第二章圆锥曲线与方程全章课件

2.1.2 求曲线的方程
1.坐标法和解析几何研究的主要问题 (1)坐标法:借助于_坐__标__系__,通过研究方程的性质间接地来研 究曲线性质的方法. (2)解析几何研究的主要问题: ①曲线研究方程:根据已知条件,求出_表__示__曲__线__的__方__程__. ②方程研究曲线:通过曲线的方程,研究_曲__线__的__性__质__.
【要点探究】 知识点 坐标法与曲线方程的求解 1.平面直角坐标系的选取方法 (1)若条件中只出现一个定点,常以定点为原点建立直角坐标系. (2)若已知两定点,常以两定点的中点为原点,两定点所在的直 线为x轴建立直角坐标系.
(3)若已知两条互相垂直的直线,则以它们为坐标轴建立直角坐 标系. (4)若已知一定点和一定直线,常以点到直线的垂线段的中点为 原点,以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系.
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
曲线的方程和方程的曲线的概念
前提
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
①曲线上点的坐标都是_这__个__方__程__的__解__; 条件 ②以这个方程的解为坐标的点都是_曲__线__上__的__点__
【知识拓展】两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系
曲线C1,C2的方程分别为f(x,y)=0和g(x,y)=0.
(1)若P(x0,y0)为C1,C2交点,则
fg((xx00，，yy00
) )
0， 0.
(2)交点的个数与 fg((xx，，yy的)) 解00，的组数相同. 特别地,C1与C2没有公共点⇔ fg((xx，，yy))没有00，解.
(3)定义的实质是平面曲线上的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0 的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间是一一对应关系.因此平面曲线 可以理解为平面内符合某种条件的点的集合. (4)从集合角度看:若设曲线C上的点的坐标组成集合A,以方程 f(x,y)=0的实数解为坐标的点组成集合B,则A⊆B且B⊆A,所以 A=B.
【即时练】
在Rt△ABC中,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.
【解析】如图,以AB所在直线为x轴,以线段
AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则
A(-a,0),B(a,0).
设C(x,y)是平面内的任意一点,连接CO,则由
直角三角形的性质知:|OC|= 1 |AB|=1 ×2a=a.
这个方程就叫做曲线的方程;这条曲线就叫做方程 结论
的曲线
【要点探究】 知识点 曲线的方程和方程的曲线 对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明 (1)定义中的条件①说明曲线上没有点的坐标不是方程的解,即 曲线上每个点的坐标都符合这个条件. (2)定义中的条件②说明符合条件的所有解构成的点都应在曲 线上.
2.求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对_(_x_,_y_)_表示曲线上任意 一点M的坐标. (2)写出适合条件p的点M的集合P=_{_M_|_p_(_M_)_}_. (3)用坐标表示条件p(M),列出方程_f_(_x_,_y_)_=_0_. (4)化方程f(x,y)=0为最简形式. (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_曲__线__上__.
【知识拓展】轨迹方程与轨迹的辨析
【微思考】 (1)曲线(或轨迹)是轴对称图形或中心对称图形,如何选取坐标 系? 提示:若曲线(或轨迹)为轴对称图形,通常以对称轴为坐标轴(x轴 或y轴);若曲线(或轨迹)是中心对称图形,通常以对称中心为原点.
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(2)求解曲线方程时一定要按各步骤操作吗? 提示:不一定,若有坐标系,第一步可省略,第二步虽重要,但只要 能把条件转化为方程即可,故也可省略.若化简前后方程的解集 相同,步骤(5)也可省略,如有特殊情况可以适当说明. (3)求得曲线方程后,如何避免出现“增解”或“漏解”? 提示:可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程的曲线两个 方面进行检验.
【方法技巧】 1.方程表示的曲线的判断步骤
2.判断方程表示曲线的注意事项 方程变形前后要等价,否则变形后的方程表示的曲线不是原方程 代表的曲线.另外,当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思 想.
【方法技巧】求曲线交点的三个步骤
【防范措施】 合理进行转化
将方程变形时,前后应保持等价,否则,变形后的方程表示的 曲线不是原方程代表的曲线.另外当方程中含有根式时,要注意 根式必须有意义.如本例含有根式,在化简时就容易忽视根式必 须有意义而导致错误.
(3)在第三步化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量 避免“失解”或“增解”. (4)第四步的说明可以省略不写,若有特殊情况,可以适当说明, 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通过限定方 程中x(或y)的取值予以剔除.
3.对求曲线方程的三点说明 (1)求曲线方程时,坐标系建立的不同,同一曲线方程也不相同. (2)一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y), 而不设成其他字母. (3)求轨迹方程与求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即可, 而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.
2.求曲线方程时应注意的四个问题 (1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先选取适当的 坐标系,通常选取特殊位置为原点,相互垂直的直线为坐标轴. (2)第二步要仔细分析曲线的特征,注意揭示其隐含的条件,抓 住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出等式,此步骤有时 也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标表示.
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因而点C的轨迹是以坐标原点为圆心,以a为半径的圆(除去与x
轴的交点),其轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
【题型示范】
类型一 直接法求曲线的方程
【典例1】
(1)(2014·南昌高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足
PM PN =0,则点P的轨迹方程为
.
(2)一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,