第二章圆锥曲线与方程全章课件
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高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件 a选修21a高二选修21数学课件
解：设 M(x，y)，则 kMA＝x＋y 1，kMB＝x－y 1(x≠±1)， ∴x＋y 1×x－y 1＝－2， ∴x2＋y22＝1(x≠±1)． 故动点 M 的轨迹方程为 x2＋y22＝1(x≠±1)．
12/12/2021
第二十五页，共三十九页。
设动点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动，M(3,0)，求 PM 的中点 Q 的轨迹方程．
12/12/2021
第四页，共三十九页。
‖知识梳理‖ 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都 是 __这__个__(z_h_è_ge_)方__程__的_解____ ； (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 ______都__是__曲__线__(q_ūx_ià_n_)上__的__点__．那么这个方程叫做曲线的方程， 这种曲线叫做方程的曲线．
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
12/12/2021
第一页，共三十九页。
2．1 曲线 与方程 (qūxiàn)
12/12/2021
第二页，共三十九页。
12/12/2021
自主(zìzhǔ)学习导航
梳理知识(zhī shi) 夯实基础
第三页，共三十九页。
目标导学
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
12/12/2021
第二十三页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 直接根据动点所满足的条件，把几何关系用 x，y 表示，从 而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程 时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式 即可．
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第二十五页，共三十九页。
设动点 P 在圆 x2＋y2＝1 上移动，M(3,0)，求 PM 的中点 Q 的轨迹方程．
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第四页，共三十九页。
‖知识梳理‖ 1．在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都 是 __这__个__(z_h_è_ge_)方__程__的_解____ ； (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 ______都__是__曲__线__(q_ūx_ià_n_)上__的__点__．那么这个方程叫做曲线的方程， 这种曲线叫做方程的曲线．
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
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2．1 曲线 与方程 (qūxiàn)
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目标导学
1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．理解曲线的方程和方程的曲线的意义．
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第二十三页，共三十九页。
[名 师 点 拨] 直接根据动点所满足的条件，把几何关系用 x，y 表示，从 而得到动点的轨迹方程，这种方法叫做直接法．在求曲线方程 时，若没有坐标系，首先要建系．若有，只需设点代入关系式 即可．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程本章归纳整合课件 新人教A版选修21
(3)求轨迹方程的几种常用方法： ①直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几 何条件直接寻求x，y之间的关系式． ②代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动 点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所 求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足 的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系 式．
已知椭圆上的两点 P(3,4)，Q
5，43
10.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的两焦点为 F1，F2，M 为椭圆上一点，且∠
F1MF2＝90°，求△F1MF2 的面积． 思维点击： (1)用待定系数法求椭圆方程．(2MF2 的面积．
(1)设椭圆方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，
另外，在求双曲线的标准方程的过程中，根据不同的已 知条件采取相应方法设方程，常常可以简化解题过程，避免 出错．如与已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲 线方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲 线，其方程可设为 x2－y2＝λ(λ≠0)．
(2)抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再 由条件求出参数 p 的大小．当焦点位置不确定时，要分情况 讨论，也可将焦点在 x 轴或 y 轴上的抛物线方程设为一般形 式 y2＝2px(p≠0)或 x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数 p 的值．
知能整合提升
1．归纳三种圆锥曲线定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
平面内与两个定 平面内与两个定点 平面内与一个定
定义
点 F1，F2 的距离 F1，F2 的距离的差的 点 F 和一条定直
高中数学课件-圆锥曲线与方程2
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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方法二：设所求双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 将点 M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
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程． 题．
1．理解双曲线的定义、几何图形和原则方程的推导过
2．掌握双曲线的原则方程． 3．会运用双曲线的定义和原则方程解决简朴的应用问
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰构成第四批护航编 队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双 曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与数Ⅱ 异号，因此双曲线的方程又可写为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)，这种形 式是焦点所在的坐标轴不易判断时的统一写法．
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
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(2)由已知得 c＝6，且焦点在 y 轴上，因为点 A(－5,6)在双 曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2a，即 2a＝| －5－02＋6＋62－ －5－02＋6－62|
高中数学第二章圆锥曲线与方程本章整合课件新人教A版选修2_1
������ 离心率:������ = (0 < ������ < 1) ������
定义:||������������1 |-|������������2 || = 2������ < |������1 ������2 | = 2������
������2 ������2 焦点在������轴上: 2 - 2 = 1(������,������ > 0) ������ ������ 标准方程 ������2 ������2 焦点在������轴上: 2 - 2 = 1(������,������ > 0) ������ ������
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面 几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、 线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数 的方法,还要多结合圆锥曲线的定义、根与系数的关系以及“点差 法”等.这些问题也是以往高考的重点和热点,高考中,大多以解答题 的形式出现而且难度较大.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1已知直线y=(a+1)x-1与y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值. 提示:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,应转化为直线方 程与曲线方程恰有一个公共解,同时注意分类讨论思想的运用.
解:联立方程,得
������ = 1, 当 a=0 时,此方程组恰有一组解为 ������ = 0. ������+1 当 a≠0 时,得 ������2 − ������ − 1 = 0.
如消去y后,得ax2+bx+c=0. (1)若a=0,当圆锥曲线M是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行; 当圆锥曲线M是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). (2)若a≠0,设Δ=b2-4ac. 当Δ>0时,直线和圆锥曲线M相交于不同的两点; 当Δ=0时,直线和圆锥曲线M相切于一点; 当Δ<0时,直线和圆锥曲线M没有公共点.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.1
• 当焦点在x轴上时，方程中的一次项就是x的
一次项，且符号指导了抛物线的开口方向，为 正时开口向右，为负时开口向左；当焦点在y轴 上时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号
指导了抛物线的开口方向，为正时开口向上， 为负时开口向下．
1．抛物线 x2＝ay 的准线方程是 y＝2，则实数 a 的值为( )
解析： (1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其焦点为 p2，0，根据题意有p2＝3，故 p＝6，
因此，标准方程为 y2＝12x. (2)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其准线方程为 x＝ －52，由题意有－p2＝－52，故 p＝5， 因此，标准方程为 y2＝10x.
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线方程．需注意p>0，焦点所在轴由标准方程
一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数
为负，焦点在负半轴．
• 1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其 焦点和准线方程． • (1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.
解析： (1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右．则焦点坐标是
32，0，准线方程为 x＝－32.
5分
所以，抛物线方程为 x2＝－ay.
6分
将点 E(0.8，y)代入抛物线方程，得 y＝－0.a64. 所以，点 E 到拱底 AB 的距离为a4－|y|＝a4－0.a64>3. 9 分 解得 a>12.21，∵a 取整数，∴a 的最小值为 13. 12 分
•
(1)本题是与抛物线有关的应用题，
解题时，可画出示意图帮助解题，找相关点的
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4， ∴p＝8，此时抛物线方程 y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|， ∴p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y. 故所求的抛物线的方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
《课标高中数学第二章圆锥曲线与方程归纳整合新人教A版选修》PPT课件
法三 ∵l1⊥l2，OA⊥OB. ∴O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M，∴|MP|＝|MO|. ∴点M的轨迹为线段OP的中垂线． ∵kOP＝42－ －00＝2， OP的中点坐标为(1，2)． ∴点M的轨迹方程是y－2＝－12(x－1)， 即x＋2y－5＝0.
专题二 圆锥曲线定义的应用 圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对于 圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一种重要的解题策略． 研究有关点点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点 到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的 点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再从几何图形利 用几何意义去解决有关的最值问题．
(5)交轨法：有些情况下，所求的曲线是由两条动直线的交点 P(x，y)所形成的，既然是动直线，那么这两条直线的方程就 必然含有变动的参数，通过解两直线方程所组成的方程组，就 能将交点P(x，y)的坐标用这些参数表达出来，也就求出了动 点P(x，y)所形成的曲线的参数方程，消掉参数就得到了动点 P(x，y)所形成的曲线的普通方程．
专题三 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与圆锥曲 线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中 变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次 方程的判别式Δ，则有：Δ>0⇔直线与曲线有两个交点；Δ＝0⇔直 线与曲线有一个交点；Δ<0⇔直线与曲线无交点． 而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与 对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上， 该方程是一次的．
【例3】 若点M(2，1)，点C是1x62 ＋y72＝1 椭圆的右焦点，点A是椭圆上的动点，则 |AM|＋|AC|的最小值是________． 解析 点M(2，1)在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a， 所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26， 所以(|AM|＋|AC|)最小＝8－ 26. 答案 8－ 26
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修
梳理
(1)两种形式的标准方程
焦点所在的坐标 轴
标准方程
x轴
y轴
ax22－by22＝1(a>0，b>0) ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
__________________ __________________
图形 焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) _______________a_2＋__b2_＝__c_2______________
当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线定义，
P点的轨迹是双曲线.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆 C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≤__－__1_) _.
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的 类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 x轴 上；若y2 项的系数为正，那么焦点在 y轴 上. (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0). (4)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线 的定形条件，这里的b2＝ c2－a2 与椭圆中的b2＝ a2－c2 相区别.
答案 解析
反思与感悟
双曲线定义的两种应用 (1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个 条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为 其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大 于零，否则就不是双曲线.
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小， 同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为 ①寻求动点M 与定点F1，F2 之间的关系. ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|－|MF2||＝2a(常数，a>0). ③判断：若2a<2c＝|F1F2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且 2c＝|F1F2|，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c. ④根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.思考1
圆锥曲线与方程课件PPT
d＝
|16－8| 32＋－22＝
813＝81313，切点为 P32，－74.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－
d＝
|16－8| 32＋－22＝
813＝81313，切点为 P32，－74.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－
y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
联立方程xx－2＋y8＋y2a＝＝80，， 得 9y2－2ay＋a2－8＝0，
自主学习
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立yax＝22＋kbyx2＋ 2＝m1，. 消去y得到一个关于x的一元二次方程.
位置关系 相交 相切 相离
解的个数 _两__解 _一__解 _无__解
Δ的取值 Δ_>_0 Δ＝__0 Δ_<_0
① ②
则①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∴8(x1－x2)＋16(y1－y2)＝0，∴k＝xy11－－xy22＝－12， ∴以点 A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为
y－2＝－12(x－4)，
整理得，x＋2y－8＝0.
解析答案
12345
5.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，满足M→F1·M→F2＝0 的点 M 总在椭圆内部， 则椭圆离心率的取值范围是_0_<_e_<__22__. 解析 设点 M(x，y)，∵M→F1·M→F2＝0，
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质课件4新人教B版选修2_1
抛物线的几何性质
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
l
定点F叫做抛物线的焦点。
N
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即:
若︳︳MMNF
︳ ︳ 1,
则点M的轨迹是抛物线。
二、抛物线的标准方程
{ 焦点在x 轴上 y2 mx(m 0)
y2 = 2px（p＞0） y2 = -2px（p＞0）
A4
B -2
C 4或-4
D 12或-2
2、设A为抛物线y2 = 4x上一点，点B(1,0)且 AB 1，则A横 坐标值为（B）
A -2
B0
C -2或0
D -2或2
3、已知F是抛物线y2 = x的焦点，A、B是该抛物线上的两 点，AF BF 3，则AB中点到y轴距离为（C）
3
5
7
A4
B1
C4
D4
2
抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
. .
y
F
o
x
y F ox
y
F
x o
y
o
x
F
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛物线的顶 点就是坐标原点（0，0）。
y P(x,y)
o F( p ,0) x
2
4、离心率
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
l
定点F叫做抛物线的焦点。
N
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即:
若︳︳MMNF
︳ ︳ 1,
则点M的轨迹是抛物线。
二、抛物线的标准方程
{ 焦点在x 轴上 y2 mx(m 0)
y2 = 2px（p＞0） y2 = -2px（p＞0）
A4
B -2
C 4或-4
D 12或-2
2、设A为抛物线y2 = 4x上一点，点B(1,0)且 AB 1，则A横 坐标值为（B）
A -2
B0
C -2或0
D -2或2
3、已知F是抛物线y2 = x的焦点，A、B是该抛物线上的两 点，AF BF 3，则AB中点到y轴距离为（C）
3
5
7
A4
B1
C4
D4
2
抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率
y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
. .
y
F
o
x
y F ox
y
F
x o
y
o
x
F
F( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛物线的顶 点就是坐标原点（0，0）。
y P(x,y)
o F( p ,0) x
2
4、离心率
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件
(1)曲线上_点__的__坐__标__都是这个方程的解 (2)以这个方程的_解_为_坐__标__的__点_都是曲线上的点
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线
正确理解曲线与方程的概念 (1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完 备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例 外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适 合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．
x－1≥0， x＋y－1＝0
或x－1≥0， x－1＝0，
即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1，
故方程表示直线 x＝1 或射线 x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)由(x－2)2＋ y2－4＝0 可得
x－2＝0， y2－4＝0，
即yx＝＝22，
或xy＝ ＝－2，2，
答案： (x－1)2＋y2＝1
4．到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为 什么？
解析： 显然不对(只具备条件(2)，而不具备条件(1))．这 是因为，到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线：l1：x－ y＝0和l2：x＋y＝0，直线l1上的点的坐标都是方程x－y＝0的 解，但直线l2上的点(除原点外)的坐标不是方程x－y＝0的解， 方程x－y＝0只是直线l1的方程，它不是所求轨迹的方程.
第 二 章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
自主学习 新知突破
1．结合实例，了解曲线与方程的对应关系． 2．了解求曲线方程的步骤． 3．会求简单曲线的方程．
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方 程中．
[问题1] 直线y＝－x上任一点M到两坐标轴的距离相等 吗？
[提示1] 相等．
[问题2] [提示2] [问题3] [提示3]
圆锥曲线与方程 课件 (共59张PPT)
（2） 、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析： 如图， 设点 M 的坐标为(x， y)， 由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且 ＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断 曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q， 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 一点， 则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究 探究2： 直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、 （1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析 联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为 焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 9 5
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2.求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对_(_x_,_y_)_表示曲线上任意 一点M的坐标. (2)写出适合条件p的点M的集合P=_{_M_|_p_(_M_)_}_. (3)用坐标表示条件p(M),列出方程_f_(_x_,_y_)_=_0_. (4)化方程f(x,y)=0为最简形式. (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在_曲__线__上__.
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程
曲线的方程和方程的曲线的概念
前提
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
①曲线上点的坐标都是_这__个__方__程__的__解__; 条件 ②以这个方程的解为坐标的点都是_曲__线__上__的_的判断步骤
2.判断方程表示曲线的注意事项 方程变形前后要等价,否则变形后的方程表示的曲线不是原方程 代表的曲线.另外,当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思 想.
【方法技巧】求曲线交点的三个步骤
【防范措施】 合理进行转化
将方程变形时,前后应保持等价,否则,变形后的方程表示的 曲线不是原方程代表的曲线.另外当方程中含有根式时,要注意 根式必须有意义.如本例含有根式,在化简时就容易忽视根式必 须有意义而导致错误.
2.1.2 求曲线的方程
1.坐标法和解析几何研究的主要问题 (1)坐标法:借助于_坐__标__系__,通过研究方程的性质间接地来研 究曲线性质的方法. (2)解析几何研究的主要问题: ①曲线研究方程:根据已知条件,求出_表__示__曲__线__的__方__程__. ②方程研究曲线:通过曲线的方程,研究_曲__线__的__性__质__.
2.求曲线方程时应注意的四个问题 (1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先选取适当的 坐标系,通常选取特殊位置为原点,相互垂直的直线为坐标轴. (2)第二步要仔细分析曲线的特征,注意揭示其隐含的条件,抓 住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出等式,此步骤有时 也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标表示.
【即时练】
在Rt△ABC中,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.
【解析】如图,以AB所在直线为x轴,以线段
AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则
A(-a,0),B(a,0).
设C(x,y)是平面内的任意一点,连接CO,则由
直角三角形的性质知:|OC|= 1 |AB|=1 ×2a=a.
这个方程就叫做曲线的方程;这条曲线就叫做方程 结论
的曲线
【要点探究】 知识点 曲线的方程和方程的曲线 对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明 (1)定义中的条件①说明曲线上没有点的坐标不是方程的解,即 曲线上每个点的坐标都符合这个条件. (2)定义中的条件②说明符合条件的所有解构成的点都应在曲 线上.
【知识拓展】轨迹方程与轨迹的辨析
【微思考】 (1)曲线(或轨迹)是轴对称图形或中心对称图形,如何选取坐标 系? 提示:若曲线(或轨迹)为轴对称图形,通常以对称轴为坐标轴(x轴 或y轴);若曲线(或轨迹)是中心对称图形,通常以对称中心为原点.
(2)求解曲线方程时一定要按各步骤操作吗? 提示:不一定,若有坐标系,第一步可省略,第二步虽重要,但只要 能把条件转化为方程即可,故也可省略.若化简前后方程的解集 相同,步骤(5)也可省略,如有特殊情况可以适当说明. (3)求得曲线方程后,如何避免出现“增解”或“漏解”? 提示:可根据曲线与方程的定义从曲线的方程与方程的曲线两个 方面进行检验.
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因而点C的轨迹是以坐标原点为圆心,以a为半径的圆(除去与x
轴的交点),其轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).
【题型示范】
类型一 直接法求曲线的方程
【典例1】
(1)(2014·南昌高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足
PM PN =0,则点P的轨迹方程为
.
(2)一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,
(3)定义的实质是平面曲线上的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0 的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间是一一对应关系.因此平面曲线 可以理解为平面内符合某种条件的点的集合. (4)从集合角度看:若设曲线C上的点的坐标组成集合A,以方程 f(x,y)=0的实数解为坐标的点组成集合B,则A⊆B且B⊆A,所以 A=B.
【知识拓展】两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系
曲线C1,C2的方程分别为f(x,y)=0和g(x,y)=0.
(1)若P(x0,y0)为C1,C2交点,则
fg((xx00，，yy00
) )
0， 0.
(2)交点的个数与 fg((xx，，yy的)) 解00，的组数相同. 特别地,C1与C2没有公共点⇔ fg((xx，，yy))没有00，解.
【要点探究】 知识点 坐标法与曲线方程的求解 1.平面直角坐标系的选取方法 (1)若条件中只出现一个定点,常以定点为原点建立直角坐标系. (2)若已知两定点,常以两定点的中点为原点,两定点所在的直 线为x轴建立直角坐标系.
(3)若已知两条互相垂直的直线,则以它们为坐标轴建立直角坐 标系. (4)若已知一定点和一定直线,常以点到直线的垂线段的中点为 原点,以点到直线的垂线的反向延长线为x轴建立直角坐标系.
(3)在第三步化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量 避免“失解”或“增解”. (4)第四步的说明可以省略不写,若有特殊情况,可以适当说明, 如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通过限定方 程中x(或y)的取值予以剔除.
3.对求曲线方程的三点说明 (1)求曲线方程时,坐标系建立的不同,同一曲线方程也不相同. (2)一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y), 而不设成其他字母. (3)求轨迹方程与求轨迹是有区别的,求轨迹方程得出方程即可, 而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形.