数学3.1《空间向量及其运算》教案(新人教A版选修2-1)
2019-2020年高中数学3.1.2空间向量及其运算教案新人教A版选修2-1
019-2020年高中数学3.1.2空间向量及其运算教案新人教A 版选修2-1教学目标：1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2 •掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式. 教学重、难点：共线、共面定理及其应用. 教学过程： （一） 复习：空间向量的概念及表示； （二）新课讲解：1 •共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：平行于，记作：•2. 共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点， 点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。
在上取，则①式可化为或② 当时，点是线段的中点，此时③①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式. 向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 说明：空间任意的两向量都是共面的.共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使. 推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任 有①上面①式叫做平面的向量表达式. （三）例题分析：例1.已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件试判断：点与是否一定共面？解：由题意:(OP -OA) =2(OB -OP) 2(OC -OP),•••,即， 所以，点与共面.说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算.【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式（其中）的四点是否共面？Tt T T解：••• OP = （1 - z - y ）OA yOB zOC ,3. 4. O^ =-OAOP -OA 二 y(OB -OA) z(OC -OA),O^=koAo^=KoB,O^=koC,O^ = koD ,(1) 求证：四点共面； (2) 平面平面.解：(1)v 四边形是平行四边形，•••,所以，平面平面.课堂练习：课堂小结：1•共线向量定理和共面向量定理及其推论；2 •空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式. 作业：1•已知两个非零向量不共线，如果，，，求证：共面.2•已知(=3諾—2： —4p< =(x+1)^+8,+2yP ,,若，求实数的值。
高中数学空间向量及其运算教案1 新人教A版选修2-1
第三章空间向量与立体几何教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． ［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？ ［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：+==a +b ，OAOB AB -=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本P92练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或a b．平行向量。
选修2-1第三章-空间向量与立体几何全章教案
§3.1 空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
'【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件babD BAOC三．类比推广、探求新知（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量b a ,都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：）如图，可以从空间任意一点O 出发作b OB a OA ==,，并且从A 出发作b AC =，则BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？ 探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？ （1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图) —让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。
空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。
(新课程)高中数学《3.1.1空间向量及其运算》导学案 新人教a版选修2-1
§3.1.1空间向量及其运算1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8486复习1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， OB = ， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +- a .2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则 AC = AB , BC = AB .反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ；⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )；⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ．※ 典型例题例1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC + ⑴；'AB AD AA ++ ⑵；1'2AB AD CC ++ ⑶ 1(')2AB AD AA ++ ⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD 和'DB .小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．例2 化简下列各式： ⑴ AB BC CA ++ ; ⑵;AB MB BO OM +++ ⑶;AB AC BD CD -+- ⑷ OA OD DC -- .变式：化简下列各式： ⑸ OA OC BO CO +++ ; ⑹ AB AD DC -- ; ⑺ NQ QP MN MP ++- .小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化.※ 动手试试练1. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -, M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列表达式： ⑴ 111AA A B + ; ⑵ 11111122A B A D + ; ⑶ 111111122AA A B A D ++ ⑷ 1111AB BC CC C A A A ++++ .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法中正确的是（ ） A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同; B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += . 2. 长方体''''ABCD A B C D -中，化简'''''AA A B A D ++ =3. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ） A. 00a b = B. 00a b = 或00a b =- C. 01a = D. ∣0a ∣=∣0b ∣ 4. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+ ,则四边形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量1. 在三棱柱中，M,N 分别为BC ,B'C'的中点，化简下列式子： ⑴ AM + BN ⑵'A N －'MC + 'BB2. 如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a = ，AD b = ，1A A c = ， 则下列向量中与1B M 相等的是（ ）A. 1122a b c -++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D. 1122a b c --+。
高中数学《3.1.1空间向量及其加减运算》教学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学
3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算●三维目标1.知识与技能理解空间向量的概念，会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，初步应用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题．2．过程与方法学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．3．情感、态度与价值观培养学生的空间观念和系统学习概念的意识．●重点难点重点：空间向量的概念及线性运算．难点：共线向量、共面向量定理及推论的应用．●教学建议由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难，本节可采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕空间向量的概念及线性运算这一教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，多举实例，努力突破教学难点．●教学流程创设问题情境：观察正方体过同一顶点的三条棱所表示的向量与以前学习的向量有什么不同.⇒类比平面向量引出空间向量的定义、相关概念以及线性运算法则及运算律.⇒通过向量的线性运算得出空间向量共线、共面定理及其推论.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握空间向量及有关概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算问题.⇒巩固向量共线、共面的条件，完成例3、例4及其变式训练，从而解决向量的共线、共面判断方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有何不同？【提示】 OA →，OB →，OC →是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内.【问题导思】1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？【提示】 平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则． 2．平面向量中，数乘向量怎样定义的？【提示】 平面中，实数λ与向量a 的乘积λa 仍是一个向量，称为向量的数乘；当λ＞0时， λa 与a 方向相同，当λ＜0时，λa 与a 方向相反，λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．1．(1)空间向量的加、减法运算(如图3－1－1)图3－1－1OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ；CA →＝OA →－OC →＝a －b .(2)运算律：①a ＋b ＝b ＋a ； ②(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 2．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． (2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a .共线向量与共面向量1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量；(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .2．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论 空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →；或对空间任一定点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.空间向量的有关概念给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反；④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________．【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？(2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形ABCD 满足什么条件时，才有AB →＋AD →＝AC →？【自主解答】 ①正确；②正确，因为AC →与A 1C 1→的大小和方向均相同；③|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．下列命题是假命题的为________． (1)空间向量中的两个单位向量必相等； (2)若空间向量满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； (3)空间向量a 、b 满足a ＝b ，则|a |＝|b |； (4)若空间向量a ，b ，c 满足a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .【解析】 (1)单位向量模相等，方向不一定相同，故两单位向量不一定相等；(2)若b ＝0，则结论不成立；(3)正确；(4)正确，相等向量满足传递性．【答案】 (1)(2)空间向量的线性运算如图3－1－2所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 的三等分点(靠近A 点)，N 是A 1D 的三等分点(靠近D 点)．设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.图3－1－2【思路探究】 结合图形→运用加、减、数乘的运算法则→错误!【自主解答】 MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(AB →＋AD →)＋AA 1→＋23(AD →－AA 1→)＝－13(a ＋b )＋c ＋23(b －c )＝－13a ＋13b ＋13c .1．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题.1．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＜|b |，则a ＜bB ．若a 、b 为相反向量，则a ＋b ＝0C ．空间内两平行向量相等D ．四边形ABCD 中，AB →－AD →＝DB →【解析】 向量的模有大小，但向量不能比较大小，A 错；相反向量的和为0，不是0，B 错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．【答案】 D2．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A3．(a ＋2b )－3(a －b )＝________.【解析】 原式＝a ＋2b －3a ＋3b ＝－2a ＋5b . 【答案】 －2a ＋5b4．如图3－1－8，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，M 为AC ′的中点．化简下列各式．图3－1－8(1)AA ′→－CB →；(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →. 【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→；(3)12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →. 一、选择题1．如图3－1－9所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( )图3－1－9A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c【解析】 如题图A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CC 1→＋CA →)＝b －(a ＋c )＝－a ＋b －c . 【答案】 D2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB →＝－a －2b ， ∴BD →＝－2BA →，∴BD →与BA →共线，又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A3．(2013·某某高二检测)A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P 、A 、B 、C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋18＝1，∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( ) ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【解析】 对于①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； 对于②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③④化简结果不为BD 1→. 【答案】 A5．(2013·某某高二检测)如图3－1－10，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3－1－10A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝0【解析】 由图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有：EF →＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，用AB →、AD →、AA 1→表示D 1B →＝________. 【解析】 D 1B →＝－BD 1→＝－(BA →＋BC →＋BB 1→)＝AB →－BC →－BB 1→＝AB →－AD →－AA 1→. 【答案】 AB →－AD →－AA 1→7．(2013·某某高二期末)设e 1、e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A 、B 、D 三点共线，则k ＝________.【解析】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2 又∵A 、B 、D 三点共线，∴AB →＝λBD →， 即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ＝－4λ∴k ＝－8.【答案】 －88．已知两非零向量e 1、e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1、e 2共面．【答案】 ①②③ 三、解答题9．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x 、y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】如图所示， (1)∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA →＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →. 又∵PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →. 从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.10．如图3－1－11所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，请判断EF →与AD →＋BC →是否共线？图3－1－11【解】 EF →与AD →＋BC →共线，连结AC ，取AC 中点G ，连结EG 、FG ，∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.又∵GF →、EG →、EF →共面，∴EF →＝GF →＋EG →＝12AD →＋12BC →＝12(AD →＋BC →)．即EF →与AD →＋BC →共线．11．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知BE ＝13BB 1，DF ＝13DD 1，CG ＝23CC 1，那么A ，E ，G ，F 四点是否共面？【解】 由题意知AC →＝AB →＋AD →， CG →＝23CC 1→＝13BB 1→＋13DD 1→＝BE →＋DF →.∴AG →＝AC →＋CG →＝AB →＋AD →＋BE →＋DF →＝AE →＋AF →.又AE →，AF →不共线， ∴A ，E ，G ，F 四点共面．。
第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算教案新人教A版选修2_1
3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养．1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB→，其模记为|a|或|AB→|．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aAB→的相反向量：BA→相等向量相同相等a＝b3空间向量的运算加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b减法CA→＝OA→－OC→＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考1：(1)空间中，a，b，c为不共面向量，则a＋b＋c的几何意义是什么？(2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？ [提示] (1)以a ，b ，c 为相邻棱的平行六面体的体对角线．(2)任意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似．4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a ． 5．共线向量和共面向量 (1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb ．③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →． (2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →．思考2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条：AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1．]2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c C [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c ．]3．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0．]4．在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AF →－12(AB →＋AC →)的化简结果为________．EF → [12(AB →＋AC →)＝AE →，AF →－12(AB →＋AC →)＝AF →－AE →＝EF →．]空间向量的有关概念【例①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ． 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．](2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→．与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→．]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. (2)注意点：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.[跟进训练]1．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] (1)与向量AB →相等的向量有A 1B 1→，DC →，，D 1C 1→，共3个； (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个； (3)|AC 1→|2＝22＋22＋12＝9，所以|AC 1→|＝3．空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②A 1N →； ③MP →＋NC 1→．思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解． (2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解． (1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→， 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→， 对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→， 对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．](2)解：①∵点P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b ，②∵点N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ，③∵点M 是AA 1的中点，∴MP →＋NC 1→＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＋NC →＋CC 1→＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c ．1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．[解] (1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →，由向量加法的平行四边形法则可得PO →＝12(PC →＋P A →)，∴OP →＝－12PC →－12P A →，∴OQ →＝PQ →＋OP →＝PQ →－12PC →－12P A →，∴x ＝－12，y ＝－12．(2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO →＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →， ∴x ＝2，y ＝－2．共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________．(2)如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为A 1C 上一点，且A 1O ＝23A 1C →，BD 与AC 交于点M ．求证：C 1，O ，M 三点共线．思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解． (2)用向量AB →，AD →，AA 1→分别表示MO →和MC 1→．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2． 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1．](2)解：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MO →＝MC →＋CO →＝12AC →＋13CA 1→＝12(AB →＋AD →)＋13(CA →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋13(CB →＋CD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →－13AD →－13AB →＋13AA 1→ ＝16AB →＋16AD →＋13AA 1→＝16a ＋16b ＋13c ， MC 1→＝MC →＋CC 1→＝12AC →＋AA 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→，＝12a ＋12b ＋c ，∴MC 1→＝3MO →，又直线MC 1与直线MO 有公共点M ， ∴C 1，O ，M 三点共线．1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b ．(2)判断向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DA [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b 所以AD →＝3AB →．又直线AB ，AD 有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．](2)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c ． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．向量共面问题[1．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →．(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)P A →∥BC →．2．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c ． 因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示， 即p ，m ，n 不共面．【例4】 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：向量MN →，CD →，DE →共面．思路探究：可通过证明MN →＝xCD →＋yDE →求证．[证明] 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →． 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →． 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．1．利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．2．证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．[跟进训练]4．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)， 因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →． 故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2．四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1．3．OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．4．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．5．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．1．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >cB [对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．]2．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ A [①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A ．] 3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________． 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝⎛⎭⎫12＋103－3a ＋⎝⎛⎭⎫1－52＋6b ＋⎝⎛⎭⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c ．] 4．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ．试用a ，b ，c 表示B 1M →，C 1M →．[解] B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－a ＋c ＋12AC →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c ，C 1M →＝C 1B 1→＋B 1M →＝D 1A 1→＋B 1M → ＝－b －12a ＋12b ＋c＝－12a －12b ＋c ．。
人教A版高中数学选修2-1教案 3.1空间向量及其运算第2课时
§3.1.2空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律【教学难点】：用向量解决立几问题【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：推论：已知空间任意一点B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是四．练习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。
（1）CDBCAB++（2）)(21BCBDAB++（3）)(21ACABAF+-2、课本P96练习2-33、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC∥平面EFGH巩固知识，注意向量运算律的使用. 3、略解：（1）12EG EF FG EF BD EF EH=+=+=+（2）111222EG EB BF AB BC AC=+=+=得EF∥AC，AC⊄平面EFGH，则AC∥平面EFGH练习与测试：（基础题）1． 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++； AD（2）1()2AB BD BC ++； AG（3）1()2AG AB AC -+．MG（中等题）BCDMGA2、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量3．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则（ ） A ．-+ B ．+- C ．++- D ．-+-。
空间向量及其运算教学设计
课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容）教学内容解析：本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。
向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。
本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。
本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。
空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。
教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。
学情分析：1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。
2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。
教学目标：1.知识与技能目标：（1）了解空间向量的概念；（2）掌握空间向量的加减数乘运算；（3）掌握空间向量的运算律。
2.过程与方法目标：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；（3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。
3.情感态度价值观目标：（1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；（2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。
教学重点：空间向量的线性运算；教学难点：体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难）教学策略：多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究教学设计：1.教学结构设计B2.教学过程设计（一）创设情境，导入新课国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1图2如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？设计意图及效果评价：图1中的引入情境即为必修四中“平面向量”章节的引入情境，于学生而言，非常熟悉。
高中数学《空间向量及其运算-数乘运算》教案3 新人教A版选修2-1
第三课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．教学重点：点在已知平面内的充要条件．教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．教学过程：一、复习引入1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二、新课讲授1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α．向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，、、这三个向量就不是共面向量．4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p=xa+yb．证明：必要性：由已知，两个向量a、b不共线．∵向量p与向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得p= xa+yb．充分性：如图，∵xa，yb分别与a、b共线，∴xa，yb都在a、b确定的平面内．又∵xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，∴ p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，①或对于空间任意一定点O，有．②分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数；⑵由得：，∴③公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．7. 例题：课本P95例1 ，解略．→小结：向量方法证明四点共面三、巩固练习1. 练习：课本P96练习3题.2. 作业：课本P96练习2题.内容总结（1）第三课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法（2）掌握点在已知平面内的充要条件。
人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量及其加减运算》教案-新版
3.1.1 空间向量及其加减运算一、教学目标 （一）核心素养通过本节课学习，使同学们理解空间向量的有关概念，掌握空间向量的加减运算法则及运算律，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义，并通过空间几何体加深对运算的理解． （二）学习目标 1．理解空间向量的有关概念．2．掌握空间向量的加减运算法则及运算律．3．培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力，培养学生空间想象能力． （三）学习重点 1．空间向量的有关概念．2．空间向量的加减运算的平行四边形法则和三角形法则．3．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用．（四）学习难点 1．对空间向量相关概念的理解及与平面向量的关系．2．熟练掌握加减法的运算法则．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第84页至第85页，填空：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量可以用有向线段来表示．向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量记作AB uu u r．我们规定，长度为0的向量叫做零向量．模为1的向量称为单位向量．与向量a r为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a r．方向相同且模相等的向量称为相等向量． 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．（2）写一写：空间向量的加法和减法运算的字母表示是什么？OA AB OB +=uu r uu u r uu u r ，OA OC CA -=uu r uuu r uu r ．空间向量的加法运算满足的交换律和结合律是什么？ a b b a +=+r r r r ，()()a b c a b c ++=++r r r r r r ．2．预习自测（1）以下说法正确的是（ ）A ．向量AB uu u r 的长度与向量BA uu r的长度相等 B ．零向量没有方向C ．若空间向量a r ，b r 满足||||a b =r r，则a b =r rD ．空间中任意两个单位向量必相等 【知识点】空间向量概念的应用．【解题过程】相反向量长度相同，A 正确；零向量的方向为任意方向，B 错误；向量相等既要长度相等，也要方向相同，C 错误；单位向量方向不确定，D 错误． 【思路点拨】理解向量的各种概念．【答案】A ．（2）向量AB BC CD ++uu u r uu u r uu u r的化简结果是 ． 【知识点】空间向量加法的字母运算．【解题过程】=C+=AB BC CD A CD AD ++uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r【思路点拨】空间向量加法的字母运算的关键是首尾相接．【答案】AD uuu r．（3）向量AB CB -uu u r uu r的化简结果是（ ） A ．CA uu rB ．AC uuu rC ．0rD ．BA BC -uu r uu u r【知识点】空间向量减法的字母运算．【解题过程】AB CB -uu u r uu r AB BC =+uu u r uu u r .AC =uuu r【思路点拨】利用相反向量的概念，将空间向量的加法运算转化为减法运算． 【答案】B ．（4）在正方体1111D C B A ABCD -中，下列选项中化简后为零向量的是（ ）A ．1AB AD AA ++uu u r uuu r uuu r B ．1AB AC BB -+uu u r uuu r uuu r C ．1111AB AD C A ++uu u r uuuu r uuu u rD ．1AC CB AB +-uuu r uuu r uu u r【知识点】在空间几何体中进行空间向量的加法运算．【解题过程】1111AB A D C A ++uu u r uuuu r uuu u r AB AD CA =++uuu r uuu r uu r 0AC CA =+=uuu r uu r r ．【思路点拨】利用正方形中的平行四边形的性质进行空间向量的加法运算． 【答案】C ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面向量的定义及表示方法；（2）平面向量中零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念； （3）平面向量中加减法的平行四边形法则和三角形法则． 2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的概念★ ●活动① 类比提炼概念在必修四中，我们学习了平面向量的一些概念，那么在空间中，空间向量的概念和平面向量有什么异同呢？在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）．向量的大小叫做向量的长度或模（modulus ）．【设计意图】从平面向量到空间向量，从二维到三维，体会概念的类比过程． ●活动② 辨析概念，理解特殊向量在平面向量中，我们是用什么来表示向量的呢？（抢答）与平面向量一样，空间向量可以用有向线段来表示．向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量记作AB uu u r ，其模记作||a r 或||AB uu u r ．【设计意图】通过深入类比，学生的思维逐步过渡到空间向量上． ●活动③ 辨析概念，理解特殊向量与平面向量一样，空间向量也有一些特殊的向量．我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector ），记为0r．模为1的向量称为单位向量（unit vector ）．与向量a r 为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector ）．【设计意图】通过概念辨析，加深对向量内涵与外延的理解，突破重点． 探究二 探究空间向量的加减法运算★ ●活动① 平移类比，提炼运算法则 空间任意两个向量一定共面吗？（抢答）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．已知空间向量a r ，b r，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA a =uu r r ，OB b =uu u r r．类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算：OB OA AB a b =+=+uu u r uu r uu u r r r ，CA OA OC a b =-=-uu r uu r uuu r r r ．【设计意图】通过平移类比，用平面向量引出空间向量的运算法则． ●活动② 巩固理解，深入探究平面向量的加法有哪些运算律呢？空间向量呢？（抢答）交换律：a b b a +=+r r r r ，结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r，空间向量的加法运算律和平面向量一致．【设计意图】通过抢答，学生在复习平面向量的加法运算律的同时，得到空间向量的加法运算律，理解更加深入．探究三 探究空间向量的具体应用★▲ ●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，我们知道了空间向量是平面向量在空间的推广，各种概念、运算和平面向量基本一致．那有哪些内容和平面向量是不一样的呢？（抢答）在空间中，三个以上的向量进行加减法，要考虑三个向量不共面的情况． 【设计意图】通过学生归纳知识点和方法，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 已知a r ，b r为空间向量，以下命题正确的是（ ）A ．若||||a b =r r，则a b =r rB ．若||||a b <r r，则a b <r r C ．若a b =r r ，则||||a b =r rD ．若a b ≠r r ，则a r 与b r的方向不同 【知识点】空间向量大小和方向概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】A 中，向量相等还需要方向相同，故错误；B 中，向量不能比较大小； D 中，与可能为平行关系．【思路点拨】深刻理解向量的定义，既有大小又有方向． 【答案】C ．同类训练 给出以下命题：①若向量a r 是b r 的相反向量，则||||a b =r r； ②空间向量的减法满足结合律；③在正方体1111D C B A ABCD -中，必有11AC A C =uuu r uuu u r．其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】空间向量的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中11//C A AC ， 符合向量相等的定义，正确． 【思路点拨】熟悉、理解各种概念． 【答案】C ．【设计意图】通过概念辨析，学生对向量概念理解更加深刻． ●活动③ 巩固基础、检查反馈例2 在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，2=AD ，11=AA ，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： （1）单位向量共有多少个？ （2）模为5的向量有哪些？【知识点】空间向量的表示法，向量的模． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）∵11111====DD CC BB AA ，∴向量1AA uuu r ，1A A uuu r ，1BB uuu r ，1B B uuu r ，1CC uuu r ，1C C uuu r，1DD uuur ，1D D uuur都是单位向量．（2）∵51111====C B BC D A AD ，∴向量1AD uuu r ，1D A uuu r ，1A D uuu r ，1DA uuu r ，1BC uuu r ，1C B uuu r ，1B C uuu r，1CB uuu r都是符合题意．【思路点拨】先找出满足条件的线段．【答案】（1）8个；（2）1AD uuu r ，1D A uuu r ，1A D uuu r ，1DA uuu r ，1BC uuu r ，1C B uuu r ，1B C uuu r ，1CB uuu r.同类训练 在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，2=AD ，11=AA ，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：（1）与AB uu u r相等的向量有哪些？（2）试写出向量AB uu u r的相反向量．【知识点】空间向量的表示法，相等向量与相反向量． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）∵1111//////C D DC B A AB ，∴向量DC uuu r ，11A B uuu u r ，11D C uuuu r 与AB uu ur 相等． （2）同（1）分析，向量BA uu r ，CD uu u r ，11B A uuu u r ，11C D uuuu r 是AB uu ur 的相反向量． 【思路点拨】先找出直线AB 的平行线，再确定方向．【答案】（1）DC uuu r ，11A B uuu u r ，11D C uuuu r ；（2）BA uu r ，CD uu u r ，11B A uuu u r ，11C D uuuu r．【设计意图】通过向量的列举，使学生对向量的各种概念更加熟悉，巩固基础． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，求证：1112AC AB AD AC ++=uuu r uuu r uuu r uuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加法运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC AB AD =+uuu r uu u r uuu r ，11AB AB AA =+uuu r uu u r uuu r ，11AD AD AA =+uuu r uuu r uuu r ，且AD BC =uuu r uu u r ，11AA CC =uuu r uuu r∴1111()()()AC AB AD AB AD AB AA AD AA ++=+++++uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r 1112()2()2AB AD AA AB BC CC AC =++=++=uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】将坐标的向量都用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r表示出来，再根据空间向量的加法法则得到答案．【答案】见解题过程．同类训练 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r 表示向量1A C uuu r．【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1111A C AC AA AB BC AA AB AD AA =-=+-=+-uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r．【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为A 点，从而可使用三角形法则．【答案】11A C AB AD AA =+-uuu r uu u r uuu r uuu r．【设计意图】巩固空间向量的加减法运算，培养学生数形结合的能力． 3. 课堂总结 知识梳理（1）在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）．向量的大小叫做向量的长度或模（modulus ）．（2）我们规定，长度为0的向量叫做零向量（zero vector ），记为0r ．模为1的向量称为单位向量（unit vector ）．与向量a r 为长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector ）．（3）已知空间向量a r ，b r ，以任意点O 为起点，作向量OA a =uu r r ，OB b =uu u r r．我们可以定义空间向量的加法和减法运算：OB OA AB a b =+=+uu u r uu r uu u r r r ，CA OA OC a b =-=-uu r uu r uuu r r r．空间向量的加法交换律：a b b a +=+r r r r ，结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r ． 重难点归纳（1）空间向量是平面向量在空间中的推广，是既有大小又有方向的量．要注意零向量，单位向量，相反向量，相等向量的规定．（2）两个空间向量的加减法的运算法则和运算律与平面向量类似；三个以上的空间向量进行加减法，要考虑三个向量不共面的情况． （三）课后作业 基础型 自主突破1．下列说法正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．任一向量与它的相反向量不相等C ．若||||a b =r r，则a r 与b r 的方向相同或相反D ．若a r 与b r 是相反向量，则||||a b =r r 【知识点】空间向量的概念． 【数学思想】转化思想．【解题过程】单位向量方向没有规定，A 错误；零向量的相反向量是本身，B 错误；向量的大小和方向没有必然联系，C 错误． 【思路点拨】深刻理解各种概念． 【答案】D ．2．在三棱柱111C B A ABC -中，AC uuu r 与11A C uuu u r 是________向量，AB uu u r 与11B A uuu u r是________向量 【知识点】相等向量与相反向量． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵11//C A AC ，且AC uuu r 与11A C uuu u r 方向相同，∴AC uuu r 与11A C uuu u r是相等向量，同理，AB uu u r 与11B A uuu u r是相反向量．【思路点拨】熟记相等向量与相反向量的定义． 【答案】相等，相反．3． 在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-uu r uu u r uu r等于（ ） A ．OA uu rB ．AB uu u rC ．OC uuu rD ．AC uuu r【知识点】空间向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】OA AB CB +-uu r uu u r uu r ()OA AB BC =++=uu r uu u r uu u r OB BC +uuu r uu u r OC =uuu r ． 【思路点拨】利用加法结合律和三角形法则．【答案】C ．4．在三棱柱111C B A ABC -中，若CA a =uu r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuu r r ，则1A B =uuu r（ ）A ．a b c +-r r rB ．a b c -+r r rC ．a b c -++r r rD ．a b c -+-r r r 【知识点】空间向量的加减法．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】 1A B =uuu r 111A C C C CB ++=uuu u r uuu r uu r 1CA CC CB --+=uu r uuu r uu ra b c -+-r r r 【思路点拨】将一个向量通过加法法则拆分成已知向量． 【答案】D ．5．在长方体1111D C B A ABCD -中，1BA BC DD ++=uu r uu u r uuur（ ）A ．11DB uuuu r B ．1D B uuu rC ．1DB uuu rD ．1BD uuu r【知识点】空间向量的加法运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】=++1DD =+1DD 1BD ． 【思路点拨】利用图形和加法结合律，依次运算． 【答案】D ．6．已知长方体1111D C B A ABCD -，化简下列向量表达式：（1）1AA CB -uuu r uu r ；（2）11111AB B C C D ++uuu r uuu u r uuuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加减法运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）AA -1AA +=11111AD D A AA =+=． （2）111111AD D C C B AB =++．【思路点拨】熟练掌握加法的三角形法则． 【答案】（1）1AD （2）1AD ． 能力型 师生共研7．在空间四边形ABCD 中，2AB CA BC AD BD ++-+=uu u r uu r uu u r uuu r uu u r________．【知识点】空间向量的加减法运算．【数学思想】转化思想．【解题过程】2AB CA BC AD BD ++-+=uu u r uu r uu u r uuu r uu u r 2()()AB BC CA BD DA ++++uu u r uu u r uu r uu u r uu u r2220AB BA BA AB BA =++=+=uu u r uu r uu r uu u r uu r r ．【思路点拨】利用加法在正方体1111D C B A ABCD -中的三角形法则．【答案】0r．8．已知正方体1111D C B A ABCD -的中心为O ，则在下列各结论中，正确的共有（ ）①OA OD +uu r uuu r 与11OB OC +uuu r uuu r是一对相反向量； ②OB OC -uu u r uuu r 与11OA OD -uuu r uuu r是一对相反向量；③OA OB OC OD +++uu r uu u r uuu r uuu r 与1111OA OB OC OD +++uuu r uuu r uuu r uuu r是一对相反向量．④1OA OA -uuu r uu r 与1OC OC -uuu r uuu r是一对相反向量；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】相反向量的定义，向量的加减法． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】画图，利用向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量． 【思路点拨】数形结合，利用图形和平行四边形法则进行运算． 【答案】C ． 探究型 多维突破9．在正方体1111D C B A ABCD -中，下列各式运算结果为向量1AC uuu r的有（ ）． ①1()AB BC CC ++uu u r uu u r uuu r ；②11111()AA A D D C ++uuu r uuuu r uuuu r ； ③111()AB BB B C ++uu u r uuu r uuu u r ；④11111()AA A B B C ++uuu r uuu u r uuu u r ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】空间几何体中向量的加法运算． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】①1()AB BC CC ++uu u r uu u r uuu r 11AC CC AC =+=uuu r uuu r uuu r；②11111()AA A D D C ++uuu r uuuu r uuuu r 1111AD D C AC =+=uuu r uuuu r uuu r ；③111()AB BB B C ++uu u r uuu r uuu u r 1111AB B C AC =+=uuu r uuu u r uuu r ；④11111()AA A B B C ++uuu r uuu u r uuu u r 1111AB B C AC =+=uuu r uuu u r uuu r ．【思路点拨】利用加法三角形法则和结合律．【答案】D ．10．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M ，N 分别为BC ，PD 的中点，若AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，AP c =uu u r r ，则MN =uuu r ________（用a r ，b r ，c r 表示）． 【知识点】空间几何体中向量的加减运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=MN MC CD DN ++=uuu r uu u r uuu r 1122BC BA DP ++uu u r uu r uu u r 11()22AD AB AP AD =-+-=uuu r uu u r uu u r uuu r 12AB AP -+uu u r uu u r 12a c =-+r r ． 【思路点拨】利用中点性质，将向量用已知向量表示． 【答案】12a c -+r r ． 自助餐1．下列说法正确的是（ ）A ．向量AB uu u r 与BA uu r 的长度相等B ．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则他们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等【知识点】空间向量的概念．【数学思想】转化思想． 【解题过程】向量AB uu u r 与BA uu r 的长度都是线段AB 的长度，A 正确；将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则他们的终点构成一个球面，B 错误；有向线段只是用来表示空间向量，两者并不相同，C 错误；不相等的两个空间向量的模可能相等，D 错误．【思路点拨】熟悉空间向量的概念．【答案】A ．2．在平行六面体1111D C B A ABCD -中，试用1,,AB AD AA uu u r uuu r uuu r 表示向量1BD uuu r ．【知识点】空间几何体中向量的加法和减法运算．【数学思想】数形结合思想【解题过程】1111()BD AD AB AB AD AA AB AD AA =-=-++=-++uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】利用平移使所有向量的起点都为A 点，从而可使用三角形法则．【答案】11BD AB AD AA =-++uuu r uu u r uuu r uuu r ．3．在长方体1111D C B A ABCD -中，设AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuu r r ，则||a b c ++r r r 与||a b c --r r r 的大小关系为（ ）A ．>B ． <C ．=D ．不能确定【知识点】向量的加减法，向量的模．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1||||a b c AC ++=r r r uuu r ，1||||a b c D B --=r r r uuu r ，由长方体的对角线长度相等，可得||a b c ++r r r =||a b c --r r r ．【思路点拨】画图，合理运算，由长方体的几何性质可得．【答案】C ． 4．已知长方体1111D C B A ABCD -，1AD AB A A +-=uuu r uu u r uuu r ________ ．【知识点】空间几何体中向量的加减法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】1AD AB A A +-=uuu r uu u r uuu r 1AD AB AA ++=uuu r uu u r uuu r 1AC uuu r ．【思路点拨】掌握加法的三角形法则．【答案】1AC uuu r ．5．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．【知识点】相等向量的应用．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由题意，可得EF 是ABC ∆的中位线，∴2EF AC =uu u r uuu r ，同理有2HG AC =uuu r uuu r ，∴EF HG =uu u r uuu r ，即HG EF //，故四边形EFGH 是平行四边形．【思路点拨】利用中位线的性质，得到两个向量相等．【答案】见解题过程．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，下列关于1AC uuu r 的表达式错误的是（ ）A ．11111AA AB A D ++uuu r uuu u r uuuu rB ．111AB DD DC ++uu u r uuur uuuu r C ．111AD CC D C ++uuu r uuu r uuuu r D ．111AB B C CC ++uu u r uuu u r uuu r【知识点】空间几何体中向量的加法运算．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】111AB DD D C ++uu u r uuur uuuu r 111()AB DD D C =++=uu u r uuur uuuu r 111AB DC AB AB AC +=+≠uu u r uuur uu u r uuu r uuu r ．【思路点拨】考虑加法结合律，结合图形得到答案．【答案】B ．。
[精品]新人教A版选修2-1高中数学3.1空间向量及其运算第5课时优质课教案
![[精品]新人教A版选修2-1高中数学3.1空间向量及其运算第5课时优质课教案](https://img.taocdn.com/s3/m/3e80967b312b3169a451a47e.png)
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。
现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】：空间向量的坐标运算【课前准备】：课件【教学过程设计】：12(,,b b b b =1(a b a +=1(a b a b -=-1(,a a a λλλ=（2）若一个向量在直角坐标系中的坐标等于表2||||b a b a =⋅+．模长公式：若(a a =223a a a a a =⋅=++．．平行与垂直：⋅⇔⊥b a b a 2(AB ==S（k,k,2k)∴SA SB ⋅－2k)(2－2k)．空间向量的直角坐标运算律 练习与测试： （基础题）1．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．180°2．已知(1,0,2),(6,21,2),a b λλμ=+=- //,a b λμ若则与的值分别为（ ） A ．21,51 B ．5，2 C ．21,51-- D ．-5，-2（中等题）3.已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=．∴AB 的中点坐标是)23,3,2(，)3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=AB ．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等， 则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x , 化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=共线。
数学选修2-1--3.1空间向量及其运算教案
数学选修2-1--3.1空间向量及其运算教案第三章 空间向量与立体几何 课标要求1、了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及坐标表示2、掌握空间向量的数量积及其坐标运算，会判断向量的共线（平行）与垂直3、能用向量方法证明线面位置关系的一些定理，能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题。
4、体会向量方法在研究几何问题中的作用。
§3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。
学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。
（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写）1、 在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；2、 平面向量的表示方法： 课标要求1、经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
层次：2.12、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
层次：1.1 1.1 1.33、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
层次：1.34、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
层次：1.3 1.2 学习目标1、类比平面向量掌握空间向量的线性运算及坐标运算 层次：1.2 1.32、掌握空间向量的数量积及坐标形式，并能运用它判断向量的共线与垂直 层次：1.3 1.2重点空间向量的线性运算及坐标运算 难点空间向量的数量积，并用其判断向量的共线与垂直 课时5课时 教具 背投、电脑①几何表示法：_________________________②字母表示法：_________________________（注意：向量手写体一定要带箭头）3、平面向量的模表示_________________，记作____________4、一些特殊的平面向量：①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性）②单位向量：______________________________（强调：都只限制了大小，不确定方向）③相等向量：____________________________④相反向量：____________________________5、平面向量的加法：6、平面向量的减法：7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb数乘结合律：λ（aμ）=a)(λμ[师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟）[师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
选修2-1第三章 空间向量与立体几何全章教案
§3.1 空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：练习1-3．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：GC BD AB ++；练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。
2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。
答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。
3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。
4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA +; （2）121AA CB AC ++; （3）AA --1解：（1）11CA BA CB =+ （2）AM AA CB AC =++121（3）11BA AA =--（中等题）5．如图，在长方体///B D CA OADB -中，3,4,2,OA i OB j OC k ===，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，试用向量,,表示和解：j i OE 423+=2423++=。
3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)
空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习 ：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一课时3.1.1空间向量及其加减与数乘运算教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练6. 练习：课本P 927. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题.第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．教学过程：一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）. ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.推论证明如下：∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a ．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-，∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a ． ①若在l 上取AB =a，则有OP OA t AB =+．(**) 又∵ A B O B O A =- ∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)t O A t O B =-+．② 当12t =时，1()2OP OA OB =+．③ 理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广． 4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA 、OB 表示OC 、OD .三、巩固练习： 作业：第三课时3.1.2空间向量的数乘运算（三）教学要求：了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题．教学重点：点在已知平面内的充要条件．教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用．教学过程：一、复习引入1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式．2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二、新课讲授1. 定义：如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a 平行于平面α，记作a //α．向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．3. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明．结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD ，AB 、AC 、AD 这三个向量就不是共面向量．4. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？5. 得出共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ．证明：必要性：由已知，两个向量a 、b 不共线．∵ 向量p 与向量a 、b 共面∴ 由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x ，y ，使得 p = x a+y b ．充分性：如图，∵ x a ，y b 分别与a 、b 共线， ∴ x a ，y b 都在a 、b 确定的平面内． 又∵ x a+y b 是以｜x a ｜、｜y b ｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a 、b 确定的平面内，∴ p = x a+y b 在a 、b 确定的平面内，即向量p 与向量a 、b 共面．说明：当p 、a 、b 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p 、a 、b 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．6. 共面向量定理的推论是：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使得MP xMA yMB =+，① 或对于空间任意一定点O ，有 O P O M x M A y M =++．② 分析：⑴推论中的x 、y 是唯一的一对有序实数； ⑵由OP OM xMA yMB =++得：()()OP OM x OA OM y OB OM =+-+-， ∴(1)OP x y OM xOA yOB =--++ ③ 公式①②③都是P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件．7. 例题：课本P 95例1 ，解略． → 小结：向量方法证明四点共面三、巩固练习1. 练习：课本P 96 练习3题.2. 作业：课本P 96 练习2题.第四课时3.1.3空间向量的数量积运算教学要求：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．教学过程：一、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.二、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a ＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞.说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a = ⑷cos ＜a ,b ＞＝a b a b⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜. 4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律： ⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 25. 教学例题：课本P 98例2、例3（略）三、巩固练习作业：课本P 101 例4第五课时3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．教学难点：理解空间向量基本定理．教学过程：一、新课引入1. 回顾：平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，2. 复习：平面向量基本定理.二、讲授新课1. 类比：由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a ，均可分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+. 如果12a a ⊥时，这种分解就是平面向量的正交分解. 如果取12,a a 为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量,i j ，则存在一对实数x 、y ，使得a xi y j =+，即得到平面向量的坐标表示(,)a x y =.推广到空间向量，结论会如何呢？(1)空间向量的正交分解：对空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ、22a λ、33a λ，使112233a a a a λλλ=++. 如果123,,a a a 两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把{,,}a b c 叫做空间的一个基底（base ），,,a b c 都叫做基向量. 2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．选取空间一点O 和一个单位正交基底｛i ,j ,k ｝，以点O 为原点，分别以i ,j ,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴，得到空间直角坐标系O -xyz ，3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a ，且设i 、j 、k 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使a ＝1a i ＋2a j ＋3a k ．空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝OB －OA ＝222(,,)x y z －111(,,)x y z ＝212121(,,)x x y y z z ---．4. 向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++证明方法：与平面向量一样，将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可．5. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a //b ⇔a ＝λb ⇔112233,,a b a b a b λλλ===，()R λ∈⇔312123a a ab b b ==； ⑵a ⊥b ⇔a ·b =0⇔1122330a b a b a b ++=．6. 练习：已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b ．解：略．7. 出示例：课本P 101 例4 . （解略）三、巩固练习 作业：课本P 102 练习2、3题 .第六课时3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式） 教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用．教学过程：一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可）2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）二、新课讲授⒈ 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，求这两个向量的模.｜a，｜b向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．2. 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞∴ 1122a b a b a++cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向；当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B xy z ，则A B d 、A B d 、表示A 与B 两点间的距离．3. 练习：已知A (3,3,1)、B (1，0，5)，求：⑴线段AB 的中点坐标和长度；⑵到A 、B 两点距离相等的点(,,)P x y z 的坐标x 、y 、z 满足的条件． （答案：(2,32,3)46870x y z +-+=） 说明：⑴中点坐标公式：1()2OM OA OB =+＝121212(,,)222x x y y z z +++； ⑵中点p 的轨迹是线段AB 的垂直平分平面．在空间中，关于x 、y 、z 的三元一次方程的图形是平面．4. 出示例5：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111114A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．分析：如何建系？→ 点的坐标？ → 如何用向量运算求夹角？ → 变式：课本P 104、例65. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．三.巩固练习作业：课本P 105练习 3题.。