苏教版数学高一-【金识源】 必修2教案 1.3.2空间几何体的体积
高中数学第一章立体几何初步1.3.2空间几何体的体积学案苏教版必修2
3 OD＝ 6 ×30＝5 3(cm) ，
6/9
所以棱台的高 h＝ O′O＝ D′D2－ OD－O′D′ 2
13 3
10 3
＝
3 2－ 5 3－ 3 2
＝ 4 3(cm) ． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为
h V＝ ( S上 ＋ S下＋ S上× S下 )
3
＝
4
3
3
×（
3 4×
20
2＋
3 4×
30
1. 柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系
S′＝ S
1
S′＝ 0
1
V 柱体 ＝Sh
V
台体
＝
h( 3
S＋
SS′ ＋ S′）――→ V 锥体 ＝3Sh.
3V 2. 在三棱锥 A－ BCD中，若求点 A 到平面 BCD的距离 h，可以先求 VA－ ， BCD h＝ S△BCD. 这种
方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中
5. 如图 (1) 所示，一只装了水的密封瓶子可以看成是由底面半径为
1 cm 和底面半径为 3 cm
的两个圆柱组成的简单几何体 . 当这个几何体如图 (2) 水平放置时，液面高度为 20 cm ，当
这个几何体如图 (3) 水平放置时，液面高度为
28 cm ，则这个简单几何体的总高度为
________ cm.
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作
2 正方体的对角面有 r 2＝ 2 a，如图 ②．
(3) 长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体
对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为
a， b， c，则过球心作长方体的对
苏教版必修二1.3《空间几何体的表面积和体积》word教案
1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积一、 教学目标1、 知识与技能（1） 通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2） 能运用公式求柱 体、锥体和台体的全面积和体积，并且熟悉柱体、锥体与台体 之间的转换关系。
（3） 培养学生空间想象能力和思维能力。
2、 过程与方法（1） 让学生经历几何全的侧面展开过程，体验用平面的知识来研究空间几何体的性 质的方法。
（2） 让学生学会用比较方法，思考柱体、锥体、台体的面积和体积公式之间的关系3、 情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的应用价值，增强学习的积极性 二、 教学重点、难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体侧面积公式和体积公式的推导 三、 教学方法与教学用具1、 教学方法： 启发式，探究.2、 教学用具：实物几何体，投影仪四、 教学设想（一） 创设情境、导入新课（1） 教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的 求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？借助媒体投影，引导学生回忆，互相交流，教师归类（2） 教师设疑：几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体，锥体，台体 的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入新课（二） 师生互动、探究新知1. 探究棱柱、棱锥、棱台的表面积公式或求法（1） 利用多媒体设备向学生投放长方体、椎体、台体的侧面展开图，引导学生得出 棱柱、棱锥、棱台的表面积的一般求法（2） 组织学生分组讨论：这三类空间几何体的表面由哪些平面图形构成？表面积如 何求？（3） 教师对学生讨论归纳的结果进行点评 .2. 探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式或求法（1）教师引导学生探究圆柱、 圆锥、圆台的侧面展开图的结构， 并归纳出其表面积的计算公式：S圆柱表面积=2~（r' 1）（其中l 为母线长，r 为底面半径）2 2S 圆台表面积」（r' r r'l rl ）気锥表面积K （ r 2 rl ）（其中1为母线长, r 为底面半径）（其中r1为上底半径r 为下底半径|为母线长）（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系3.探究柱体、锥体、台体的体积1）.引导同学阅读材料，了解转化原理，知道任意一个柱体（棱柱、圆柱）都可以转化为一个等高等底的体积的长方体，知道柱体体积公式的由来•2）.教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解3）教师指导学生思考，一个台体体积可以看成由一个大锥体的体积减去一个小锥体的体积•4）引导学生比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系（s ' ,s分别为上下底面面积，h为台柱高）（三）概念辨析，巩固提高例1.已知棱长为a,底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD求它的表面积•例2. 一个圆台形花盆盆口直径为20cm,盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm, 盆壁长15cm,为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100 个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升）？例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg （铁的密度是7.8g/cm3 ）,已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm内孔直径为10mm高为10mm问这堆螺帽大约有多少个？（四）课堂小结本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式.用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握（五）布置作业P27练习1,2 P28-30 习题1.3 A 组1 , 2, 3, 4, 5, 6.§ 1.3.2球的体积和表面积一.教学目标1.知识与技能（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题（2）理解球面距离的概念.2.过程与方法经历用公式求球的体积和表面积及球面距离的过程3.情感与价值观通过学习，使同学感受球的体积和面积公式的使用价值，增强了我们探索问题和解决问题的信心.二.教学重点、难点重点：会用球的体积公式和表面积公式解决实际问题难点：球面距离的概念及其求法•三.教学方法和教学用具1.教学方法：讲练结合2.教学用具：实物、多媒体投影仪四.教学设计（一）创设情景，导入新课错误！未找到引用源。
苏教版数学高一-高中苏教版数学必修2学案 1. 3.2 空间几何体的体积
1．3.2 空间几何体的体积空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一，在生活中有着重要应用的不仅是度量几何体的表面积还有度量体积．如下图，在一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？1．几何体的体积是几何体占有空间部分的大小，其主要性质有：①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等．2．①棱柱的体积公式：V 棱柱＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体的高)； ②棱锥的体积公式：V 棱锥＝13Sh (S 为底面面积，h 为棱锥的高)；③棱台的体积公式：V 棱台＝13(S ′＋SS ′＋S )h (S ′、S 为两底面面积，h 为棱台的高)．3．①圆柱的体积公式：V 圆柱＝Sh ＝πR 2h (R 为底面圆的半径，h 为圆柱的高)；②圆锥的体积公式：V 圆锥＝13Sh ＝13πR 2h (R 为底面圆的半径，h 为圆锥的高)；③圆台的体积公式：V 圆台＝13(S ′＋SS ′＋S )h ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h (r 、R 为两底面圆半径，h 为圆台的高)．4．球的体积公式：V 球＝43πR 3(R 为球半径)，表面积公式为：S 球＝4πR 2．棱体、锥体、台体和球的体积公式 ①柱体的体积公式：V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体的高)； ②锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为锥体的高)；③台体的体积公式：V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 为两底面面积，h 为台体的高)；④球体的体积公式：V 球＝43πR 3(R 为球半径)．祖暅原理——“幂势既同，则积不容异”是推出以上公式的基础，由此我们不难概括出多面体和旋转体的体积性质：①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等．等积转化是今后求相关几何体的体积的重要策略．对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化关系上加强记忆：对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象地记忆为13(4πR2)·R，其中4πR2为球的表面积．基础巩固知识点一棱柱、棱锥和棱台的体积1．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(B)A．72 cm3 B．90 cm3C ．108 cm3D ．138 cm3解析：先根据三视图画出几何体，再利用体积公式求解．该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示． V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．2．已知高为3的直棱柱ABCA 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B 1ABC 的体积为________．解析：∵S △ABC ＝34×12＝34，B 1到底面ABC 的距离即为三棱锥的高等于3，∴VB 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×34×3＝34.答案：343．已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：由三视图知几何体为四棱锥，底面为边长等于20 cm 的正方形，高为20 cm.故V ＝13×202×20＝8 0003(cm3)．答案：8 0003 cm3知识点二 圆柱、圆锥和圆台的体积4．圆台OO ′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积为________．解析：由圆台的体积公式得：V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝14π.答案：14π5．圆锥的母线长为l ，高为12l ，则过圆锥顶点的最大截面面积为________．解析：易得圆锥底面半径为32l ，故轴截面的顶角为23π，从而过圆锥顶点的最大截面是顶角为π2的等腰直角三角形．答案：12l26．(2014·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.解析：根据三视图还原出几何体，利用圆柱和圆锥的体积公式求解．根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为4 m的圆柱．故该几何体的体积V＝13π×22×2＋π×12×4＝203π(m3)．答案：203π知识点三球的表面积和体积7．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是________．解析：设两球半径分别为r1、r2，则⎩⎪⎨⎪⎧43πr13＋43πr23＝12π，2π（r1＋r2）＝6π.∴r1＝1，r2＝2.故r2－r1＝1.答案：18．把半径分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为________．解析：由体积公式得43πR 3＝43π×33＋43π×43＋43π×53，R ＝6 cm. 答案：6 cm9．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积和体积．解析：如右图，设球的半径为R ，则O ′O ＝12R ，由AB ＝BC ＝CA ＝2，得小圆半径r ＝23×32×2＝233，则32R ＝233，R ＝43，故S 球＝4πR 2＝649π，V 球＝43πR 3＝25681π.∴球的表面积为649π，体积为25681π.能力升级综合点一 多面体体积的综合应用10．在三棱锥ABCD中，P、Q分别在棱AC、BD上，连接AQ、CQ、BP、PQ，若三棱锥ABPQ、BCPQ、CDPQ的体积分别为6、2、8，则三棱锥ABCD的体积为________．解析：如右图，VA－BPQVB－CPQ＝62，VB－APQVB－CPQ＝S△APQS△CPQ＝62，类似地VA－DPQVCDPQ＝VDAPQVDCPQ＝S△APQS△CPQ＝62.其中VCDPQ＝8.∴VA－DPQ8＝62.∴VA－DPQ＝24.∴VA－BDC＝6＋2＋8＋24＝40.答案：4011．如下图，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于对棱AB的平面A1B1EF，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为________．解析：设棱台的高为h ，上底面积为S ，则下底面积为4S . ∴V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh .∴V 柱A 1B 1C 1FECV 台－V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh73Sh －Sh ＝34. 答案：34或43综合点二 旋转体体积的综合应用12．把一个圆分为两个扇形，一个顶角为120°，另一个顶角为240°，把它们卷成两个圆锥，则两个圆锥的体积之比为________．解析：设圆的半径为R ，则第一个圆锥底面周长为C 1＝2πR 3，∴r 1＝R 3.同理，C 2＝4πR 3，∴r 2＝2R 3.又母线为R ，∴h 1＝223R ，h 2＝53R .∴V 1＝13πr 12h 1＝2281πR 3，V 2＝13πr 22h 2＝4581πR 3.故V 1V 2＝1 10. 答案：1 1013．如右下图，在等腰三角形ABC 中，E 、F 分别为两腰AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 分别为垂足，若将三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，求其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值．解析：由题意画出图形，如图，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则圆柱的高为h 2，底面半径为r2.所以V －V 柱V ＝1－V 柱V ＝1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·h 213πr 2h ＝1－38＝58.综合点三 实际制作中的圆锥体积14．如下图，在边长为23的正方形中，剪下了一个扇形和一个圆，以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．打印版高中数学解析：设扇形半径为x ，圆的半径为r ，则扇形弧长等于圆的周长，即14×2x ＝2r ，∴x ＝4r . 又AC ＝x ＋r ＋2r ＝232，∴r ＝2325＋2＝52－2. ∴圆锥的高h ＝x 2－r 2＝15r ＝15×(52－2)．∴圆锥体积V ＝13πr 2×h ＝13π×(52－2)2×15×(52－2) ＝153×(52－2)3π.。
1.3空间几何体的表面积和体积 教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
1.3空间几何体的表面积和体积单元规划柱、锥、台、球的表面积和体积问题是学生在前面比较充分地认识了柱、锥、台、球的概念后来学习的，柱、锥、台、球的表面积和体积计算问题，是比较贴近学生的生活实际并在现实生活中有着广泛应用的一类问题.教学中要侧重于对学生介绍公式推导的思想方法，让学生体会祖暅原理和积分思想.教师通过指导学生阅读教材中“问题与建模”栏目介绍其中体积计算的近似值，来增强学生的数学应用意识，提高学生的建模能力，为学生解决生产、生活中的实际问题提供知识基础和基本思想.关于“空间几何体的表面积和体积”一节的教学，对一些简单组合体的表面积和几何体积计算，重在通过分析得到它是由哪些简单空间图形组合而成.在介绍求柱、锥、台、球的表面积和体积的方法时，应着重让学生体会祖暅原理和积分思想在表面积与体积计算中的应用.1.内容组成本单元内容由两部分构成：第一部分是探讨研究空间图形的展开图，得出柱、锥、台的表面积计算公式，进而探求明确柱、锥、台、球的表面积公式之间的异同，且能运用公式解决一些具体问题.第二部分是探求柱、锥、台、球的体积的计算公式的表面积和体积计算公式.2.教材地位本单元教材是在前面对柱、锥、台、球的有了一定的认识的基础上来研究它们的表面几何体积的，通过本单元内容的研究，使学生对柱、锥、台、球这几类几何体的认识有了一个比较完整的知识体系，同时，研讨了这几类几何体的表面积和体积，对于后续内容的学习也做好了一定的知识准备.3.在技能培养与情感态度与价值观引导方面的作用通过探究一些简单几何体的表面积和体积公式，让学生体会积分思想在计算表面积和体积中的运用.同时，通过研究柱、锥、台的侧面展开图形之间的内在联系，体现“数与形的完美结合，激发学生的学习热情.教学重点1.柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式.2.正棱柱、正棱锥以及正棱台的概念.3.求简单几何体的表面积和体积.教学难点柱、锥、台、球的表面积与体积计算公式的推导.从容说课柱、锥、台体的表面积计算公式在实际生活中的应用是比较广泛的，由于柱、锥、台体的表面均可展为平面，因此，研究它们的表面积时可以通过将空间问题平面化的方法即研究它们的展开图的方法来得到它们的表面积计算公式.教学时可以先借助多媒体通过动态演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生了解平面展开图的概念，进而结合前面所研究的柱、锥、台这三类空间几何体的概念介绍正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，结合正棱柱、正棱锥、正棱台的模型组织学生通过直观感知、探索侧面展开图的形成过程以及侧面展开图的构成，在此基础上得出正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积计算公式.在正棱柱、正棱锥、正棱台的概念教学中，要从底面多边形的形状、侧面多边形的形状、侧棱和底面的位置关系三个方面来讨论.关于正棱锥、正棱台的形状特点，教学时要强调：（1）底面是正多边形；（2）顶点在底面的正投影是底面的中心，即顶点和底面中心连线垂直于底面；（3）当且仅当它是正棱锥、正棱台时，才有斜高.对于圆柱、圆锥、圆台的侧面积计算公式的教学不必讨论圆锥和圆台的侧面积公式的推导，重点是分析侧面展开图的形状.另外，通过分析柱、锥、台的侧面，展开图形的内在联系，组织学生探究柱、锥、台的侧面积之间的关系，让学生体会“数”与“形”的完美结合.对于例题的教学重在组织学生分析问题的本质，将立体几何问题转化为平面几何问题.教学重点1.正棱柱、正棱锥、正棱台的概念的理解.2.柱、锥、台的侧面展开图的构成以及侧面积计算公式的结构特征.教学难点例题2的教学.教具准备多媒体课件、投影仪、侧面能展开的正棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的模型,自制的简单多面体的模型、打印好的作业.课时安排 1课时三维目标一、知识与技能1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的概念.2.了解正棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面积计算公式的推导过程.3.会用这些公式解决具体问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生学会与别人共同学习.2.通过探究正棱柱、正棱锥、正棱台的概念之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性.3.通过探究,思考柱、锥、台的侧面积之间的关系，让学生体会“数”与“形”的完美结合.三、情感态度与价值观1.通过对正棱柱、正棱锥、正棱台的概念的教学，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对正棱柱、正棱锥、正棱台概念的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.3.通过指导学生阅读“圆锥、圆台侧面积公式的推导”,让学生不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.教学过程导入新课(师多媒体播放棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台这些几何体图片，生观赏)师如果你是装潢公司的一名员工，想给这些几何体的侧面贴上一些装饰画，你能否测算出所需装饰纸的面积？(生讨论)师我们解决这个问题，就必须测算这些几何体的侧面积，如何计算这些几何体的侧面积呢？它们的侧面积计算公式之间有怎样的关系呢？(产生认知冲突，引入新课)推进新课(一）多面体的平面展开图师同学们，我们前面学习了多面体的概念，你还能记得这些吗？(生思考)师由一些平面图形可以围成多面体，那么一些简单的多面体沿着多面体的某些棱展开后能形成平面图形吗？(生思考)师请同学们拿出你事先制作的简单几何体模型，尝试将它展开.(生动手探究)师通过实践探究我们可以发现，一些简单多面体沿着它的某些棱剪开而形成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图（N et）.师我们可以将一些简单的几何体展成平面图形，那么，你能否判断一些平面图形是否是一个空间图形的平面展开图呢？师在下列几幅图中，哪些图形是空间图形的平面展开图？(师多媒体展示如下图形，组织学生讨论判断，并制作模型帮助理解)(1) (2) (3)师前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的概念，你还能记得这些概念吗？请同桌之间互相交流一下这些知识在你的头脑中留下的“痕迹”.(生交流)师在三角形中有直角三角形、正三角形这些特殊的平面图形，在棱柱、棱锥、棱台中是否也有类似的特殊的空间几何体呢？(生讨论，师总结引出直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念)（二）直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.正棱柱（regular P ris M）底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面多边形的中心的棱锥叫做正棱锥（regular Py ra M id）,正棱锥的侧棱长相等.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台（regular tru N cated Py ra M id）师你能根据直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的定义，想象出它们的侧面展开图的形状吗？(生思考，师展示具体几何模型，组织学生观察，并将其侧面展开)师请同学们分别画出一个直四棱柱、正四棱锥、正四棱台的侧面展开图.(生动手画，并借助实物展台互相交流自己所画的图形)师若设直棱柱的高为h，底面周长为c，你能表示出该棱柱的侧面积计算公式吗？(生思考，得出如下结论)S直棱柱侧=ch,c为底面周长,h为棱柱的高.师若设正棱锥的斜高为h′，底面周长为c，你能表示该正棱锥的侧面积计算公式吗？若正棱台的斜高为h′，上、下底面周长分别为c、c′，你能表示出该正棱台的侧面积计算公式吗？(师组织学生在所画侧面展开图中分别表出相应的长度，明确正棱锥、正棱台的斜高的定义，归纳出如下公式)S 正棱锥侧=21ch′(c 为底面周长，h′是侧面等腰三角形底边上的高) S 正棱台侧=21(c+c′)h′（c 为上底面周长，c′为下底面周长，h′是侧面等腰梯形的高）探究:1.分别画出一个圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图.2.类比正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积计算公式,探究圆柱、圆锥、圆台的侧面积计算公式.(生探究得出公式) S 圆柱侧=cl S 圆锥侧=21cl S 圆台侧=21(c+c′)l 师柱体、锥体、台体的侧面积之间有什么关系？(生讨论，得出如下结论)1.柱体、锥体、台体的侧面积计算公式之间的关系h c S h c c S cl S c c c '⇒''+⇐='='21210＝）（＝＝锥体侧台体侧柱体侧.2.公式应用【例1】 一个正三棱锥的高和底面边长都是a,求它的侧面积. 师要求一个正三棱锥的侧面需要知道哪些基本量？ (生讨论，师画出一图，完成解答)分析:根据公式，要求正三棱锥的侧面积只需求出它的底面周长和斜高的长，底面边长已知，只需求出斜高即可.已知：正三棱锥S —ABC 的高和底面边长都是a,求它的侧面积.解：如图，过S 作SO⊥平面ABC,垂足为O ，过S 作SD⊥AB 交AB 于D ，连结OD ，则SO=a ，OD⊥AB，且O 是△ABC 的中心.又∵AB=BC=AC=a, ∴OD=36a,SD=a a a 639)63(22=+. ∴S 三棱锥侧=21ch′=21×3a×639a=439 a 2. 又SO⊥平面ABC,连结BO ，则∠SBO 就是侧棱和底面所成角.又OB=33a ，∴cos∠SBO=21)33(3322=+a a a . 探究:在如上图所示的正三棱锥中，你还可以找到哪些直角三角形，它们的边长与正三棱锥的侧棱长、底面边长都有怎样的关系？【例2】 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高为0.85 m ，底面的边长是1.5 m ,制造这种塔顶需要多少平方米铁板？(接口不计算面积) (师多媒体显示，生板演) 【例3】 有一根长为5 cm ，底面半径为1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度是多少厘米？（精确到0.1 cm ）(师多媒体显示，组织学生围绕以下几个问题展开讨论) 师你能说出你解答该题的思路吗？ (生思考)师如果你不能在短时间内找到该题的解题思路，你能说出在解答该题时你所遇到的障碍吗？(生思考)师解决立体几何问题的指导思想是什么呢？ 生将空间问题平面化.师你能否将这个空间问题转化为平面问题呢？ (生讨论交流，得出如下思路)师:可以把圆柱沿这条母线展开，将原问题转化平面几何问题.\ 师:在本例中，应该怎样缠绕铁丝，才能使铁丝的长度最短？ （三）目标检测课本第52页练习1、2、3、4、5、6题. 课堂小结1.直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台2.柱体、锥体、台体的侧面积计算公式之间的关系h c S h c c S ch S c c c '⇒''+⇐='='21)(210＝＝＝锥体侧台体侧柱体侧布置作业1.课本第60页习题1.3第1、3题.2.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝10 cm,BC ＝12 cm ，顶点A 1与A 、B 、C 的距离等于13 cm ，求此棱柱的全面积. 板书设计1.3.1空间几何体的表面积1.直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的有关概念 2.侧面积计算公式 例题解析及学生练习 例1: 例2: 例3:课堂小结与布置作业 活动与探究1.阅读课本第52页圆锥、圆台侧面积公式的推导.2.如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（）A.258B.234C.222D.2103.如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1=2，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M ，求：（1）三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）该最短路线的长及AMMA 1的值.4.到商店或超市观察商品包装方式，研究空间图形的展开与折叠在商品包装中的应用，写一篇小论文. 参考答案: 2.C3.解:(1)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是长为6,宽为2的矩形, 其对角线长为1022622=+.2)如图,将侧面AA 1B 1B 绕棱AA 1旋转120°使其与侧面AA 1C 1C 在同一平面上,点B 运动到点D 的位置,连结DC 1交AA 1于M ,则DC 1就是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线,其长为522422212=+=+CC DC .∵△D M A≌△C 1M A 1,∴A M =A 1M . 故AMMA 1=1.习题详解课本第60页习题1.3解答1.因为正六边形外接圆半径等于边长，所以底面积为S 1=6×43×0.462,侧面积为S 2=6×0.46×1.6.所以2S 1+S 2≈5.5，即制造这个滚筒约需要5.5 M 2的铁板. 2.v=31×43×62×6×15=2703cm 2. 3.略. 4.s=(6×43×122×2+12×5×6+2π×5×25)×100×10-6×0.11≈0.020 8 (kg)=20.8 g.5.根据题意及公式可得：(1)展览馆的高度为h=22)24.35(9.27-≈21.57 (m)； （2）外墙的面积为S=35.4×27.9×21×4=1 975.32 (m 2); （3）四棱锥的体积V=31×35.42×22)24.35(9.27-≈9 008.82 (m 3). 6.（1）地球表面积约是火球表面积的4倍；（2）木星的体积约是地球体积的120120≈1 315倍.7.解：设钢球的内径为r,由已知可得钢球实心部分的体积为V=343453433πππ=⨯-⨯r (125-r 3).又因为钢球的质量、密度和体积之间有关系M =ρV ，所以142=7.9×34π(125-r 3).解得r=4.5 (cm).8.根据圆台的侧面积计算公式和圆的面积计算公式可得共需油漆为［π(12.5+15)×27.5+π×12.52］×100×10-4×150×2×10-3≈8.6 (kg).9.根据三视图的画法规则可得该几何体的直观图为一棱台，根据棱台的计算公式可得其体积为1.5.10.（1）第一种方案所建仓库的体积为V 1=31×π×82×4=3256π (m 3)； 第二种方案所建仓库的体积为V 1=31×π×62×8=96π (m 3). （2）第一种方案所建仓库的表面积为S 1=π×8×5324822=+π (m 2)； 第二种方案所建仓库的表面积为S 2=π×6×2286+=60π (m 2).（3）因为V 1<V 2,S 1>S 2,所以第二种方案更经济些. 11.略. 备课资料 典型习题1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（） A.ππ221+ B.ππ441+ C.ππ21+ D.ππ41+答案:A2.圆锥高为1，底面半径是3,则过圆锥顶点的截面三角形面积的最大值是（） A.3B.2C.3D.23答案:B3.一个圆台的轴截面是半个正六边形，则圆台侧面展开后的中心角为（） A.120° B.180° C.240° D.270° 答案:B4.作一圆柱的内接正三棱柱,又作这个三棱柱的内切圆柱,那么这两个圆柱的侧面积之比为（） A.2∶1B.2∶3C.2∶1D. 3∶2答案:A5.已知长方体的全面积为11，十二条棱的长之和为24，则这个长方体的一条对角线的长为（） A.23B.14C.5D.6答案:C6.在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2a,BA ＝CA ＝AA 1＝a,A 1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上.(1)求AB 与侧面AC 1所成的角；(2)若O 恰是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积. 解:(1)A 1O⊥面ABC,BC ⊂面ABC, ∴BC⊥A 1O.又∵BC=CA=a,AB=2a,∴△ABC 是等腰直角三角形. ∴BC⊥AC.∵BC⊥面AC 1,故∠BAC 为BA 与面AC 1所成的角,则有∠BAC=45°,即AB 与侧面成45°角. (2)若O 恰为AC 中点, ∵AA 1=a,AC=a, ∴AO=2a ,A 1O=23a,S 四边形BCC1B1=a 2. 作OD⊥AB于D,连结A 1D,由已知可得A 1D⊥AB,在Rt△AOD中,OD=OAsi N ∠BAC=242222a a =⋅.在Rt△A 1OD 中, A 1D=2221272227a a a a OD O A =⋅⋅=+. ∴S 三棱柱侧=21(2+3+7)a 2.。
高中数学 1.3.2《空间几何体的体积》教案 苏教版必修2
1.3.2 空间几何体的体积教学目标：1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．教材分析及教材内容的定位：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．教学重点：柱、锥、台的体积计算公式及其应用．教学难点：运用公式解决有关体积计算问题．教学方法：通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合教学过程：一、问题情境类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为V=abc或V长方体=Sh长方体（这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．）二、学生活动阅读课本P59“祖暅原理”．思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？三、建构数学1．柱体的体积．棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．V 柱体= sh 2．锥体的体积．类似地,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．13V sh =锥体 3．台体的体积．上下底面积分别是S’,S ,高是h ，则1('')3V h S SS S =++台体 柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？4．球的体积．一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343V R π=球． 四、数学运用例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是37.8/kg cm )六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π 取3．14，可用计算器）？分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．解：223331012610 3.14()102956() 2.956()42V mm cm =⨯⨯⨯-⨯⨯≈=, 所以螺帽的个数为61000(7.8 2.956)260⨯÷⨯≈（个）答：这堆螺帽大约有260个．例2 圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3h h h =,若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为2h ,求2h ． 分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比．解：3283()27S AB S CD h V V h --== 1333332219191919::2727273V V V h h h h h V ⎛⎫∴===∴== ⎪⎝⎭水水锥锥倒置后： 例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?练习：1．直三棱柱ABC -A ′B ′C ′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A －A ′BD 的体积是多少？2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍；3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；2．球的表面积和体积公式．中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
苏教版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积体积教案
课题：空间几何体的体积
一、教学目标：
⒈知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。
⒉能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。
⒊德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：
重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。
难点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。
三、教学方法与教学手段：
教学方法：本节课的课型为“新授课”。
虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
四、教学过程：。
苏教版高中数学必修2课件 1.3.2 空间几何体的体积课件
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法 分 析
VB1－BDC＝13×12S△ABC×BB1＝16S△ABC×BB1＝4.
易 误 辨
析
教 学 方
VC－A1B1C1＝13S△A1B1C1×CC1＝8
当 堂
案
双
设 计
∴VA1－B1CD＝VA1B1C1－ABC－VA1－ADC－VB1－BDC
基 达
标
课 前
－VC—A1B1C1
自
主
＝24－4－4－8＝8
课 时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
法二 在△ABC 中过 C 作 CF⊥AB，垂足为 F，
教
易 错
法 分 析
由面 ABB1A1⊥面 ABC 知，CF⊥平面 A1B1BA.
易 误 辨
析
教 学 方
学
以将其分割成规则的、易于求解的几何体．
业
课 堂 互 动 探 究
(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可 以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体．
教 师 备 课 资 源
菜单
SJ ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法
易
分 析
如图 1－3－6，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AA1
误 辨
当
方
堂
案 设
∴AF＝AB－BF＝8－5＝3，EF＝AE＋AF＝4，
双 基
计
高中1.3《空间几何体的体积2》教案苏教版
高中数学：1.3《空间几何体的体积2》教案（苏教版必修2）总课题空间几何体的表面积和体积总课时第17课时分课题空间几何体的体积(二)分课时第 2 课时教学目标初步掌握求体积的常规方法，例如割补法，等积转换等．重点难点割补法，等积转换等方法的运用．?引入新课1．如图，在三棱锥中，已知，，，，且．求证：三棱锥的体积为．2．一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果将冰淇淋全部放入杯中，能放下吗？?例题剖析例1 将半径分别为、、的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积．?巩固练习1．两个球的体积之比为，则这两个球的表面积之比是_____________________．2．若两个球的表面积之差为，两球面上两个大圆周长之和为，则这两球的半径之差为_____________________________．3．如果一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等．求证：圆柱、球、圆锥体积的比是．?课堂小结割补法，等积转换等方法的运用．?课后训练一基础题1．一个圆锥的底面半径和一个球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为______．2．球面面积膨胀为原来的两倍，其体积变为原来的______________________倍．3．正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么球的体积是________．4．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则这个球的表面积为_______．5．已知：是棱长为的正方体，，分别为棱与的中点，求四棱锥的体积．二提高题6．一个长、宽、高分别为、、的水槽中有水．现放入一个直径为的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？三能力题7．设，，，分别为四面体中，，，的中点．求证：四面体被平面分成等积的两部分．。
苏教版高中数学(必修2)1.3《空间几何体的表面积和体积》(空间几何体的体积)word教案
高二年级数学教学案（2010年9月29日）
想一想：从球的表面积公式和体积公式看，球的表面积和体积是关于半径的函数吗？
（2）体积公式之间的关系：
．如何理解锥体的体积公式？
）可理解为“锥体的体积是与它底面积相同、高相等的柱体体积的
）三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥。
，从中间挖去一个直径为10cm的
6cm，高为3cm，下面是正六
2cm的圆柱，求此几何体的体
⊥CD，PA＝1，PD
AC
）的两部分，
，求三棱锥A1－ABC，B－
．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。
相传这个圆形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们来
2
）球的表面积等于圆柱表面积的
3
所在直线为轴，旋转一周得到
．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形或四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成的直角三角形，进而求解。
需用到线面垂直的判定方法，．球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关，因此，在解决此。
1.3.2空间几何体的体积(2)教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
1.3.2空间几何体的体积（2）从容说课本课教学的主要内容是：探究球体的体积及表面积计算公式，并能运用柱、锥、台、球的体积计算公式综合解决一些具体的求解体积的问题.球体是异于柱、锥、台的一类特殊的几何体，也是我们生活中比较常见的几何体，对于球的体积计算公式的推导的教学，可以让学生经历“倒沙实验”，通过直观感知发现半球体的体积等于底面半径和高都为球半径的圆柱与圆锥的体积之差.对于球的表面积计算公式的探求，教材中是通过“准锥体”的介绍，让学生体会“无穷”“极限”的思想，教学时应以讲解为主，并注意讲解的速度，让学生慢慢去体会.例2是对物体的三视图、物体直观图的画法以及组合体的体积计算的知识的综合应用，教学时应先组织学生回顾有关知识，并结合这些知识的复习，根据物体的三视图画出物体的直观图，进而分析组合体的结构特征，将其转化为计算柱、锥、台、球等常见几何体的体积.教学重点1.球的体积计算公式及表面积计算公式.2.柱、锥、台、球的体积计算公式的综合应用.教学难点在球的体积、表面积计算公式的推导过程中体会“无穷”“极限”的思想.教具准备多媒体课件、半球面模型、半径和高都等于球半径的圆柱和圆锥、投影仪、打印好的作业.课时安排 1课时三维目标一、知识与技能1.了解球的体积及表面积计算公式的推导过程，能用球的表面积和体积计算公式解决有关问题.2.能用柱、锥、台、球等几何体的体积计算公式解决有关组合体的体积计算问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人.2.通过探究、思考解答例2，培养学生理性思维能力、空间想象能力、观察能力以及判断能力.3.通过推导球的表面积计算公式，学生体会“无穷”“极限”的思想.三、情感态度与价值观1.通过探求球的体积计算公式，培养学生动手实验的能力，体会知识之间的有机联系.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，解答例2，增强学生数学交流能力和数学地分析问题、解决问题的能力.3.通过指导学生阅读“体积的近似计算”,让学生不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养，激发学生学习数学的热情.教学过程导入新课师前面我们分别研究了空间中的三类几何体——柱体、锥体、台体的侧面积和体积计算公式,你还记得这些吗？(生口答，师简单板书)师它们的侧面几何体积计算公式的推导过程你还有印象吗？(生互相交流，复习旧知)师在空间中还有哪一类几何体的表面积和体积我们没有研究呢？生球体.师球表面积和体积计算公式是怎样的?能否用同样的方法来研究球的表面积和体积呢？(生思考)师这就是我们本节课所研究的内容.(引入新课)推进新课(一)探究球的体积计算公式师同学们，你们还记得柱体和锥体的体积计算公式的推导方法吗？生根据“同底面积等高的两个几何体体积相等”即祖暅原理推导的.师怎样推导球体的体积计算公式呢？生根据祖暅原理.师你能找到这样的几何模型吗？(生思考)师请同学们拿出你事先准备好的圆柱、圆锥和半球模型.你还记得这些模型之间有什么关系吗？生球的半径与圆柱、圆锥的高和底面半径都相等.师很好，请同学们将圆锥放进圆柱模型中，使圆锥模型的底和圆柱模型的底重合，并给圆柱形模型内装满沙子.(生动手操作)师都准备好了吗？生准备好了.师请把圆柱形模型中的沙子全倒进半球形模型中.(同桌合作完成)师你发现了什么？生刚好倒满.师这一结果说明了什么？生说明它们的体积相等.师你能说得更具体一些吗？(生讨论交流，得出如下结论)21V 球＝πR 2·R -31πR 2·R=32πR 3. 师你能从中得到球的体积计算公式吗？(生讨论得出公式)球的体积计算公式：V 球＝34πR 3. （二）探究球的表面积计算公式师我们已经通过实验求得球的体积计算公式，那么如何求得球的表面积呢？请同学们各抒己见.生可以仿照圆柱、圆锥和圆台的侧面积的求法，设法剪开球面，使其展成平面图形而求得结果.师如果球的表面能展开的话，将会形成怎样的平面图形呢？生如果像家里削水果皮那样（想象水果是个球体），球的表面就会被削下来，然后展开，再进行计算.生削下来的球表面是螺旋状连接的，根本无法展平.另外，条形表面也有一定的弯曲度. 生那可以把条形表面尽可能地削得窄一点，弯曲度也会随之变小，也就接近平面图形了. 生（好像受到了启发）我们要求球的表面积，可以先求半球面的大小,用一组平行于底面圆的平面去截球面，随着平行平面间距离的逐渐减小，原来弯曲的球面就转化为一组圆柱侧面的总和，圆柱侧面积有计算公式，那么再找到这一组圆柱侧面积之间的大小关系，最后求出这所有圆柱侧面积之和，我们要求的球表面积就可以解决了.生我想用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，问题也可以解决.……师同学们的想法都很好.要求球的表面积不再能简单地利用已学过的几何体侧面展开的办法了，因为对球体而言，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成为平面图形.大家可以来仔细分析一下刚才几位同学的解题方案，都有一个共同的想法，这就是我们将要在高二进一步学习的极限思想.若把球表面无限分割，将会得到许多近似于平面图形的图形.问题解决已有些眉目，再让咱们大家集思广益，完善求解方法.(生深思)师看来这个问题要解决还是有一定的困难，请同学们回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式，我们采取了什么办法？生是用圆内接正多边形的周长来近似地表示它的.师当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长.当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长，这正是“以直代曲”的尝试.我们是否可以对此方法稍加改造，来完成球的表面积计算公式的推导？(生思考)师刚才已经有同学提到用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，就可以求出球的表面积.怎样把球的表面积和球的其他量联系起来呢？ (生思考)师如果说球的表面积会和球体的其他量联系起来的话，这个量会是谁呢？生球的半径.师怎样才能和球的半径联系上呢？(生讨论交流)师如果连结球体在其面上的小正方形的定点和球心的连线，将会得到怎样的几何体？ (生讨论交流，得出结论)师这些“准”锥体的底面并不是真正的多边形，怎样才能使得这些准锥体更接近于锥体呢？(生讨论交流，引出“极限”的思想)师当这些“准锥体”的底面足够小的时候，就可以近似地看成棱锥.此时这些准棱锥的高是多少呢？(生思考)师若设这些准锥体的底面积分别为S 1、S 2、S 3, …且它们的和趋于球的表面积,于是就有： 球面球＝RS RS RS V R 31313134323=++= π. 师从此能得到球的表面积计算公式吗？(生讨论抽象出公式)球的表面积计算公式：它表明球的表面积是球的大圆面积的4倍.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球半径.师球的表面积由几个几何量来确定？生球的表面积只由球半径的大小决定.S 球面=4πR 2.（三）公式的应用【例1】半径是R的球，如果半径发生了下述变化，则其体积分别增加了多少倍？(1)半径增大到原来的2倍；(2)半径增大了2倍.分析:“增大到”与“增大了”是两个不同的概念.前者是指最终结果，后者还必须再加上原来的一份.解:设变化前后球的体积分别为V,V′，(1)由题意知变化后球的半径为2R，∴V′∶V=(2R)3∶R3=8∶1.∴(V′-V)∶V=7.体积增加了7倍.(2)由题意知变化后球的半径为R+2R=3R，∴V′∶V=(3R)3∶R3=27∶1.∴(V′-V)∶V=26.体积增加了26倍.师解决这类表面积、体积变化问题时，球的体积比必须转化为半径的立方比，球的表面积的比必须转化为半径的平方比.若将球的表面积扩大到原来的3倍，则其半径变为原来的多少倍？体积变为原来的多少倍？【例2】两个球的体积和为12π，这两个球的大圆周长和为6π，求大球的半径与小球的半径差.【例3】一个正方体内接于半径为R的球内，求正方体的体积.解：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必然重合，即球心就是正方体的中心，设正方体的棱长为a，则2R=3a,a=332R.所以，正方体的体积为V=a3=(332R)3=938R3评注:解答该题的关键是根据正方体与球体这两个特殊几何体的性质，找出球体的半径和正方体棱长之间的关系.探究:若一个球和正方体的六个面都相切，求正方体的体积与球的体积的比.【例4】课本第56页例题2.(生组织学生研究图形的结构特征，运用有关知识加以解决)（四）目标检测1.课本练习4、5、6.2.若把一个球的半径扩大为原来的2倍,则球的体积比原来增加的倍数为()A.2倍B.4倍C.22倍D.(22-1)倍3.设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是()A.86πB.646πC.242πD.722π4.（2004江苏高考,4）一个平面截一个球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.3100π cm 3B.3208π cm 3C.3500π cm 3D.33416π cm 3 课堂小结球的表面积、体积的计算公式及其应用.布置作业1.课本第60页习题1.3第9、10题.板书设计1.3.2空间几何体的体积(2)球的体积及表面积计算公式公式的应用(例题及学生练习)课堂小结与布置作业活动与探究1.阅读课本57页“体积的近似计算”.2.完成课本第61页第11题.3.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，这样的三棱柱能否放进一个体积为16π的小球.3.提示:设球半径为R,则34πR 3=16π,R=433,而正三棱柱底面内切圆半径r=63.由于R 6=641294962⨯＝,r 6=24312962766⨯＝,R 6>r 6,∴R>r,不能放进一个体积为16π的小球. 备课资料典型习题1.棱长为a 的正方体内有一个球与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积是（）A.4πa 3B.4π a 3C.32π a 3D.42π a 3 答案:C2.三棱锥P —ABC 内接于一个球，其底面边长为a ，侧面与底面所成的角为α，求球的体积.答案:(1)设H 是正△ABC 中心,D 是BC 中点,连结P H 并延长交球面于Q ,则P H⊥底面ABC ,PQ 是球的直径.AD ⊥BC ,PD ⊥BC ,则∠PDA 是三棱锥的侧面与底面所成的角,∴∠PDA =α.∵AB =a,∴DH =63a,AH =33 a. P H=63a·ta N α,H Q =2R-63a·ta N α. 又PQ 为球的直径,∠P A Q =90°,由射影定理知AH 2=PH ·HQ ,即(33a)2=63a·ta N α(2R-63a·ta N α). ∴R=ααtan 344tan 2+a,球的体积V=32)tan 4tan (4323a ααπ+. 3.正三棱柱内有一个内切球，已知这个正三棱柱的底面边长为a ，求球的体积.提示:设球半径为R,球心到较近的截面距离为x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+22225)1(,8R x R x .得R=3,V=36π.。
苏教版数学必修2讲义：第1章 1.3.2 空间几何体的体积
1.3.2空间几何体的体积1．了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)．(重点) 2．会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)3．会求简单组合体的体积及表面积．(难点)[基础·初探]教材整理1柱体、锥体、台体的体积阅读教材P56～P58第8行，完成下列问题．柱体、锥体、台体的体积1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．【解析】设正方体的边长为x，则3x＝a，故x＝a3，V＝39a3.【答案】3 9a32．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为__________．【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有2πr ＝2，即r ＝1π，故圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫1π2×2＝2π. 【答案】 2π3．如图1－3－6，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.图1－3－6【解析】 设三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24.【答案】 1∶24教材整理2 球的体积和表面积阅读教材P 58～P 59例1，完成下列问题．若球的半径为R ，则(1)球的体积V ＝43πR 3. (2)球的表面积S ＝4πR 2.1．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________．【解析】 设球的半径为R ，由题意可知4πR 2＝36π，∴R ＝3.∴该球的体积V ＝43πR 3＝36π.。
苏教版高中数学必修二课件空间几何体的体积
高中数学课件
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§1.3.2 空间几何体的体积
第一课时
问题1.我们以前研究过哪几种几何体?
柱体
台体
锥体
球体
问题2.上面的几何体是怎样生成的?它们之间有 什么联系?
一、长方体的体积
V长方体=abc
或
V长方体=s底h高
1cm3
6c
4a
7b
长方体体积公式是计算其它几何体体积的基础， 我们将上述结论当成已知事实来运用。
S’=0
V锥
1 sh 3
柱、锥、台体体积公式统一成
V台
h 3
(s
ss' s')
例1．有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（如图所示）共重
5.8 kg，已知底面六边形的边长是12 mm，高是 10 mm，
内孔直径是10 mm．问约有毛坯多少个（铁的比重
是 7.8g / cm）3
解：V正六棱柱
V台
h 3
(s
ss' s')
数学原理：
祖暅原理
数学思想：
无限累积
祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动 时期大约在公元504—526年．祖氏父子在数学和天文学 上都有杰出的贡献．祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的 《缀术》．
祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．” “幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是： 两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相 等，那么几何体的体积相等．他不仅首次明确提出了
实验： 夹在两个平行平面间的两个几何体，在所有等
高处的水平截面的面积总相等，那么这两个几 何体的体积相等. （祖暅原理 ） 它蕴涵了无限累积的数学思想
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1.3.2空间几何体的体积
教学目标
1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题；
2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系；
3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力．
教材分析及教材内容的定位
通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．
教学重点
柱、锥、台的体积计算公式及其应用．
教学难点
运用公式解决有关体积计算问题．
教学方法
通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合．
教学过程
一、问题情境
类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积．
一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少．长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝abc或V长方体＝Sh
（这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．）
二、学生活动
阅读课本P65“祖暅原理”．
思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？ 三、建构数学
1．柱体的体积．
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积．
V 柱体
= sh 2．锥体的体积．
类似地，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等．
13
V sh =锥体 3．台体的体积．
上下底面积分别是S’，S ，高是h ，则
1
(')3
V h S S =台体
柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？
4．球的体积．
一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等．
223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343
V R π=球． 四、数学运用
例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm 3）六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π取3．14，可用计算器）？
分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量．
解：22331012610 3.14()102956(mm ) 2.956(cm )42
V =⨯⨯⨯-⨯⨯≈=， 所以螺帽的个数为
61000(7.8 2.956)260⨯÷⨯≈（个）
答：这堆螺帽大约有260个．
例2 圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为11,3
h h h =
，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为2h ，求2h ． 分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比． 解：3283()27
S AB
S CD h V V h --==
1
333322191919::272727V V V h h h h V ⎛⎫∴===∴== ⎪⎝⎭水
水锥锥倒置后：． 例3 用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大? 练习：
1．直三棱柱ABC-A′B′C′各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC′上任意一点，连结A′B ，BD ，A′D ，AD ，则三棱锥A －A′BD 的体积是多少？
2．将一个正三棱柱形的木块，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍；
3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容
1．理解柱体、锥体、台体之间的关系；
2．球的表面积和体积公式．。