结构力学——矩阵位移法课件
合集下载
结构力学-矩阵位移法-PPT
a11 AB a21
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵 将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩 阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件： （1）矩阵是一个方阵。 （2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列 式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）
结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点 常见单元单元刚度矩阵的建立 单元刚度矩阵的坐标变换 矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应 关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确 写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义 及方法。 掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形 的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。
结构力学 矩阵位移法课件
3
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结 点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本 未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行 结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个 结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截 面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相 连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这 一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社 科技分社 出版社 科技分社
确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些 编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的 单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别 是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)
结构力学教学课件-09矩阵位移法
实践应用
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
学习者可以通过实际的结构分析案例，将矩阵位移法应用于实际问题中，加深理解和掌 握。
THANKS
感谢观看
矢量与张量
在结构力学中，矢量与张量是描述结 构内力和位移的重要工具，矩阵位移 法中需要用到这些概念。
矩阵位移法的计算步骤
建立结构离散化模型
将结构划分为若干个离散的单元，每个单元 具有一定的自由度。
建立单元刚度方程
根据结构力学中的刚度原理，建立每个单元 的刚度方程。
集成整体刚度方程
将所有单元的刚度方程集成在一起，形成整 体刚度方程。
课程目标
掌握矩阵位移法的基本原理和步骤，理解如何应 用矩阵位移法解决实际工程问题。
学会使用相关软件进行结构分析，提高解决实际 问题的能力。
培养学生对结构力学学科的兴趣和热爱，为今后 从事土木工程领域的工作打下基础。
02
矩阵位移法基础
矩阵位移法概述
矩阵位移法是一种基于矩阵运算的数值分析方法，用 于解决结构力学中的位移问题。
结构力学教学课件-09矩阵位移法
目 录
• 引言 • 矩阵位移法基础 • 矩阵位移法的基本原理 • 矩阵位移法的应用实例 • 结论
01
引言
课程背景
01
结构力学是土木工程学科中的重 要基础课程，矩阵位移法是结构 力学中的一种重要分析方法，用 于解决结构的位移和内力问题。
02
随着计算机技术的发展，矩阵位 移法在结构分析中得到了广泛应 用，因此掌握矩阵位移法对于土 木工程师来说具有重要意义。
矩阵位移法的应用范围
矩阵位移法广泛应用于各种工程结构的分析，如桥梁、建筑、机械等 。
下一步学习建议
深入学习矩阵位移法的数学基础
为了更好地理解和应用矩阵位移法，建议学习者深入学习线性代数和数值分析等相关数 学基础。
第八章矩阵位移法-135页PPT
Fyi Fxj
F4 Fyj
8-1 概述
31
刚架单元
结构坐标系
1 (e) ui (e)
2
v
i
δ (e)
δi (e)
δ
j
3 4
i u j
5
6
8-1 概述
10
3．结构坐标系(整体坐标系)
• 对整个结构建立统一的坐标系 • 在整体分析中，采用统一的坐标来
描述结构的结点和单元位置等。
8-1 概述
11
4．单元坐标系(局部坐标系)
• 针对每一单元的坐标系 x o y
• 以杆轴线的某方向作为 x 轴正向，在轴线
上以箭头作正方向标记，以垂直于杆件轴线 方向为 y 轴，本章采用右手坐标系
u 1v 1 1u 2v 2
2u 3v 3
3u 4v 4
T 4
8-1 概述
20
结点位移
若平面刚架有n个结点
Δ u 1v 11u 2v 22 u nv nn T
第i结点的位移为 Δ i ui vi iT
则n个结点的位移向量为
Δ Δ 1 Δ 2 Δ nT
F x 1F y 1M 1F x 2F y 2M 2F x 3F y 3M 3F x 4F y 4M 4T
8-1 概述
25
刚架的结点力向量
• 第i结点的结点力为 Fi = ( Fxi Fyi Mi )T
• 刚架的结点力向量为 F =(F1 F2 F3 … Fi … Fn )T
结构力学第五版第十章矩阵位移法ppt课件
k12
p3 k31 k32 k33 3
k112
简记为 P k---结构刚度方程
k21 k31
k 211 =1 k22
1
k
1 22
1
k32
2
k
2 21
k --结构刚度矩阵(总刚)
k11 k111 k21 k211
k31 0
k13 k121
k23 k33
=1
3
k12 k112 k22 k212 k121 k32 k221
1 2 3
6 3 P3
3 (P3 01 4 2 ) /(8 N ) 3 0
六.非结点荷载
(1).等效结点荷载
PE
PPEE12
PE3
PE1
PE 2
PE 3
---结构等效结点荷载
“等效”是指等效结点荷载引起的结点 位移与非结点荷载引起的结点位移相同
(2).等效结点荷载的计算
1
4
6/ 1.5
8
1.5 1 1
3
2
2
EI1 6 EI 2 24
4m 4m 12m
1
2
1
2
EI1 6
8m
34
3
2
3
1
2
k 2
4
24 4
/12
4 1 2 8 2 3
34
12
k
3
3 1.5
1.5 1 3
3
2
4
3 1.5 0 0
k 1.5 11
4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
1 2
Fq
2
ql 2 /12 ql2 /12
矩阵位移法ppt课件
e
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
i
u j , Fxj
e
vi , Fyi
0 0 0 0 EA l 0 EA l 0
v j , Fyj
0 0 0 0
ui v i u j v j
e
杆端力向量
单刚矩阵
杆端位移向量
22
坐标变换
上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前， 由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换 成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简 称为坐标变换。 坐标变换矩阵 —单元系与结构系的关系： F x yj y 结构系 x 轴沿逆时针转至单元系 y x 轴所转过的角度记为 。 Fxj j Fyi —单元系下的杆端力 Fxj e —结构系下的杆端力 Fyj i Fxi e e Fxi Fxie Fxi cos Fyi sin Fyi 表示为 e e e F F sin F cos yi xi yi x o e e Fxje Fxj cos Fyj sin 矩阵形式 e e Fyje Fxj sin Fyj cos
原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平 衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的1、2结 点）和无约束的内部结点（如图示结构的3结点）；前类结点已知结点位移而 未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 M 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 P 3 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 I, A I, A 方程后才能求解。 2 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法 1 可分为先处理法和后处 理法。
《矩阵位移法》课件
实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例 进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精 度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度 桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数 据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精 度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。 同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法 进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能 够精确地计算出结构的位移和内力， 尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷 ，包括静载、动载以及温度载荷等， 适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算 机程序实现，便于进行大规模的结构 分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题 ，考虑不同尺度之间的相互作用 和影响，为复杂系统提供更准确 的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用 于求解线性方程组和解决各种数值计 算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利 用矩阵运算来求解未知数，具有高效 、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多 个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优 化，提高算法的效率和稳定性。
结构力学课件 结构力学课件矩阵位移法nm
k 1 3 k 2 3 k 3 3 k 4 3 k 5 3 k 6 3
k 1 4 k 2 4 k 3 4 k 4 4 k 5 4 k 6 4
1 , k k 1
0 0 0 0 0 1
α=90°
k
e
T
0 1 T 0 0 0 0
T
k T
e
第十章 矩阵位移法
扬 州 大 学 水 利 学 院
§10-4 整体分析
本节的整体分析是在单元分析的基础上，综合考虑静力、几何和物理三方面
6 EI l
2
i i
uj
12 EI l
3
vj vj
6 EI l
2
j
Mi X
6 EI l
2
4 EI l EA l
6 EI l
2
2 EI l
j
j
EA l
3
ui
Yj M
12 EI l
2
vi
6 EI l
2
i
12 EI l
2 3
vj
6 EI l
2
j
6 EI l
j
vi
2 EI l
i
6 EI l
vj
4 EI l
j
第十章 矩阵位移法
扬 州 大 学 水 利 学 院
F 1 e F 2 F 3 F 4 F 5 F 6
EA l 0 0 EA l 0 0
F
ke
结构力学课件矩阵位移法整体分析-先处理法
第八章 矩阵位移法 8.4 整体分析
Global analysis
第八章 矩阵位移法 8.5 先处理法
后处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
点力列阵； 3. 建立局部坐标系下单元刚度矩阵，坐标变换，建立整体坐标
4(0,0,7) x
O
（2）建立结点位移列阵和结点力列阵
y
FP1 2(1,2,3) FP2 3(4,5,6)
②
①
③
1(0,0,0) O
4(0,0,7)
FP1
0
1
2
F
0 0
,
3 4
FP
2
5
0
6
0
7
x
（3）建立整体坐标系下单元刚度矩阵
k e
ke TT k eT
k (3) 46
k (2) 56
k (3) 56
k (2) 66
k (3) 66
0 1
0
2
0 k (3)
47
3 4
k
(3) 57
5
k
(3) 67
6
k
(3) 77
7
先处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
l 6EI
l2
4 0
0
0
4EI
0
l
②单元
y 3(1,0,3)
2(1,0,2)
②
4(1,0,4)
①
③
1(0,0,0)
5(0,0,0) x
Global analysis
第八章 矩阵位移法 8.5 先处理法
后处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
点力列阵； 3. 建立局部坐标系下单元刚度矩阵，坐标变换，建立整体坐标
4(0,0,7) x
O
（2）建立结点位移列阵和结点力列阵
y
FP1 2(1,2,3) FP2 3(4,5,6)
②
①
③
1(0,0,0) O
4(0,0,7)
FP1
0
1
2
F
0 0
,
3 4
FP
2
5
0
6
0
7
x
（3）建立整体坐标系下单元刚度矩阵
k e
ke TT k eT
k (3) 46
k (2) 56
k (3) 56
k (2) 66
k (3) 66
0 1
0
2
0 k (3)
47
3 4
k
(3) 57
5
k
(3) 67
6
k
(3) 77
7
先处理法的计算步骤
1. 结点、单元标码，并选择整体坐标系和局部坐标系； 2. 结点位移分量编码，建立整体坐标系下的结点位移列阵和结
l 6EI
l2
4 0
0
0
4EI
0
l
②单元
y 3(1,0,3)
2(1,0,2)
②
4(1,0,4)
①
③
1(0,0,0)
5(0,0,0) x
结构力学课件 第十章 矩阵位移法
• 分别绘在结上，如图b 所示。
图17-12 返回 下一张 上一张 小结
• 第六节 矩阵位移法解题步骤
• 具体步骤如下：
• 1）将结构划分为若干个单元，并将各单元和结点进行编号。 • 2）选择结构坐标系及局部坐标系。 • 3）计算等效结点荷载，建立结点荷载列向量和结点位移列向
• 2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。
• 3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚 度矩阵中。
• 17.3.2 结构总刚度方程
•
方程 K 式F中：
• {F} — 结构的结点力列向量；
• — 结构的结点位移列向量；
• [K] —结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。
返回 下一张 上一张 小结
e
j
• 结点的杆端力列向量为：
e
F
i
e
Xi
Y
e i
e
M i
e
X j
F
e
j
e Y j
e
M j
• 注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致 为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。
返回 下一张 上一张 小结
• 17.2.3 单元杆端力与杆端位移之间的关系式
• 2）在 B、C 两点没有附加约束的情况
• 下，施加与上述固端剪力和固端弯矩
• 大小相等方向相反的力和力矩，如图
• 7-10（c）所示。
• 3） （a）=（b）+（c）
• 4）等效结点荷载为汇交在每一结点的
• 固端剪力的代数和以及固端弯矩代数
• 和，但方向相反。
•
图7-10
返回 下一张 上一张 小结
x
结构力学 第三十八讲 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆 件不考虑轴向变形，则结点位移未知量编号及单元定 位向量如下：
2(1,0,2) ①
② 1(0,0,0)
3(1,0,3) 4(1,0,4)
③ 5(0,0,0)
{}(1) [1,0,2,1,0,3]T {}(2) [1,0,2,0,0,0]T {}(3) [1,0,4,0,0,0]T
3
1、结点位移未知量编号（整体码）1 为了确定各单元的定位向量，
要按照结点编号从小到大的顺序对
A①
②
0 4
C0
x
结构每个结点的未知量u、v、θ 0 B
y
统一进行编号。
0 0
若某个结点位移未知量等于零，则整体码编号为零。
则图示刚架的位移向量和相应结点力向量为：
（1） uA
（（32））
vAA
（4） C
F
F1 F2
F1 F2
4i1 2i2
4i2
4i2
2i2 3i3
4i4
12
或写为： F K K 为整体刚度矩阵
第十一章 矩阵位移法
二、直接刚度法
F1
直接刚度法以传统位移法的 基本体系为力学模型。
1
F2
② 2③
i2
i3
分别建立单元局部坐标和整 i1 ① 体坐标如图。
i4 ④
1、结点位移分量的统一编码―整体码（总码） 图11-9所示刚架整体结构的结点位移向
量 ：
(1 2 3 4)T
(uA vA A c )T
相应结点力向量为： {F}=(F1 F2 F3 F4)T
2、单元定位向量?
图11－9
第十一章 矩阵位移法 2、单元定位向量
结构力学教学课件09矩阵位移法ppt
所在行、列的副元素以及同行 的未知结点荷载改为0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
满足边界条件3 0，
保持矩阵原有阶数和对称性
上节课内容概述
✓边界支承条件的处理； ✓非节点荷载的移置； ✓连续梁的矩阵分析； ✓坐标变换
静力等效原则 移到邻近结点
仅有结点荷载 作用的结构
假想约束 固定各结点
M1F, j
&
M
F 2
,
j
矩阵位移法 分析
0
0.4
69
0.625
0
0.469
1.25
（1） 各杆在局部坐标系中的 单元刚度矩阵
3.0
0
k
(2)
106
0 3.0
0
0
0 0.12 0.3
0 0.12
0.3
0 0.3 1.0 0 0.3 0.5
3.0 0 0 3.0 0 0
0 0.12 0.3
0 0.12 0.3
单元①
1
1
2 2
单元②
1
2
2 3
刚架的整体刚度矩阵,对号入座
k
k11 k21
(1) (1)
k (1) 12
k22 (1) k11 (2) k (2)
21
k12
(2)
k22
(2)
3.75 0
0 3.75 0
0
0
0
0
0
0.234 0.469
0 0.234 0.469
0.6 0.8 0 0
0
0
T
0 0
0
0
01 0
0 0
0 0 cos sin 0
0 0 sin cos 0
00 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
keEl A11 11kk1211 kk1222
单刚具有对称性：
由反力互等定理可知 kij k ji keTke
单刚一般具有奇异性： 受力角度：存在刚体位移，杆端位移无法唯一确定 数学角度：向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。
16
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
由变形连续条件知，结点发生单位位移，交于该结点的各 单元的杆端也发生单位位移，由此产生的单元杆端力应是单 元刚度矩阵中的元素。
结点单位位移产生的结点力是整体刚度矩阵中的元素。由 平衡条件知交于某结点的各单元杆端力之和等于该结点的相 应结点力。故整体刚度矩阵中的元素应是由对应的单元刚度 矩阵中的元素叠加而成。
综上所述，整体刚度矩阵可以根据单元的结点位移 分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度 矩阵集成结构整体刚度矩阵。
24
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
y
FP
FR1 FR2
离散
FR3
1
x
FR4
1
FR1 1(1,2)
FR2
3(5,6) FP
2 2
2
1
FR3 2(3,4)
FR4
25
第四节 整体分析
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
8
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一 般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然 后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程，在 满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整 体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的 计算问题转化为简单单元分析和集合问题。
EA l u1
u1 e
1
EA 2
EA
l u2
1
e
u2
EA 2
EA l u1 EA
l u2
局部坐标 系下的单 刚方程
F1e E l A u1eE l A u2e
F 2eE l A u1eE l A u2 e
F1e F2
El A11
11uu12e
Fekee
ke El A11
1 1
14
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
结构力学
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
2
学习目的和要求
矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些 术语和提法。
6
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件端点位移 结构结点位移
位移法
1、整体刚度矩阵的集成
整体刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系 式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来 的。无论何种结构，其整体刚度方程都具有统一的形式：
KΔ P
[K]是整体刚度矩阵； {Δ}结构的结点位移列向量； {P}结构的结点力列向量。
23
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
26
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
将离散单元集合时应满足位移协调和平衡条件
位移协调
3(5,6)
Δ1δ11
FP
Δ2δ12
2
1
2
Δ 3δ21δ22
2
1
1
1(1,2)
2(3,4)
27
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
将离散单元集合时应满足位 FP
R1F11
1
1
3
K
1
k11
0
1
k21
1
0 0
0
k12
1
0
k22
1
2
2 3
0
K 2
0
0
0
k11 2 k21 2
0
k12
2
k22
2
30
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成 按位叠加得整体刚度矩阵
KK1K2
k11 1
0
k21 1
0
k11 2 k21 2
k12 1
k12 2
k22 1 k22 2
1、整体刚度矩阵的集成
分别写出整体坐标系下单元刚度方程
F F12ekk1211 kk1222eδ δ12e
F1e
X1 Y1
e
δ1e
uv11
e
F2 e
X2 Y2
e
δ2 e
uv22
e
F 1 e k 1 e 1 δ 1 e k 1 e 2 δ 2 e
F 2 e k 2 e 1 δ 1 e k 2 e 2 δ 2 e
整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的 单元刚度矩阵有类似的特性（对称、奇异）。另外， 局部坐标系中的单元刚度矩阵只与单元的几何形状、 物理常数有关；整体坐标系中的单元刚度矩阵不仅与 单元的几何形状、物理常数有关，还与单元的位置和 方位有关。
22
第四节 整体分析
利用结点位移协调和结点力平衡条件将各单元整合到一 起,得到一个关于结点位移的线性代数方程——集零为整
δeTδe
19
第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
1、单元坐标转换矩阵
两种坐标系中单元的杆端力转换关系为：
y
x Y 2 F 2
y
e2
X2
局部坐标系下的分量
X1 1
整体坐标系下的分量
F1
x Y 1 X1 e cos
0
XY12
Y2
sin
0
0
0
cos sin
FF12
e
FeTTFe
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具
体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出 的结果就是力。
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，
目前广为采用。
7
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
11
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元 的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方 程，并用矩阵形式表示。
1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 局部坐标系和整体坐标系。
y
xx
FP
整体坐标
y
局部坐标
y
x
12
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴）时，杆端力及
杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。
y
EA
杆件方向： 1 2
F1e u1 1
e
l
F
e 2
2 u2
x
杆端位移： u1, u2
杆端内力： F1 , F2
13
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物 理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
4
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方 法。 采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电 子计算机进行自动化计算的要求。
用局部量表示整体量 ？
20
第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
2、整体坐标系中的单元刚度矩阵
F eTTFeTTkeδe TT keTekee
Fe kee
ke T T keT
整体坐标系下的单刚与局部坐标
系下的单刚性质相同
21
第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
3、整体坐标系中的单元刚度矩阵的特性
R2F12
1
P 3F 21F 22 1
FR1 1(1,2)
FR2
2 2
2
1
FR3 2(3,4)
FR4
28
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
单元结点分量按单元定位向量向整体刚度矩阵安装
集成整体刚度矩阵的关键，是确定单元刚度矩阵中的元素在整
体刚度矩阵中的位置。
首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
与单元刚度方程相应的正、反两类问题
力学 模型
解的 性质
正问题 e
F e
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。
控e 制附加约束加以指
定。
e 为任何值时，F e都
有对应的唯一解，且总
是平衡力系。
反问题 F e
e
将单元视为两端自由的
杆件，F直e 接加在自由端
作为指定的杆端力。
F e为不平衡力系时， e
keEl A11 11kk1211 kk1222
单刚具有对称性：
由反力互等定理可知 kij k ji keTke
单刚一般具有奇异性： 受力角度：存在刚体位移，杆端位移无法唯一确定 数学角度：向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。
16
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
由变形连续条件知，结点发生单位位移，交于该结点的各 单元的杆端也发生单位位移，由此产生的单元杆端力应是单 元刚度矩阵中的元素。
结点单位位移产生的结点力是整体刚度矩阵中的元素。由 平衡条件知交于某结点的各单元杆端力之和等于该结点的相 应结点力。故整体刚度矩阵中的元素应是由对应的单元刚度 矩阵中的元素叠加而成。
综上所述，整体刚度矩阵可以根据单元的结点位移 分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度 矩阵集成结构整体刚度矩阵。
24
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
y
FP
FR1 FR2
离散
FR3
1
x
FR4
1
FR1 1(1,2)
FR2
3(5,6) FP
2 2
2
1
FR3 2(3,4)
FR4
25
第四节 整体分析
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
8
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一 般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然 后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程，在 满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整 体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的 计算问题转化为简单单元分析和集合问题。
EA l u1
u1 e
1
EA 2
EA
l u2
1
e
u2
EA 2
EA l u1 EA
l u2
局部坐标 系下的单 刚方程
F1e E l A u1eE l A u2e
F 2eE l A u1eE l A u2 e
F1e F2
El A11
11uu12e
Fekee
ke El A11
1 1
14
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
结构力学
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
2
学习目的和要求
矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些 术语和提法。
6
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件端点位移 结构结点位移
位移法
1、整体刚度矩阵的集成
整体刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系 式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来 的。无论何种结构，其整体刚度方程都具有统一的形式：
KΔ P
[K]是整体刚度矩阵； {Δ}结构的结点位移列向量； {P}结构的结点力列向量。
23
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
26
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
将离散单元集合时应满足位移协调和平衡条件
位移协调
3(5,6)
Δ1δ11
FP
Δ2δ12
2
1
2
Δ 3δ21δ22
2
1
1
1(1,2)
2(3,4)
27
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
将离散单元集合时应满足位 FP
R1F11
1
1
3
K
1
k11
0
1
k21
1
0 0
0
k12
1
0
k22
1
2
2 3
0
K 2
0
0
0
k11 2 k21 2
0
k12
2
k22
2
30
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成 按位叠加得整体刚度矩阵
KK1K2
k11 1
0
k21 1
0
k11 2 k21 2
k12 1
k12 2
k22 1 k22 2
1、整体刚度矩阵的集成
分别写出整体坐标系下单元刚度方程
F F12ekk1211 kk1222eδ δ12e
F1e
X1 Y1
e
δ1e
uv11
e
F2 e
X2 Y2
e
δ2 e
uv22
e
F 1 e k 1 e 1 δ 1 e k 1 e 2 δ 2 e
F 2 e k 2 e 1 δ 1 e k 2 e 2 δ 2 e
整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的 单元刚度矩阵有类似的特性（对称、奇异）。另外， 局部坐标系中的单元刚度矩阵只与单元的几何形状、 物理常数有关；整体坐标系中的单元刚度矩阵不仅与 单元的几何形状、物理常数有关，还与单元的位置和 方位有关。
22
第四节 整体分析
利用结点位移协调和结点力平衡条件将各单元整合到一 起,得到一个关于结点位移的线性代数方程——集零为整
δeTδe
19
第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
1、单元坐标转换矩阵
两种坐标系中单元的杆端力转换关系为：
y
x Y 2 F 2
y
e2
X2
局部坐标系下的分量
X1 1
整体坐标系下的分量
F1
x Y 1 X1 e cos
0
XY12
Y2
sin
0
0
0
cos sin
FF12
e
FeTTFe
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具
体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出 的结果就是力。
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，
目前广为采用。
7
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
11
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元 的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方 程，并用矩阵形式表示。
1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 局部坐标系和整体坐标系。
y
xx
FP
整体坐标
y
局部坐标
y
x
12
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴）时，杆端力及
杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。
y
EA
杆件方向： 1 2
F1e u1 1
e
l
F
e 2
2 u2
x
杆端位移： u1, u2
杆端内力： F1 , F2
13
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物 理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
4
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方 法。 采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电 子计算机进行自动化计算的要求。
用局部量表示整体量 ？
20
第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
2、整体坐标系中的单元刚度矩阵
F eTTFeTTkeδe TT keTekee
Fe kee
ke T T keT
整体坐标系下的单刚与局部坐标
系下的单刚性质相同
21
第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
3、整体坐标系中的单元刚度矩阵的特性
R2F12
1
P 3F 21F 22 1
FR1 1(1,2)
FR2
2 2
2
1
FR3 2(3,4)
FR4
28
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
单元结点分量按单元定位向量向整体刚度矩阵安装
集成整体刚度矩阵的关键，是确定单元刚度矩阵中的元素在整
体刚度矩阵中的位置。
首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
与单元刚度方程相应的正、反两类问题
力学 模型
解的 性质
正问题 e
F e
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。
控e 制附加约束加以指
定。
e 为任何值时，F e都
有对应的唯一解，且总
是平衡力系。
反问题 F e
e
将单元视为两端自由的
杆件，F直e 接加在自由端
作为指定的杆端力。
F e为不平衡力系时， e