初中数学专题复习方程思想想 专题训练(含解答)

方程思想

在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。

1. 要具有正确列出方程的能力

有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。

2. 要具备用方程思想解题的意识。

有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。 3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点。

除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。

例题分析

例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k 元的价格全部出售可得到所投资的20％的收益，求k 的值。

分析：可以设商店第一次购进x 盘录音带，则第二次购进2x 盘录音带。根据题意，列出方程：

()()(x x k x x x k x x x k +⋅

=⋅+⋅+⋅=

+⋅⋅≠=23163221

4

120%)326366

5

019

解这个方程：两边除以，得： 答：k 的值是19。

小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。其中所设的x 是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。从本题可以看出，设辅助元x 以后可以方便我们解题。 例2：∆ABC AB AC 中，，=以AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于F ，DE 切半圆于D ，交AC 于E ，若AB ：BC ＝5：6，且AF ＝7，求CE 的长。 解：连结AD 、FD 。 AB 是直径

∴∠=︒

=∴∴=ADB AC AB D BC CD BD

90 是中点

F A B D CFD B B C

C CF

D DC DF

CDF CAB CF CB CD AC

AB BC AB AC x BC x 、、、四点共圆，：：：：，设，。

∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=∴∴=====∆∆~5656

∴=∴==--=∴=∴=∴=∴∠=∠∠=

∠∠=∠∴∠=∠=∠=∠=∠∴=∴CD x CF x x x CF x x x x AC CF ED EDF CAD

CAD BAC CDF BAC EDF CAD BAC CDF CDE

CE EF CE 36355757635525

18

1

2

121

2

9：：即：：，是切线，，，＝ ()

C E

F D

A O B

例3：已知方程x x 2

6410++=两根为a 、b ，方程x x 2

7810++=两根为c 、d ，求

()()()()a c b c a d b d ++--的值.

解：由根系关系得：

a b a b c d c d +=-⋅=+=-⋅=641781

，，

()()()()[()()][()()]

()()()()a c b c a d b d a c b d b c a d ab ad cb cd ab bd ac cd cb ad ac bd abc cdb cda abd c b a d ++--=+-⋅+⋅-=-+--+-=--=--+=--+22222222

c d x x c c d d c d c d a b a b c d a b a b 、是方程的两根，同理：原式22222222

2

2

2

22781078107810782

642

2642646478641988

++=∴++=++=∴+=-+-+=-+-∴=+-+--+++-⨯-+⨯-=-=()()()()

()(() =78(c +d) =7878)

例4：已知方程2524532004

3

2

x x x x --+-=有两个根的积等于2，解这个方程。 分析：若直接求解此方程较困难，可以利用待定系数法，由根与系数的关系可知，两根之积为2的一元二次方程，如果二次项的系数是1，那么常数项是2。 解：设252453204

3

2

x x x x --+-

=+++-=+++-+-+-()()

()()()x ax x bx x a b x ab x a b x 224

3

2

221022610220

比较对应项系数，得解得：，。原方程可以化成原方程的根是，，。

25624

102539

2

49

2

224100

1

2

41622a b ab a b a b x x x x +=--=--+=⎧⎨⎪

⎩

⎪=-=∴-++-=∴-±()()

小结：本例是一个解方程的问题，但是在求解过程中仍然体现了方程思想，利用根系关系构造方程，利用待定系数法构造方程组，都是方程思想的应用。 易错题分析

例1. 已知关于x 的方程有两个正整数根，求整数m 。 分析：本题关于x 的方程有两个正整数根，所以这个方程

是一元二次方程，

，如果用根系关系来解，即

，

，

。列