向量在平面几何解题中的应用
向量在平面几何中的应用
D.垂心
3.设ABC的三边的中点坐标分别为(1, 2),(4, 1),(1, 1), 则ABC的重心坐标为 ______
【解题回顾】本题中，通过建立恰当的坐标系，赋予几何图
形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的 代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.应深刻领悟到 其中的形数结合思想.此外，题中坐标系建立的恰当与否很 重要，它关系到运算的繁与简.
例3.已知ABC的外接圆的直径是2, O是ABC的外心, 且OA OB OC 0,求证 : ABC是正三角形.
例4.求证ABC的三条高交于一点
向量法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距 离、夹角等；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
向量法解决几何问题一般思维策略:
平面几何问题 转化 平面向量问题
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图，你能发现平行四边形对角
线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
DB AB AD,
AC AB AD,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想,平行四边形有相似关系吗？
例1. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用近年来，向量知识在平面解析几何中的应用受到越来越多的关注。
解析几何是研究二维空间上的几何图形，其中向量知识通常是帮助理解和解决几何问题的重要工具。
举例来说，本文将重点介绍平面解析几何中向量知识的三个典型应用，包括表示几何对象、分析基本性质和构造几何图形。
首先，表示几何对象是平面解析几何中最基础、最重要的应用。
在几何学中，我们往往会用向量来表示一个几何对象，其中向量可以表示一个点、一条直线或一个平面。
例如，我们可以用向量P = (x, y)表示一个平面上的点P，而用向量A = (a, b, c)表示一条直线A，用向量N = (n1, n2, n3)表示一个平面N。
不仅如此，我们还可以用向量来表示几何对象之间的位置关系，其中向量和运算可以表示平面上点与点、点与直线、直线与直线的距离或垂直关系。
其次，分析基本性质是平面解析几何中常用的应用。
在平面解析几何中，我们可以利用向量知识来分析几何对象的基本性质，比如线段的长度、平行线间的距离或者大圆弧的弧长等等。
计算这些基本性质往往要求我们掌握向量的加减运算以及向量的点积与叉积。
同时，我们可以利用向量知识来确定点与点之间的距离、点在直线上的坐标、直线与直线的位置关系等等，这些知识的应用可以大大提高我们的解决能力。
最后，构造几何图形也是向量知识在平面解析几何中的重要应用。
一般来说，在解析几何中，我们往往要根据给定的构造要求绘制几何图形，这要求我们充分运用向量知识来确定各个图形的位置关系和几何性质。
例如，我们可以根据给定点P、Q和R，通过运用向量知识来构造三角形PQR，或者根据给定的直线ABC点，通过运用向量知识来构造向量AB和向量AC的夹角等等。
综上所述，向量知识在平面解析几何中有着重要的应用。
它不仅可以帮助我们更好地表示几何对象，分析基本性质，还可以用来构造几何图形，有效地指导我们解决几何问题。
因此，学习和掌握向量知识对于掌握平面解析几何是至关重要的。
5.5平面向量应用
= .
A
B
解： = ∙ = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
同理：
=
− ∙ + （）
（1）+（2）得：
+
= （
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，对 与 进行计算.
（1） ， 分别对质点所做的功；
（2） ， 的合力F对质点所做的功。
17.在风速为（ − ）/的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
作
业
答
案
(3)基底向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基底向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
3.用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则：
选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.具有公共原点的两
条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直
A
Q
B
P
C
课后作业：
4.在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，用向量方法证明 ⊥ .
5.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点。求证： ⊥ （利用向量证明）.
D
C
F
A
E
B
6.如下图，在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠ = ，求对角线AC和BD的长.
又因为 = − = − ； 与共线，所以我们设： = = ( − )
向量的应用
向量的应用
向量是几何中重要的概念，也是数学中常常用到的工具，广泛应用于物理、工程、计
算机科学等各个领域。
下面将介绍一些向量的常见应用。
1. 平面几何中的向量应用：
在平面几何中，向量可以表示平面上的点、线段、三角形等。
我们可以用两个向量表
示平面上的一条直线，可以用三个向量表示一个平面，可以用向量的线段来表示一个位移
和距离等。
向量的叉积可以用来判断两个向量是否平行、垂直，以及求解平面上的面积
等。
2. 物理学中的向量应用：
在物理学中，向量被广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。
位移
向量可以用来表示物体的位置变化，速度向量可以用来表示物体的运动速度和方向，加速
度向量可以用来表示物体的速度变化率等。
通过向量的运算，可以方便地计算物体之间的
相对速度、加速度，以及其他相关的物理量。
4. 计算机科学中的向量应用：
在计算机科学中，向量被广泛应用于描述二维和三维图形的坐标和方向。
我们可以用
二维向量表示平面上的一个点的坐标，用三维向量表示空间中的一个点的坐标，用向量的
加法和减法进行坐标的变换和计算。
向量的点乘和叉乘可以用来计算向量之间的夹角、距
离和面积等。
向量是数学中非常重要的概念和工具，被广泛应用于物理、工程、计算机科学等各个
领域。
通过对向量的运算和应用，我们可以更方便地描述和计算各种物理量、几何关系和
图形形状等。
向量的应用不仅仅局限于上述几个领域，还有很多其他的应用，如信号处理、优化问题等，具有非常广泛的应用前景。
平面向量的应用(教师版)
平面向量的应用1 平面几何中的向量方法① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；② 力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】 设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】① 证明四边形是平行四边形⇔AB =DC 且AB//DC ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】 已知平行四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，求证AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).【证明】由 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两式相加得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) 即AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)【点拨】利用|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB |2可证明线段长度关系.【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析 设H 是高线BE 、CF 的交点，再证明AH ⊥BC ，则三条高线就交于一点.)设H 是高线BE 、CF 的交点，则有BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 化简得AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 则AH ⊥BC (向量中证明AB ⊥CD ，只需要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析 设BE 、AF 交于O ，证明C 、O 、D 三点共线便可)AF 、CD 、BE 是三角形ABC 的三条中线设BE 、AF 交于点O ，∵点D 是中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 连接EF ，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，∴BO =23BE,∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即C 、O 、D 三点共线， (向量中证明三点A 、B 、C 共线，只需证明AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AF 、CD 、BE 交于一点，即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★) 如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，AB =1，CD =2，∠ABC =75°，∠BCD =45°，则线段EF 的长是 ．【答案】√72【解析】 由图象，得EF →=EA →+AB →+BF →，EF →=ED →+DC →+CF →．∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴2EF →=(EA →+ED →)+(AB →+DC →)+(BF →+CF →)=AB →+DC →．∵∠ABC =75°，∠BCD =45°，∴＜AB →，DC →＞=60°，∴|EF|→=12√(AB →+DC →)2=12√AB →2+DC →2+2|AB|→⋅|DC|→cos ＜AB →，DC →＞=12√12+22+2×1×2×12=√72． ∴EF 的长为√72． 故答案为 √72． 2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC 中，AC ⊥BC ，AC =b ，BC =a ,AB =c ，则c 2=a 2+b 2.【证明】 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 故c 2=a 2+b 2.3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | A BC∴四边形ABCD 是菱形.4(★★)用向量方法证明 设平面上A ，B ，C ，D 四点满足条件AD ⊥BC ，BD ⊥AC ，则AB ⊥CD ．【证明】 因AD ⊥BC ，所以AD →⋅BC →=AD →⋅(AC →−AB →)=0，因BD ⊥AC ，所以AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=0，于是AD →⋅AC →=AD →⋅AB →，AC →⋅AD →=AC →⋅AB →，所以AD →⋅AB →=AC →⋅AB →，(AD →−AC →)⋅AB →=0，即CD →⋅AB →=0，所以CD →⊥AB →，即AB ⊥CD ．5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O,设OA =a ，∵对角线相等 ∴OB =OD =a∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−a 2=0 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB ⊥AD∴四边形ABCD 是矩形.6(★★★) 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1．求证 △P 1P 2P 3是正三角形．【证明】法一 ∵OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，∴OP 1→+OP 2→=−OP 3→．∴|OP 1→+OP 2→|=|−OP 3→|．∴|OP 1→|2+|OP 2→|2+2OP1→•OP 2→=|OP 3→|2． 又∵|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，∴OP 1→•OP 2→=−12．∴|OP 1→||OP 2→|cos∠P 1OP 2=−12，即∠P 1OP 2=120°．B C同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°．∴△P 1P 2P 3为等边三角形．法二 以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则OP 1→=(x 1，y 1)，OP 2→=(x 2，y 2)，OP 3→=(x 3，y 3)．由OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，得{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0.∴{x 1+x 2=−x 3y 1+y 2=−y 3.， 由|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1∴2+2(x 1x 2+y 1y 2)=1∴|P 1P 2→|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√x 12+x 22+y 12+y 22−2x 1x 2−2y 1y 2=√2(1−x 1x 2−y 1y 2)=√3同理|P 1P 3→|=√3，|P 2P 3→|=√3∴△P 1P 2P 3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v 0|=1m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|=√3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|=√3m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．【解析】如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 2⃗⃗⃗⃗ ，则由题意知v 2⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ +v 1⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC =√3，如下图所示，则在直角△OAC中，|v2⃗⃗⃗⃗ |=OC=√OA2+AC2=2，tan∠AOC=√31=√3，又α=∠AOC∈(0 ,π2)，所以α=π3；(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2⃗⃗⃗⃗ |=|OC|=√3，BC=1，如下图所示，则在直角△OBC中，|v1⃗⃗⃗⃗ |=OB=√OC2+BC2=2，tan∠BOC=√3=√33，又∠AOC∈(0 ,π2)，所以∠BOC=π6，则β=π2+π6=2π3，答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1⃗⃗⃗ ，F2⃗⃗⃗⃗ ，且|F1⃗⃗⃗ |=|F2⃗⃗⃗⃗ |，F1⃗⃗⃗ 与F2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．给出以下结论①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0 ,π]；③当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|；④当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|．其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G|=|F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ |为定值，所以G2=|F1⃗⃗⃗ |2+|F2⃗⃗⃗⃗ |2+2|F1⃗⃗⃗ |×|F2⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=2|F1⃗⃗⃗ |2(1+cosθ)，解得|F1⃗⃗⃗ |2=|G|22(1+cosθ)；由题意知θ∈(0 ,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F1⃗⃗⃗ |2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 ,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |2=G22，所以|F1⃗⃗⃗ |=√22|G|，③错误．对于④，当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |2=|G|2，所以|F1⃗⃗⃗ |=|G|，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N⃗，则N⃗=10sinα，设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，AD=6tanα2，由动力矩等于阻力矩得|f|×20cosα=|N⃗|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，∴|f|=6020cosα⋅sinα⋅tanα2=3cosα(1−cosα)≥3(cosα+1−cosα2)2=314=12，∴当且仅当 cosα=1−cosα 即cosα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．巩固练习1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．【答案】2√10km/ℎ【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为v AC →=v 船→+v 水→；大小为|v AC →|=|v 船→+v 水→|=√62+22 =2√10km/ℎ．2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1 ,F 2，且F 1 ,F 2与水平夹角均为45°，|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=10√2N ，则物体的重力大小为 ．【答案】20【解析】如图，∵|F 1→|=|F 2→|=10√2N ，∴|F 1→+F 2→|=10√2×√2N =20N ，∴物体的重力大小为20．故答案为 20．3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】5√3km/ℎ【解析】如图，设AD →表示船垂直于对岸的速度，AB →表示水流的速度，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度．在Rt△ABC 中，∠CAB =30°，|AD →|=|BC →|=5，∴|AC →|=|BC →|sin30°=10，|AB →|=|BC →|tan30°=5√3．故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度5√3km/ℎ．4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|=2N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6N ，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F 所做的功．【答案】24√6 J【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，建立直角坐标系． 则由已知可得OF 1→=(1，√3)，OF 2→=(2√3，2)，OF 3→=(﹣3，3√3)．∴OF →=OF 1→+OF 2→+OF 3→=(2√3−2，4√3+2)．又位移OS →=(4√2，4√2)．∴OF →•OS →=(2√3−2)×4√2+(4√3+2)×4√2=24√6(J)．。
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中平面向量方法的应用分析
高中数学解题中，平面向量方法是一种常用的解题方法。
它主要应用于平面几何、线
性代数和解析几何等领域。
下面将从几个方面分析平面向量方法在高中数学解题中的应
用。
在平面几何中，平面向量方法可以用于解决平面上的点、线、面的位置关系问题。
通
过引入向量的概念和运算法则，可以用向量的加减、数量积等操作来表示和计算线段、向
量的长度、夹角、平行关系等几何性质。
可以用向量来证明平行线之间的距离相等、求解
点在直线上的投影等问题。
在线性代数中，平面向量方法可以用于求解线性方程组。
通过将线性方程组写成矩阵
乘法的形式，并用向量表示未知数，可以将求解线性方程组的问题转化为求解向量的线性
组合的问题。
利用向量的性质和运算法则，可以通过增广矩阵的行变换来求解未知数的值。
可以用向量法解决线性方程组的解的存在唯一性以及解的求法等问题。
平面向量方法还可以用于解决高等数学中的微分和积分问题。
通过将函数表示为向量
函数，可以简化微分和积分的运算过程。
可以用向量函数求导来计算曲线的切线和法线，
用向量函数积分来计算曲线的弧长和面积等问题。
向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量是一种抽象的概念，它可以用来描述空间中的点、线、面等几何图形的位置、方向和大小。
因此，向量在平面几何中有着广泛的应用。
首先，向量可以用来描述平面上的点。
例如，若给定两个点
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离可以用向量表示，即AB=<x2-x1,y2-y1>。
其次，向量可以用来描述平面上的线段。
例如，若给定两个点
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的线段可以用向量表示，即AB=<x2-x1,y2-y1>。
此外，向量还可以用来描述平面上的多边形。
例如，若给定一个多边形ABCD，则它的面积可以用向量表示，即
S=1/2|AB×AC|，其中AB和AC分别表示多边形ABCD的两
条边。
最后，向量还可以用来描述平面上的角度。
例如，若给定两个向量a=<x1,y1>和b=<x2,y2>，则它们之间的夹角可以用向量
表示，即θ=arccos(a·b/|a||b|)，其中a·b表示向量a和b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模。
综上所述，向量在平面几何中有着广泛的应用，它可以用来描
述空间中的点、线、面等几何图形的位置、方向和大小，从而为平面几何的研究提供了有力的工具。
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。
解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。
本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。
一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。
向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。
向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），a+b=b+a。
向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。
二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。
设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。
可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。
2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量加法构造。
例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。
三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。
已知直线上的两点A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。
2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。
若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，则两条直线共线。
3. 角度和向量的夹角利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。
已知两个向量a和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。
已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量，从而得到平面的方程。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用
平面解析几何是一门涉及抽象概念和实际绘图技巧的重要数学
学科。
它的研究主要集中在理解几何学形状的属性，以及它们之间的关系。
近年来，向量知识已被视为平面解析几何的重要资源，它通过一系列的实践来增强学生关于几何形状的理解和推理能力。
向量知识的应用主要用于研究几何形状的边、角和一些基本的概念。
首先，向量知识可以用来刻画平面上的几何形状，如多边形、圆和椭圆等。
向量代表了一条线段或者一个特定的方向，使得学生可以使用它们来描述和比较不同的形状，同时能够清楚地看到它们之间的相互关系。
其次，向量知识也可以用来定义和操作几何形状的角。
它可以用来测量两个向量之间的夹角，这是识别几何图形的一项重要技能。
此外，向量还可以用来找出平行线、垂直线、平分线等。
最后，向量知识也可以用来计算平面图形的面积和周长。
这类计算有助于学生更好地理解几何形状的特征，使其能更加熟练地掌握解析几何的概念和工具。
总而言之，向量知识在平面解析几何中有着重要的作用。
它能够帮助学生更好地理解几何形状，有助于掌握解析几何的概念和工具。
向量知识的应用涵盖了描述形状、测量角度和计算面积等重要内容，为学生学习解析几何提供了强大的支持。
因此，要想更好地掌握解析几何，学生应加强向量知识的学习，以便更好地理解和掌握解析几何中的概念和工具。
向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用
【关键词】高中数学向量平面几何运用
向量是高中数学不可缺少的内容，它是沟通代数、几何与三角函数的工具。
在平面几何中，向量可以将很多问题代数化、程序化，体现出数与形的完美结合，新课标对向量知识的考查也充分体现了综合运用的特色。
在几何中，平面向量在处理长度、距离、垂直、平行等问题时占有绝对的优势，运用向量与数形的转化，可以大大简化计算，降低某些题目的难度，向量方法在几何中得到了广泛的运用。
本文从证明直线平行、求夹角、证明直线垂直三个放面论述向量在平面几何中的运用。
一、用向量证明直线平行
直线平行的证明是平面几何中经常遇到的问题之一，也是高中数学中的重点和难点。
如果我们直接用平面几何的知识来证明直线平行，思路繁杂，步骤繁琐，向量却可以帮助我们轻松快速地解决问题。
通过以上几个例子我们可以得到用向量方法解决平面几何问题的一般步骤：
1．建立平面几何与向量之间的关系，将平面几何问题转化为向量问题。
2．理清所要解答的几何问题与向量之间有什么联系。
3．运用向量进行运算。
4．把运算结果“翻译”成几何关系。
以上所论述的三个方面是向量在平面几何中的主要应用，广大教师应
关注学生对这一知识及其应用的掌握程度，多加练习，提高解题速度和解题能力。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
利用向量的知识求解平面几何问题
利用向量的知识求解平面几何问题在平面几何中，我们经常需要通过向量的知识来解决各种问题。
本文将介绍如何利用向量的知识来求解平面几何问题，并通过具体例子来加深理解。
一、向量概述向量可用于表示有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在平面几何中，我们常用二维向量表示平面上的点、线段以及向量运算。
二、向量表示点和线段1. 点的表示平面上的点可以用向量来表示。
设点P的坐标为(x,y)，则点P对应的向量为OP，其中向量O为原点(0,0)指向点P。
即OP=(x,y)。
2. 线段的表示设点A和点B分别为线段AB的起点和终点。
则线段AB可以表示为向量AB，即AB = OB - OA。
其中OA为向量A，OB为向量B。
三、向量运算1. 向量加法向量加法可用于求解平面图形的平移问题。
如果有向量OA和向量AB，那么向量OA+AB等于向量OB。
2. 向量减法向量减法可用于求解平面图形的平移问题。
如果有向量OA和向量OB，则向量AB等于向量OB-OA。
3. 数乘向量与一个实数相乘，可以改变向量的长度和方向。
设实数k，向量OA与k的乘积为k*OA。
四、向量运算的应用1. 平面图形的平移通过向量加法和减法，可以实现平面图形的平移。
比如，将一个三角形ABC沿向量AB平移，只需将三角形的每个顶点分别加上向量AB即可得到平移后的三角形。
2. 判断平行和垂直关系设两个向量为OA和OB，若OA与OB平行，则它们的方向相同或相反，并且二者共线。
若OA的方向与OB垂直，则称OA和OB垂直。
3. 求向量的模长设向量OA的坐标为(x,y)，则向量OA的模长为√(x^2 + y^2)。
4. 求向量的单位向量将向量OA除以其模长，即可得到向量OA的单位向量。
五、案例分析下面通过实例来进一步理解向量的求解方法。
例题一：已知点A(1,2)和点B(3,4)，求线段AB的中点M坐标。
解答：设线段AB的中点为M，则向量AM = 1/2 * AB，其中 AB = OB - OA = (3-1, 4-2) = (2,2)。
借助平面向量处理平面几何问题
借助平面向量处理平面几何问题【用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 】(1)建立平面几何与向量的联系——用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题.(2)通过向量运算——线性运算和数量积，研究几何元素之间的关系，如距离、平行、垂直及夹角等问题.(3)把运算结果通过“翻译”——还原成几何元素间的关系. 流程图为：形转换成向量→向量运算→运算结果还原为形.向量在平面几何中的应用是非常广泛的.下面我们就五个方面来进行初步研究. (一) 点共线与线共点问题:例1.设两个非零向量e 1，e 2不共线,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2, 求证:A 、B 、D 三点共线.证明：∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+3e 2)+(6e 1+23e 2)+( 4e 1-8e 2)=12e 1+18e 2 =6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵ AB 与AD 共点A ， 故 A 、B 、D 三点共线.例2.如图1.5—1.在三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 是DA 的中点，F 是AC 上的点，3AF=FC. 求证：B 、E 、F 三点共线. 证明：设BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2，由定比分点的向量形式得， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12(e 1+e 2). BF ⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BA⃗⃗⃗⃗⃗ =34(e 1+e 2). ∴ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 23BF ⃗⃗⃗⃗ ，⇒ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BF ⃗⃗⃗⃗ . 又∵ BE 与BF 共点B ， 故 B 、E 、F 三点共线.说明：证明A 、B 、C 三点共线的基本思路是：先选取两不共线线段所对应的向量作为基底，然后将所证三点对应的两向量用基底表示出来，从而得到某个定值λ，使得AB⃗⃗⃗⃗⃗ = λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 再说明AB 与AC 共点A,从而推出A 、B 、C 三点共线.想一想①： 如图1.5—2.已知∆ABC ，在AC 上取点N ，使3AN=AC ， 在AB 上取点M 使3AM=AB ，在BN 的延长线上取点P ，使2NP=BN ， 在CM 的延长线上取点Q ，使2MQ=CM. 求证：P 、A 、Q 三点共线. 例3.用向量方法证明：三角形的三中线交于一点.已知：在∆ABC 中，G 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 交于点P.求证：AD 、BE 、CL 三线共点.证明：设AD∩BE=P . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a , AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则 AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 b . CL ⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +12b . 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ =m(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴ CP ⃗⃗⃗⃗ =(−1+m )AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +mCD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1+m 2)a +m2 b . ① 又设 EP⃗⃗⃗⃗ =n EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CP ⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ =n(EC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CP ⃗⃗⃗⃗ =(1−n )CE ⃗⃗⃗⃗ +nCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+n 2a +nb ② 由①、②得:m =23且n =13. ∴CP ⃗⃗⃗⃗ = -23a +13b = 23(-a +12b )= 23CL⃗⃗⃗⃗ B D C F AE 图1.5—1e 1 e 2B MCN PA Q 图1.5—2A LB D CE Pa b 图1.5—3∴ C 、P 、L 三点共线, 故 AD 、BE 、CL 三线共点.说明:1.证明三线共点的基本思路是：先假设两线交于一点P ，然后说明第三条线也过该点.通常要用平面向量基本定理得出参数的等量关系式.2.此题的证明也可参见§1.6【与重心有关的问题】中，命题1的证明.例4.如图1.5—4.设P 、Q 、R 分别是三角形ABC 三边(异于顶点)上的点，若AR=xRB ，BP=yPC ，CQ=zQA. 求证:AP 、BQ 、CR 三线共点的充要条件是：xyz=1.证明:①必要性:设AP 、BQ 、CR 交于点G, ∵ A 、G 、P 三点共线,∴ CB 1CA )-(1CP CA )-(1CG y++=+=αααα(0<α<1). 又∵ B 、G 、Q 三点共线,∴ CA 1CB )-(1CQ CB )-(1CG zz ++=+=ββββ,(0<β<1）.另外可令:))CB AC (11()11()(CG +++=++=+==xCA r AB x CA r AR CA r CR r=CB xxr CA xxr +++11.由平面向量基本定理知：,111,111xr y x rx z z +=+=-+=+=-αββα且⇒1111,11,11-+-=--+=-+-=--+=r r x z y ββααβααββα.由关于x 的两个等式,⇒0)2(=-++r r βα,⇒2=++r βα,⇒ αβ--=11x , ⇒ xyz=1.②充分性:设 xyz=1 ,设AP 与BQ 交于G,连CG 并延长交AB 于R 1,又设AR 1=x 1R 1B.由必要性知 x 1yz=1,⇒ x=x 1 , ⇒R 与R 1重合. AP 、BQ 、CR 三线共点. 由①②知命题成立.想一想②：由例4的结论，你能否给出三角形的三中线、三内角的平分线都是交于一点的.(二)垂直性的证明：例5.已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ， PF ⊥BC 于点F ，连接DP 、EF.求证DP ⊥EF.证明：选择正交(相互垂直)基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1) 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a)，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，a).∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1).∵ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1) ∙(1−a ，a)=0， ∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗ ， 因此DP ⊥EF.例6.若非零向量a ，b 满足|a -b |=|a +b |，则向量a ，b 的关系是_________________. 解法1：(把向量用坐标表示，利用坐标关系体现向量关系).设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，.则a + b=( x 1+ x 2，y 1+ y 2) ，a -b=( x 1-x 2，y 1-y 2).∵ |a -b |=|a +b |，()221221221221)()()(y y x x y y x x -+-=+++，B CP QA RG 图1.5—4 图1.5—5即 x 1x 2+y 1y 2=0，∴ a ⊥b . 解法2：(通过等价转化寻找向量a ，b 的关系). 将|a -b |=|a +b |两边平方得，a 2+b 2-2a ·b=a 2+b 2+2a ·b ， 化简得a ·b =0，∴ a ⊥b .解法3：(利用向量加法，减法的几何意义). 如图1.5—6.根据向量加法，减法的三角形及平行四边 形法则知，对角线相等的平行四边形ABCD 是矩形.所以相邻两边垂直，因此 a ⊥b .例7.已知a 、b 是单位向量，a ·b =0.若向量c 满足| c -a -b |=1，求|c |的取值范围. 分析1.由|a |=|b |=1，将|c -a -b |=1，两边平方可得|c |2-2|a+b ||c |cos θ+1=0 (1).其中θ为向量(a +b )与c 成的角. 再由a ·b =0，⇒|a +b |=√2. 从而由(1)式可得， ]1,1[||221||cos 2-∈+=c c θ，解得 |c |]12,12[+-∈.上述解答过程无论是解题思路、还是计算过程都是比较繁琐的.倘若我们换一个角度来思考，其解答过程将要简洁得多. 分析2.由已知，a 、b 是互相垂直的单位向量，设O 为坐标原点. 则a +b为正方形OACB 的对角线OC 所对应的向量.如图1.5—7(1). 而|c -a -b |=1的几何意义为：向量c 的终点在以C 为圆心， 以1为半径的圆上运动.由圆的性质易得|c |]12,12[+-∈.分析3.建立如图1.5—7(2)所示的平面直角坐标系.设a =OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)， b =OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1)，c =(x ，y).可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =(1，1)， 由|c -a -b |=1可得(x -1)2+(y -1)2=1. ∴|c |=√x 2+y 2, 再由圆的性质易知|c |]12,12[+-∈.例8.在平面上，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12(O 为坐标原点)，则|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 分析：此题若仿例7的法1，从数的角度去处理，将比例7要繁杂得多，因为这里的变数更多.若从几何意义出发，由，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可知点B 1、B 2在单位圆上运动.作为填空题，在这里我们不妨将点B 1放在 特殊位置——单位圆与x 轴的正半轴的交点.如图1.5—8.结合图形知，当点A 在B 1A 上移动时，点P 在B 1O 间移动. 当点A移动到A ′ (此时|B 1A ′|= √32，|OP|= 12).当点在A ′A间移动 时(AB 2与单位圆相切)，点P 在OP 间移动，且满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |< 12. 由此易知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是(√72，√2].至于点B 2在单位圆的其它位置移动时，由圆的对称性，上述结论仍然成立.说明：从以上几例可以看出，“以形代数”，再利用其对应的几何意义和几何特性来处理一些A 图1.5—6CD aba+b a -bxy B 1 B 2 AP P O图1.5—8O AB C ab a+b图1.5—7(1) OAB C yx与向量的模有关的问题时，往往可以收到化繁为简、事半功倍的效果.这也是数形结合思想方法的重要体现.例9.如图1.5—9在四边形ABCD 中，若AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，则AC ⊥BD. 证明：由AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，⇒2222DA B C CD A B +=+， ⇒2222CD DA BC AB -=-，⇒)CD -DA ()CD DA ()B C -AB ()B C AB (⋅+=⋅+， ⇒)CD -DA (CA )B C -AB (AC ⋅=⋅，⇒0)]CD B C (-DA AB [AC =++⋅，⇒0DB 2AC =⋅，⇒ 0DB AC =⋅，⇒AC ⊥BD.说明：欲证AB ⊥CD ，只需证明 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.想一想③：1.例9的逆命题成立吗？2.求证：平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是：两对角线AC ⊥BD.3.若在Rt △ACB 中，∠ACB=900，AC=BC,D 为AC 的中点，E 为AB 上的点，且2AE=EB ，求证：BD ⊥CE(三)线段的等量关系：例10.如图1.5—10.已知平行四边形ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，并且BE =FD .求证AECF 是平行四边形. 证明：由已知设==DC AB a ，==FD BE b.=+=BE AB AE a + b ，=+=DC FD FC b + a ， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即边AE 、FC 平行且相等，AECF 是平行四边形.例11.求证平行四边形对角线互相平分．证明：如图1.5—11.设平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，.,BD y BM AC x AM == 则AD x AB x AC x AM +==.∵ AD y AB y AB AD y AB BD y AB BM AB AM +-=-+=+=+=)1()(.根据平面向量基本定理知，∴ x=1-y 且x=y ，⇒ x=y=12.∴ 点M 是AC 、BD 的中点，即两条对角线互相平分.例12.如图1.5—12. 在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？ 猜想：AR=RT=TC解：设.,,AB r AR b AD a === 则 =AC a+b. 由于 AC AR 与 共线，故设r=n(a+b ). 又∵ EB ,ER 共线，故设)21(ER b a m -=，∵ ER AE AR +=, ∴ )21(21b a m b r -+=， 因此n(a+b )=)21(21b a m b -+，⇒ m=n=13 ，⇒AR=13AC. 同理 TC=13.AC. 故AT=RT=TCAB CD图1.5—9CADM B图1.5—11ABCD EFRT 图1.5—12A B C D EF图1.5—10例13.如图1.5—13.设AC 是平行四边形ABCD 的长对角线，从C 引AB 、AD 的的垂线CE 、CF ，垂足分别是E 、F.试用向量方法证明：AB·AE+AD·AF=AC 2. 证明：在Rt △AEC 中，cos |AC ||AE |=∠BAC ， 在Rt △AFC 中，cos |AC ||AF |=∠DAC ，∴ |AC ||AB ||AE ||AB |=⋅cos ∠BAC=AC AB ⋅，|AC ||AD ||AF ||AD |=⋅cos ∠DAC=AC AD ⋅,⇒+⋅|AE ||AB |=⋅|AF ||AD |AC AB ⋅+AC AD ⋅=2AC AC )AD AB (=⋅+.即：AB ·AE+AD ·AF=AC 2.点评：证明线段的等量关系时,通常要用向量加减法的三角形及平行四边形法则、平面向量基本定理及a 2=|a|2等基本结论.想一想④：用向量证明三角形及梯形的中位线性质定理.(四)平面几何中基本定理的向量证法： 例14.证明直径所对的圆周角是直角.如图1.5—14.已知⊙O ，AB 为直径，C 为⊙O 上任意一点. 求证∠ACB=900.证明：设b OC a ==,AO ，由已知得|a |=|b |. , 则0)()(22=-=-⋅+=⋅b a b a b a BC AC ，∴ AC ⊥BC . 即 ∠ACB=900.例15.(任意三角形中的射影定理).在三角形ABC 中，设AB=c ，AC=b ，BC=a. 求证：b=a·cosC+c·cosA ①.c=a·cosB+b·cosA ②. a=c·cosB+b·cosC ③. 证明：如图1.5—15.设=AB c ，=BC a ，=AC b . 则a+c =b ，⇒(a+c )·b =b 2，⇒a ·b+c ·b=b 2，⇒|a ||b |cosC+|c ||b |cosA=|b |2，⇒|a | cosC+|c |cosA=|b |， 即 b=a·cosC+c·cosA ①类似地可得 c=a·cosB+b·cosA ② a=c·cosB+b·cosC ③说明：此问题的证明方法较多，比喻可用正弦定理，也可以用余弦定理，还可以用直角三角形中三角函数的定义来证明.例16.(直角三角形中的射影定理)如图1.5—16.在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：AC 2=AD ·AB ① BC 2=BD ·AB ② 证明：∵ BA -BC AC =.(1) DC AD AC +=.（2）又 ∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，⇒ 0DC B A 0,AC B C =⋅=⋅.AEBC FD图1.5—13AOBC图1.5—14A CBb ca 图1.5—15 ADBC图1.5—16由(1)、(2)得：AD BA -)DC AD (BC )DC AD ()BA -BC (AC 2⋅+⋅=+⋅= =||||cos |AD ||B A |-AC B C AD BA =⋅⋅π， 即 AC 2=AD ·AB. ① 类似地可得: BC 2=BD ·AB.②想一想⑤：用向量方法证明勾股定理.例17.已知PT 是圆O 的切线，PAB 是圆的割线.求证：PT 2=PA ·PB.(圆幂定理). 证明：设圆O 的半径为R ，P 是平面上任意一点，如图1.5—17.过P 引射线交圆O 于A 、B ，e 为PB 上的单位向量，21,λλ分别表示PA 、PB 的长度， 则 1OP OA λ+=e ，2OP OB λ+= e. 设M 是PB 上的一动点，|PM |为x ，则x +=OP OM e.∵ 点M 在圆O 上的充要条件是22R OM =. 即22R e)OP (=+x . ∴ 0||)(2222=-+⋅+R OP x e OP x (1) 当点M 与A 重合时，得到PA 的长度1λ是方程（1）的根， 当点M 与B 重合时，得到B P 的长度也2λ是方程（1）的根. 由一元二次方程根与系数的关系知：2221R |OP |—=⋅λλ. 当P 在圆外时，过P 引切线PT(T 为切点). 则由勾股定理易得：222R |OP |PT —=, ∴ PB PA PT 212⋅=⋅=λλ说明：换一个角度看：如果A 与B 重合，PA 即切线，此时PA 2也应等于22R |OP |-.由勾股定理之逆便可得到：过切点的半径垂直于切线这一结论.想一想⑥：你能否用例17的结论来证明相交弦及垂径定理.(五)最值问题：例18.如图1.5—18.在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值．解法1.解题思维的入手点是在“Rt △ABC 中”，据此进行翻译和转化．∵AC AB ⊥，∴ 0=⋅AC AB .AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,, ，)()(AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴AC AB AQ AB AC AP AQ AP ⋅+⋅-⋅-⋅=AP AB AC AP a ⋅+⋅--=2)(2AC AB AP a -⋅--=22cos a a θ=-+． cos 1,0(),0PQ BC BP CQ θθ==⋅故当即与方向相同时最大,其最大值为．解法2.以直角项点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图1.5—19所示的平面直角坐标系.设|AB|=c, |AC|=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ），且|PQ|=2a ，|BC|=a.设点P 的坐标为(x ，y)，则Q(-x ，-y).ABCQP 图1.5—18PT A 图1.5—17OMB·∴),(),,(b y x CQ y c x BP ---=-=，(,),(2,2)BC c b PQ x y =-=-- ∴ )())((b y y x c x CQ BP --+--=⋅=by cx y x -++-)(22. ∵ 2||||cos a by cx BC PQ BC PQ -=⋅⋅=θ； ∴ θcos 2a by cx =-. ∴ θcos 22a a CQ BP +-=⋅. 故当1cos =θ，即0=θ(PQ 与BC 方向相同)时，CQ BP ⋅最大， 其最大值为0.例20.在锐角∆P 1P 2P 3内找一点P ，使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短.解:设在锐角三角形P 1P 2P 3内有一点P 使得:∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=∠P 3P P 1=1200.令：的长度是是单位向量i i i i i i PP ,,PP αεεα=（i=1，2，3） 易知0321=++εεε，又设Q 是任意一点，|||||||||QP |i i i i i i i QP QP PP QP εαεεα+=+=+=≥)(i i i QP εαε+⋅三式相加得：233222211321321)(|||||QP |εαεαεαεεε+++++≥++QP QP QP =321ααα++=|P 1P|+|P 2P|+|P 3P|由此可知点P 是使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短的点. 为了找到这样的点P ，可在∆P 1P 2P 3外分别以P 1P 2与P 2P 3为边作两个正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B ，再分别作正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B 的外接圆，两圆除P 2外的另一个交点即为所求的点P ，这是因为∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=1200.习题1.51.设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ·b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ).A.3.B.4.C.5.D.6.2. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b =0，(a -c ) ·(b -c )≤ 0，则|a+b -c |的最大值为( ). A.12-. B.1. C..2 D.2.3.在∆ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 为DA 的中点， F 是AC 上一点，如图1.5—21.3AF=FC ，求证：B 、E 、F 三点共线.4.已知OA ⊥BC ，B ⊥AC ，求证：OC ⊥AB5.如图1.5—22. 以AB 、AC 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，M 是BC 的中点，求证：AM ⊥EF.6.证明∆ABC 三边的中垂线交于一点.7.在∆ABC 中，若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = b .求证：S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2. 8.已知G 为∆ABC 的重心，且GA=3，GB=5，GC=7.(1)证明﹕GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2)求GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值﹒(3)求△AGB 的面积﹒P 1P 2P 3P图1.5—20BACDEF 图1.5—21 A B M CD EN FG图1.5—22ABCQP图1.5—19xy参考答案想一想①：证明：∵ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又∵A 是公共点，∴ P 、A 、Q 三点共线. 想一想②：对于三中线易知x=y=z=1;对于三内角平分线,可利用内角平分线的性质，得到x.y.z=1. 想一想③：1.成立. 设AC 与BD 交于P ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵ AP ⊥PB, ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，于是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 即：AB 2=AP 2+PB 2 ①(实质是证明了勾股定理).同理CD 2=DP 2+PC 2 ② 由①、②得：AB 2 +CD 2=AP 2+PB 2 +DP 2+PC 2=BC 2+DA 2. 2.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = a+b ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2-b 2 =|a |2-|b |2=0，|a |=|b |. ∴ 命题成立. 3.证明：如图D1.5—1.以两直角边为坐标轴，C 为原点建立坐标系，设A(1，0)、B(0，1)、C(0，0)，则D(12，0)，E(23，13). 得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，−1)，CE ⃗⃗⃗⃗ =(23，13), BD ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE ⃗⃗⃗⃗ =0， ∴ BD⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CE ⃗⃗⃗⃗ 即BD ⊥CE. 想一想④：利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则. 想一想⑤： (略). 想一想⑥：当P 在圆内时，由例4的结论知：λ1λ2=R 2-|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，易得相交弦定理. 当P 是弦AB 的中点时，λ1λ2=PA 2(或PB 2)也易得结论成立.习题1.5 1.C. 2.B.3.如图D1.5—2.设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =b.则易得： BF⃗⃗⃗⃗ =34(13b + a )，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13b + a ). (下略). 4.证明：如图1.5—3.∵OA ⊥BC ，B ⊥AC ，∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， OB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ① 及 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ② ①-② 得OC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴ .则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OC ⊥AB. 5.证明：∵ AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12[-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC )+|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC)] =0. ∴ AM ⊥EF.6.证明：如图D1.5—4.设边BC 、AC 的中垂线交于点O ，则OA=OB=OC ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAFB ，由向量加法的平行四边形法则知OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA B D E xy图D1.5—1BACDE F图D1.5—2A B M CD ENFG图D1.5—3 AFBCD EO图D1.5—4∴ 四边形OAFB 是菱形，则OF 垂直平分AB.即边AB 的中垂线也过点O.∴三角形ABC 三边的中垂线交于一点. 7.证明：设a ，b 的夹角为θ，则S ∆ABC =12|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ，∵ sin 2θ=cos 2θ=1-(a∙b)2(|a|∙|b|)2∴ S ∆ABC 2=14(|a|∙|b|)2sin 2θ=14[(|a|∙|b|)2-(a ∙b)2]故 S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2 .8.解(1)连AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 交BC⃗⃗⃗⃗⃗ 于D ，∵ G 是三角形ABC 的重心﹐∴ D 为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点﹒ 延长AD⃗⃗⃗⃗⃗ 使得GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒因此D 亦为GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点.故GB G ′ C 为平行四边形﹒ ∵ G 是△ABC 的重心﹐∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒又∵D 是GG′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中点﹐所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒ 因此﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2) ∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2﹐可得GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =152. (3) 由(2)得知﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =52﹒利用数量积的定义得知，|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AGB=152， 解得∠AGB=600 ﹒∴ S △ABG =15√34.。
向量在几何中的应用
向量在几何中的应用
向量在几何中有着广泛的应用。
下面列举一些主要的应用：
向量的长度和方向可以表示物体的位置和运动状态。
例如，一个位于平面上的物体的位置可以用二维向量表示，其长度表示距离，方向表示位置。
向量可以用于计算和描述几何图形的属性，如面积、周长、法向量等。
例如，通过向量积可以计算平面上任意三角形的面积，通过向量差可以计算直线的法向量。
向量可以用于描述线性变换。
例如，矩阵乘法可以表示几何变换，将向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。
向量可以用于描述曲线的切线和曲率。
例如，在曲线上某一点的切线可以表示为曲线的一阶导数，曲率可以表示为曲线的二阶导数。
向量可以用于计算几何体的体积和表面积。
例如，通过向量积可以计算平行六面体的体积，通过向量差可以计算球体的表面积。
总之，向量在几何中有着广泛的应用，可以用于描述物体的位置和运动状态，计算和描述几何图形的属性，描述线性变换，计算曲线的切线和曲率，以及计算几何体的体积和表面积。
利用向量解决平面几何问题
利用向量解决平面几何问题在平面几何中，向量是一种强大的工具，可以用来解决各种问题。
它们不仅可以简化计算，还能提供几何对象的准确描述。
本文将介绍如何利用向量解决平面几何问题，并通过具体案例进行说明。
一、向量的基本概念在平面几何中，向量是由大小和方向组成的量。
通常用有向线段来表示，其中起点和终点分别代表向量的原点和目标点。
向量可以进行加法、减法、数乘等运算，使得我们可以对向量进行各种变换和操作。
二、向量的表示方法向量有多种表示方法，常用的有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：如果我们在平面上选择一个原点O和两个互相垂直的单位向量i和j，那么任意向量a可以表示为 a = xi + yj，其中x和y分别是a在x轴和y轴上的投影。
2. 分量表示：向量的分量表示指的是将向量表示成由两个分量构成的有序对(a1, a2)。
其中a1和a2是向量在两个特定方向上的投影，通常选择垂直于彼此的两个方向作为基准方向。
三、向量的运算在解决平面几何问题时，向量之间的运算非常重要。
以下是几种常用的运算：1. 加法：向量的加法通过将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
例如，对于向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，它们的和c = a + b = (x1 +x2, y1 + y2)。
2. 减法：向量的减法类似于加法，只需将两个向量的对应分量相减即可。
例如，对于向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，它们的差c = a - b = (x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘：向量的数乘是指将一个向量的每个分量都乘以一个标量。
例如，对于向量a = (x, y)和实数k，它们的数乘ka = (kx, ky)。
四、向量在平面几何问题中的应用向量在解决平面几何问题时具有广泛的应用，包括计算线段长度、判断线段相交、求解三角形的面积等。
1. 计算线段长度：给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以用向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)来代表线段AB。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中起着重要的作用，它可以帮助我们理解和求解许多诸如线段、面积和体积等问题。
首先，直角坐标系是利用向量知识解决平面问题的有力工具，它可以表示一个点的位置，它的轴也提供了方向信息，其中每个点可以看做一个有向向量，有向向量的定义是指具有指定方向的有序对。
另外，它还可以用来求解线段的长度，点到直线的距离，求解平面图形的面积和体积，甚至在数学基础上设计新的图形。
此外，向量可以作为方程解决联立方程组。
解析几何提出了一些特殊的向量解法，其中最突出的是利用它求解点到线段距离以及点到直线距离的问题。
还有，向量的性质也可以利用来判断两个直线是否平行，或者计算两个三角形的外接圆。
此外，向量在椭圆上的具体应用也十分重要，我们可以利用它来求解二次曲线上的面积、周长或求椭圆心与离心率之间的联系等问题。
通过对平面解析几何中向量知识的应用，我们可以看出，这些知识不仅有助于我们理解几何形状，而且它们也成为一些有趣问题的求解工具，为我们研究解析几何提供了便利，也使我们完美的理解和描述几何图形的形状和位置变化。
1-7 平面向量的应用举例(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
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必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
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跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
高中数学平面向量在几何中的应用
平面向量应用举例2．5.1 平面几何中的向量方法知识点梳理1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰(非等边)三角形 D ．等边三角形二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝__________________.三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .提升练习13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB ·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．总结1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．平面向量应用举例 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B )1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22.∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0， ∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0， ∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H .。
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三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例3、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 解：设AD与BE交于H，
BC a CA b
A
H
B D
E C
CH p
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b O
解：设AO=a， OC=b
CB a ? b 则AC a b， CB
由此可得： AC CB=(a+b)(a-b)
a b a b
2 2 2 2
r2 r2 0
即 AC CB 0 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量坐标形式证明？
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
如何证 p BA 0？
利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。
HA BC (b p) a 0 b a p a 0 BH CA (a p) b 0 b a p b 0
p a p b 0 p (a b) 0 CH BA 0 CH BA
AM EN (8, 4) (4 e, 2) 0
A
E
B
解得：e=5 故△AEM的面积为10
四、应用向量知识证明等式、求值
例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起， 使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64， 求△AEM的面积 C D F 解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 M 由题意可得M(8,4)，N是AM的 N 中点，故N(4,2) AM (8,4) A E B =(4,2)-(e,0)=(4-e,2) EN AN AE
AB BC CD DA 2( a b )
2 2 2 2
AC BD a b a b
2 2
2
2
2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ AB2 BC2 CD 2 DA2 AC2 BD2 2 2 2 2
（4）平面向量基本定理
a e1 e2，其中e1，不共线。 e2 ， 为唯一确定的常数
二、应用向量知识证明平面几何有关定理
例1、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
a ( x1, y1)， b ( x2 , y2 )， a b x1x2 y1 y2 0
（3）两向量相等充要条件：
a b a b , 且方向相同。
a ( x1, y1)， b ( x2 , y2 )， a b x1 x2 , y1 y2
一、向量有关知识复习
（1）向量共线的充要条件:
a 与 b 共线 a b R, b 0
a ( x1, y1)， b ( x2 , y2 )， a // b x1 y2 x2 y1 0
（2）向量垂直的充要条件： a b a b 0 a 0, b 0
2
由此可得 BN NP b a
PA AN NP, PA (b a) a b AQ AM MQ, AQ (b a) a b
即 PA AQ 故有 PA// AQ ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 Q
1 2 1 CM MQ a b 2
练习1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形 练习2：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足
OA2 BC2 OB2 CA2 OC 2 AB2
求证：AB⊥OC O
A
B
C
； 不锈钢蹲便器 不锈钢坐便器；
了这么多年,现在骂自己傻子,实在是太伤他の心了."哈哈,你生气了?"小紫倩问他."你个小丫头,到底智商是多少呀?你真失忆了?"根汉觉得有些不信她,感觉被她给忽悠了.小紫倩哼道"咱当然失忆了,要是没失忆还用得着你呀,本女神可强大着呢.""什么意思?你连道法也忘了?"根汉皱眉问. 小紫倩叹道"是呀,咱壹点也想不起来了呢,体内是空有力量也无法释放.""咱现在の情况,可能是自己受到了什么力量の压制,或者是被封印了,所以身子才这么壹点子大."小紫倩壹脸憧憬の说"咱当年壹定是壹个倾国倾城の天仙,被人给妒忌然后给封印了,成现在这个样子了.""好吧,咱来."根 汉壹脸正色の说"丫头这五官很漂亮,以前壹定是壹个天仙般の女尔家の.""哼哼,算你还有些眼光.""不过咱们现在可以说武神,还有这个世界の情况了吗?咱刚醒,都不懂呀,你还惨,完全失忆了."根汉说.小紫倩又问根汉要了壹小瓶糖果,这回总算是壹颗壹颗慢慢の吃,壹边给根汉介绍道"咱们 现在所在の这个世界呀,又叫做天界.""在这世界の其它地方,还有鬼界,妖界,魔界,冥界,修罗界,等等还有几十个自称の界,都和天界壹样.""不过天界向来是最强大の壹界,而天界又分为天界和下天界,咱们所在の这里,青龙海所在の地方是天界の壹处地方.""天界也有许多修行之地,这壹地 只能称是壹般の地界尔,但是这壹块地界面,有许多の自称是天神の人物,青龙是其之壹.""这块地界叫什么?"根汉大概明白了,这九天十域,只是原来天界の壹个小小の修行地之壹.而且还算不最好の,当初自己在武神之墓,遇到の来自另壹个九天十域之地の白风,他们那壹块九天十域面の修士 整体实力要更高.那里有可能这壹块地界要强得多,是更好の修行之地."这里叫九华红尘界."小紫倩说"因为这里曾经是至高神,九华道人和红尘道尼这对夫妇,开辟出来の,所以被称为九华红尘界.""至高神?九华道人,红尘道尼?"根汉皱了皱眉头,九华道人从来没有听说过,红尘道尼,难道与红 尘女圣有关系吗?"九华红尘界只是壹个普通の地界,并不是特别富饶,在天界の众多修行地界之,也只能算是等の吧."小紫倩说"据咱所知,整个天界,已知の修行界,至少也有壹百多个.""壹百多个?"根汉眉头微挑,像这样の九天十域修行之神地,光是这个天界有百个,这数量确实是有些惊人.难 道自己和整个九天十域の修行者们,包括这里曾经出过の至尊们,在整个天界之,也只能算是最底层の存在?这个事实实在是太残酷了."对呀,天界至少有壹百多个修行地界,因为现在咱们这会尔有三大至高神,而武神大人是其之壹."小紫倩憧憬の说"所以你小子别到处乱说,要是让人听到了,你 编排武神大人の墓,你怎么死の都不知道.""三大至尊神,统领着整个天界壹百多修行地界,像青龙这样の天神圣兽,连给武神大人做座骑の资格都没有."小紫倩又说."这么恐怖?"根汉额头黑线直冒,倒吸了壹口凉气,感觉这个世界曾经の辉煌,远自己想像の复杂.会不会那更高级の修行地界,还 有更强大の神,壹直没有出现,说不定仙界根本没有崩溃.小紫倩哼道"那当然了,那可是天界唯独の三大至高神呀,而青龙这样の只是天神而已,相了一些等级呢.""这里の人们,怎么分の等级?"根汉很是好.太古时期の传说很少,相传当初有太古三皇,太阴,太阳,太蚀,这三皇,难道这三皇也强到 了这个级别?小紫倩想了想说"天界の众神应该分为,真神,仙神,和天神,下面是众神将了.""神将又分为神将,神将和下神将,还有准神将,神将下面更别说了,还有几十个等级呢,说起来有些头痛."小紫倩面色有些难br>她似乎想多了事情,会不舒服,根汉赶紧又给她熬鱼汤,然后给她喂了壹 点鱼汤,这小丫头才好过了壹点点.（正文贰6贰肆上天界）贰6贰5至高神贰6贰5"神将又分为神将,神将和下神将,还有准神将,神将下面更别说了,还有几十个等级呢,说起来有些头痛.敬请记住咱们の址小說://Ы qi.e."小紫倩面色有些难br>她似乎想多了事情,会不舒服,根汉赶紧又给她 熬鱼汤,然后给她喂了壹点鱼汤,这小丫头才好过了壹点点.根汉问道"你以前是什么修为呀?""应该和青龙差不多吧,天神级别吧,要不然也不能偷他の鱼吃,只是他是天神の圣兽,对打の话咱肯定不是他の对手了."小紫倩说.根汉想了想,倒吸了壹口凉气,又问道"天神の数量很多吗?""应该挺多 の吧,据咱所知在咱们这九华红尘界,至少有三四十人吧,都不是好惹の人物.""三四十个."根汉皱了皱眉问道"那真神和仙神呢,也有几十个吗?""那倒没有."小紫倩说"具体の数量咱也不清楚,但是仙神の数量应该不会超过八人,而真神の数量也差不多一些人吧.""其实真神和仙神两者の实力 差距应该不会太大,他们是分了不同の等级而已,只不过真神是主要管事の人.""仙神壹般不问世事,都是在潜心修行,鲜少出来做事.""像咱们天界の真神,是只有八人,不过咱也从来没有机会见识."小紫倩想了想说."你还没机会见?"根汉咧嘴笑道"整个九华红尘界,也才三四十个天神,你是其 之壹了.""可你别忘了,整个天界,有百个九华红尘界这样の地方,有些真正の修行神域,可不壹两百天神."小紫倩叹道"咱也在这九华红尘界能吃得开而已,到了别の地方,也要低调行事.""那你去过吗?"根汉很好.小紫倩摇了摇头道"咱不记得了,具体の记不清楚了,可能去过,也可能没有去 过.""呃."