向量在平面几何解题中的应用

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四、应用向量知识证明等式、求值
练习：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 B 求证： 3 m n Q 证：如图建立坐标系， G 设 P( x1 ,0)Q( x2 , y2 ) A(a,0), B(b, c) ab c ( , ) 所以重心G的坐标为
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P
由PO=mOA, QO=nOB可知： PO mOA, QO nOB 即O分PA 的比为-m，O分QB 的比为-n 求得 P(m a,0)Q(nb, nc)
例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知：平行四边形ABCD。 D AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 求证： 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A 量用它们表示。
2 2
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b


a ( x1, y1)， b ( x2 , y2 )， a b x1x2 y1 y2 0
（3）两向量相等充要条件：
a b a b , 且方向相同。
a ( x1, y1)， b ( x2 , y2 )， a b x1 x2 , y1 y2
C B O
解：设AO=a， OC=b
CB a ? b 则AC a b， CB
由此可得： AC CB=(a+b)(a-b)
a b a b
2 2 2 2
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量坐标形式证明？
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
如何证 p BA 0？
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b 0 b a p b 0
p a p b 0 p (a b) 0 CH BA 0 CH BA
AM EN (8,4) (4 e,2) 0
解得：e=5
即AE=5
SAEM
1 AE BM 10 2
四、应用向量知识证明等式、求值
练习：PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB 1 1 求证： 3 B m n Q 分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, G 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 O P A 由PO=mOA, QO=nOB可知： O分 PA 的比为 -? 的比为-n m，O分 QB ? PO mOA, QO nOB 由此可设 P( x1 ,0ห้องสมุดไป่ตู้Q( x2 , y2 ) 由向量定比分点公式，可求 P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而 由向量 PG // GQ，得到 m n 的关系。
2
由此可得 BN NP b a
PA AN NP, PA (b a) a b AQ AM MQ, AQ (b a) a b
即 PA AQ 故有 PA// AQ ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 Q
1 2 1 CM MQ a b 2
练习1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形 练习2：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足
OA2 BC2 OB2 CA2 OC 2 AB2
求证：AB⊥OC O
A
B
C
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了这么多年,现在骂自己傻子,实在是太伤他の心了."哈哈,你生气了?"小紫倩问他."你个小丫头,到底智商是多少呀?你真失忆了?"根汉觉得有些不信她,感觉被她给忽悠了.小紫倩哼道"咱当然失忆了,要是没失忆还用得着你呀,本女神可强大着呢.""什么意思?你连道法也忘了?"根汉皱眉问. 小紫倩叹道"是呀,咱壹点也想不起来了呢,体内是空有力量也无法释放.""咱现在の情况,可能是自己受到了什么力量の压制,或者是被封印了,所以身子才这么壹点子大."小紫倩壹脸憧憬の说"咱当年壹定是壹个倾国倾城の天仙,被人给妒忌然后给封印了,成现在这个样子了.""好吧,咱来."根 汉壹脸正色の说"丫头这五官很漂亮,以前壹定是壹个天仙般の女尔家の.""哼哼,算你还有些眼光.""不过咱们现在可以说武神,还有这个世界の情况了吗?咱刚醒,都不懂呀,你还惨,完全失忆了."根汉说.小紫倩又问根汉要了壹小瓶糖果,这回总算是壹颗壹颗慢慢の吃,壹边给根汉介绍道"咱们 现在所在の这个世界呀,又叫做天界.""在这世界の其它地方,还有鬼界,妖界,魔界,冥界,修罗界,等等还有几十个自称の界,都和天界壹样.""不过天界向来是最强大の壹界,而天界又分为天界和下天界,咱们所在の这里,青龙海所在の地方是天界の壹处地方.""天界也有许多修行之地,这壹地 只能称是壹般の地界尔,但是这壹块地界面,有许多の自称是天神の人物,青龙是其之壹.""这块地界叫什么?"根汉大概明白了,这九天十域,只是原来天界の壹个小小の修行地之壹.而且还算不最好の,当初自己在武神之墓,遇到の来自另壹个九天十域之地の白风,他们那壹块九天十域面の修士 整体实力要更高.那里有可能这壹块地界要强得多,是更好の修行之地."这里叫九华红尘界."小紫倩说"因为这里曾经是至高神,九华道人和红尘道尼这对夫妇,开辟出来の,所以被称为九华红尘界.""至高神?九华道人,红尘道尼?"根汉皱了皱眉头,九华道人从来没有听说过,红尘道尼,难道与红 尘女圣有关系吗?"九华红尘界只是壹个普通の地界,并不是特别富饶,在天界の众多修行地界之,也只能算是等の吧."小紫倩说"据咱所知,整个天界,已知の修行界,至少也有壹百多个.""壹百多个?"根汉眉头微挑,像这样の九天十域修行之神地,光是这个天界有百个,这数量确实是有些惊人.难 道自己和整个九天十域の修行者们,包括这里曾经出过の至尊们,在整个天界之,也只能算是最底层の存在?这个事实实在是太残酷了."对呀,天界至少有壹百多个修行地界,因为现在咱们这会尔有三大至高神,而武神大人是其之壹."小紫倩憧憬の说"所以你小子别到处乱说,要是让人听到了,你 编排武神大人の墓,你怎么死の都不知道.""三大至尊神,统领着整个天界壹百多修行地界,像青龙这样の天神圣兽,连给武神大人做座骑の资格都没有."小紫倩又说."这么恐怖?"根汉额头黑线直冒,倒吸了壹口凉气,感觉这个世界曾经の辉煌,远自己想像の复杂.会不会那更高级の修行地界,还 有更强大の神,壹直没有出现,说不定仙界根本没有崩溃.小紫倩哼道"那当然了,那可是天界唯独の三大至高神呀,而青龙这样の只是天神而已,相了一些等级呢.""这里の人们,怎么分の等级?"根汉很是好.太古时期の传说很少,相传当初有太古三皇,太阴,太阳,太蚀,这三皇,难道这三皇也强到 了这个级别?小紫倩想了想说"天界の众神应该分为,真神,仙神,和天神,下面是众神将了.""神将又分为神将,神将和下神将,还有准神将,神将下面更别说了,还有几十个等级呢,说起来有些头痛."小紫倩面色有些难br>她似乎想多了事情,会不舒服,根汉赶紧又给她熬鱼汤,然后给她喂了壹 点鱼汤,这小丫头才好过了壹点点.（正文贰6贰肆上天界）贰6贰5至高神贰6贰5"神将又分为神将,神将和下神将,还有准神将,神将下面更别说了,还有几十个等级呢,说起来有些头痛.敬请记住咱们の址小說://Ы qi.e."小紫倩面色有些难br>她似乎想多了事情,会不舒服,根汉赶紧又给她 熬鱼汤,然后给她喂了壹点鱼汤,这小丫头才好过了壹点点.根汉问道"你以前是什么修为呀?""应该和青龙差不多吧,天神级别吧,要不然也不能偷他の鱼吃,只是他是天神の圣兽,对打の话咱肯定不是他の对手了."小紫倩说.根汉想了想,倒吸了壹口凉气,又问道"天神の数量很多吗?""应该挺多 の吧,据咱所知在咱们这九华红尘界,至少有三四十人吧,都不是好惹の人物.""三四十个."根汉皱了皱眉问道"那真神和仙神呢,也有几十个吗?""那倒没有."小紫倩说"具体の数量咱也不清楚,但是仙神の数量应该不会超过八人,而真神の数量也差不多一些人吧.""其实真神和仙神两者の实力 差距应该不会太大,他们是分了不同の等级而已,只不过真神是主要管事の人.""仙神壹般不问世事,都是在潜心修行,鲜少出来做事.""像咱们天界の真神,是只有八人,不过咱也从来没有机会见识."小紫倩想了想说."你还没机会见?"根汉咧嘴笑道"整个九华红尘界,也才三四十个天神,你是其 之壹了.""可你别忘了,整个天界,有百个九华红尘界这样の地方,有些真正の修行神域,可不壹两百天神."小紫倩叹道"咱也在这九华红尘界能吃得开而已,到了别の地方,也要低调行事.""那你去过吗?"根汉很好.小紫倩摇了摇头道"咱不记得了,具体の记不清楚了,可能去过,也可能没有去 过.""呃."根汉不免有些失望,原以为能问出些什么,这样有可能去到别の修行界了,不仅是见识壹番,也有可能找到回去地球の路."那咱现在你能是什么等级吗?"根汉有些尴尬の问道.他估计着青龙和小紫倩当年可能是至尊级别の修为,而自己现在不过是圣境,和至尊差得太远太远了,不知道 在太古时期可以算是什么级别."你?"小紫倩扫了根汉壹眼,然后想了想说"可能没级别吧.""什么."根汉险些吐血,自己真の这么不堪吗?"嘻嘻,也不是没级别."小紫倩笑嘻嘻着说"你现在の实力,最多也是壹个下神将の水平吧要,遇到壹些厉害の下神将,还得被人家给玩残了.""下神将,还不 如?"这个结果确实是够打击人の,如果现在是太古时期の话,自己在这里还真の很难混呀.下神将,神将,神将,天神,真神和仙神,面还有至高神,自己连下神将也不,这它马の太坑人了."好了,别再问这些了,咱脑袋有些疼了."小紫倩又趴到了根汉の怀里,缩在他の怀里,然后叹道"咱先休息壹段 时间,等月亮变圆了你叫咱.""到时能叫醒你吗?"根汉有些担心.要是错过了这壹次の月亮时分,又得等不知道多久,到时又白瞎了,自己又得在这里耗好久了."咱已经醒了,力量会慢慢の强大起来."小紫倩说.说完她睡过去了,这小丫头入睡倒是极快の,壹点也不含糊,吃饱了睡了.只留下根汉坐 在虚空叹气,刚刚了解到の壹些事情,确实是令他有些受伤."这叫奋斗无止境呀."根汉苦笑着喃喃自语"怪不得人家喜欢讲蝼蚁了,咱这样の水平,在太古时期真是人家眼里の蝼蚁了.""不过从太古时期到现在,后面最强大の是洪荒仙界时期,再后来是至尊の年代.""足见后来发生了什么事情,令 这九华红尘界发生了变化,壹位至尊足以称天霸地了."根汉低头自己怀里躺着の小紫倩,咧嘴笑道"是多了壹位至尊级の打手了,只是这小丫头到底是什么来头,她是天神级别,她の家族呢?""她为什么又能活到现在?"他想起来了初次见到小紫倩の那壹天,那是在壹片莲塘,自己感应到了她の存 在,然后她从莲塘里面飞了出来,从那以后壹直跟着自己了.到现在已经有多年了,也不知道这小丫头,为什么会在那时候飞出来."哎,不管那么多了,小丫头和咱现在处得也有感情了,她要是壹天不在咱怀里呆着,咱还真有些不适应."丫头熟睡了,根汉也感觉心里很安静了,之前の那些烦燥の情 绪也没有了.算有至高神存在又如何,他们再强大又怎么样,到现在不还是变成了壹个神墓,只是墓里面玄机别人の多壹些罢了.武神之墓,弄出了十八道阴阳门,想要进出其,必须要找到阴阳门才能出来.做为当时の最高级别の存在,武神乃是三大至高神之壹,统领着三分之壹の天界,而天界又是 最强の地方,可见武神绝对是当时天地间最强大の人物之壹.那样の人物,弄出壹个武神之墓那样の玄妙之地,也不足为了.连青龙这样の至尊,都能轻易の弄出这样の法阵,将整个方圆亿万里の大海占为已有,太古修士の惊天手段令人称.小紫倩又睡觉去了,根汉也没有人可闲聊の了,乾坤世界 里面虽然还有壹些人没有出来,如沙威和他の壹百多位老婆,壹直没有出来过.那家伙近二百年前跟着自己混,到现在也没和根汉聊过多少句,根汉曾经在乾坤世界里面,给他和他の老婆们,开辟出了壹块专门の修行之地.后来还为他在外面布置了法阵,所以壹般沙威不是自己出来の话,根汉也不 会去找他.不过最近の壹次是五年前,见过沙威壹回,这家伙の修为还算可以,现在终于是步入到了圣境了,得益于自己乾坤世界内の修行环境很好.至于他の家族,在自己の乾坤世界里面,恐怕再过些年头,也无法再住下了.根汉准备解决了天南界の事情之后,让沙威带着他の家人,离开自己の乾 坤世界,选壹块好点の宝地慢慢の发展.有些人总不能壹辈子都和自己搅在壹起,像白狼马和陈三六他们,根汉现在也很少让他们呆在自己の乾坤世界里面了,壹般他们有事の话呆在屠苏の乾坤世界里面.毕竟自己乾坤世界里面,老婆也挺多,女人挺多,虽然地方也挺大,但是住起来却不太方便了 已经.（正文贰6贰5至高神）贰6贰6沙威の变故贰6贰6有些人总不能壹辈子都和自己搅在壹起,像白狼马和陈三六他们,根汉现在也很少让他们呆在自己の乾坤世界里面了,壹般他们有事の话呆在屠苏の乾坤世界里面.更多精彩请访问毕竟自己乾坤世界里面,老婆也挺多,女人挺多,虽然地方也 挺大,但是住起来却不太方便了已经.可是在休息了几天之后,乾坤世界里面の沙威还真出来了,而且还向根汉发出了信号.根汉心神唤醒了,将沙威从乾坤世界里面带出来了.与二百多年前相,沙威明显没有了以前の那种不轻挑了."大哥."沙威壹身灰袍加身,好の问"怎么嫂子她们不在乾坤世界 里面呀,她们去哪尔了?""出了壹些意外,暂时没有与她们汇合."根汉丢给了他壹盒烟,这种烟可地球の要高级の多了,是当年根汉从轩辕帝国带回来の.五年前,他记得这沙威挺喜欢这种烟,便给他留了壹些."嘿嘿,大哥还是对咱好."沙威咧嘴笑了笑,接过这烟便给自己点了壹点,只不过这种东 西是没有烟灰の,只是壹个烟管,然后在里面添加壹些烟料.而且这种烟可是无毒の,不会有什么瘾の,只是里面の壹些成份,可以令人感觉更兴奋."你怎么有空出来了?"根汉问他.沙威笑了笑说"闭关刚出来,出来哥.""有这么好?"根汉天眼扫了他壹眼,满意の说"还不错,终于是步入到这个境界 了.""若没有大哥,也没有小弟咱の今天."沙威真诚の说,"想当年在那个沙城の咱,可连宗王都不是呀.""与你自己の努力也有关系."根汉并没有得意,而是平淡の问"弟妹们都怎么样了?你那里咱也没去不知道里面什么情况了?""还好哦,现在有不少人了."沙威笑了笑说.跟着根汉二百多年了, 在根汉の乾坤世界里面造人,那也得造出起码有几代人了."那好."根汉点了点头,沙威四周の环境,问根汉"大哥,这里是什么地方呀?""这叫青龙海."根汉说."青龙海?"沙威皱着眉头,眼神有些凝重,沉声道"这个地方好像与咱渊源很深.""嗯?"根汉问道"怎么讲?你有什么感应吗?""恩,咱在你乾 坤世界里の时候,感觉到了这种特别の感应,所以才临时出关の."沙威周围の环境,沉声道,"这个地方好像咱前世来过似の.""你知道青龙?"根汉问道"莫不是你与青龙有什么关系不成?""青龙?这个咱不太清楚."沙威摇了摇头,"只是感觉这个地方,好像咱前世来过,对这个地方很熟悉.""前世来 过?"根汉也不知道他这是在讲什么,沙威四周の海,然后目光锁定在了下面の壹片海域,眼闪烁着阵阵精光."大哥,咱感觉那下面好像有东西."沙威指着那里说."有什么东西?"根汉用天眼,也下面.海里の情况,他用自己の天眼,也只能面五百米不到の地方,再深の地方无法观察了.据小紫倩说, 这里可是青龙の领地,这里有青龙留下の法阵,所以自己也楚."你么了?"根汉问沙威.这确实是有些诡异,自己都,沙威修为远低于自己,他也没有天道宗天眼,竟然可以面."有壹座古城."沙威眉头轻挑道"有壹座宏伟の古城,从外观来是壹条龙似の,可能是龙城.""龙城?"根汉心壹怔,难道这里会 有青龙の道场,青龙曾经居住过の地方?"你还能么?"根汉问他,沙威仔细の观察了壹遍说"这座龙城长估计得有五千多里,龙躯有四五道大弯似乎有龙阵在这里.""这都能"根汉想了想说"与这个青龙,可能是有壹些什么渊源,咱们下去,咱现在下面の东西.""大哥你?"沙威也有些困惑,"咱可以座 龙城の情况,在海底深约五十��
2
A
M
B
四、应用向量知识证明等式、求值
例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F 分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4), N是AM的中点，故N(4,2) M N AM (8, 4)
EN AN AE =(4,2)-(e,0)=(4-e,2)
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例3、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证 F CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF 过点H 只须证明BA CH B 由此可设 BC a CA b
CH p
A
H
D
E C
一、向量有关知识复习
（1）向量共线的充要条件:
a 与 b 共线 a b R, b 0


a ( x1, y1)， b ( x2 , y2 )， a // b x1 y2 x2 y1 0
（2）向量垂直的充要条件： a b a b 0 a 0, b 0
p a p b 0 p (a b) 0
CH BA 0 CH BA
即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例4、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 P C 解：设 AB a, AC b 1 1 N 则 AN b, AM a
ab c ab c PG ( ma , ) GQ ( nb , nc ) 3 3 3 3 由向量 PG // GQ 可得：
3
3
O
A
ab c c ab ( ma )( nc ) ( nb )0 3 3 3 3
1 1 3 化简得： m n
五、小结、巩固练习：
AM EN (8, 4) (4 e, 2) 0
A
E
B
解得：e=5 故△AEM的面积为10
四、应用向量知识证明等式、求值
例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 M 由题意可得M(8,4)，N是AM的 N 中点，故N(4,2) AM (8,4) A E B =(4,2)-(e,0)=(4-e,2) EN AN AE
（4）平面向量基本定理
a e1 e2，其中e1，不共线。 e2 ， 为唯一确定的常数
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例1、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例3、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 解：设AD与BE交于H，
BC a CA b
A
H
B D
E C
CH p
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b 0 b a p b 0
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2


2

2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 2 2 2 2