第二讲数学基础1

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人教版高中数学选修4-4：第二讲一第2课时圆的参数方程含解析

初中数学竞赛讲座——数论部分2(整数的整除性)

第二讲整数的整除性一、基础知识：1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义：设a ，b 是整数，b ≠0．如果有一个整数q ，使得a=bq ，那么称a 能被b 整除，或称b 整除a ，并记作b ｜a ．也称b 是a 的约数，a 是b 的倍数。

如果不存在这样的整数q ，使得a=bq ，则称a 不能被b 整除，或称b 不整除a ，记作b ｜a ．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若c b b a |,|，则c a |证明：∵c b b a |,|，∴bq c ap b ==,（q p ,是整数），∴a pq q ap c )()(==，∴c a |性质2 若a ｜b ，b ｜a ，则 |a |=|b |．性质3 若c ｜a ，c ｜b ，则c ｜(a ±b )，且对任意整数m ，n ，有c ｜(m a ±n b )．证明：∵c a b a |,|，∴aq c ap b ==,q b ,(是整数），∴)(q p a aq ap c b ±=±=±，∴|()a b c ±性质4 若b ｜a ，d ｜c ，则bd ｜ac ．特别地，对于任意的非零整数m ，有b m ｜a m性质5 若a =b ＋c ，且m ｜a ，m ｜b ，则m ｜c ．性质6 若b ｜a ，c ｜a ，则[b ，c ]｜a ．特别地，当(b ，c )=1时，bc ｜a【此处[b ，c ]为b ，c 的最小公倍数；(b ，c )为b ，c 的最大公约数】．性质7 若c ｜ab ，且(c ，a )=1，则c ｜b ．特别地，若p 是质数，且p ｜ab ，则p ｜a 或p ｜b ．性质8 n 个连续整数中，必有一个能被n 整除．【特别地：两个连续整数必有一偶数；三个连续整数必有一个被3整除，如11，12，13中有3 | 12；41，42，43，44中有4 |44；77，78，79，80，81中5 | 80．】二．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法等．下面举例说明．例1若a ｜n ，b ｜n ，且存在整数x ，y ，使得ax +b y=1，证明：ab |n ．证明：由条件，可设n=au，n=b v，u，v为整数，于是n=n(ax+b y)= nax+nb y=abvx+abu y= ab(vx+u y)所以n|ab例2证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证明：设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 |[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例3若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k ＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证明因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例4若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证明：设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．例5已知a，b是自然数，13a＋8b能被7整除，求证：9a+5b都能被7整除．分析：考虑13a＋8b的若干倍与9a+5b的若干倍的和能被7整除，证明13a＋8b+4（9a+5b）=7（7a+4b）是7的倍数，又已知13a+8b是7的倍数，所以4（9a+5b）是7的倍数，因为4与7互质，由性质7|（9a+5b）例6已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证明用反证法．如果a ，b 不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1) a ，b 两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a ，3b ．令a =3m ，b =3n±1(m ，n 都是整数)，于是a 2+b 2=9m 2+9n 2±6n+1=3(3m 2＋3n 2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2) a ，b 两数都不能被3整除．令a =3m±1，b =3n±1，则a 2＋b 2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m 2±6m+1+9n 2±6n ＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a ，b 都是3的倍数．例7 已知a ，b 是正整数，并且a 2＋b 2能被ab 整除，求证：a =b ．先考虑a ，b 互质的情况，再考虑一般情况。

2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法第一课时比较法课件新人教A版选修4_5

思路点拨由于两边都是低次的整式，宜用作差法.
【证明】 (1)a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1). (2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)， ∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)<0， ∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
解，然后得出结论.
【解析】设原来的窗户面积与地板面积分别为 a，b，窗户面积和地板面积同时增加的面积为 c，且ab≥10%. 则现有的窗户面积与地板面积分别为 a＋c 与 b＋c，于是原来窗户面积与地板面积之比为ab，面积均增加 c 以后的窗户面积与地板面积之比为ab＋＋cc，因此要确定采光条件的
题型三比较法的实际应用建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地
板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好.问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
思路点拨先建立数学模型，再利用不等式的知识求
a＋b 综上可知，对任意实数 a、b，都有 aabb≥(ab) 2 .
●方法技巧 (1)当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数不等式时，常采用作商比较法. (2)作商比较法的证明步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.
变式训练
2.已知a>2，求证：loga(a－1)<log(a＋1)a.

绝对值与二次根式-

第二讲绝对值与二次根式【基础知识】一、绝对值1、绝对值代数定义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。

有时也可以记为：(0)(___0)||(0)(___0)a a a a a a a a a ≥⎧⎧=⎨⎨-<-⎩⎩或者 2、绝对值几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.如：|-2|表示-2的点到原点的距离；|x|则是在数轴上表示x 的点到原点的距离。

那么|x-1|表示在数轴上(x-1)的点到原点的距离.显然绝对值是非负数，即||0a ≥ 3、绝对值的基本性质：(1)任何一个数的绝对值一定是非负数，即 |a|≥0；(2)若干个非负数的和为零，则每个非负数为零；|a|+|b|+|c|=0，则a=0且b=0且c=0 (3)互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a|(4)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥ a ；|x||-2||x-1|1O-1-2x-1x(5)任何一个数都有唯一的绝对值； (6)绝对值最小的数是零；(7)两个互为相反数的数的绝对值相等，即 |a|=|-a|；(8)绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数。

绝对值为零的数只有一个零；(9)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.即||||0a b a b a b =⇒=+=或二、二次根式1、二次根式的定义：式子(0)a a ≥叫做二次根式。

2、二次根式的性质： (1)2(0)||(0)a a a a a a≥⎧==⎨-<⎩ (2)0a ≥(3)2()(0)a a a =≥(4)(0,0)ab a b a b =≥≥；(0,0)a a a b b b=≥> (5)0a b a b >⇔>≥ 【典型例题】一、化简求值例1计算下列各式的值:①|3|π-；②02(1sin 60)-；③2|1|x x -+;解: ①∵3<π,即3-π<0,∴|3|π-=π-3;②02(1sin 60)-=033|1sin 60||1|122-=-=-.③22131()44x x x x -+=-++213()024x =-+> 所以22|1|1x x x x -+=-+注: ①化简主要是去绝对值符号, 要去绝对值符号,就得讨论绝对值里面的数或式是正还是负.②对于含有字母的代数式不一定要分类讨论,二次三项式往往采用“配方法”来判断是不是一个非负数. “配方法”是一种重要的数学方法. 例2 化简2||2x x +-解:当x<0时, 2||2x x +-=22x x -- 当x>0时, 2||2x x +-=22x x +-所以2222(0)||22(0)x x x x x x x x ⎧--<+-=⎨+-≥⎩注:x 的符号可“+”可“-”，还可以为“0”，因此，应该对x 进行分类讨论；最后应该有小结，就是把两种结果写在一起，使书写规范.例3 化简222692144x x x x x x +++-++-+ 解:原式=222(3)(1)(2)x x x +++--|3||1||2|x x x =++-+-以下利用零点区间讨论法,显然零值点有-3，1，2三点. 当x ≤-3时,原式=(-x-3)+(1-x)+(2-x)=-3x 当-3<x ≤1时, 原式=(x+3)+(1-x)+(2-x)=-x+6当1<x ≤2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(2-x)=x+4 当x>2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x综上所述，原式= 3(3)6(31)4(12)3(2)x x x x x x x x -≤-⎧⎪-+-<≤⎪⎨+<≤⎪⎪>⎩注: 零点区间讨论法是一种重要的数学方法.例4 化简 ||x-1|-2|+|x+1|解:先找零点：|1|01 |1|201|1|01x xx xx x-==⎧⎧⎪⎪--=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩或3所以零值点有－1，1，3三点，因此，我们应将数轴分成4部分．当x<-1时，原式=|-(x-1)-2|+[-(x+1)]=|-x-1|-x-1=-x-1-x-1=-2x-2当-1≤x≤1时,原式=|-(x-1)-2|+x+1=|-x-1|+x+1=x+1+x+1=2x+2当1≤ｘ＜3时，原式=||x-1|-2|+x+1=|x-3|+ x+1=3-x+x+1=4 当ｘ≥3时，原式=|x-1-2|+x+1=|x-3|+x+1=x-3+x+1=2x-2综上所述，原式＝22(1) 22(11) 4(13) 22(3)x xx xxx x--<-⎧⎪+-≤<⎪⎨≤<⎪⎪-≥⎩注: ①本题条件没有给出绝对值符号内的代数式的正负性，应采用零点区间讨论法．须注意的是本题含双重绝对值，应注意考虑||x-1|-2|的零点．②“分类讨论”是一种非常重要的数学思想, 绝对值问题经常采用这种数学思想.二、条件化简求值例5 化简2(3)|4|(34) x x x-+-<<解：因为3<x<4,所以x-3>0,x-4<0,所以原式= x-3+4-x=1.例6已知x＜-3，化简：|3+|2-|1+x|||．解 :原式=｜3+｜2+(1+x)|| (因为1+x＜0)=｜3+｜3+x||=｜3-(3+x)｜ (因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．注: ①这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号；②充分利用已知条件,是解决例5例6的关键,正确运用绝对值的概念是解决例5例6根本.例7 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜.解：观察数轴得：a<0,b<0,c>0且|a|>|b|>|c|, 所以b-a>0,a+c<0,c-b>0 故｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜ =(b-a)+(-a-c)+(c-b) =-2a注:解决本题充分利用了“数”与“形”的结合.“数形结合”又是数学中的重要数学思想. 例8 已知24|34|0:x x y x y -+-+=，求值.解:由非负数的意义得:2402:1:13402x x x y x y y -==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-+==⎩⎩.例9 已知212005|1|04x y x ++-+=，求2008200520052y x +⨯的值. 解: 212005|1|04x y x ++-+=20051()2005|1|02x y ⇒-++=10210x y ⎧-=⎪⇒⎨⎪+=⎩ 121x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=-⎩20082005200520082005200512(1)2()1122y x ⇒+⨯=-+⨯=+=注:非负数的和为0，那么每个非负数都应为0，你能证明吗？初中常见的非负数有哪些？例10 方程|||1|0xy x y +-+=的图象是（）（A ）三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 （B ）两条直线： x=0，x-y+1=0 （C ）一点和一条直线：(0,0)，x-y+1=0 （D ）两个点：(0,1)，(-1,0)Ob ac解:由已知，根据非负数的性质，得010xy x y =⎧⎨-+=⎩即010x x y =⎧⎨-+=⎩或010y x y =⎧⎨-+=⎩解之得：01x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩故原方程的图象为两个点：(0,1)，(-1,0).注:利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决.例11 实数a 满足||01a a a +=≠-，，那么||1|1|a a -=+ .解:由||01a a a +=≠-，，可得 0a ≤且1a ≠- 当1a <- 时，||111|1|(1)a a a a ---==+-+；当10a -<≤ 时，||111|1|1a a a a ---==-++.所以1(1)||11(10)|1|a a a a <-⎧-=⎨--<≤+⎩注: ①有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论.②若|a|=a ，则a 0；若|a|=-a,则a 0；如果2(2)2x x -=-，则x 0. ③在解决有关数学问题时，经常采用“逆向思维”. 三、求最大（小）值例12 式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是_________。

新高一数学第二讲知识点

新高一数学第二讲知识点高一数学是学习数学的一个重要阶段，为了帮助同学们更好地掌握相关知识，下面将介绍一些新高一数学第二讲的知识点。

1. 乘法与除法的基本性质在高一数学中，乘法与除法是基本的数学运算。

乘法具有交换律、结合律和分配律等基本性质。

对于除法，我们要注意除数不为零，且要熟练掌握除法的基本计算方法。

2. 定比例定比例是数学中常见的一个概念。

当两个量之间的比例是一个恒定的数值时，我们称其为定比例。

定比例可以通过比例的概念来进行解题，例如已知两个量的比例，求解未知量等。

3. 平均数与比例均值平均数是一组数据中各个数据之和除以数据个数所得到的结果，可以用来衡量一组数据的集中趋势。

比例均值是指两个不等比例数的算术平均数，在求解实际问题中常常需要使用平均数与比例均值进行计算。

4. 分式的简化与运算分式是指整数之间的比值，也是数学中常见的一种表达形式。

分式有简化的方法，可以约分为最简形式，也可以进行分式的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法等。

5. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形的性质包括对应角相等、对应边成比例等。

在求解相似三角形的问题中，可以运用类似三角形的性质进行推导和计算。

6. 二次根式的运算二次根式是数学中常见的一种形式，指的是形如√a的表达式。

二次根式的运算包括求平方、开放等，需要掌握根式的基本规律和运算方法，例如加减乘除、化简、分解因式等。

7. 二次函数的性质与图像二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，是高一数学中重要的一个概念。

二次函数的性质包括顶点坐标、对称轴、开口方向和零点等。

理解二次函数的性质有助于分析函数的图像和解题。

8. 不等式的性质与解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数之间的大小关系。

不等式的性质包括加减乘除的性质、绝对值不等式等。

解不等式时需要注意不等式两边的符号变化和解集的表示方法。

以上就是新高一数学第二讲的一些知识点介绍。

高中数学选修4-4第二讲一第2课时圆的参数方程

第二讲参数方程一、曲线的参数方程第2课时圆的参数方程A 级基础巩固一、选择题1．已知圆P ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋10cos θ，y ＝－3＋10sin θ(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )A ．P (1，3)，r ＝10B ．P (1，3)，r ＝10C ．P (1，－3)，r ＝10D ．P (1，－3)，r ＝10解析：由圆P 的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r ＝10.答案：C2．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数) 解析：由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．答案：D3．已知圆O 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，圆上点A 的坐标是(4，－33)，则参数θ＝( )A.7π6B.4π3C.11π6D.5π3解析：由题意⎩⎨⎧4＝2＋4cos θ，－33＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，所以⎩⎨⎧cos θ＝12，sin θ＝－32(0≤θ<2π)，解得θ＝5π3. 答案：D4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2. 答案：B5．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2. 所以直线与圆相交，但不过圆心．答案：D二、填空题6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2， y ＝4t 21＋t 2，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)．答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)7．已知曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为P (x ，y )，定点为A ，则|PA |＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2＝ 9＋42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，故|PA |min ＝9－42＝22－1.答案：22－18．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．解析：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)消参可得 x 2＋(y ＋1)2＝1，利用圆心到直线的距离d ≤r 得|－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2.答案：x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]三、解答题9．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点．(1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解：方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tan φ＝2确定)，所以1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立．因为－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1，所以当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．10．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.B 级能力提升1．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(a －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34，φ为锐角，所以最大值为36.答案：A2．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2sin θ，y ＝2cos θ(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x 轴交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：令y ＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π2或3π2，当θ＝π2时，x ＝－3＋2sin π2＝－1，当θ＝3π2时，x ＝－3＋2sin 3π2＝－5，故|AB |＝|－1＋5|＝4.答案：43．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎨⎧x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎨⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)。

五年级奥数小学数学培优--第二讲---巧解平均数问题(一)

第___讲巧解平均数问题（一）1 基础平均数问题方法与技巧：（1）直接求法：利用公式求出平均数,这是由“均分”思想产生的方法。

总数量÷总份数=平均数（2）基数求法：利用公式求平均数。

这里要先设各数中最小者为基数，它是由“补差"思想产生的方法。

基数+各数与基数的差÷总份数=平均数例1:李师傅前4天平均每天生产30个零件，改进技术后，第5天生产零件55个。

问:李师傅5天中平均每天生产多少个零件？做一做 1：五（1)班有学生40人，数学期末考试有三位同学因病缺考，全班平均成绩是80分。

后来这三位同学补考，成绩分别为88分，87分和85分，问:这是全班同学的平均成绩是多少？例2：王师傅前4天平均每天生产26个零件，第5天生产零件数比5天的平均数还多4。

8个.王师傅第5天生产多少个零件？做一做 2:一个学生前6次测验的平均分为93分，比七次测验的平均分高3分，他第七次测验得了多少分？例3：小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分才能把平均成绩提高到86分。

这一次是第几次测验?做一做 3:小松前几次考试的平均成绩是84分，这一次考了94分，就把平均成绩提高到86分。

这一次是第几次考试?例4:有一次考试，某小组10人的平均成绩是87分，前八位同学的平均成绩是90分,第九位比第十位多2分.第十位同学得了多少分？做一做 4:10位同学在一次考试中的平均分是81分,去掉最高分和最低分，其余8位同学的平均分数是80分，已知最高分与最低分相差20分,最高分是多少？例5:一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时每小时行40千米,为了按时到达,后3小时每小时加快5千米.求汽车的平均速度。

做一做5:从甲地到乙地的路程是60千米，小林去时速度为每小时15千米，回来时速度为每小时10千米。

问:小林往返的平均速度是多少？例6：一辆汽车从甲地开往乙地，上坡速度为每小时60千米，下坡速度为每小时100千米。

第二讲频率的稳定性(基础讲解)-2020-2021学年七年级数学下(北师大版)

第二讲频率的稳定性【学习目标】1、感受生活中的随机现象，并体会不确定事件发生的可能性大小；2、通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性，理解概率的意义【知识总结】一、事件发生的频率在n 次重复试验中，不确定事件A 发生了m 次，则比值mn 称为事件A 发生的频率．二、频率发生的稳定性在试验次数很大时，某一事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性．三、频率的稳定性无论是抛掷均匀的硬币还是抛掷图钉，在试验次数很大时正面朝上(钉尖朝上)的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性．四、概率我们把刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率，记为P(A)．一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A 发生的频率来估计事件A 发生的概率．五、各种事件发生的概率必然事件发生的概率为1，我们用P(必然事件)＝1表示；不可能事件发生的概率为0，我们用P(不可能事件)＝0表示；不确定事件发生的概率是大于0且小于1的，我们用0<P(不确定事件)<1表示．【典型例题】【类型】一、利用试验求不确定事件发生的频率例在一个不透明的盒子中有2个白球和1个黄球，每个小球除颜色外，其余的都相同，每次从该盒中摸出1个球，然后放回，搅匀再摸，在摸球试验中得到下表中部分数据：试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 摸出黄球的频数 142438526797111120136摸出黄球的频率0.350.32 0.33 0.34 0.36 0.35 0.35 0.33 0.34(1)将上表补充完整；(2)根据上表中的数据在下图中绘制折线统计图；(3)观察该图表可以发现，随着试验次数的增加，摸出黄色小球的频率有何特点？ (4)请你估计从该盒中摸出1个黄色球的机会是多少．图6－2－3[解析] (1)根据频数与频率的关系，频数等于频率与样本容量的积，代入数据可得答案； (2)根据(1)的数据，进而可以绘制折线统计图； (3)由(2)的折线图，观察可得结论；(4)观察折线统计图可知，出现黄色小球的频率逐渐稳定在0.34附近，进而可得答案．解： (1)根据频数与频率的关系，频数等于频率与样本容量的积，第二行第7列应填的数据为240×0.36＝86.4≈86，第三行第3列应填的数据为24÷80＝0.3，故填入的数据为86，0.3. (2)根据(1)的数据，绘制折线统计图如图6－1－所示．图6－2－7(3)从折线统计图可以看出，随着试验次数的增加，摸出黄色小球的频率逐渐平稳．(4)观察折线统计图可知，出现黄色小球的频率逐渐稳定在0.34附近，故摸出黄球的机会约为34%. [归纳总结] 频率＝事件发生的次数试验总次数.在大量重复试验下，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，即频率具有稳定性．【类型】二、频率和概率的关系例1 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )A ．频率就是概率B ．频率与试验次数无关C ．概率是随机的，与频率无关D ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率[解析] D 大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．A .频率只能估计概率；B .试验次数越多，频率越稳定；C .概率是固定的；D 正确． [归纳总结] 大量反复试验下频率的稳定值即概率．【类型】三、利用频率估计概率例2某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：图6－2－13(1)计算并完成表格：转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率mn(2)请估计，当n 很大时，频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？解： (1)转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率mn0.680.740.680.690.7050.701(2)当n 很大时，频率将会接近0.7. (3)获得铅笔的概率约是0.7.[归纳总结] 在大量试验情况下，事件发生的频率会在一个常数附近波动，这个常数就是事件发生的概率．事实上，人们常把大量试验时事件发生的频率作为概率的近似值。

《基础数学(第1册》教学课件 02

（1）数集x | x a 区间 ( a，∞) ；（2）数集x | x b 区间 ( ∞，b) ；（3）数集x | x ≥ a 区间 [ a，∞) ；（4）数集x | x b 区间 ( ∞，b] ；（5）实数集R如果用区间来表示，可以记作( ∞，∞) ．
以上介绍的开以上这5种区间统称为无限区间．
如下图所示，由图可知
A B (3，∞) B ，
A B [ 1，∞) A．?
20
例9
设全集为R，集合 A ( ∞，4) ，集合
B ( 2，6]，求
（1） A， B ；（? 2）B A ．
解将集合A，B在数轴上表示出来，如下图
所示，由图可知（1） A [ 4，∞) ， B ( ∞，2] (6，∞) ；（2）B A [ 4，6] ．
x
|
3
x
位置靠左的点对应的实数
大2? 表示的区间就是
左半开区间，记作 ( 3，2] ．
；
2.2.1 有限区间
16
综上所述，设 a，b 为任意实数，且 a b，则有
（1）（2）
数集 x | a x b 区间 ( a，b ) ；数集x | a x b 区间 [ a，b ] ；
（3）
数集x | a x b 区间 [ a，b ) ；
如果 a b，则 a c b c ．
证明 a b a b 0 ，
bcbc0 ，
于是 (a b) (b c) 0 ，
即
ac0 ，
因此
ac ．
证明 a b a b 0 ，
因为 a b (a c) (b c) ，
所以
(a c) (b c) 0 ，
故
acbc ．
且未知数的最高次数是二次的不等式，

高中数学必修一第二讲子集、全集、补集

BA第二讲子集、全集、补集子集的定义：如果集合A中的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作BA⊆,读作A包含于B;或者记作AB⊇,读作B包含A.子集的性质：（1）A⊆∅, AA⊆（2）若一个集合中含有n个元素，则它的子集个数有n2个真子集的定义：如果A是B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则称A是B的真子集，记作A⊂≠B,读作A真包含于B.真子集的性质：（1）∅⊂≠A(其中A是任意的非空集),（2）若一个集合中含有n个元素，则它的真子集个数有12-n个子集、真子集（BA⊆, A⊂≠B）关系用韦恩图表示为：全集的概念：如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。

补集的概念：一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A U⊆），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。

记作：∁U A；读作：A在U中的补集；符号语言表达式为：∁U A{},x x U x A=∈∉且；韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）：补集性质：（1）UCU=φ(2) φ=UCU(3) AACCUU=)(（4）BA⊆，则BCACUU⊇例1.（1）{}aA,3,1=，{}1,12+-=aaB，BA⊇，求a。

（2）已知{}01|=+=ax x A ，{}056|2=--=x x x B ，B A ⊆，求a 。

（3）已知{}04|2=+=x x x A ，{}01)1(2|22=-+++=a x a x x B ，若A B ⊆，求a 。

经典练习：已知{}52|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，若A B ⊆，求m 的范围例2.设全集{}32,3,22-+=a a U ，{}2,12-=a A 。

（1）若{}5=A C U ，求实数a 的值（2）若A B ⊆，集合{}3=B C A ，求集合B 与集合U 。

中考数学总复习第2讲整式及因式分解二次函数(基础讲

第2讲整式及因式分解考标要求考查角度1.明确字母表示数的真实内涵及其规范的书写格式，能用代数式探索有关的规律．2．会用语言文字叙述代数式的意义，同时掌握求代数式的值的方法．3．理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则和去括号的法则以及乘法公式，能准确地进行整式的加、减、乘、除、乘方等混合运算．4．能对多项式进行因式分解.整式作为初中数学的基础内容之一，在中考试题中多以填空题和选择题的形式命题，重点考查其基本概念及运算法则，同时也会设计一些新颖的探索与数、式有关的规律性问题.知识梳理一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与__________的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的________因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的____叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的______叫做多项式；多项式中，每一个________叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中__________项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：a m·a n＝______，(a m)n＝______，(ab)n＝a n b n，a ma n＝a m－n(m，n是正整数)．三、同类项与合并同类项1．同类项所含字母相同，并且相同字母的______也分别相同的项叫做同类项．2．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做____________，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的______，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要______．2．整式的乘除(1)整式的乘法．①单项式与单项式相乘：把______、__________分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m (a ＋b ＋c )＝ma ＋mb ＋mc ．③多项式与多项式相乘：(m ＋n )(a ＋b )＝ma ＋mb ＋na ＋nB ． (2)整式的除法．①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的______作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a ＋b )÷m ＝a ÷m ＋b ÷m . 3．乘法公式(1)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2；(2)完全平方公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的____的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解的方法 (1)提公因式法．公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法．①运用平方差公式：a 2－b 2＝__________.②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝________. 3．因式分解的一般步骤一提(提取公因式法)；二套(套公式法)．一直分解到不能分解为止．自主测试1．(2012福建福州)下列计算正确的是( )A ．a ＋a ＝2aB ．b 3·b 3＝2b 3C ．a 3÷a ＝a 3D ．(a 5)2＝a 72．下列各式中，与x 2y 是同类项的是( )A ．xy 2B ．2xyC ．－x 2yD ．3x 2y 23．(2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m ，宽为2n (m ＞n )的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空白部分的面积是( )A ．2mnB ．(m ＋n )2C ．(m －n )2D ．m 2－n 24．(2012四川宜宾)分解因式：3m 2－6mn ＋3n 2＝__________.5．单项式－3π5m 2n 的系数是______，次数是______．考点一、整数指数幂的运算【例1】 (2012湖南郴州)下列计算正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．a ＋a ＝a 2C ．(a 2)3＝a 6D ．a 8÷a 2＝a 4解析：A 项是同底数幂的乘法，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项错误；B 项是整式的加减运算，a ＋a ＝2a ，故B 项错误；C 项是幂的乘方，(a 2)3＝a 2×3＝a 6，故C 项正确；D 项是同底数幂的除法，a 8÷a 2＝a 8－2＝a 6，故D 项错误．答案：C方法总结幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．触类旁通1下列运算中，正确的是( )A ．x 3·x 2＝x 5B ．x ＋x 2＝x3C ．2x 3÷x 2＝xD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 32考点二、同类项与合并同类项【例2】单项式－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，则a －b 的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．1解析：本题主要考查了同类项的概念及方程组的解法，由－13x a ＋b y a －1与3x 2y 是同类项，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.所以a －b ＝2－0＝2. 答案：A方法总结 1.同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别相同．二者必须同时具备，缺一不可；2．同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如xy 2与－y 2x 也是同类项． 3．根据同类项概念，相同字母的指数相同，列方程(组)是解此类题的一般方法．触类旁通2如果3x 2n －1y m 与－5x m y 3是同类项，则m 和n 的取值是( ) A ．3和－2 B ．－3和2 C ．3和2 D ．－3和－2 考点三、整式的运算【例3】先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2，其中a ＝3，b ＝－13.解：(a ＋b )(a －b )＋(a ＋b )2－2a 2＝a 2－b 2＋a 2＋2ab ＋b 2－2a 2＝2ab ，当a ＝3，b ＝－13时，2ab ＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2. 方法总结整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a ，b 所表示的两个数及公式的结构特征，注意套用公式．触类旁通3 已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值．考点四、因式分解【例4】 (2012湖南常德)分解因式：m 2－n 2＝__________. 答案：(m ＋n )(m －n )方法总结 (1)因式分解时有公因式的要先提取公因式，再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解．(2)提取公因式时，若括号内合并的项有公因式，应再次提取；注意符号的变换y －x ＝－(x －y )，(y －x )2＝(x －y )2.(3)应用公式法因式分解时，要牢记平方差公式和完全平方公式及其特点． (4)因式分解要分解到每一个多项式不能分解为止．1．(2012湖南常德)下列运算中，结果正确的是( )A ．a 3·a 4＝a 12B ．a 10÷a 2＝a 5C ．a 2＋a 3＝a 5D ．4a －a ＝3a 2．(2012湖南益阳)下列计算正确的是( )A ．2a ＋3b ＝5abB ．(x ＋2)2＝x 2＋4C ．(ab 3)2＝ab 6D ．(－1)0＝13．(2012湖南湘潭)因式分解：m 2－mn ＝__________.4．(2012湖南益阳)写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：__________.5．(2012湖南怀化)当x ＝1，y ＝15时，3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝__________.6．(2012湖南株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 3，－8x 4，…观察其规律，推断第n 个数据应为__________．1．将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( )A ．(x －2)2＋3B ．(x ＋2)2－4C ．(x ＋2)2－5D ．(x ＋2)2＋42．如图所示，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式( )A ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )D ．(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 23．多项式__________与m 2＋m －2的和是m 2－2m .4．若3x m ＋5y 2与x 3y n 的和是单项式，则n m＝__________.5．若m －n ＝2，m ＋n ＝5，则m 2－n 2的值为__________．6．若2x ＝3,4y ＝5，则2x －2y的值为__________．7．给出3个整式：x 2,2x ＋1，x 2－2x .(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？参考答案【知识梳理】一、1.多项式 2.数字和 3．和单项式次数最高二、a m ＋n a mn三、1.指数 2.合并同类项系数五、1.(2)变号2．(1)①系数同底数幂 (2)①指数六、1.积2．(2)①(a ＋b )(a －b ) ②(a ±b )2导学必备知识自主测试1．A a ＋a ＝2a ，A 项正确；b 3·b 3＝b 6，B 项错误；a 3÷a ＝a 2，C 项错误；(a 5)2＝a 10，D 项错误．2．C 只有C 选项中相同字母的指数与x 2y 分别相同．3．C 因为长方形的长为2m ，宽为2n (m ＞n )，则小长方形的长为m ，宽为n ，小正方形的边长为(m －n )，所以面积是(m －n )2.4．3(m －n )2 原式＝3(m 2－2mn ＋n 2)＝3(m －n )2.5．－3π53探究考点方法触类旁通1.A A 项是同底数幂相乘，x 3·x 2＝x3＋2＝x 5，B 项中的两项不是同类项，不能合并，C 项是单项式相除，2x 3÷x 2＝(2÷1)x 3－2＝2x ，D 项⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23＝x 323＝x38.触类旁通 2.C 此题考查同类项概念和二元一次方程组的解法，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －1＝m ，m ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 触类旁通3.分析：本题需先把2x －1＝3进行整理，得出x 的值，把代数式进行化简，再把x 的值代入即可求出结果．解：由2x －1＝3得x ＝2，又(x －3)2＋2x (3＋x )－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2，∴当x ＝2时，原式＝14.品鉴经典考题1．D a 3·a 4＝a 7，所以A 项不正确；a 10÷a 2＝a 8，所以B 项不正确；a 2与a 3不是同类项，不能合并，所以C 项不正确；4a －a ＝3a ，D 项正确．2．D 2a 与3b 不能合并，A 项不正确；(x ＋2)2＝x 2＋4x ＋4，B 项不正确；(ab 3)2＝a 2b 6，C 项不正确；由任何一个不等于零的数的零次幂等于1，知D 项正确．3．m (m －n ) m 2－mn ＝m (m －n )．4．答案不唯一，如x 2－1.5．5 3x (2x ＋y )－2x (x －y )＝6x 2＋3xy －2x 2＋2xy ＝4x 2＋5xy .当x ＝1，y ＝15时，原式＝4×12＋5×1×15＝4＋1＝5.6．(－2)n －1x n x 的系数为1＝(－2)1－1，次数为1；－2x 2的系数为－2＝(－2)2－1，次数为2；4x 3的系数为4＝(－2)3－1，次数为3；－8x 4的系数为－8＝(－2)4－1，次数为4；….所以第n 个数据的系数为(－2)n －1，次数为n ，即(－2)n －1x n.研习预测试题1．C x 2＋4x －1＝(x 2＋4x ＋4)－4－1＝(x ＋2)2－5.2．C 因为第一个图是一个大的正方形挖去了一个小的正方形，其面积表达式为a 2－b 2.第二个图是一个梯形，下底为2a ，上底为2b ，高为(a －b )，其面积为12(2a ＋2b )(a －b )＝(a＋b )(a －b )，所以两个图验证了公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．3．2－3m 由题意得此多项式为(m 2－2m )－(m 2＋m －2)＝m 2－2m －m 2－m ＋2＝2－3m . 4.14 由题意得m ＋5＝3，n ＝2，所以m ＝－2，所以n m ＝2－2＝122＝14. 5．10 m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )＝5×2＝10. 6.35 2x －2y ＝2x ÷22y ＝2x ÷4y ＝3÷5＝35. 7．解：(1)x 2＋(2x ＋1)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2或x 2＋(x 2－2x )＝2x 2－2x ＝2x (x －1)或(2x＋1)＋(x 2－2x )＝2x ＋1＋x 2－2x ＝x 2＋1.(2)由(1)可知，概率为23.。

2020考研数学高等数学基础讲义第二讲讲义(上)

（ｃｓｃ狓）′ ＝－ｃｓｃ狓ｃｏｔ狓
（ａｒｃｓｉｎ狓）′ ＝１槡１－狓２
（ａｒｃｃｏｓ狓）′ ＝－１槡１－狓２
（ａｒｃｔａｎ狓）′
＝
１１＋狓２
（ａｒｃｃｏｔ狓）′ ＝－１＋１狓２
（ｌｎ（狓＋槡狓２＋１））′ ＝１槡狓２＋１
（ｌｎ（狓＋槡狓２－１））′ ＝１槡狓２－１
— ４４ —
［ｌｎ（狓＋１）］（狀）＝（－１）狀－１·（（狀１－＋狓１））狀！，狓＞－１
烄１烌（狀）烆狓＋犪烎
＝
（－１）狀·
狀！（狓＋犪）狀＋１
求下列参数方程所确定的函数的三阶导数ｄｄ狓３狔３：
烄狓＝ｌｎ（１＋狋２），
烅
烆狔＝狋－ａｒｃｔａｎ狋．
【分析】
— ５１ —
（６）高阶导数
① 高阶求导烄（狌±狏）（狀）＝狌（狀）±狏（狀）
狀
∑ （狌狏）（狀）＝
烅
狌狏Ｃ犽（狀－犽）（犽）狀犽＝０
＝狌（狀）狏＋狀狌（狀－１）狏′
— ４０ —
【例３】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ５４第８题］
设犳（狓）可导，犉（狓）＝犳（狓）（１＋狘ｓｉｎ狓狘），则犳（０）＝０是
犉（狓）在狓＝０处可导的（）．
（Ａ）充分必要条件
（Ｂ）充分条件但非必要条件
（Ｃ）必要条件但非充分条件（Ｄ）既非充分条件又非必要条件
【分析】
— ４１ —
求导，称为对数求导数．【例１】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６９第４（３）题］用对数求导法求下列函数的导数：
【分析】
狔＝槡狓＋（狓２＋（３１－）５狓）４．
— ４８ —
【例２】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６９第４（４）题］用对数求导法求下列函数的导数：

【教培专用】数学五年级下册第二讲因数与倍数(一) 基础版(含答案、学生版+教师版)人教版

第2讲因数与倍数(一)知识点一：因数与倍数1、如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c 就是a和b的倍数。

因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。

例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。

2、因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。

(1是所有非0自然数的因数)一个数的因数的求法：成对地按顺序找3、倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。

例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。

一个数的倍数的求法：依次乘以自然数知识点二：2、5、3的倍数的特征1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。

2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。

3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

考点1：因数与倍数【典例1】下面每组数中，有因数和倍数关系的是（）A．7和4B．3.6和0.9C．4和32D．0.5和1【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数）；由此进行选择即可。

【解答】解：根据因数和倍数的意义可知：A、7÷4＝1…3，不能整除，所以7和4不是倍数关系；B、3.6和0.9是小数，所以3.6和0.9不是倍数关系；C、32÷4＝8，所以属于因数和倍数关系的是4和32；D、0.5和1中，0.5是小数，所以0.5和1不是倍数关系。

故选：C。

【点评】此题考查了因数和倍数的意义，要熟练掌握。

【典例2】有数字卡片8、12、6、18、2、24，既是24的因数，又是6的倍数的是（）A．12、6、2B．6、18、24C．12、6、24D．8、12、2【分析】先找出24的因数，然后找出24以内（包括24）的6的倍数，进而结合题意，得出结论．【解答】解：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；24以内的6的倍数有：6，12，18，24；所以数字卡片8、12、6、18、2、24，既是24的因数，又是6的倍数的是：6，12，24．故选：C．【点评】解题的关键是：根据求一个数的倍数的方法和求一个数的因数的方法，进行分析、解答．【典例3】30的最大因数和最小倍数都是（）A．15B．30C．60【分析】根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；进行解答即可。

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二元函数 f ( x1 , x2 ) 方向导数的定义式
f lim f(x1 0 x1,x2 0 x2)f(x1 0,x2 0)
d d 0 x0
d
x0(x10, x20)
16
f x 2 x0
f d
x0
f x1 x0
f dx0
f x1
x0
cos1xf2
x0
cos2
17
对于三元函数
f (x1, x2, x3)
一元函数的泰勒展开 f ( x ) 在 x x 0 f(x)f(x 0)f(x 0) x1 2f(x0) x2
23
将上述式子写成矩阵形式
海赛（Hessian) 矩阵 G(x)
f(x 0) f(x0)T x1 2 xT G (x0) x
24
二次型函数
25
x 当对任何非零向量使
f(x)xTGx0
四. 优化问题的数学模型
实际问题的数学抽象
一般的数学形式：
求设计变量使
x [x 1 x 2
f(x)min
且满足约束条件
hk (x) 0 g j (x) 0
x n]T
(k1,2, ,l) (j1,2, ,m )
1
利用可行域的概念，简化数学模型
设同时满足
h k ( x ) 0
g j( x ) 0
f d
x0
f x1
x0
cos1
f x2
x0
cos2
f x3
x0
cos3
对于n 元函数
f(x1,x2, xn)
f
d
x0
n i1
f xi
x0
cosi
18
二、梯度
以二元函数 f ( x1 , x2 ) 为例，
f
f
(x0)
x1 f
x
2
x0
f dx0
f x1
x0
cos1xf2
x0
cos2
人字架的优化设计
4
五、优化问题的几何解释
无约束优化
在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数的极小点。
在设计空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，
约束优化
是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。
极小点
5
不起作用约束
极
极
值
值
点
点
等值线
极值点处于多角形的某一顶点上
力的参数（主动力、约束反力、力矩等），质量参数（质量、转动惯量等）、能量、功率、惯性力、重力、不平衡量等
质量、体积、效率（或功耗）、温升、可靠性、承载力（强度、刚度、耐磨性等）、寿命、成本（或价格）等
结构参数优化设计和结构件的质量最小；边界上的最大应力最小；
形状优化设计
应力集中系数最小等；
14
第二章优化设计的数学基础
主要内容：（重点）
1）无约束优化问题的极值条件 2）等式约束优化问题的极值条件
3）不等式约束优化问题的极值条件
（难点）
方向导数与梯度凸集、凸函数与凸规划
15
第二章优化设计的数学基础
第一节多元函数的方向导数与梯度一. 方向导数
函数 f(x) 在某点处沿某一方向的变化率
f (xk1) f (xk )
f (xk )
4
3）当某次迭代点的目标函数梯度已达充分小时。
f (xk ) 5
13
以上准则都在一定程度上反映了达到极值点的特点，但不能保证是全局最优点。很可能是局部最优点判断全局最优点的常用方法：
同时取若干个相距甚远的初始点，考察它们最后迭代的最优解是否趋于同一解。
f x1
f cos1
x2
x0
cos2
f (x0)Td
d 方向单位向量
19
f d
x0
f (x0)Td
f(x0) cos(f,d)
梯度的模
梯度方向是函数值变化最快的方向
梯度的模是函数变化率的最大值
20
f (x1,x2)C
f dx0
f(x0)
cos(f,d)
0
cos(f,d)0
f d
梯度方向是等值面的法线方向
limxk1 x* 极值
k
收敛的充要条件：对于 0
xm xn
迭代过程的终止条件（终止准则）
1）当相邻两个设计点的距离充分小时，用向量模计算长度，则
xk1 xk 1
xk1 i
xik
2
(i1,2, ,n)
12
迭代过程的终止条件（终止准则）
2）当函数值的下降量已达充分小时。
f(xk1)f(xk) 3
极值点处于等值线的中心
线性划问题
非线性规划问题
6
起作用约束
起作用约束
极值点处于约束曲线与等值线的切点上
极值点处于约束曲线与等值线的切点上
7
两个约束都是起作用约束
极值点处于两个约束曲线的交点上
8
§1-4 优化设计问题的基本解法
求解优化问题：
解析解法
数学模型复杂时不便求解
数值的近似解法求复杂函数的优化解
则二次型函数正定。
正定矩阵
26
第三节无约束优化问题的极值条件
极值条件
指目标函数取得极小值时，极值点所应该满足的条件。
对于可微的一元函数 f ( x ) 取极值的必要条件： f (x0) 0
极值点拐点
f ( x 0 )
f (x0) 0 f (x0) 0 f (x0) 0
极小点极大点无法定
结论：开始不为零的导数阶数若为偶数，则为极值点；若为奇数，则为拐点。
的设计集合点为R
( k 1 ,2 , ,l )
(j 1 ,2 , m )
优化问题的数学模型：
x 求设计变量
使
min f (x)
x R
今后的优化问题
2
优化问题的分类
1）有无约束
无约束优化问题约束优化问题
等式约束优化问题不等式约束优化问题
2）约束函数与目标函数是否同时为线性函数
线性规划问题非线性规划问题
21
二、梯度
二元函数 f ( x1 , x2 ) 在 x0(x10, x20) 处的梯度
f
f
(x0)
x1 f
x
2
x0
推广到多元函数 f(x1,x2, xn) 在 x0(x10,x20, xn0)
f
x1
f
处的梯度f (x0) Nhomakorabeax
2
f
x n x 0
22
第二节多元函数的泰勒展开
数值解法：
试验数据
插值、拟合
近似函数式
求最优解
9
在数值迭代中，有两种迭代方法:
改进点
xk1 Ckxk
对角矩阵初始点
xk1xkxk
xk kdk
步长
搜索方向
10
图1-11 寻求极值点的搜索过程
算法的核心
11
迭代过程的终止条件（终止准则）
收敛性是指某种迭代程序产生的序列 {xk(k0,1, )}
3）目标函数的个数
单目标函数优化多目标函数优化
4）问题的规模
大型优化 >50 中型优化 =10~50
小型优化 <10
3
表1 常用优化设计的可选优化目标
项目
可供选择的优化目标
平面四杆机构的优化设计
机构优化设计
运动学优化设计
动力学优化设计
产品及机械零部件优化设计
运动误差（如轨道曲线误差、位置角误差等），某点的速度、角速度、加速度等