A =- ∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)

t O A t O B =-+．② 当12

t =时，1()2OP OA OB =+．③ 理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，

是平面向量相关知识的推广． 4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）

5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别

用OA 、OB 表示OC 、OD .

三、巩固练习： 作业：

第三课时3.1.2空间向量的数乘运算（三）

教学要求：

了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解