初中数学专题复习方程思想想 专题训练(含解答)
解方程思维练习题
解方程思维练习题解题思路一：一次方程的解法一次方程是指所含未知数的最高次数是1的方程。
解一次方程的基本思路是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移至方程的另一边，再通过系数相除的方式求得未知数的值。
例题1：求解方程2x + 5 = 13。
解：首先将常数项5移到方程的另一边，得到2x = 13 - 5 = 8。
然后，将方程中的系数2除以2，得到x = 8 ÷ 2 = 4。
因此，该方程的解为x = 4。
例题2：求解方程3(x - 2) = 15。
解：首先将括号内的表达式展开，得到3x - 6 = 15。
然后，将常数项-6移到方程的另一边，得到3x = 15 + 6 = 21。
最后，将方程中的系数3除以3，得到x = 21 ÷ 3 = 7。
因此，该方程的解为x = 7。
解题思路二：二次方程的解法二次方程是指所含未知数的最高次数是2的方程。
解二次方程需要运用配方法，或通过公式法求取。
例题1：求解方程x^2 + 4x + 3 = 0。
解：通过配方法，将该方程变形为(x + 1)(x + 3) = 0。
通过零因子法则，得到x + 1 = 0 或 x + 3 = 0。
因此，该方程的解为x = -1 或 x = -3。
例题2：求解方程2x^2 - 5x + 2 = 0。
解：通过公式法，利用二次方程求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
将方程的系数代入公式中，得到x = (5 ± √(5^2 - 4×2×2)) / (2×2)。
计算得到x = (5 ± √(25 - 16)) / 4。
进一步计算得到x = (5 ± √9) / 4。
最后，求得x = (5 + 3) / 4 或 x = (5 - 3) / 4。
因此，该方程的解为x = 2/4 或 x = 1/2。
解题思路三：绝对值方程的解法绝对值方程是指方程中含有绝对值运算的方程。
初中数学解方程专题训练及答案
初中数学解方程专题训练及答案解下列方程：1、x 3+x（x 2−x +1）2 = 2 ；2、3x 2+1+3x 2−1= 270 ；3、√3x 2+4x +2 + √3x 2+4x −3 = 5 ；4、x 2 + （x x +1）2 = 54 ；5、31·（1- 221）x = （11+22+32+42 +92025−2024） ；6、x 3 + （2x 3+x −4）3 = 4 ；7、x x 6 = 144 ；8、4x +456 + 4x +460= 257 ；9、6x 3+ 11x 2 -5x -12 =0 ；10、√2−1 - （√2 +1）x=0 。
参考答案1、x 3+x（x 2−x +1）2解：将分母展开，分子不变x 3+xx 4 −2x 3+3x 2−2x +1 = 2去分母，得x 3+x = 2x 4 - 4x 3 +6x 2 - 4x +22x 4 -5x 3+6x 2 -5x +2=0将上式变为2x 4 -2x 3 -3x 3+ 3x 2 + 3x 2 -3x -2x +2=0 上式中，依次两两结合（2x 4 -2x 3）+（-3x 3+ 3x 2）+（ 3x 2 -3x ）+（ -2x +2）=0 2x 3（x-1）-3x 2（x-1）+3x （x-1）-2（x-1）=0 （x-1）（2x 3-3x 2+3x-2）=0将上式第二个括号变为（x-1）（2x 3-2x 2-x 2 +x + 2x-2）=0 （x-1）〔（2x 3-2x 2）+（-x 2 +x ）+（ 2x-2）〕=0 （x-1）〔2x 2（x-1）-x （x-1）+2（ x-1）〕=0 （x-1）〔（x-1）（2x 2 -x +2）〕=0 （x-1）（x-1）（2x 2 -x +2）=0（x −1）2（2x 2 -x +2）=0 因为2x 2 -x +2的判别式△= -15＜0，故2x 2 -x +2≠0 所以，只有x-1=0即x=1故方程的解是：x=1。
中考数学总复习《方程(组)及其应用》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《方程(组)及其应用》专项提升练习题(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________命题点1一次方程(组)的解法及解的应用 1(2022百色)方程3x=2x+7的解是( )A.x=4B.x=-4C.x=7D.x=-72(2022株洲)对于二元一次方程组{y =x -1,①x +2y =7,②将①式代入②式,消去y 可以得到( )A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-1=7D.x+2x+2=73(2022随州)已知二元一次方程组{x +2y =4,2x +y =5,则x-y 的值为 .4(2022呼和浩特)解方程组{4x +y =5,x -12+y 3=2.5(2022荆州)已知方程组{x +y =3,①x -y =1②的解满足2kx-3y<5,求k 的取值范围.命题点2解分式方程6(2022北京)方程2x+5=1x 的解为 .7(2022成都)分式方程3−xx -4+14−x =1的解是 . 8(2022常德)方程 2x +1x (x -2)=52x的解为 .9(2022苏州)解方程:xx+1+3x =1.10(2022青海)解方程:x x -2-1=4x 2-4x+4.命题点3分式方程的解的应用 11(2022德阳)如果关于x 的方程2x+m x -1=1的解是正数,那么m 的取值范围是 ( )A.m>-1B.m>-1且m ≠0C.m<-1D.m<-1且m ≠-2 12(2021达州)若分式方程2x -ax -1-4=-2x+a x+1的解为整数,则整数a= .命题点4一元二次方程的解法及解的应用 13(2022天津)方程x 2+4x+3=0的两个根为 ( ) A.x 1=1,x 2=3 B.x 1=-1,x 2=3 C.x 1=1,x 2=-3 D.x 1=-1,x 2=-314(2022临沂)方程x 2-2x-24=0的根是( )A.x 1=6,x 2=4B.x 1=6,x 2=-4C.x 1=-6,x 2=4D.x 1=-6,x 2=-415(2022宜宾)已知m ,n 是一元二次方程x 2+2x-5=0的两个根,则m 2+mn+2m 的值为( )A.0B.-10C.3D.1016(2022广东)若x=1是方程x 2-2x+a=0的根,则a= .17(2022黄冈)若一元二次方程x 2-4x+3=0的两个根是x 1,x 2,则x 1·x 2的值是 .18(2022鄂州)若实数a ,b 分别满足a 2-4a+3=0, b 2-4b+3=0,且a ≠b ,则1a +1b 的值为 .19(2022无锡)解方程:x 2-2x-5=0.20(2022齐齐哈尔)解方程:(2x+3)2=(3x+2)2.命题点5一元二次方程根的判别式21(2022北京)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m 的值为()A.-4B.-14C.14D.422(2022抚顺)下列一元二次方程无实数根的是() A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=023(2022滨州)一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为()A.无实数根B.有两个不等的实数根C.有两个相等的实数根D.不能判定24(2022随州)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若x1x2=5,求k的值.25(2022南充)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.命题点6方程的实际应用角度1变化率问题26(2022重庆A卷)小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是() A.200(1+x)2=242 B.200(1-x)2=242C.200(1+2x)=242D.200(1-2x)=24227(2022哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为96元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是() A.150(1-x2)=96 B.150(1-x)=96C.150(1-x)2=96D.150(1-2x)=96角度2购买、销售问题28(2022牡丹江)某商品的进价为每件10元,若按标价打八折售出后,每件可获利2元,则该商品的标价为每件元.29(2022重庆A卷)为进一步改善生态环境,村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算,这三座山各需两种树木数量和之比为5∶6∶7,需香樟数量之比为4∶3∶9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3.在实际购买时,香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等,则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为.30(2022广东)《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价分别是多少.角度3分配问题31(2021北京)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的原材料的质量与分配到B生产线的原材料的质量的比为.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A 生产线分配了m 吨原材料,给B 生产线分配了n 吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则mn 的值为 . 角度4生产、工程问题32(2022云南)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同.设实际每天植树x 棵,则下列方程正确的是 ( )A .400x -50=300x B .300x -50=400xC .400x+50=300xD .300x+50=400x33(2022宜昌)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨. (1)求4月份再生纸的产量.(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元,5月份再生纸产量比上月增加m%,5月份每吨再生纸的利润比上月增加m2%,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求m 的值.(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.角度5行程问题34(2022济宁)一辆汽车开往距出发地420 km 的目的地,若这辆汽车比原计划每小时多行10 km,则提前1 h 到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是x km/h,根据题意所列方程是 ( )A.420x =420x -10+1B.420x +1=420x+10 C.420x=420x+10+1 D.420x+1=420x -1035(2022重庆A 卷)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A 地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A 地出发,则甲、乙恰好同时到达B 地,求甲骑行的速度.角度6几何问题36(2022泰州)如图,在长为50 m 、宽为38 m 的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m 2,道路的宽应为多少?角度7其他问题37(2022宜昌)五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 ( )A.30B.26C.24D.2238(2022安徽)某地区2020年进出口总额为520亿元,2021年进出口总额比2020年有所增加,其中进口额增加了25%,出口额增加了30%.注:进出口总额=进口额+出口额.(1)设2020年进口额为x亿元,出口额为y亿元,请用含x,y的代数式填表:年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020 x y5202021 1.25x1.3y(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元,求2021年进口额和出口额分别是多少亿元.分类训练4方程(组)及其应用1.C2.B【解析】将①代入②,得x+2(x-1)=7,去括号,得x+2x-2=7.3.1【解析】{x+2y=4,①2x+y=5,②②-①,得x-y=5-4=1.4.【参考答案】{4x+y=5,①x-12+y3=2,②由②,得3x+2y=15,③①×2-③,得5x=-5解得x=-1.把x=-1代入①,得y=9故方程组的解为{x=−1, y=9.5.【参考答案】①+②,得2x=4,∴x=2.①-②,得2y=2,∴y=1.将x=2,y=1代入2kx-3y<5,得4k-3<5解得k<2.6.x=5 【解析】 方程两边同时乘x (x+5),得2x=x+5,解得x=5.检验:当x=5时,x (x+5)≠0.故x=5是原分式方程的解.7.x=3 【解析】 去分母,得3-x-1=x-4,移项、合并同类项,得-2x=-6,系数化为1,得x=3.经检验,x=3是分式方程的解.8.x=4 【解析】 方程两边同乘2x (x-2),得2×2(x-2)+2=5(x-2),解得x=4.检验:当x=4时,2x (x-2)=16≠0,∴x=4是原方程的解.9.【参考答案】 方程两边同乘以x (x+1),得x 2+3(x+1)=x (x+1). 解方程,得x=-32.经检验,x=-32是原方程的解. 10.【参考答案】 x x -2-1=4(x -2)2x (x-2)-(x-2)2=4 解得x=4检验:当x=4时,(x-2)2≠0 故x=4是原方程的解.11.D 【解析】 方程两边同时乘(x-1),得2x+m=x-1,解得x=-1-m.∵方程的解是正数,∴x>0,且x ≠1,∴-1-m>0,且-1-m ≠1,∴m<-1且m ≠-2. 12.±1 【解析】2x -a x -1-4=-2x+a x+1可变形为2x -2+2-a x -1-4=-2x -2+2+a x+1,即2+2−a x -1-4=-2+2+a x+1,∴2−a x -1=2+ax+1,∴(2-a )(x+1)=(2+a )(x-1),∴x=2a .又∵x 为整数,且x ≠±1,∴整数a=±1. 13.D 【解析】 方法一:∵x 2+4x+3=0,∴x 2+4x=-3,∴x 2+4x+4=-3+4,∴(x+2)2=1,∴x+2=±1,∴x 1=-1,x 2=-3.方法二:x 2+4x+3=0可化为(x+1)(x+3)=0,∴x 1=-1,x 2=-3. 14.B 【解析】 移项,得x 2-2x=24,配方,得x 2-2x+1=25,即(x-1)2=25,∴x-1=±5,∴x 1=6,x 2=-4.15.A 【解析】 ∵m ,n 是一元二次方程x 2+2x-5=0的两个根,∴m 2+2m-5=0,mn=-5,∴m 2+2m=5,∴m 2+mn+2m=m 2+2m+mn=5-5=0.故选A . 16.1 【解析】 将x=1代入x 2-2x+a=0,得1-2+a=0,∴a=1.17.3 【解析】 ∵x 1,x 2是一元二次方程x 2-4x+3=0的两个根,∴x 1·x 2=c a =31=3. 18.43 【解析】 由题意得a ,b 是方程x 2-4x+3=0的两个不相等的实数根,∴a+b=4,ab=3,∴1a +1b =a+b ab =43. 19.【参考答案】 移项,得x 2-2x=5 配方,得x 2-2x+1=5+1,即(x-1)2=6开方,得x-1=±√6解得x1=1+√6,x2=1-√6.20.【参考答案】等号两边同时开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2 解得x=1或x=-1.21.C【解析】由题意可知Δ=1-4m=0,解得m=14.22.C【解析】逐项分析如下:选项分析是否符合题意A Δ=1+8=9>0,方程有两个不相等的实数根.否B Δ=4>0,方程有两个不相等的实数根.否C Δ=1-20=-19<0,方程没有实数根.是D Δ=4-4=0,方程有两个相等的实数根.否23.A【解析】∵Δ=(-5)2-4×2×6=25-48=-23<0,∴一元二次方程2x2-5x+6=0无实数根.24.【参考答案】(1)依题意可得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0化简,得4k-3>0解得k>34.(2)依题意得x1x2=k2+1=5解得k1=2,k2=-2.由(1)知k>34,故k=2.25.【参考答案】(1)∵一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,∴Δ≥0即32-4(k-2)=-4k+17≥0解得k≤174.(2)∵方程的两个实数根分别为x1,x2∴x1+x2=-3,x1x2=k-2.∵(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1 ∴k-2-3+1=-1,解得k=3.26.A 【解析】 根据题意,得第二天揽件200(1+x )件,第三天揽件200(1+x )(1+x )=200(1+x )2(件),故200(1+x )2=242,故选A .27.C 【解析】 第一次降价后,该种商品每件售价为150(1-x )元,第二次降价后,该种商品每件售价为150(1-x )2元,故150(1-x )2=96.28.15 【解析】 设该商品的标价为每件x 元,由题意得80%x-10=2,解得x=15. 29.3∶5 【解析】 根据题意设未知数,列表如表(1)所示.由“甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3”,可列方程5a -4b 6a -3b =23,∴a=2b ,可得表(2).设香樟原价为每棵m 元,红枫原价为每棵n 元,则16b (1-6.25%)·m (1-20%)+20b ·n (1+25%)=16bm+20bn ,∴12bm+25bn=16bm+20bn ,∴m=54n ,∴12bm 25bn =12×54n 25n =15n 25n =35.表(1) 甲 乙 丙 香樟 4b 3b 9b 红枫 5a-4b 6a-3b合计5a6a7a表(2)甲 乙 丙 合计 香樟 4b 3b 9b 16b 红枫6b9b 5b 20b 合计 10b12b 14b30.【参考答案】 设学生人数为x 根据题意,得8x-3=7x+4 解得x=7∴7x+4=53.答:学生人数为7,该书单价为53元.31.2∶3 12 【解析】 设第一天分配到A,B 两条生产线的原材料分别为x 吨、y 吨,根据题意,得{x +y =5,4x +1=2y +3,解得{x =2,y =3,故分配到A 生产线的原材料的质量与分配到B 生产线的原材料的质量的比为2∶3.由题意得4(2+m )+1=2(3+n )+3,整理,得2m=n ,故m n =12.32.B 【解析】 由实际每天植树x 棵,可知原计划每天植树(x-50)棵,根据“实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同”,可列方程为400x =300x -50.33.【参考答案】 (1)设3月份再生纸产量为x 吨,则4月份再生纸产量为(2x-100)吨.由题意,得x+(2x-100)=800解得x=300∴2x-100=500.答:4月份再生纸的产量为500吨.(2)由题意,得500(1+m%)·1 000(1+m 2%)=660 000解得m 1=20,m 2=-320(不合题意,舍去) ∴m=20.(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y , 5月份再生纸的产量为a 吨,根据题意得1 200(1+y )2·a (1+y )=(1+25%)×1 200(1+y )·a∴1 200(1+y )2=1 500.答:6月份每吨再生纸的利润是1 500元.34.C 【解析】 这辆汽车原计划的速度是 x km/h,则实际的速度是(x+10)km/h,原计划用时420x h,实际用时420x+10 h.由实际比原计划提前1 h 到达目的地,可列方程为420x =420x+10+1.35.【参考答案】 (1)设乙骑行的速度是x 千米/时,则甲骑行的速度是1.2x 千米/时由题意,得12×1.2x=12x+2 解得x=20则1.2x=24.答:甲骑行的速度是24千米/时.(2)设乙骑行的速度是y 千米/时,则甲骑行的速度是1.2y 千米/时.由题意,得301.2y +2060=30y解得y=15.经检验,y=15是原方程的解,且符合题意.则1.2y=18.答:甲骑行的速度为18千米/时. 名师点拨由实际问题抽象出一次方程(组)的主要步骤:(1)弄清题意;(2)找准题中的等量关系;(3)设未知数;(4)根据找到的等量关系列出方程(组).36.【参考答案】 设道路的宽应为x 米由题意,得(50-2x )(38-2x )=1 260解得x 1=4,x 2=40(舍去).答:道路的宽应为4米.37.B 【解析】 设1艘大船可满载x 人,1艘小船可满载y 人,根据题意,得{x +2y =32①,2x +y =46②,由①+②,得3x+3y=78,∴x+y=26,即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26.38.【参考答案】 (1)1.25x+1.3y(2)由题意得{x +y =520,1.25x +1.3y =520+140,解得{x =320,y =200,∴1.25x=400,1.3y=260.答:2021年进口额为400亿元,出口额为260亿元.。
八年级数学下册综合算式专项练习题解一元二次方程的思考题
八年级数学下册综合算式专项练习题解一元二次方程的思考题一元二次方程的思考题解一元二次方程是初中数学中的重要内容，它是解决实际问题的有效工具之一。
在八年级数学下册的综合算式专项练习中，我们遇到了一些思考题，下面我们将逐题进行解析。
思考题一：已知一元二次方程x² - 4mx + m² = 0的一个根是2，求m的值。
解析：根据已知条件，我们可以利用一元二次方程的求根公式来解题。
一元二次方程的求根公式是 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别是方程 ax² + bx + c = 0 的系数。
根据题目给出的方程x² - 4mx + m² = 0，我们可知 a = 1，b = -4m，c = m²。
代入求根公式，得到：2 = (-(-4m) ± √((-4m)² - 4·1·m²)) / (2·1)化简得：2 = (4m ± √(16m² - 4m²)) / 2继续化简，得：2 = (4m ± 2√(4m² - m²)) / 2最后化简为：2 = 2m ± 2√(3m²)分别带入正负号，得到两个方程：2 = 2m + 2√(3m²) 或 2 = 2m - 2√(3m²)解方程，得到两组解：m + √(3m²) = 1 或 m - √(3m²) = 1将根号内的项进行化简：m + √(3m²) = 1 或 m - √(3m²) = 1即m + √(3)·m = 1 或 m - √(3)·m = 1继续解方程，得到最终解：m = (1 - √3) / (1 + √3) 或m = (1 + √3) / (1 - √3)所以，当一元二次方程的一个根是2时，m的值可以为 (1 - √3) / (1 + √3) 或(1 + √3) / (1 - √3)。
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题(含参考答案)
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案 （有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ﹣y ＞0D ．x +y ＞02．如果1x -大于0，那么x 的取值范围是（ ） A ．1x >B ．1x <C ．0x <D ．0x >3．一元一次不等式x +1＜2的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．4．不等式﹣3x≤9的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．用配方法解方程22990x x --=，配方后得（ ） A ．2(1)99x -=B ．2(1)100x +=C ．2(1)98x -=D ．2(1)100x -=6．若关于x 的分式方程43233m xx x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．一项工程，A 独做10天完成，B 独做15天完成，若A 先做5天，再A 、B 合做，完成全部工程的23，共需（ ） A ．8天B ．7天C ．6天D ．5天8．若关于x 的方程534x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k 的和为（ ） A ．20B ．6C ．4D ．29．不等式组372378x x -≥⎧⎨-<⎩的所有整数解共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ） A ．如果a b =，那么23a b +=+ B ．如果a b =，那么23a b -=- C ．如果2a a =，那么1a =D ．如果a bc c=，那么a b = 11．下列是一元一次方程的是（ ） A ．231x y +=B ．20x -=C ．3x +D ．11x= 12．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行x 公里，根据题意列出的方程正确的是( ) A ．30252=+x x B ．30252=+x x C ．30252=-x x D ．30252=-x x13．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同. 设2，3月份利润的月增长率为x ，那么x 满足的方程为( ) A ．B ．C ．D ．14．如图所示两个天平都平衡，则3个球体的质量等于（ ）个正方体的质量，括号内应填A ．2B ．3C ．4D ．515．若﹣3＜a ≤3，则关于x 的方程x ＋a ＝2解的取值范围为（ ） A ．﹣1≤x ＜5B ．﹣1＜x ≤1C ．﹣1≤x ＜1D ．﹣1＜x ≤516．下列变形中，正确的是（ ） A ．若a b =，则11a b +=-B ．若32a b =，则a b =C ．若2a b -=，则2a b =-D ．若44b a -=-，则a b =17．在2019年女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王、女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则根据以上信息所列方程正确的是（ ）A ．3x+2x ＝32B ．3（11﹣x ）+3（11﹣x ）+2x ＝32C ．3（11﹣x ）+2x ＝32D ．3x+2（11﹣x ）＝3218．三元一次方程组10318x y z x y x y z ++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩的解是（ ）A ．532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩B ．352x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C ．542x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩D ．431x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩19．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） A ．3瓶B ．4瓶C ．5瓶D ．6瓶20．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）A ．1316小时B ．1312小时C ．1416小时D ．1412小时二、填空题21．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为____克． 22．如果方程23252x x -+=-的解与方程72x b -=的解相同，则b =________. 23．由4x ﹣3y +6=0，可以得到用y 表示x 的式子为x =__．24．已知不等式组212(1)43x x x+>⎧⎨-+>⎩，请写出一个该不等式组的整数解___________．25．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m ＝0有实数根，则m 的取值范围是_____．26．若关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，则k 的取值范围是______．27．当a ＝_____时，分式32a a +-的值为－4． 28．三角形的三边长分别为7，1+2x ，13，则x 的取值范围是___ 29．25y x +=用含x 的式子表示y 为________________________．30．若关于x ，y 的二元一次方程组2630x my x y -=⎧⎨-=⎩的解是正整数，则整数m =_______．31．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的8折出售将赚55元，则成本价为______元．32．已知A ∠与的B ∠两边分别平行，且A ∠比B ∠的3倍少20°，则A ∠的大小是__________．33．已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩， （1）代数式224x y +的值是_____． （2）代数式112x y+的值是______．34．已知关于x ，y 的方程组225,234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩的解满足1x <，2y <，则m 的取值范围为______．35．已知关于x ，y 的不等式组100x x a ->⎧⎨-⎩有以下说法：①若它的解集是1＜x ≤4，则a ＝4；①当a ＝1时，它无解；①若它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5；①若它有解，则a ≥2．其中所有正确说法的序号是_____．36．若关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k 的取值范围为__．37．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______．38．如果关于x 的方程x2+2ax ﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a 与b 互为倒数，那么a +b=_____．39．某车间 56 名工人，每人每天能生产螺栓 16 个或螺母 24 个，设有 x 名工人生产螺栓， 有 y 名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按 1：2 配套，所列方程组是________. 40．若分式方程2211x m x x x x x+-=++有增根，则m 的值是______.三、解答题 41．解下列方程： （1）3x +7＝32﹣2x ； （2）121224x x +--=+． 42．解方程：242111x x x++=---． 43．解方程组：（1）32528x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）234347x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩．44．某商场进货员预测某商品能畅销市场，就用8万元购进该商品，上市后果然供不应求．商场又用17.6万购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但进货的单价贵了4元，商场销售该商品时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商场共盈利多少元？ 45．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0， （1）两根相等； （2）有一根为0． 46．解方程组或不等式组：（1）20346x y x y +=⎧⎨+=⎩；（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 47．已知一个四位自然数N ，它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然数N 的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到N '，规定()101N N F N '+=． 例如：4536N =，①4536+=+，①4536是“和对称数”，()45365463453699101F +==．2346N =，①2346+≠+，①2346不是“和对称数”．(1)请判断2451、3972是不是“和对称数”，并说明理由．若是，请求出对应的()F N 的值．(2)已知A ，B 均为“和对称数”，其中100010746A a b =++，1002026B m n =++（其38a ≤≤，05b ≤≤，29m ≤≤，512n ≤≤，且均为整数），令()()32k F A F B =+，当k能被77整除时，求出所有符合条件的A 的值． 48．解决以下问题:(1)221x y ±++，的算术平方根是5，求2318x y -+的立方根； (2)的值互为相反数,求a b c 、、的值. 49．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A 品牌足球共花费2880元，B 品牌足球共花费2400元，且购买A 品牌足球数量是B 品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A 品牌比B 品牌便宜12元． (1)求去年A ，B 两种足球的售价；(2)今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A ，B 两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A 品牌比去年提高了5%，B 品牌比去年降低了10%，如果今年购买A ，B 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B 品牌足球?50．某生态柑橘园现有柑橘31吨，租用9辆A 和B 两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A 型货车的总费用500元，B 型货车的总费用480元，每辆B型货车的运费是每辆A型货车的运费的1.2倍．（1）每辆A型货车和B型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用1辆A型车和7辆B型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和B型车货各运多少吨？参考答案：1．D【分析】利用不等式的性质由已知条件可得到x+y＞0，从而得到正确选项．【详解】①3x＞﹣3y，①3x+3y＞0，①x+y＞0．故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．Ax->，即可求得x的取值范围．【分析】1x-大于0即10【详解】根据题意得：x->10x>解得：1故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，把判断一个式子的值的取值范围的问题掌握不等式的问题，这是解本题的关键．3．B【分析】求出不等式的解集，表示出数轴上即可．【详解】解：不等式x+1＜2，解得：x＜1，如图所示：故选B．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．A【详解】试题分析：本题考查了在数轴上表示不等式的解集：利用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想．也考查了解一元一次不等式．先解不等式得到x≥﹣3，在数轴上表示为﹣3的右侧部分且含﹣3，这样易得到正确选项. 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 5．D【分析】把常数项-99移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x 2-2x -99=0的常数项移到等号的右边，得到x 2-2x =99 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2-2x +1=100 配方得（x -1）2=100． 故选D ．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6．D【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：①分式方程43233m xx x +=+--有增根， ①3x =，去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 7．C【分析】此题是工程问题，它的等量关系是A 独做的加上A 、B 合做的是总工程的23，此题可以分段考虑，A 独做了5天，合作了（x -5）天，利用等量关系列方程即可解得． 【详解】设共需x 天． 根据题意得：5112(5)()1010153x +-+= 解得：x =6． 故选C ．8．A【分析】先解方程可得75x k=-，再根据关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数，可得51k -=±或57k -=±，从而可得答案． 【详解】解：①534x kx -=+， ①57x kx -=，即()57k x -=， 当50k -≠时， ①75x k=-， ①关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数， ①51k -=±或57k -=±，解得：4k =或6k =或2k =-或12k =， ①()4621220++-+=，①满足条件的所有整数k 的和为20. 故选A ．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 9．B【分析】解不等式组，得到关于x 的解集，再找出符合x 取值范围的整数解即可． 【详解】解：解不等式3x −7≥2得：x ≥3， 解不等式3x −7＜8得：x ＜5， 即不等式组的解集为：3≤x ＜5，符合3≤x ＜5的x 的整数解为：3，4共2个， 故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法． 10．D【分析】根据等式的基本性质进行分析判断即可．【详解】解：A 选项中，“如果a b =，那么23a b +=+”是不成立的，故不能选A ； B 选项中，“如果a b =，那么23a b -=-”是不成立的，故不能选B ；C选项中，“如果2a a=，那么1a=”不一定成立，因为a的值可能为0，故不能选C；D选项中，“如果a bc c=，那么a b=”成立，故选D.故选：D.【点睛】本题考查等式的基本性质，熟记“等式的基本性质：（1）等式的两边都加上或者减去同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式”是解答本题的关键．11．B【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误；B、是一元一次方程，故本选项正确；C、不是等式，即不是一元一次方程，故本选项错误；D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．12．C【详解】解：设甲每小时骑行x公里，根据题意得：30252=-x x.故选C．13．D【详解】试题分析：一月份获利10万元，二月份获利10(1+x)万元，三月份获利10万元，然后根据一季度的总获利得出方程.考点：一元二次方程的应用14．D【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：由图可知，2个球体的质量=5个圆柱的质量，2个正方体的质量=3个圆柱的质量，①6个球体的质量=15个圆柱的质量，10个正方体的质量=15个圆柱的质量，①6个球体的质量=10个正方体的质量，①3个球体的质量=5个正方体的质量，故选D ．【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 15．A【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a ≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x ＋a ＝2，得：x ＝2-a ，①﹣3＜a ≤3，①﹣1≤2-a ＜5，即：﹣1≤x ＜5，故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a 的代数式表示x ，是解题的关键．16．D【分析】根据等式的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，若a b =，则111a b b +=+>-，故A 选项错误不符合题意；若32a b =，则23a b =，故B 选项错误不符合题意； 若2a b -=，则2a b =+，故C 选项错误不符合题意；若44b a -=-，则a b =，故D 选项正确符合题意；故选D ．【点睛】本题考查等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数等式性质不变，等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数等式性质不变．17．C【分析】设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x ）场，根据总积分＝3×小比分获胜的场次数+2×大比分获胜场次数，即可得出关于x 的一元一次方程．【详解】解：设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x）场，依题意，得：2x+3（11﹣x）＝32．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键. 18．A【分析】由①代入①、①消去x，解二元一次方程组得出y、z的数值，再进一步求得x的数值解决问题．【详解】10318x y zx yx y z++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩①②③，把①代入①得：y+z=5①，把①代入①得：4y+3z=18①，①×4–①得：z=2，把z=2代入①得：y=3，把y=3，z=2代入①得：x=5，则方程组的解为532xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选A．【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，注意逐步消元是解决问题的关键．19．C【详解】试题分析：因为15÷4=3余3空瓶，所以可换3瓶喝完，还剩3+3=6空瓶，拿出4空瓶换一瓶，还剩3个空瓶子，找人借一个瓶子凑齐四个喝完还剩一个再把这个瓶子还给那个人，故最多可以喝五瓶矿泉水．故选C．考点：命题．20．C【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则5x x -解得x ＝20．经检验x ＝20是原方程的根，且符合题意．①x =20是所列方程的解．①x -5=15．①甲的工作效率是120，乙的工作效率是115， 则丙的工作效率是110． ①一轮的工作量为：1111320151060++=． ①4轮后剩余的工作量为：52216015-=． ①还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：211115201560--=． ①丙还需要工作16小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+16＝14 16小时． 故选：C ． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21．2【分析】根据题意直接列一元一次不等式，并求解即可．【详解】解：设蛋白质的含量至少应为x 克，依题意得：0.4%500x ≥， 解得x ≥2，则蛋白质的含量至少应为2克．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 22．7 【分析】先解方程23252x x -+=-，得97x =，因为这个解也是方程72x b -=的解，根据方程的解的定义，把x 代入方程72x b -=中求出b 的值． 【详解】解：由23252x x -+=-，得2420(515),x x -=-+7所以可得97277b =⨯-= 故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元一次方程和方程的解的定义，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．23．364y - 【详解】方程4x −3y +6=0，解得：x =364y -， 故答案为364y -． 24．0##1【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，即可得到答案．【详解】()212143x x x +>⎧⎪⎨-+>⎪⎩①② 解不等式①得：1x >-；解不等式①得：2x <；所以不等式组的解集为：12x -<<；则其整数解为0与1．故答案为：0（或1）．【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，正确并熟练地解一元一次不等式是解题的关键．25．m≤14【分析】一元二次方程有实数根，则①≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：由题意知，①＝1﹣4m≥0， ①m≤14， 故答案为m≤14． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，①≥0． 26．1k ≠【分析】根据一元二次方程的定义列式计算即可得解．【详解】①关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，①10k -≠，①1k ≠，故答案为：1k ≠．【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．27．1【分析】根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：由题意得：342a a +=--， 去分母得，()342a a +=-- ,解得，1a =，经检验1a =是分式方程的解，故答案为：1【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．28．3＜x ＜6【详解】试题分析：根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得13-7＜ 1+2x ＜20，解得3＜x ＜6 .考点：三角形三边之间的关系点评：该题考查了三角形三边之间的关系，已知三角形的两边长，可以求第三边的范围，即两边之差＜第三边长＜两边之和.29．y=-2x+5【分析】把x 看做已知数求出y 即可．【详解】解：方程y+2x=5，解得：y=-2x+5．故答案为：y=-2x+5．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．30．0，3，4，5【分析】先解方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值．【详解】解：2630x myx y-=⎧⎨-=⎩①②由①得：x＝3y ①，把①代入①得：6y−my＝6，①y＝66-m，①x＝186-m，①方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩的解是正整数，①6−m＞0，①m＜6，并且66-m和186-m是正整数，m是整数，①m的值为：0，3，4，5．故答案是：0，3，4，5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．31．185【分析】设每件服装标价为x元，再根据无论亏本或盈利，其成本价相同，列出方程，求出x的解，最后根据成本价=服装标价×折扣，即可得出答案．【详解】解：设每件服装标价为x元，根据题意得：0.5x+35=0.8x-55，解得：x=300．则每件服装标价为300元，成本价是：300×50%+35=185（元），故答案为：185．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．32．10°或130°【分析】根据A ∠与B ∠两边分别平行，由A ∠比B ∠的3倍少20°列方程求解即可得到答案．【详解】①A ∠比B ∠的3倍少20°，①A ∠=3B ∠- 20°，①A ∠与B ∠两边分别平行，①①A 与①B 相等或互补，①当A ∠=B ∠时，得到①A =3①A - 20°，①①A =10°；①当①A +①B =180°时，得到①A =3(180°-①A )-20°，①①A =130°，故答案为：10°或130°．【点睛】此题考查平行线的性质，解一元一次方程，能正确理解两边分别平行的两个角的关系是解题的关键．33． 17 54± 【分析】（1）令224n x y m xy +==，，将原方程组可化为关于m 、n 的二元一次方程组，进行求解即可；（2）先根据完全平方公式求出25x y +=±，再将112x y+通分进行计算即可． 【详解】（1）令224n x y m xy +==，，原方程组可化为3247236m n m n -=⎧⎨+=⎩， 解得172m n =⎧⎨=⎩， 即221724x y xy +==，，故答案为：17；（2）222(2)4178254x y x y xy +=+=+=+，25x y ∴+=±1125224x y x y xy +±∴+==，故答案为：54±． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，完全平方公式的变形，异分母分式相加等，熟练掌握知识点并运用整体代入法是解题的关键．34．823m -<< 【分析】先解出方程组的解，再根据解的情况列出关于m 的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：225234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩①② ①+①得：x =-1-m ，将x =-1-m 代入①中，得：y =342m -， ①该方程组的解满足1x <，2y <， ①113422m m --<⎧⎪⎨-<⎪⎩， 解得：823m -<<． 故答案为：823m -<<． 【点睛】本题考查解二元一次方程组的应用、解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法，正确解出x 、y 值是解答的关键．35．①①①【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．【详解】解：解不等式x ﹣1＞0得，x ＞1；解不等式x ﹣a ≤0得，x ≤a ，故不等式组的解集为：1＜x ≤a ．①①它的解集是1＜x ≤4，①a ＝4，故本小题正确；①①a ＝1，x ＞1，①不等式组无解，故本小题正确；①①它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5，①4≤a ＜5，故本小题正确；①①它有解，①a ＞1，故本小题错误．故答案为：①①①．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键. 36．13k <<【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k 的不等式组，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：解方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩得：13x k y k=-⎧⎨=-⎩， 关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数， ∴1030k k ->⎧⎨->⎩， 解得：13k <<，故答案为：13k <<．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k 的不等式组是解此题的关键．37．22x -≤<【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：23113x x -<⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x ＜2，解不等式①得，x ≥-2所以，不等式组的解集为：22x -≤<故答案为：22x -≤<．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）．38．±2．【分析】根据根的判别式求出△=0，求出a 2+b 2=2，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：①关于x 的方程x 2+2ax-b 2+2=0有两个相等的实数根，①①=（2a ）2-4×1×（-b 2+2）=0，即a 2+b 2=2，①常数a 与b 互为倒数，①ab=1，①（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=2+2×1=4，①a+b=±2，故答案为±2．【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a 2+b 2=2和ab=1是解此题的关键．39．5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【分析】此题中的等量关系有：①生产螺栓人数+生产螺母人数=56人；①每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，那么螺栓要想与螺母的数量配套，则螺栓数量的2倍=螺母数量．【详解】解：根据生产螺栓人数+生产螺母人数=56人，得方程x+y=56；根据螺栓数量的2倍=螺母数量，得方程2×16x=24y ．列方程组为：5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩故答案为5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．40．1-或2【分析】根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，先把分式方程去分母化为整式方程，再通过使最简公分母不为0确定增根的可能值，将其代入整式方程即可算出m 的值.【详解】解：①2211x m x x x x x+-=++， ①()2221x m x -=+，①221m x x =--. ①2211x m x x x x x+-=++有增根， ①0x =或=1x -.当0x =时，2211m x x =--=-；当=1x -时，2212m x x =--=.①m 的值为1-或2.故答案为：1-或2【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 41．（1）x ＝5；（2）x ＝4．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可;（2）去分母，然后移项，合并同类项，系数化成1即可.【详解】解：（1）移项合并得：5x ＝25，解得：x ＝5；（2）去分母得：2x +2﹣4＝8+2﹣x ，移项合并得：3x ＝12，解得：x ＝4．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键.42．13x = 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：242111x x x ++=--- 整理，得：421(1)(1)1x x x x +-=-+-- 方程两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得4﹣（x +1）（x +2）=﹣（x 2﹣1），整理，得，3x =1， 解得1x=3． 经检验，1x=3是原方程的根．①原方程的解是1x=3．【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程，结果要检验.43．（1）32x y =⎧⎨=-⎩；（2）34x y =⎧⎨=⎩． 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可．（2）去分母后，加减法消元解方程.【详解】解：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2得，4x﹣2y＝16①，①+①得，7x＝21，解得x＝3，把x＝3代入①得，2×3﹣y＝8，解得y＝﹣2，所以，方程组的解是32xy=⎧⎨=-⎩；（2）方程组可化为4324347x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②，①×4得，16x+12y＝96①，①×3得，9x﹣12y＝﹣21①，①+①得，25x＝75，解得x＝3，把x＝3代入①得，3×3﹣4y＝﹣7，解得y＝4，所以，方程组的解是34xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．44．在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【分析】盈利=总售价-总进价，应求出某商品的数量．总价明显，一定是根据单价来列等量关系．本题的关键描述语是：“单价贵了4元”；等量关系为：第一次的单价=第二次的单价-4．【详解】设商场第一次购进某商品x件，则第二次购进某商品2x件，根据题意得：8000017600042x x-＝．160000=176000-8x解这个方程得：x=2000．经检验：x=2000是原方程的根．商场利润：（2000+4000-150）×58+58×0.8×150-80000-176000=90260（元）．答：在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．45．（1）k＝10；（2）k＝1．【分析】（1）方程由两个相等的根，则△＝0；（2）有一个根是0，则两根之积为0．【详解】解：（1）△＝36﹣4（k-1）＝40-4k，①两根相等，①①＝0，即k＝10；（2）①有一根为0，①0∆≥，即10k≤，由根与系数的关系可得，k﹣1＝0，①k＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键．一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．46．（1）63xy=⎧⎨=-⎩；（2）13x-≤<【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】（1）解：20 346 x yx y+=⎧⎨+=⎩①②方程①可化为2x y=-①把①代入①，得解得y=-3把y=-3代入①，得x=()236-⨯-=所以原方程组的解为：63x y =⎧⎨=-⎩（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①得1x ≥-解不等式①得3x <所以不等式组的解集为13x -≤<将其在数轴上表示如下：【点睛】本题两个小题分别考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，根据相关题目要求按步骤求解是解题的关键47．(1)3972不是“和对称数”，2451是“和对称数”，理由见解析，()F N 值为66(2)A 的值为3746，4756，6776，5766，7786，8796【分析】（1）根据“和对称数”的定义，即可求解；（2）根据题意分别表示出()(),F A F B ，再由()()32k F A F B =+，k 能被77整除，并结合a ，m 的取值范围进行分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：3972不是“和对称数”，①3924+≠，①3972不是“和对称数”．2451是“和对称数”，①2451+=+，。
2019中考数学复习训练专题三方程思想与函数思想(含答案)
专题三5大数学思想方法第四节方程思想与函数思想姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·黑龙江中考)某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则参赛班级的个数是( )A．4 B．5C．6 D．72．(2018·四川广安中考)抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是( )A．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度C．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度3．(2018·浙江湖州中考)如图，已知直线y＝k1x(k1≠0)与反比例函数y＝k2 x(k2≠0)的图象交于M，N两点．若点M的坐标是(1，2)，则点N的坐标是( )A．(－1，－2) B．(－1，2)C．(1，－2) D．(－2，－1)4．(2017·辽宁辽阳中考)甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地，A地，两人相遇时停留了4 min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y(m)与甲所用时间x(min)之间的函数关系如图所示．有下列说法：①A，B之间的距离为1 200 m；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③b ＝960；④a＝34.以上结论正确的有( )A．①② B．①②③C．①③④ D．①②④5．(2018·湖南湘潭中考)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为______________________________．6．(2018·贵州贵阳中考)如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC 边上，则对角线EG长的最小值为___________．7．(2018·甘肃白银中考)如图，一次函数y ＝x ＋4的图象与反比例函数y ＝kx (k为常数且k≠0)的图象交于A(－1，a)，B 两点，与x 轴交于点C. (1)求此反比例函数的表达式；(2)若点P 在x 轴上，且S △ACP ＝32S △BOC ，求点P 的坐标．8．(2018·陕西中考)对于抛物线y ＝ax 2＋(2a －1)x ＋a －3，当x ＝1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．(2018·广西玉林中考)如图，点A ，B 在双曲线y ＝3x (x ＞0)上，点C 在双曲线y ＝1x(x ＞0)上，若AC∥y 轴，BC∥x 轴，且AC ＝BC ，则AB 等于( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．3 210．(2018·福建中考)如图，直线y ＝x ＋m 与双曲线y ＝3x 相交于A ，B 两点，BC∥x 轴，AC∥y 轴，则△ABC 面积的最小值为______．11．(2018·江苏连云港中考)如图，E ，F ，G ，H 分别为矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，连结AC ，HE ，EC ，GA ，GF.已知AG⊥GF，AC ＝6，则AB 的长为______．12．(2018·江苏泰州中考)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝513，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为__________．13．(2018·山东青岛中考)已知反比例函数的图象经过三个点A(－4，－3)，B(2m，y1)，C(6m，y2)，其中m＞0.(1)当y1－y2＝4时，求m的值；(2)如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标(不需要写解答过程)．14．(2018·四川南充中考)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B.(1)求抛物线的表达式；(2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．参考答案【基础训练】 1．C 2.D 3.A 4.D5．x 2＋32＝(10－x)26.1213137．解：(1)把点A(－1，a)代入y ＝x ＋4得a ＝3， ∴A(－1，3)．把A(－1，3)代入反比例函数y ＝kx 得k ＝－3，∴反比例函数的表达式为y ＝－3x .(2)联立两个函数的表达式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，y ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴点B 的坐标为B(－3，1)． 当y ＝x ＋4＝0时，解得x ＝－4， ∴点C(－4，0)． 设点P 的坐标为(x ，0)． ∵S △ACP ＝32S △BOC ，∴12×3×|x－(－4)|＝32×12×4×1，解得x 1＝－6，x 2＝－2， ∴点P(－6，0)或(－2，0)． 【拔高训练】 8．C 9.B10．6 11.2 12.15625或1021313．解：(1)设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵反比例函数的图象经过点A(－4，－3)， ∴k＝－4×(－3)＝12， ∴反比例函数的表达式为y ＝12x.∵反比例函数的图象经过点B(2m ，y 1)，C(6m ，y 2)， ∴y 1＝122m ＝6m ，y 2＝126m ＝2m .∵y 1－y 2＝4，∴6m －2m ＝4，∴m＝1.(2)设BD 与x 轴交于点E.∵点B(2m ，6m )，C(6m ，2m )，过点B ，C 分别作x 轴、y 轴的垂线，两垂线相交于点D ，∴D(2m，2m )，BD ＝6m －2m ＝4m .∵三角形PBD 的面积是8， ∴12BD·PE＝8， ∴12·4m·PE＝8，∴PE＝4m.∵E(2m，0)，点P 在x 轴上， ∴点P 坐标为(－2m ，0)或(6m ，0)．【培优训练】14．解：(1)设y ＝a(x －1)2＋4(a≠0)，把C(0，3)代入抛物线表达式得a ＋4＝3，即a ＝－1， 则抛物线表达式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3. (2)由B(3，0)，C(0，3)得到直线BC 表达式为y ＝－x ＋3. ∵S △PBC ＝S △QBC ，∴PQ∥BC.①过P 作PQ 1∥BC，交抛物线于点Q 1，如图1所示，图1∵P(1，4)，∴直线PQ 1表达式为y ＝－x ＋5，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x 2＋2x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即Q 1(2，3)；②设G(1，2)，∴PG＝GH ＝2.过H 作直线Q 2Q 3∥BC，交x 轴于点H ，则直线Q 2Q 3表达式为y ＝－x ＋1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋172，y ＝－1－172或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－172，y ＝－1＋172，∴Q 2(3－172，－1＋172)，Q 3(3＋172，－1－172)．(3)存在点M ，N 使四边形MNED 为正方形．图2如图2所示，过M 作MF∥y 轴，过N 作NF∥x 轴，过N 作NH∥y 轴，则有△MNF 与△NEH 都为等腰直角三角形．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，设直线MN 表达式为y ＝－x ＋b ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y ＝－x 2＋2x ＋3， 消去y 得x 2－3x ＋b －3＝0，∴NF 2＝|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21－4b ， ∵△MNF 为等腰直角三角形， ∴MN 2＝2NF 2＝42－8b.∵NH 2＝(b －3)2，∴NF 2＝12(b －3)2，若四边形MNED 为正方形，则有NE 2＝MN 2，∴42－8b ＝12(b 2－6b ＋9)， 整理得b 2＋10b －75＝0，解得b ＝－15或b ＝5.∵正方形边长为MN ＝42－8b ， ∴MN＝92或 2.。
初中总复习解方程专项练习200题(有答案)
初中总复习解方程专项练习200题(有答
案)
这份文档包含了200道初中数学解方程的专项练题，每道题都
带有详细的解答，旨在帮助初中学生复和巩固解方程的知识点。
以
下是本文档的大致内容：
第一章线性方程
本章包含了50道线性方程的练题，主要涵盖了一元一次方程、二元一次方程以及三元一次方程。
每道题都有详细的解答，解答过
程清晰易懂。
第二章二次方程
本章包含了50道二次方程的练题，主要涵盖了配方法、公式
法以及因式分解法。
每道题都有详细的解答，解答过程清晰易懂。
第三章含有绝对值的方程
本章包含了30道含有绝对值的方程的练题，每道题都有详细
的解答，解答过程清晰易懂。
第四章一元高次方程
本章包含了35道一元高次方程的练题，主要涵盖了二次方程、三次方程以及四次方程。
每道题都有详细的解答，解答过程清晰易懂。
第五章方程组
本章包含了35道方程组的练题，主要涵盖了二元一次方程组、三元一次方程组以及三元二次方程组。
每道题都有详细的解答，解
答过程清晰易懂。
此文档适用于任何需要巩固和复习解方程知识的初中生，希望
本文档能对学生们提供帮助，加深对解方程的理解。
七年级数学上册方程专项训练(带答案)
七年级数学上册方程专项训练(带答案) 1. 一元一次方程题目1解方程：3x + 5 = 8解答：将方程变形，得到：3x = 8 - 53x = 3将等式两边同时除以3，得到：x = 1所以，方程的解为 x = 1。
题目2解方程：2(x - 3) = 7解答：将方程展开，得到：2x - 6 = 7将方程移项，得到：2x = 7 + 62x = 13将等式两边同时除以2，得到：x = 13/2所以，方程的解为 x = 13/2。
2. 解二元一次方程组题目1解方程组：2x + y = 93x - 2y = 4解答：使用消元法解方程组：将第一个方程乘以2，得到：4x + 2y = 18 (方程A)将第二个方程乘以3，得到：9x - 6y = 12 (方程B)将方程A与方程B相加，消去y项，得到：4x + 2y + 9x - 6y = 18 + 1213x - 4y = 30将方程改写为：13x = 4y + 30 (方程C)由方程C得到：x = (4y + 30)/13将x的表达式代入方程A，得到：2(4y + 30)/13 + y = 9解方程，得到：8y + 60 + 13y = 11721y = 57y = 57/21将y的值代入方程A，得到：2x + 57/21 = 92x = 9 - 57/21解方程，得到：x = 27/14所以，方程组的解为 x = 27/14, y = 57/21。
题目2解方程组：2x - 3y = 54x + 5y = 3解答：使用消元法解方程组：将第一个方程乘以5，得到：10x - 15y = 25 (方程A)将第二个方程乘以3，得到：12x + 15y = 9 (方程B)将方程A与方程B相加，消去y项，得到：10x - 15y + 12x + 15y = 25 + 922x = 34解方程，得到：x = 34/22将x的值代入方程A，得到：2(34/22) - 3y = 5解方程，得到：68/22 - 3y = 5-3y = 5 - 68/22解方程，得到：y = (68/22 - 5)/(-3)所以，方程组的解为 x = 34/22, y = (68/22 - 5)/(-3)。
初一数学 方程、方程组、不等式专题 经典复习题 含习题和答案
专题三 方程、方程组与不等式★重点 一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）一．中考要求1．了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程（数字系数）2．能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力．3．了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次方程组（数字系数人能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性． 4．了解二元一次方程组的图象解法，初步体会方程与函数的关系．5．了解解二元一次方程组的“消元”思想．从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想．6. 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．7．经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质．8．理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想． 9．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 10．初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别．二、重要概念1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2、分类：二.解方程的依据—等式性质 1．a=b ←→a+c=b+c2．a=b ←→ac=bc (c ≠0) 三.解法1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2． 二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法；②加减法 四.一元二次方程1．定义及一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式? 答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列. 2．解法：⑴直接开方法（2）配方法（注意步骤和推导求根公式）二次方程 一次方程 高次方程 整式方程 分式方程 有理方程 无理方程方程(3)公式法：)04(24222,1≥--±-=ac b aac b b x(4)因式分解法（特征：左边=0）说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。
中考专题--方程思想
方程应用试题 姓名___________应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点一．方程思想在代数问题中的应用 （1）整式与方程思想1．已知25A x mx n =-+，2321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为 2．单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项，则m n 的值为（2）函数与方程思想3．若函数215mm y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m =4．已知反比例函数ky x=与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 5．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为二．方程思想在几何问题中的应用在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程（1）三角形和四边形与方程思想 通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．34 C ．23D ．27．如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.8．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则ADAC的值为( ) ． A ．12 B．12 C ．1 D．129．如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。
设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值（3）圆与方程思想通常以半径相等或者切线长相等为突破口 以“勾股定理”为等量关系列出方程10．如图，ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，以BC 上一点O 为圆心作⊙O，与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点，则⊙O 的半径为11．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。
部编数学八年级上册专题38解分式方程特训50道(解析版)含答案
专题38 解分式方程特训50道1．解方程：(1)2332x x =--(2)11222x x x-=---．2．解下列分式方程：(1)752x x =-(2)11322x x x-+=--【答案】(1)x ＝﹣5(2)无解【分析】（1）观察方程可得最简公分母为(2)x x -，两边同乘最简公分母把分式方程化为整式方程即可得解；（2）观察方程可得最简公分母为(2)x -，两边同乘最简公分母把分式方程化为整式方程即可得解．（1）解：去分母得：7x ＝5x ﹣10，解得：x ＝﹣5，检验：把x ＝﹣5代入得：x （x ﹣2）≠0，∴分式方程的解为x ＝﹣5；（2）解：去分母得：1+3（x ﹣2）＝x ﹣1，解得：x ＝2，检验：把x ＝2代入得：x ﹣2＝0，∴x ＝2是增根，分式方程无解．【点睛】本题考查分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意解分式方程一定要验根；熟练找到最简公分母是解题的关键．3．解分式方程：(1)231233x x x x -=--；(2)13121422x x +=--．【答案】(1)3x =(2)3x =【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．（1）解：方程两边都乘23x x -，得326x x -=-，解这个方程，得3x =， 经检验，3x =是原方程的增根，原方程无解；（2）解：方程两边都乘42x -，得 2321x +=-，解这个方程，得3x =，经检验，3x =是原方程的根．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．4．解分式方程：(1)23211x x =+-(2)214111x x x ++=--(1)2x ＝32x +(2)51122x x x-+=--【答案】(1)4x =(2)x =-1【分析】（1）根据解分式方程的过程即可求解；（2）根据解分式方程的过程即可求解．(1)解：方程两边同时乘x (x +2)，得2(x +2)=3x化简，得x -4=0解得：x =4经检验，x =4是原分式方程的解所以x =4(2)解：方程两边乘（x -2），得5+（x -2）=1-x化简，得2x =-2解得： x =-1检验：当x =-1时，x -2≠0所以x =-1是原分式方程的解【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根．6．解下列方程(1)23201x x x x +-=--；(2)723222x x x --=++．【答案】(1)无解【解析】(1)（1）解：分式两边同乘(1)x x -得：3(2)0x x -+=解得：1x =检验：当1x =时，(1)0-=x x故原分式方程无解．(2)（2）解：分式两边同乘2x +得：72(2)23x x -+=-解得：=1x -检验：当=1x -时，20x +¹故原分式方程的解为：=1x -．【点睛】本题主要是考查了分式方程的求解，熟练将分式方程化成整式方程进行求解，最后注意验根，这是解决这类问题的主要思路．7．解方程：（1）213111x x x --=+-；（2）28122x x x x-=--．8．解下列分式方程：（1）11x -＋21x -＝1；（2）2x x -﹣1＝284x -．∴原分式方程无解．【点睛】此题主要考查了解分式方程，解答此题的关键是要明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．9．解方程：（1）54 2332xx x+=--（2）21233xx x -=---10．解方程：（1）1221x x=+；（2）3123xx x+=+-．11．解方程（1）33122x x x-+=--（2）()()31121-=-+-x x x x 【答案】（1）1x =；（2）无解．【分析】（1）去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根即可；（2）去分母化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后验根即可．【详解】解：（1）去分母得：323x x -+-=-，移项合并得：22x =，解得：1x =，经检验1x =是该方程的根；（2）去分母得：(2)(2)(1)3x x x x +-+-=，去括号得：22223x x x x +--+=，移项合并得：1x =，经检验1x =是该方程的增根，即该方程无解．【点睛】本题考查解分式方程．解分式方程的思想就是去分母化分式方程为整式方程求解，一定要记得验根哦．12．解下列分式方程：（1）1122 xx x-=--（2）223111xx x+=--．13．解方程：（1）3113x x=-+（2）2512424xx x x-=+--14．解方程（1）1213x x =++ （2）221212141x x x +=+--【答案】（1）原分式方程的解为1x =；（2）原分式方程的解为0x =．【分析】（1）、（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；【详解】（1）解：两边同乘()(13)x x ++，得32(1)x x +=+解得1x =检验：当1x =时，(1)(3)0x x ++¹所以，原分式方程的解为1x =（2）解：两边同乘(21)(21)x x -+，得(21)(21)2(21)(21)x x x x ++=++-22(21)241x x +=+-解得0x =检验：当1x =时，(21)(21)0x x -+¹所以，原分式方程的解为0x =．【点睛】本题考查了解分式方程，注意要检验方程的根．15．解分式方程（1）232x x =+ （2）21124x x x -=--16．解方程：（1）21233x x x -=+--（2）22142x x x +=--【答案】（2）x=5；（2）x ＝﹣3【分析】先去分母，系数化为1，再检验答案即可.【详解】解：（1）去分母得：x ﹣2＝2x ﹣6﹣1，解得：x ＝5，经检验x ＝5是分式方程的解；（2）去分母得：2+x 2+2x ＝x 2﹣4，解得：x ＝﹣3，经检验x ＝﹣3是分式方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握分式方程求解的基本步骤.17．解方程：（1）228124x x -=-- （2）2214224x x x -=+--．【答案】（1）x=0；（2）原分式方程无解.【分析】先将原分式方程去分母转换成整式方程，解整式方程，再检验即可得出答案.【详解】（1）解： 方程两边同时乘以x 2-4得：2（x+2）-8=x 2-4，解得：x=0，或x=2，经检验：x=0是原分式方程的根，x=2是原分式方程的增根，∴原分式方程的根为：x=0；（2）解： 方程两边同时乘以x 2-4得：2（x-2）+（x+2）=4，解得：x=2，经检验：x=2是原分式方程的增根，∴原分式方程无解.故答案为（1）x=0；（2）原分式方程无解.【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意解分式方程要检验.18．解方程（1）22411x x =-- （2）2115-2x 25x x ++=-19．解方程：(1)22+=124x x x --(2)33122x x x-+=--【答案】(1)x =-3；(2)x =1．【分析】（1）分式方程两边同乘(x +2)(x -2)去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程两边同乘(x -2)去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．（1）解：去分母得：x (x +2)+2=(x +2)(x -2)，解得：x =-3，检验：把x =-3代入(x +2)(x -2)得：(x +2)(x -2)≠0，∴分式方程的解为x =-3；（2）解：去分母得：x -3+x -2=-3，解得：x =1，检验：把x =1代入(x -2)得：x -2≠0，∴分式方程的解为x =1．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．解下列分式方程：(1)11222x x x -+=--；(2)212422x x x x -=--+．【答案】(1)无解(2)x ＝1【分析】（1）方程两边都乘(2)x -得出12(2)1x x -+-＝-，求出方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘(2)(2)x x +-得出(2)22x x x -+＝(-)，求出方程的解，再进行检验即可．（1）解：方程两边都乘(2)x -得，12(2)1x x -+-＝-，解得x ＝2，检验：当x ＝2时，2x -＝0，∴x ＝2是增根，原方程无解；（2）解：方程两边都乘(2)(2)x x +-得，(2)22x x x -+＝(-)，解得1x ＝，检验：当1x ＝时，(2)(2)0x x +-¹，∴1x ＝是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，特别注意解分式方程需要验根．21．解方程：(1)2512112x x +=--(2)22162242x x x x x -+-=+--【答案】(1)=1x -(2)无解22．解方程：(1)2141x x =+-；(2)()()31112x x x x -=--+．【答案】(1)x =6(2)无解【分析】（1）首先方程两边同时乘以（x +4）（x -1）即可转化成整式方程，然后即可求得方程的解．（2）首先方程两边同时乘以（x -1）（x +2）即可转化成整式方程，然后即可求得方程的解．（1）23．解方程：(1)12x -+3＝12x x --．(2)11x x +--221x -＝1．24．解方程(1)1223x x=+；(2)33122xx x-+=--．25．解方程：(1)22411x x =--；(2)2115225x x x ++=--．26．解分式方程：(1)29472393x x x x +-=+--；(2)22402242x x x x x -++=+--27．解方程：(1)233x x =-；(2)11222x x x-=---．28．解分式方程：(1)3111x x x -=-+(2)11222x x x-+=--．【答案】(1)2x =(2)无解【分析】（1）先去分母，然后可进行求解方程；（2）先去分母，然后再进行求解方程即可．（1）解：去分母得：()()()()11131x x x x x +-+-=-，去括号得：22133x x x x +-+=-，移项、合并同类项得：24x -=-，解得：2x =，经检验：当2x =时，()()110x x +-¹，∴原方程的解为2x =；（2）解：去分母得：()1221x x -+-=-，去括号得：1241x x -+-=-，移项、合并同类项得：2x =，经检验：当2x =时，20x -=，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．29．（1）234022x x x x --=--；（2）221211x x x x --=--30．解分式方程：(1)11222x x x -=---(2)23124x x x -=--31．解方程(1)21122x x x =---(2)221111x x x x --=--【答案】(1)x =-1(2)x =2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，再检验即可得到分式方程的解．（1）32．解方程：(1)6x ＝521x -．(2)2114111x x x +-=--33．解方程：(1)253x x =+；(2)214111x x x +-=--．【答案】(1)5x =-(2)无解【分析】（1）方程两边同时乘以(3)x x +，得25(3)x x =+，再求解此方程，然后验根即可；（2）方程两边同时乘(1)(1)x x -+，得2(1)4(1)(1)x x x +-=+-，再求解此方程，然后验根即可．（1）方程两边同时乘以(3)x x +，得25(3)x x =+，化简，得50x +=，解得5x =-，经检验，5x =-是原分式方程的解，所以5x =-．（2）方程两边同时乘(1)(1)x x -+，得2(1)4(1)(1)x x x +-=+-，化简，得10x -=，解得：1x =，经检验，1x =是原分式方程的增根，所以原分式方程无解．【点睛】本题考查了分式方程的求解，掌握分式方程的一般解法是关键，分式方程要检验．34．解方程：(1)342x x =-；(2)22111x x x -=--．35．解方程：(1)232x x =+；(2)214111x x x ++=--【答案】(1)4x =(2)3x =-【分析】（1）方程两边都乘以x （x +2）得出方程2(x +2)=3x ，求出方程的解，再代入x （x +2）进行检验即可；（2）方程两边都乘以（x 2-1）得出(x +1)2+4=x 2−1，求出方程的解，再代入（x 2-1）进行检验即可．（1）解：去分母得2（x +2）=3x ，去括号得2x +4=3x ，移项、合并同类项得x =4，检验：当x =4时，x （x +2）≠0，∴原分式方程的解为x =4；（2）解：去分母得（x +1）2+4=x 2-1，去括号得x 2+2x +1+4=x 2-1，移项、合并同类项得2x =-6，系数化为1得x =-3，检验：当x =-3时，x 2-1≠0，∴原分式方程的解为x =-3．【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是把分式方程转化成整式分式，注意解分式方程一定要进行检验．36．解分式方程：(1)542332x x x +=--；(2)1293313x x x -=--．【答案】(1)x ＝1(2)原方程无解37．解方程：(1)131x x x x +=--．(2)214111x x x +-=--【答案】(1)x =-3(2)无解【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母()()31x x --，化为整式方程，解方程即可求解，注意最后要检验；（2）方程两边同时乘以最简公分母()()11x x +-，化为整式方程，解方程即可求解，注意最后要检验；（1）解：方程两边同时乘以最简公分母()()31x x --，得，()()()131x x x x -=-+，即2223x x x x -=--，解得3x =-，检验：将3x =-代入()()31x x --()64240=-´-=¹，\3x =-是原方程的解；（2）解：方程两边同时乘以最简公分母()()11x x +-，得，()22141x x +-=-222141x x x ++-=-解得1x =检验：将1x =代入()()11x x +-0=\1x =是原方程的增根【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．38．解分式方程：(1)15122x x x +=++(2)2351311x x x x +=---39．解分式方程：(1)123x x =+．(2)16322x x x =---．【答案】(1)3x =(2)原方程无解【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤即可求解．（2）根据解分式方程的一般步骤即可求解．（1）解：等式两边同时乘以(3)x x +得：32x x +=，解得3x =，经检验，3x =是原方程的解，∴原方程的解为3x =．（2）等式两边同时乘以2x -得：36(2)x x =--，解得2x =，经检验2x =是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．40．解方程(1)3211x x =+-；(2)2236111x x x +=+--．【答案】(1)x =5；(2)原方程无解【分析】（1）先给方程两边同时乘以（x +1）（x -1）去分母化为整式方程，然后求出整式方程的解并检验即可解答；（2）先给方程两边同时乘以（x +1）（x -1）去分母化为整式方程，然后求出整式方程的解并检验即可解答．（1）解：去分母得：3(x -1)=2(x +1)，去括号得：3x -3=2x +2，解得：x =5，经检验：x =5是原方程的解，∴x =5；（2）解：去分母得：2(x -1)+3(x +1) =6，去括号得：2x -2+3x +3=6，解得：x =1，经检验：把x =1代入得：（x +1）（x -1）=0，∴x =1是原方程的增根，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，利用解分式方程的一般步骤解答是解题的关键．41．解方程：(1)572x x =-(2)21233x x x-=---【答案】(1)x ＝﹣542．解分式方程：(1)132x x =+；(2)23193x x x -=--．【答案】(1)x ＝1(2)x ＝﹣4【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．（1）解：去分母得：x +2＝3x ，解得：x ＝1，检验：把x ＝1代入得：x （x +2）≠0，∴分式方程的解为x ＝1；（2）解：去分母得：3+x （x +3）＝x 2﹣9，解得：x ＝﹣4，检验：把x ＝﹣4代入得：（x +3）（x ﹣3）≠0，∴分式方程的解为x ＝﹣4．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．43．解下列分式方程：(1)31144x x x -+=--；(2)21111x x =--．【答案】(1)3x =(2)0x =【分析】（1）分式方程的两边同乘以（x -4）去分母，解方程得出x 的值，再进行检验即可；（2）分式方程的两边同乘以（x -1）（x +1）去分母，解方程得出x 的值，再进行检验即可．（1）解：方程两边同乘以（x -4），得3-x -1=x -4，解得x =3，检验：当x =3时，x -4≠0，所以x =3是原方程的解；（2）解：方程的两边同乘以（x -1）（x +1），得x +1=1，解得x =0，检验：当x =0时，（x -1）（x +1）≠0，所以x =0是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是能够熟练去分母，不要漏乘常数，不要漏写检验．44．解下列方程．(1)21133x x x x =-++(2)2236111y y y +=+--()()21316y y -++=，解得：1y =，检验：当1y =时，210y -=，∴y ＝1是增根，原方程无解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．45．解方程：(1)8021023(3)x x =+-(2)32122x x x =---46．解下列方程：(1)3122x x x +=--．(2)214 1.11x x x +-=--47．解分式方程：(1)2112x x=--；(2)311(1)aa a a-=--．【答案】(1)3x=(2)3a=【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，经检验即可得到分式方程的解．(1)解：方程两边乘（x ﹣1）（x ﹣2），得2（x ﹣2）＝x ﹣1，去括号得：2x ﹣4＝x ﹣1，解得：x ＝3，检验：当x ＝3时，（x ﹣2）（x ﹣1）≠0．∴这个分式方程的解为x ＝3；(2)方程两边同乘以a （a ﹣1），得a 2﹣a （a ﹣1）＝3，解得：a ＝3，检验：当a ＝3时，a （a ﹣1）≠0，所以原分式方程为a ＝3．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，将分式方程转化为整式方程，解分式方程注意要检验．48．解方程(1)5302x x -=-(2)21424x x =--【答案】(1)3x =-(2)无解【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可；（2）根据解分式方程的一般步骤求解即可．(1)解：方程两边同乘以公分母()2x x -，得()5320x x --=解得3x =-经检验，3x =-是原方程的解，因此，原方程的解为：3x =-(2)解：方程两边同乘以最简公分母()()22x x +-，得24x +=解得：2x =经检验2x =不是原方程的解，所以原方程无解．【点睛】题目主要考查解分式方程的一般方法步骤，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．49．解下列分式方程：(1)33122x x x -+=---(2)11321242x x =---【答案】(1)1x =(2)3x =【分析】（1）先去分母化为一元一次方程求解，然后进行检验即可；（2）先去分母化为一元一次方程求解，然后进行检验即可．(1)去分母，得323x x -+-=-移项，得332x x +=-++合并同类项，得22x =系数化为1，得1x =检验，当1x =时，2121x -=-=-≠0∴原方程的解为1x =(2)方程两边同时乘2(21)x -，得2213x =--化简得26x =，解得3x =检验：当3x =时，2(21)x -≠0，∴原方程的解为3x =．【点睛】题目主要考查解分式方程的一般步骤，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．50．解方程：(1)561x x =+；(2)214111x x x +-=--．。
初中数学解题方法专题训练——方程思想解题练习及试题解析
专题09 方程思想【规律总结】方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。
要善用方程和方程组观点来观察处理问题。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
【典例分析】例1、如图所示，以□ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角三角形CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE，BE，则∠AEB的度数为()．A. 120°B. 135°C. 150°D. 45°【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及等腰直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意列出方程是解决问题的关键．先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°−2x，∠BAD=2x−45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，∴∠ADE=180°−2x，∠BCE=180°−2y，∴∠ADC=180°−2x+45°=225°−2x，∠BCD=225°−2y，∴∠BAD=180°−(225°−2x)=2x−45°，∴2x−45°=225°−2y，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°−135°−90°=135°．故选B．例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若BC=5，AC=12，那么点D到AB的距离为__________．【答案】103【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理以及点到直线的距离的概念，解题关键是运用勾股定理列方程.作DE ⊥AB 于点E ，先证明△BCD≌△BED ，得出DE =CD ，BE =BC =5，设DE =CD =x ，则AD =12−x ，由勾股定理求出AB 和AE ，然后在Rt △ADE 中，根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：作DE ⊥AB 于点E ， ∵∠C =90°，BD 平分∠ABC ，∴∠BED =∠C =90°，∠CBD =∠EBD ， ∵BD =BD ， ∴△BCD≌△BED ，∴DE =CD ，BE =BC =5， 设DE =CD =x ， 则AD =12−x ，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=13， ∴AE =AB −BE =13−5=8，在Rt △ADE 中，AD 2=DE 2+AE 2， ∴(12−x)2=x 2+82， 解得：x =103，∴DE =103，即点D 到AB 的距离为103． 故答案为103．例3、如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(−1,0)、D(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式；(2)当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)由题意可得{c=3a−b+c=04a+2b+c=3,解得{a=−1 b=2 c=3,∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；(2)∵A(0,3)，D(2,3)，∴BC=AD=2，∵B(−1,0)，∴C(1,0)，∴线段AC的中点为(12,32 )，∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x =1， ∴E(3,0)，设直线l 的解析式为y =kx +m ，把E 点和对称中心坐标代入可得{12k +m =323k +m =0,解得{k =−35m =95,∴直线l 的解析式为y =−35x +95， 联立直线l 和抛物线解析式可得 {y =−35x +95y =−x 2+2x +3,解得{x =3y =0或{x =−25y =5125, ∴F(−25,5125)，如图1，作PH ⊥x 轴，交l 于点M ，作FN ⊥PH ，∵P 点横坐标为t ，∴P(t,−t 2+2t +3)，M(t,−35t +95)， ∴PM =−t 2+2t +3−(−35t +95)=−t 2+135t +65，∴S △PEF =S △PFM +S △PEM =12PM ⋅FN +12PM ⋅EH =12PM ⋅(FN +EH) =12(−t 2+135t +65)(3+25)=−1710(t −1310)2+289100×1710，∴当t =1310时，△PEF 的面积最大，其最大值为289100×1710， ∴最大值的立方根为√289100×17103=1710；(3)由图可知∠PEA ≠90°，∴只能有∠PAE =90°或∠APE =90°， ①当∠PAE =90°时，如图2，作PG ⊥y 轴，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA =45°， ∴∠PAG =∠APG =45°， ∴PG =AG ，∴t =−t 2+2t +3−3，即−t 2+t =0，解得t =1或t =0(舍去)， ②当∠APE =90°时，如图3，作PK ⊥x 轴，AQ ⊥PK ，则PK =−t 2+2t +3，AQ =t ，KE =3−t ，PQ =−t 2+2t +3−3=−t 2+2t ， ∵∠APQ +∠KPE =∠APQ +∠PAQ =90°， ∴∠PAQ =∠KPE ，且∠PKE =∠PQA ， ∴△PKE∽△AQP ， ∴PKAQ =KEPQ ，即−t 2+2t+3t=3−t−t 2+2t ，即t 2−t −1=0， 解得t =1+√52或t =1−√52<−25(舍去)，综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或1+√52．【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中用t表示出△PEF的面积是解题的关键，在(3)中分两种情况，分别利用等腰直角三角形和相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．【好题演练】一、选择题1.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，E为BC边的中点，沿AP折叠使D点落在AE上的点H处，连接PH并延长交BC于点F，则EF的长为()A. 5−2√52B. 5−√52C. 3√5−3D. 14【解析】解：连接AF．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=1，∠B=90°，∵BE=EC=12，∴AE=√AB2+BE2=√52，由翻折不变性可知：AD=AH=1，∠AHP=∠D=90°，∴EH=AE−AH=√52−1，∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF，AH=AB，∴Rt△AFB≌Rt△AFH，∴BF=FH，设EF=x，则BF=FH=12−x，在Rt△FEH中，∵EF2=EH2+FH2，∴x2=(12−x)2+(√52−1)2，∴x=5−2√52，故选A．首先证明Rt△AFB≌Rt△AFH，推出BF=FH，设EF=x，则BF=FH=12−x，在Rt△FEH 中，根据EF2=EH2+FH2，构建方程即可解决问题；本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2.一个角的余角是它的补角的25，这个角的补角是()A. B. C. D.【解析】【分析】本题综合考查余角与补角，熟知余角和补角的定义是解答此题的关键，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解；解答此题首先根据余角与补角的定义，设这个角为，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为，补角为，依题意，得，解得，∴这个角的补角是：．故选D．3.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E在边CD上，连接BE，将△BCE沿BE叠，若点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为()A. 35B. 53C. 34D. 43【答案】B【解析】【分析】设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°.由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD−CE=3−x.在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF中根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．【解答】解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD−CE=3−x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52−32=16，∴AF=4，DF=5−4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=(3−x)2+12，．解得：x=53故选B．4.在矩形ABCD中(AB<BC)，四边形ABFE为正方形，G，H分别是DE，CF的中点，将矩形DGHC移至FB右侧得到矩形FBKL，延长GH与KL交于点M，以K为圆心，KM为半径作圆弧与BH交于点P，古代印度利用这个方法，可以得到与矩形ABCD面积相等的正方形的边长.若矩形ABCD的面积为16，HP:PF=1:4，则CH的值为()A. 12B. 1 C. 53D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查四边形的综合题，主要考查矩形的性质，正方形的性质，平移的性质，勾股定理，一元二次方程的解法．关键是由HP:PF=1:4，设HP=x，则PF=4x，HF=5x，由正方形的性质得AB=BF= EF=CD=y，再用x、y的代数式表示KM、KP，在Rt△BKP中，由勾股定理得y=8x，再根据矩形的面积为16得y(y+10x)=16，把y=8x代入求解即可解答．【解答】解：∵在矩形ABCD中(AB<BC)，四边形ABFE为正方形，∴AB=BF=EF=CD=y，∵G，H分别是DE，CF的中点，∴GH=EF，GH//EF，∴四边形GEFH和四边形GHCD都是矩形，∴GH=CD=y∵HP:PF=1:4∴设HP=x，则PF=4x，HF=5x，∵矩形DGHC移至FB右侧得到矩形FBKL，∴KL=BF=y，FL=CH=5x，∴四边形HFLM是正方形，∴LM=FH=5x，∵以K为圆心，KM为半径作圆弧与BH交于点P∴KM=KP=KL+LM=y+5x，在Rt△BKP中，由勾股定理得：BK2+BP2=PK2，∴(5x)2+(y+4x)2=(y+5x)2，整理得16x2=2xy，y=8x，又∵矩形ABCD的面积为16，∴y(y+10x)=16，(负数不合题意，舍去)把y=8x代入得：8×18x2=16，x=±13∴x=1，3∴CH=5x=5．3故选C．5.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若AB=8，AC=6，则AE的长为()．A. 9B. 7C. 5D. 4【答案】B【解析】【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE=CF；再证得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后设BE=x，由AB−BE=AC+CF，即可得方程8−x=6+x，解方程即可求得答案．【解析】解：连接BD ，CD ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE =DF ，∠BED =∠CFD =90°， ∵DG ⊥BC 且平分BC ， ∴BD =CD ，在Rt △BED 与Rt △CFD 中， {BD =CDDE =DF,∴Rt △BED≌Rt △CFD(HL)， ∴BE =CF ； 在△AED 和△AFD 中， {∠AED =∠AFD =90°∠EAD =∠FAD AD =AD, ∴△AED≌△AFD(AAS)， ∴AE =AF ， 设BE =x ，则CF =x ，∵AB =8，AC =6，AE =AB −BE ，AF =AC +CF ，∴8−x=6+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB−BE=8−1=7．故选B．6.如图四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形．点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上，点B3的坐标是(194,94)，则k+b=()A. 1B. 1.5C. 2D. 3.5【答案】B【解析】【分析】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．首先设C1的坐标为(a,0)，由四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形，点B3的坐标是(194,94)，可求得A3的坐标是(52,94)，易证得△A2A1B1∽△A3A2B2，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得a的值，又由点A1，A2，A3在直线y=kx+b(k>0)上，利用待定系数法即可求得k与b的值，继而求得答案．【解答】解：设C1的坐标为(a,0)，∵四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形，点B3的坐标是(194,94 )，∴A3的坐标是：(194−94,94)，即(52,94)，∴A1B1=a，A2B2=52−a，A2B1=52−a−a=52−2a，A3B2=94−(52−a)=a−14，∵A3在直线y=kx+b(k>0)上，∴52k+b=94①，∵A2C1//A3C2，∴∠A2A1B1=∠A3A2B2，∵∠A2B1A1=∠A3B2A2=90°，∴△A2A1B1∽△A3A2B2，∴A1B1A2B2=A2B1A3B2，∴a52−a=52−2aa−14，整理得：4a2−29a+25=0，解得：a=254(舍去)，a=1，∴点A1(0,1)，∴b=1②，把②代入①得：k=0.5，∴k+b=1.5．故选B．二、填空题7.已知长方形ABCD，AD>AB，AD=10，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当S2−S1=3b时，AB=．【答案】7.【解析】【分析】本题主要考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质；解答此题，首先根据图形列出S1和S2的代数式，然后得到S2−S1=b(10−AB)，可得b(10−AB)=3b，即可求出AB的值．【解答】解：∵S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=b(10−AB)∵S2−S1=3b，∴b(10−AB)=3b，又b≠0，∴10−AB=3，∴AB =7． 故答案为7．8. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =kx(k >0)分别交反比例函数y =4x 和y =9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y =4x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是______．【答案】34或√217【解析】 【分析】联立y =kx 、y =4x 并解得：点A(2√k ,2√k)，同理点B(3√k ,3√k)，点C(3√k ,43√k)，分AB =BC 、AC =BC 两种情况分别求解即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，反比例函数的应用，方程思想，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 【解答】解：联立y =kx 、y =4x 并解得：点A(√k ,2√k)，同理点B(√k ,3√k)， 点C(√k ,43√k)，∴AB ≠AC ， ①当AB =BC 时，(√k−√k)2+(3√k −2√k)2=(3√k −4√k3)2，解得：k =±34(舍去负值)；②当AC =BC 时，同理可得：(√k−√k)2+(3√k −2√k)2=(3√k −4√k3)2，解得：k =±√217(舍去负值)； 故答案为：34或√217．9. 春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A 礼盒，10个B 礼盒，10个C 礼盒；乙套餐每袋装有5个A 礼盒，7个B 礼盒，6个C 礼盒；丙套餐每袋装有7个A 礼盒，8个B 礼盒，9个C 礼盒；丁套餐每袋装有3个A 礼盒，4个B 礼盒，4个C 礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为20%，一个乙和一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A 礼盒的利润率为25%，问一个丁套餐的利润率为______.(利润率=利润成本×100%)【答案】18.75% 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用、方程思想，属于较难题．先由甲套餐售价1800元，利润率为20%，可求出甲套餐的成本之和为1500元．设每个A 礼盒的成本为x 元，每个B 礼盒的成本为y 元，每个C 礼盒的成本为z 元，得到方程组，得到x =40，再根据一个A 礼盒的利润率为25%，可求出一个A 礼盒的售价为50元，进而可得出一个B 礼盒与一个C 礼盒的售价之和，再由利润率公式求出一个丁套餐的利润率． 【解答】解：设甲套餐的成本之和m 元，则由题意得1800−m =20%m ，解得m =1500(元)． 设每个A 礼盒的成本为x 元，每个B 礼盒的成本为y 元，每个C 礼盒的成本为z 元，由题意得{15x +10y +10z =150012x +15y +15z =1830， 同时消去字母y 和z ，可得x =40 所以y +z =90A 礼盒的利润率为25%，可得其利润=40×25%=10元，因此一个A 礼盒的售价=40+10=50元．设一个B 礼盒的售价为a 元，一个C 礼盒的售价为b 元，则可得15×50+10a +10b =1800，整理得a +b =105(元)所以一个丁套餐的售价=3×50+4(a +b)=150+420=570(元) 一个丁套餐的成本=3×40+4(y +z)=120+360=480(元) 因此一个丁套餐的利润率=570−480480×100%=18.75%故答案为18.75%10. 如图1，直线AB//CD ，直线l 与直线AB ，CD 相交于点E ，F ，点P 是射线EA 上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF 沿PF 折叠，使顶点E 落在点Q 处． (1)若∠PEF =43∘，点Q 恰好落在平行线AB 上，则∠EFP = _______度．∠PFC，则∠EFP=_______度．(2)若∠PEF=60∘，∠CFQ=12【答案】解：(1)47°；(2)40°或72°．【解析】【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，分类讨论得思想、方程思想在几何中的运算，解答的关键是正确画出图形，分类讨论．(1)当点Q恰好落在AB上时，PF⊥AB，则∠EFP=90°−43°=47°．(2)分两种情况：①当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程求解；②当点Q在CD下方时，设∠CFQ的度数为x°，根据∠AEF+∠CFE=180°，列方程解答．【解答】解：(1)如图1，当点Q落在AB上，∠FPE=∠FPQ=90°，∴FP⊥AB，∴∠EFP=90°−∠PEF=47°．故答案为47°．(2)①如图3，当点Q在平行线AB、CD之间时：设∠PFQ的度数为x°，由折叠可得：∠EFP=x°，∠PFC，∵∠CFQ=12∴∠PFQ=∠CFQ=x°，∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴60+x+x+x=180，解得：x=40，即：∠EFP=40°；②如图4，当点Q在CD下方时：设∠CFQ的度数为x°，∠PFC得：∠PFC=2x°，∴∠PFQ=3x°，由∠CFQ=12由折叠得∠PFE=∠PFQ=3x°，∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∴2x+3x+60=180，解得：x=24，∴∠EFP=3x°=72°，综上：∠EFP的度数为40°或72°．故答案为40°或72°．11.春节期间，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四种礼品套餐组合：甲套餐每袋装有15个A礼盒，10个B礼盒，10个C礼盒；乙套餐每袋装有5个A礼盒，7个B礼盒，6个C 礼盒，丙套餐每袋装有7个A礼盒，8个B礼盒，9个C礼盒，丁套餐每袋装有3个A 礼盒，4个B礼盒，4个C礼盒，若一个甲套餐售价1800元，利润率为20％，一个乙套餐和一个丙套餐一共成本和为1830元，且一个A礼盒的利润率为25％，问一个丁套×100%)餐的利润率为________．(利润率=利润成本【答案】18.75% 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用、方程思想以及有理数的混合运算．先由甲套餐售价1800元，利润率为20%，可求出甲套餐的成本之和为1500元．设每个A 礼盒的成本为x 元，每个B 礼盒的成本为y 元，每个C 礼盒的成本为z 元，则由题意得{15x +10y +10z =150012x +15y +15z =1830，可同时消去y 和z ，得到x =40，再根据一个A 礼盒的利润率为25%，可求出一个A 礼盒的售价为50元，进而可得出一个B 礼盒与一个C 礼盒的售价之和，再由利润率公式求出一个丁套餐的利润率． 【解答】解：设甲套餐的成本之和m 元，则由题意得1800−m =20%m ，解得m =1500(元)． 设每个A 礼盒的成本为x 元，每个B 礼盒的成本为y 元，每个C 礼盒的成本为z 元，由题意得{15x +10y +10z =150012x +15y +15z =1830， 同时消去字母y 和z ，可得x =40 所以y +z =90A 礼盒的利润率为25%，可得其利润=40×25%=10元，因此一个A 礼盒的售价=40+10=50元．设一个B 礼盒的售价为a 元，一个C 礼盒的售价为b 元，则可得15×50+10a +10b =1800，整理得a +b =105(元)所以一个丁套餐的售价=3×50+4(a +b)=150+420=570(元) 一个丁套餐的成本=3×40+4(y +z)=120+360=480(元) 因此一个丁套餐的利润率=570−480480×100%=18.75%故答案为18.75%．12. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，AC =6，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为______．【答案】3或32【解析】【分析】分两种情形：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6；②如图2中，当∠DEF=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，利用勾股定理构建方程即可；本题考查翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．【解答】解：①如图1中，当∠EDB=90°，四边形ACDE是正方形，此时CD=AC=6，∵BC=√AB2−AC2=8，∴BD=BC−CD=8−6=2，∵tan∠ABC=DFBD =ACBC，∴DF2=68，∴DF=32．②如图2中，当∠DEF=90°时，AC=AE=6，则BE=4，设CD=DE=x，在Rt△BDE中，(8−x)2=x2+42，∴x=3，综上所述，满足条件的DF的值为3或32．故答案为3或32．三、解答题13.在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax−a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=−2√33x2−4√33x+2√3与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C．(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−2√33x+2√33；(−2,2√3)；(1,0).(2)当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，在y=−2√33x2−4√33x+2√3中，令y=0可求得x=−3或x=1，∴C(−3,0)，且A(−2,2√3)，∴AC=√(−2+3)2+(2√3)2=√13，由翻折的性质可知AN=AC=√13，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=√AN2−AD2=√13−4=3，∵OD=2√3，∴ON=2√3−3或ON=2√3+3，由题意CM最大是4当ON=2√3+3时，则MN>ON>CM，与MN=CM矛盾，不合题意，∴N点坐标为(0,2√3−3)；当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，在Rt△AMD中，AD=2，OD=2√3，∴tan∠DAM=MDAD=√3，∴∠DAM=60°，∵AD//x轴，∴∠AMC=∠DAO=60°，又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，∴MP=12MN=32，NP=√32MN=3√32，∴此时N点坐标为(32,3√32)；综上可知N点坐标为(0,2√3−3)或(32,3√32)；(3)①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC//EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中{∠ACK=∠EFH ∠AKC=∠EHF AC=EF∴△ACK≌△EFH(AAS)，∴FH=CK=1，HE=AK=2√3，∵抛物线对称轴为x=−1，∴F点的横坐标为0或−2，∵点F 在直线AB 上， ∴当F 点横坐标为0时，则F(0,2√33)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH −OF =2√3−2√33=4√33，即E 点纵坐标为−4√33，∴E(−1,−4√33)； 当F 点的横坐标为−2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(−3,0)，且A(−2,2√3)， ∴线段AC 的中点坐标为(−2.5,√3)， 设E(−1,t)，F(x,y)，则x −1=2×(−2.5)，y +t =2√3， ∴x =−4，y =2√3−t ，代入直线AB 解析式可得2√3−t =−2√33×(−4)+2√33， 解得t =−4√33， ∴E(−1,−4√33)，F(−4,10√33)； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E(−1,−4√33)、F(0,2√33)或E(−1,−4√33)、F(−4,10√33). 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在(1)中理解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在(2)中确定出N 点的位置是解题的关键，在(3)中确定出E 、F 的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．(1)由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A 、B 的坐标； (2)当N 点在y 轴上时，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN =AC ，结合A 点坐标，则可求得ON 的长，可求得N 点坐标；当M 点在y 轴上即，M 点在原点时，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，由条件可求得∠NMP =60°，在Rt △NMP 中，可求得MP 和NP 的长，则可求得N 点坐标；(3)当AC 为平行四边形的一边时，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，可证△EFH≌△ACK ，可求得FH =CK =1，HE =AK =2√3，则可求得F 点的横坐标，从而可求得F 点坐标，由HE 的长可求得E 点坐标；当AC 为平行四边形的对角线时，设E(−1,t)，F(x,y)，由A 、C 的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F 点的坐标，代入直线AB 的解析式可求得t 的值，可求得E 、F 的坐标． 【解答】解：(1)∵抛物线y =−2√33x 2−4√33x +2√3，∴其梦想直线的解析式为y =−2√33x +2√33， 联立梦想直线与抛物线解析式可得{y =−2√33x +2√33y =−2√33x 2−4√33x +2√3, 解得{x =−2y =2√3或{x =1y =0，∴A(−2,2√3)，B(1,0)， 故答案为：y =−2√33x +2√33；(−2,2√3)；(1,0)； (2)见答案； (3)见答案；14. 如图，顶点为M 的抛物线y =a(x +1)2−4分别与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 的右侧)，与y 轴相交于点C(0,−3)． (1)求抛物线的解析式;(2)判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由;(3)抛物线上是否存在点N(点N 与点M 不重合)，使得以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等?若存在，求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵抛物线y=a(x+1)2−4与y轴相交于点C(0,−3)．∴−3=a−4，∴a=1，∴抛物线解析式为y=(x+1)2−4=x2+2x−3，(2)△BCM是直角三角形理由：由(1)有，抛物线解析式为y=(x+1)2−4，∵顶点为M的抛物线y=a(x+1)2−4，∴M(−1,−4)，由(1)抛物线解析式为y=x2+2x−3，令y=0，∴x2+2x−3=0，∴x1=−3，x2=1，∴A(1,0)，B(−3,0)，∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20，∴BC2+CM2=BM2，∴△BCM是直角三角形，(3)存在，N(−1+√222,32)或N(−1−√222,32)或(−2,−3)，∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，∴①点N在x轴上方的抛物线上，如图，由(2)有△BCM 是直角三角形，BC 2=18，CM 2=2， ∴BC =3√2，CM =√2，∴S △BCM =12BC ×CM =12×3√2×√2=3， 设N(m,n)，∵以点A ，B ，C ，N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等， ∴S △ABN +S △ABC =S △BCM +S △ABC ， ∴S △ABN =S △BCM =3， ∵A(1,0)，B(−3,0)， ∴AB =4，∴S △ABN=12×AB ×n =12×4×n =2n =3，∴n =32，∵N 在抛物线解析式为y =x 2+2x −3的图象上， ∴m 2+2m −3=32，∴m 1=−1+√222，m 2=−1−√222， ∴N(−1+√222,32)或(−1−√222,32). ②如图2，②点N 在x 轴下方的抛物线上， ∵点C 在对称轴的右侧，∴点N 在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧， 过点M 作MN//BC ，交抛物线于点N ， ∵B(−3,0)，C(0,−3)，∴直线BC 解析式为y =−x −3， 设MN 的解析式为y =−x +b ∵抛物线解析式为y =(x +1)2−4①， ∴M(−1,−4)，∴直线MN 解析式为y =−x −5②， 联立①②得：{x 1=−1y 1=−4(舍)，{x 2=−2y 2=−3, ∴N(−2,−3)，即：(−1+√222,32)或(−1−√222,32)或(−2,−3)． 【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM 是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N 分在x 轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决(3)的关键，也是初中阶段常用的方法．求解最后一问时，由于点的位置不确定，所以需要分类讨论． (1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x 轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；(3)根据题意对N 分类讨论，由已知四边形的面积相等转化出S △ABN =S △BCM ，然后求出三角形BCM 的面积，再建立关于点N 的坐标的方程求解即可．15.如图，直线AB//CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．(1)若∠PEF=48∘，点Q恰好落在其中的一条平行线上，请直接写出∠EFP的度数;∠PFC，求∠EFP的度数．(2)若∠PEF=75∘，∠CFQ=12【答案】解：(1) ①如图 ①，当点Q落在AB上时，FP⊥AB，所以∠EFP=90∘−∠PEF=42∘; ②如图 ②，当点Q落在CD上时，因为将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处，所以∠1=∠2.因为AB//CD，所以∠QFE=180∘−∠PEF=132∘，∠QFE=66∘．所以∠PFE=12(2) ①如图 ③，当点Q在平行线AB、CD之间时，设∠PFQ=x，∠PFC，由折叠可得∠EFP=x，因为∠CFQ=12所以∠PFQ=∠CFQ=x．因为AB//CD，所以∠AEF+∠CFE=180∘，所以75∘+x+x+x=180∘，所以x=35∘，所以∠EFP=35∘ ②如图 ④，当点Q在CD的下方时，∠PFC得，∠PFC=2y，所以∠PFQ=3y．设∠CFQ=y，由∠CFQ=12由折叠得，∠PFE=∠PFQ=3y．因为AB//CD，所以∠AEF+∠CFE=180∘，所以2y+3y+75∘=180∘，所以y=21∘，∠EFP=3y=63∘，综上所述，∠EFP的度数是35∘或63∘．【解析】本题主要考查平行线的性质，折叠与对称，分类讨论的应用．(1)可分两种情况： ①如图 ①，当点Q落在AB上时，FP⊥AB，利用直角三角形的性质可求解∠EFP的度数； ②如图 ②，当点Q落在CD上时，由折叠可知∠1=∠2，由平行线的性质可得∠QFE=180∘−∠PEF=132∘，进而可求解∠PFE的度数；(2)可分两种情况： ①如图 ③，当点Q在平行线AB，CD之间时，设∠PFQ=x，则可求∠EFP=x，∠PFQ=∠CFQ=x，由平行线的性质可得∠AEF+∠CFE=180∘，进而可列关于x的方程，解方程即可求解； ②如图 ④，当点Q在CD的下方时，设∠CFQ=y，则可求∠PFC=2y，∠PFE=∠PFQ=3y由平行线的性质可得∠AEF+∠CFE=180∘，进而可列关于y的方程，解方程即可求解．16.如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．(1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．【答案】解：(1)设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12；(2)设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB−BN=12−2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12−2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形△AMN．(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵{∠AMC=∠ANB ∠B=∠CAC=AB,∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y−12，NB=36−2y，CM=NB，y−12=36−2y，解得：y=16.故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．【解析】本题主要考查动点问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，方程思想；(1)设当点M、N运动x s时，M、N两点重合，用含x的式子表示出M、N的运动路程，根据点N的运动路程比点M的运动路程多12cm列方程求解；(2)设当点M，N运动t s时，可得到等边三角形△AMN，用含t的式子表示出AM，AN的长，易知∠A=60°，所以如果AM=AN，ΔAMN就是等边三角形；(3)把△AMN是以MN为底边的等腰三角形作为已知条件，可证得△ACM≌△ABN，从而得到CM=BN，再设此时M，N运动时间为y s，用含y的式子表示出CM，NB的长，列方程求解．17.如图1，AB//CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC=2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．(1)直接写出∠AHE，∠FAH，∠HFA之间的关系：________________；∠BAK，求∠AHE的度数；(2)若∠BEF=12(3)如图2，在(2)的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG。
初中数学专题复习方程与函数(含答案)
专题复习1 方程与函数◆考点链接方程与函数综合题，历年来是中考热点，主要是以函数为主线，将函数图象、性质和方程的相关知识进行综合运用，渗透数形结合的思想方法．◆典例精析【例题1】（吉林）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子，动点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿A→B→C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止；•点Q 沿A→D 方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P 、Q •两点用一条可伸缩的细像皮筋联结，设x （s ）后橡皮筋扫过的面积为y （cm 2）．（1）当0≤x≤1时，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当1≤x≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时，∠POQ 的变化范围；（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．解题思想：不能利用待定系数确定函数解析式时，常常可以通过列方程的思想，•建立两个变量间的关系，而等量关系则是沟通它们之间的桥梁．解：（1）当0≤x≤1时，AP=2x ，AQ=x ，而y=12AP·AQ ．即y=x 2； （2）当S 四边形ABPQ =12S 正方形ABCD 时，橡皮筋刚好触及钉子， 这时BP=2x －2，AQ=x ，12（2x －2+x ）×2=12×22．∴x=43；（3）当1≤x≤43时，AB=2，BP=2x －2，AQ=x ． ∴y=2AQ BP ×AB=3x －2，即y=3x －2． 当43≤x≤2时，BP=2x －2，AQ=x ，过O 点作OE ⊥AB ，E 为垂足， 这时OE=1，y=S 梯形BEOP +S 梯形OEAQ ．∴y=32x ，90°≤∠POQ≤180°； （4）作图略．评析：根据时间确定几何图形面积是建立函数关系式的关键，不规则图形面积用规则图形的面积表示，则是求解问题的突破口．【例题2】（哈尔滨）2006年春，我市为美化市容，开展城市绿化活动，要种植一种新品种树苗，甲、乙两处育苗基地均以每株4元的价格出售这种树苗，•并对一次性购买该种树苗不低于1 000株的用户实行优惠：甲处的优惠政策是每株树苗按原价的八折出售；乙处的优惠政策是免收所购树苗中150株的费用，•其余树苗按原价的九折出售．（1）规定购买该树苗只能在甲、•乙两处中的一处购买，•设一次性购买x （•x •≥1000，则x 为整数）株该种树苗，若在甲处育苗基地购买，所花费用为y 1元，写出y 1与x 之间的函数关系式；若在乙处育苗基地购买，所花的费用为y 2元，写出y 2与x 之间的函数关系式（均不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）若在甲、乙两处分别一次性购买1 500株该种树苗，•在哪一处购买所花的费用少？为什么？（3）若在甲育苗基地以相应的优惠方式购买一批该种树苗，又在乙育苗基地以相应的优惠方式购买另一批该种树苗，两批树苗共2 500株，购买这2 500株树苗所花的费用至少需要多少元？这时应在甲、乙两处分别购买该种树苗多少株？解：（1）y 1=0.8×4x=3.2x ，即y 1=3.2x ；y 2=0.9×4（x －150），即y 2=3.6x －540．（2）当x=1 500时，y 1=3.2×1 500=4 800，y2=3.6×1 500－540=4 860，y1<y2．∴在甲处购买所花的费用少．（3）设在乙处购买a株该种树苗，所花费用为w元．则w=3.2（2 500－a）+3.6a－540，即w=0.4a+7 460．∵10002500 100025002500,aa≤≤⎧⎨≤-≤⎩∴1 000≤a≤1 500，且a为整数．∵0.4>0，∴w随a增大而增大．∴当a=1 000时，w最小=7 860．2 500－1 000=1 500（株）．答：至少需花费7 860元，应在甲处购买1 500株，在乙处购买1 000株．评析：有关函数型的实际问题，也是考察数学建模的一种形式．它常常可以根据实际问题的意义通过建立一个二元方程的思想来获取函数解析式：这种函数与方程相结合的思想也是中考中的一个热点．探究实践【问题】（海淀）已知：抛物线y=x2－mx+m－2（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y=x2－mx+m－2与x轴交于整数点，求m的值．（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．解题思路：（1）证△>0；（2）求方程x2－mx+m－2=0的整数解；（3）要考虑M点在x•轴与y轴上两种情形．解：（1）△=m2－4m+8=（m－2）2+4>0，所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．（2）方程x 2－mx+m －2=0的根为 由m 为整数，当（m －2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x 轴才可能交于整数点． 设（m －2）2+4=n 2（其中n 为整数）．所以[n+（m －2）][n －（m －2）]=4．因为n+（m －2）与n －（m －2）的奇偶性相同，所以2222222 2.n m n m n m n m +-=+-=-⎧⎧⎨⎨-+=-+=-⎩⎩或解得m=2． 经检验，m=2合题意．（3）当m=2时，抛物线y=x 2－2x ，顶点A （1，－1），与x 轴交点为O （0，0），B （2，0），•易知△AOB 为等腰直角三角形．∴M 1（1，0）为所求的点．若满足条件的点M 2在y 轴上时，设M 2（0，y ），作AN ⊥y 轴于N ．由M 2A=M 2B ，得（y+1）2+12=y 2+22，得y=1，∴M 2（0，1）也为所求的点．综上所述满足条件的M 点坐标为（1，0）或（0，1）．评析：一元二次方程有整数根，必须判别式△为完全平方数．用因式分解法、整数性质，求一元二次方程整数根是常用技巧．◆中考演练一、填空题1．已知：反比例函数y=k x与一次函数y=2x+k 的图象的一个交点的横坐标是－4，•则k 的值是________．2．函数y=x 2+2（a+2）x+a 2的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是________．二、选择题1．点P （a ，b ）是直线y=－x+5与双曲线y=6x的一个交点，则以a 、b •为两实数根的一元二次方程是（ ）． A ．x 2－5x+6=0 B ．x 2+5x+6=0 C ．x 2－5x －6=0 D ．x 2+5x －6=02．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限三、解答题1．（济南）已知：抛物线y=－12x 2+（6x+m －3与x 轴有A 、B 两个交点，且A 、B •两点关于y 轴对称．（1）求m 的值；（2）写出抛物线解析式及顶点坐标；（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来．2．已知c<0，抛物线y=ax2+bx+c经过正比例函数y=－4x与反比例函数y=－4x的图象的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线顶点在直线y=mx+n上，此直线与x轴、y轴分别交于点A、•B，•且OA：OB=1：2，求作一个以m和n为根的二次项系数为1的一元二次方程．◆实战模拟一、填空题1．点P（a，b）在第二象限内，a，b是方程4x2－2x－15=0的两个实数根，则直线y=ax+•b不经过第______象限．2．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标（－1，－3.2）•及部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3•和x2=_______．3．已知：二次函数y=2x2－4mx+m2的图象与x轴的两交点为A、B，顶点为C，若S△ABC•则m=________．二、选择题1．抛物线y=x 2－（2m －1）x －2m 与x 轴交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），且12x x =1，则m •的值为（ ）． A ．－12 B ．0 C ．±12 D ．12 2．抛物线y=x 2+bx+c 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴于C ，若∠OBC=45°，则下列各式成立的是（ ）．A ．b －c －1=0B ．b+c+1=0C ．b －c+1=0D ．b+c －1=03．（武汉）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x 1=2，•且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）．A ．（2，－3）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（3，2）三、解答题1．（海南）如图9－1－4，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，•使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，•请说明理由．2．（四川）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），•与y轴的正半轴交于点C，如果x1、x2是方程x2－x－6=0的两个根（x1<x2），且△ABC的面积为152．（1）求此抛物线解析式；（2）求直线AC和BC的方程；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合）过点P作直线y=m（m 为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，•求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．答案:中考演练一、1．－8 2．a>－1且a≠0二、1．A 2．A三、1．（1）m=6 （2）y=－12x 2+3，顶点（0，3）（3）方程－12x 2+（6x+m －3=0的两根互为相反数（或两根之和为零等） 2．（1）=2x 2－4x －2 （2）易得m+n=－4，A （n m，0），B （0，n ），m=±2，所求一元二次方程为x 2+4x －12=0或x 2+4x+4=0实战模拟一、1．三 2．－3．3 3．±2二、1．D 2．B 3．C三、1．（1）点A （3，4）在直线y=x+m 上，∴4=3+m ，m=1．设二次函数为y=a （x －1）2，4=a （3－1）2，a=1∴y=（x －1）2，即y=x 2－2x+1（2）设P 、E 两点的纵坐标分别为y P ，y E ，PE=h=y P －y E =（x+1）－（x 2－2x+1）=－x 2+3x即h=－x 2+3x （0<x<3）（3）∵PE=DC ，点D 在y=x+1上，∴点D 坐标为（1，2）∴－x 2+3x=2，解得x 1=2，x 2=1（舍去）∴当P 点坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形2．（1）y=－12x 2+12x+3 （2）直线AC 方程为y=32x+3，直线BC 方程为y=－x+3 （3）存在，设直线y=m 与y 轴交于点E （0，m ），易知0<m<3．①当PQ 为等腰Rt △PQR 的一腰时，作PR 1⊥x 轴于R 1（如图1），由△CPQ ∽△CAB ，315315915,,,(,),(,)5384888PQ EC m m m P Q AB OC -===-有易求得， ∴R 1（－34，0），作QR 2⊥x 轴于R 2，则R 2（98，0），• 经检验知R 1、R 2是满足条件的点．②当PQ 为等腰Rt △PQR 的底边时，取PQ 的中点S ，•过点S 作SR 3⊥PQ 于R 3（如图2），由△CPQ ∽△CAB ，有32315121518153,,,(,),(,),(53111111111111PQ EC m m m P Q R AB OC -===-即易得可得，0），经检验可知R 3合题意．。
专题29 方程思想答案
专题29 方程思想例1. -1 提示：a 、b 是方程01))((=-++d x c x 的两个根，由根的性质得)(1))((b x a x d x c x --=-++）（，将x = - c 代入上式得－1=(－c －a )(－c －b )，即(a +c )(b +c )=－1． 例2 B 例3 A 提示：解法一：∵42423x x -=， 22222()()3x x ∴-+-=．又y 4+y 2=3，即（y 2)2+y 2=3，且220x -<，y 2≥0，∴220x-<，y 2是一元二次方程t 2+t －3=0的两个不等实根．由韦达定理，222y x -+ =－1，222y x - =－3，4222422422()2()y y y x x x∴+=-+-- =1+== ． 解法二：∵x 2>0，y 2≥0，由已知条件得21x ，y 2=，∴4224224223367y y y x x x+=++-=-+=． 例42,3,4xy xz yz x y x z y z ===+++，1112x y ∴+=①，1113x z +=② 1114y z +=③． ①+②－③得2111234x =+-，解得x =247 ①+③－②得2111243y =+-，解得245y =；②+③－①得2111342z =+-，解得z =24．∴ x +5y －2z =0． 例5 分当BP ≤14AB ，14AB <BP <12AB ，BP =12AB 三种情况讨论．当BP =4040640,,5,2111231时，HDE 为等腰三角形． 例= 由题意得222612a b c a b a b c a b c S ab ≤<<+⎧⎪++=⎪⎪⎨+=⎪⎪=⎪⎩①②③④由①②得2c <a +b +c ==<3c ，∴2<c <3 ⑤．由②有（a +b )2=(=－c )2，将③④代入得3C =9－s ，∴有=<3c <9，从而3C = 或3c =8．若3c = ，则s =2，代入②④得a +b =113，ab =4，由于此时方程组无解，故此情形不可能；若3c =8，则s =1，此时a +b =103，ab =2．解得a b ==c =83，以这三个数为边长构成唯一的直角三角形．-1＜x2＜0，∴121cx x a=＜，得c<a ②．从而a ≥1，故抛物线开口向上．旦当x=-1时，y>0．∴2(1)(1)0a b c -+-+＞，得b<a+c ．∵b ，a+c 是整数，∴a+c ≥b+l ③．由①得a+c>+1→2>1，即a>）2+1）2=4，∴a ≥5．又>4，∴b ≥5．取a=5，b=5，c=1时．抛物线y=5x 2+5x+l 满足题设条件，故a+b+c 的最小值为5+5+l=ll. 1=.设y=m 2，（x-90）2=k 2，m ，k 都是非负数，则k 2-m 2= × 01=1×490 ，即(k+m)（k-m ）= × 01=1×490 .∴7017k m k m +=⎧⎨-=⎩或49071k m k m +=⎧⎨-=⎩，解得11354,347;k m =⎧⎨=⎩222454,2453.k m =⎧⎨=⎩∴11444,120409;x y =⎧⎨=⎩22264,120409;x y =-⎧⎨=⎩3325446017209x y =⎧⎨=⎩4423646017209x y =-⎧⎨=⎩∴“好点”共有4个，它们的坐标分别为：（444，120409）．（-2=4,120 409），(2 544,= 01 209)，（-2 3=4,= 01 209）． 1 ．①×②得()()b c a a c b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=8 →222222()()()b c a a c b a b c bc ca ab +-+-+-++=8→222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=0→222222()()()b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=0→()()()()()()b c a b c a c b a c b a a b c a b c bc ca ab---+--+-+-++++=0 →[]()()()()b c a a b c a b c a b c a b c abc -+-+--++++=0→222()(2)0b c a ab a b c abc -+--+= →22()()0b c a c a b abc -+⎡⎤--=⎣⎦→()()()0b c a c a b c a b abc-++--+= 故b-c+a=0或c+a- b=0或c-a+b=0，即b+a-c=0或c+a-b=0或c-a+b=0．为三边长可以构成一个直角三角形．18．设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶lkm 磨损量为5000k，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k ，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykrn 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程．有5000300050003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加，得()()250003000k x y k x y k +++=，则237501150003000x y +==+.19.连结AC ，BC ，O 1E ，O 2F ，设A D=a,BD=b.∵⊙O 2与AB ，CD 相切，∴O 2F=DF=x ，∴AF=AD+DF=a+x.在Rt △OFD 2中，OF 2=OO 22-O 2F 2，易证2111O F AF BF =+，即111x a x b x=++-，化简得x 2+2ax-ab=0,∴∴∴AF 2=a （a+b ）=AD AB=AC 2，∴AF=AC.同理，BE= BC.∴∠ECF=∠ACF+∠BCE-∠ACB=∠CFE+∠CEF-90°=180°-∠ECF-90°，∴∠ECF=45°．。
期末复习——专题训练方程的思想
期末专题训练——方程及分讨论思想1． 已知方程3x ＋5＝11的解也是方程6x ＋3a ＝22的解．则a 的值是 . 2．已知方程－2x2－m＋m ＝5是关于x 的一元一次方程．那么x ＝ .3．已知14a x ＋1b 4与9a 2x －1b 4的和是单项式．则x 的值是 .4．若4m ＋13与4(m －13)互为相反数，m 的值是 .5．若方程1－2x 6＋x ＋13＝1－2x ＋14与关于x 的方程x ＋6x －a 3＝a6－3x 的解相同．求a的值．6．已知多项式2x 5＋(m ＋1)x 4＋3x －(n －2)x 2＋3不含x 的偶次方项． 求2m ＋n 的值．7．a 、b 、c 满足①23(a －5)2＋5|c |＝0，②－2x 2y b ＋1与3x 2y 3是同类项．求(2a 2－3ab ＋6b 2)－(3a 2－abc ＋9b 2－4c 2)的值．8．一个角的补角加上10°的和等于这个角余角的3倍．求这个角的余角和补角．9．如图所示，点O 在直线AB 上，OE 平分∠BOC .∠AOC ＝12∠COE ＋30°.求∠BOE 的度数．10．如图，E 、F 两点把线段AB 分成AE ∶EF ∶FB ＝2∶3∶4三部分，D 是AB 的中点． (1)若FB ＝12，求DF 的长；(2)求AE∶ED的值．11．某工厂安排600名工人生产A、B型机器共69台，已知7名工人能生产一台A 型机器，10名工人能生产一台B型机器．(1)生产A型机器和B型机器的工人各有多少名？(2)如果人数不变，能生产出这两种机器共70台吗？12．茶厂用A、B两型机器同时生产一批相同的盒装茶叶(由若干听包装而成)．已知3台A型机器一天生产的听装茶叶，包装成20盒后还剩2听，2台B型机器一天生产的听装茶叶，包装成15盒后还剩1听，每台A型机器比B型机器一天少生产4听茶叶．求每盒包装多少听茶叶？13、已知从∠AOB的顶点出发引一条射线OC，并作∠AOC、∠BOC的平分线OM、ON。
2024年中考数学二轮复习模块专练—方程思想(含答案)
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变 1】 （2022·贵州六盘水·统考中考真题）
6．如图，正比例函数 y x 与反比例函数 y 4 的图象交于 A ， B 两点． x
(1)求 A ， B 两点的坐标； (2)将直线 y x 向下平移 a 个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点 C ，与 x 轴交于点 D ，与 y 轴交于点 E ，若 CD 1 ，求 a 的值．
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【变 1】 （2023·湖北宜昌·统考中考真题） 8．为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买 豆沙粽 10 个，肉粽 12 个，共付款 136 元，已知肉粽单价是豆沙粽的 2 倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达 20 个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈 妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；
①点 Q1 3,8 ， Q2 2, 2 都是点 P1 的“倍增点”；
②若直线 y x 2 上的点 A 是点 P1 的“倍增点”，则点 A 的坐标为 2, 4 ；
③抛物线 y x2 2x 3 上存在两个点是点 P1 的“倍增点”；
④若点
B
是点
P1
的“倍增点”，则
P1B
的最小值是
45 5
．
其中，正确结论的个数是（
半．端午节当天统计发现，A，B 两种包装的销量分别为 80 4m 包， 4m 8 包，A，
B 两种包装的销售总额为 17280 元．求 m 的值．
一、选择题
（2022·上海崇明·统考二模）
9．如果最简二次根式 3x 5 与 x 3 是同类二次根式，那么 x 的值是（ ）
初中数学专题复习方程与函数(含答案)
专题复习1 方程与函数◆考点链接方程与函数综合题，历年来是中考热点，主要是以函数为主线，将函数图象、性质和方程的相关知识进行综合运用，渗透数形结合的思想方法．◆典例精析【例题1】（吉林）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子，动点P 、Q 同时从点A 出发，点P 沿A→B→C 方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止；•点Q 沿A→D 方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P 、Q •两点用一条可伸缩的细像皮筋联结，设x （s ）后橡皮筋扫过的面积为y （cm 2）．（1）当0≤x≤1时，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当1≤x≤2时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时，∠POQ 的变化范围；（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．解题思想：不能利用待定系数确定函数解析式时，常常可以通过列方程的思想，•建立两个变量间的关系，而等量关系则是沟通它们之间的桥梁．解：（1）当0≤x≤1时，AP=2x ，AQ=x ，而y=12AP·AQ ．即y=x 2； （2）当S 四边形ABPQ =12S 正方形ABCD 时，橡皮筋刚好触及钉子， 这时BP=2x －2，AQ=x ，12（2x －2+x ）×2=12×22．∴x=43；（3）当1≤x≤43时，AB=2，BP=2x －2，AQ=x ． ∴y=2AQ BP ×AB=3x －2，即y=3x －2． 当43≤x≤2时，BP=2x －2，AQ=x ，过O 点作OE ⊥AB ，E 为垂足， 这时OE=1，y=S 梯形BEOP +S 梯形OEAQ ．∴y=32x ，90°≤∠POQ≤180°； （4）作图略．评析：根据时间确定几何图形面积是建立函数关系式的关键，不规则图形面积用规则图形的面积表示，则是求解问题的突破口．【例题2】（哈尔滨）2006年春，我市为美化市容，开展城市绿化活动，要种植一种新品种树苗，甲、乙两处育苗基地均以每株4元的价格出售这种树苗，•并对一次性购买该种树苗不低于1 000株的用户实行优惠：甲处的优惠政策是每株树苗按原价的八折出售；乙处的优惠政策是免收所购树苗中150株的费用，•其余树苗按原价的九折出售．（1）规定购买该树苗只能在甲、•乙两处中的一处购买，•设一次性购买x （•x •≥1000，则x 为整数）株该种树苗，若在甲处育苗基地购买，所花费用为y 1元，写出y 1与x 之间的函数关系式；若在乙处育苗基地购买，所花的费用为y 2元，写出y 2与x 之间的函数关系式（均不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）若在甲、乙两处分别一次性购买1 500株该种树苗，•在哪一处购买所花的费用少？为什么？（3）若在甲育苗基地以相应的优惠方式购买一批该种树苗，又在乙育苗基地以相应的优惠方式购买另一批该种树苗，两批树苗共2 500株，购买这2 500株树苗所花的费用至少需要多少元？这时应在甲、乙两处分别购买该种树苗多少株？解：（1）y 1=0.8×4x=3.2x ，即y 1=3.2x ；y 2=0.9×4（x －150），即y 2=3.6x －540．（2）当x=1 500时，y 1=3.2×1 500=4 800，y2=3.6×1 500－540=4 860，y1<y2．∴在甲处购买所花的费用少．（3）设在乙处购买a株该种树苗，所花费用为w元．则w=3.2（2 500－a）+3.6a－540，即w=0.4a+7 460．∵10002500 100025002500,aa≤≤⎧⎨≤-≤⎩∴1 000≤a≤1 500，且a为整数．∵0.4>0，∴w随a增大而增大．∴当a=1 000时，w最小=7 860．2 500－1 000=1 500（株）．答：至少需花费7 860元，应在甲处购买1 500株，在乙处购买1 000株．评析：有关函数型的实际问题，也是考察数学建模的一种形式．它常常可以根据实际问题的意义通过建立一个二元方程的思想来获取函数解析式：这种函数与方程相结合的思想也是中考中的一个热点．探究实践【问题】（海淀）已知：抛物线y=x2－mx+m－2（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线y=x2－mx+m－2与x轴交于整数点，求m的值．（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．解题思路：（1）证△>0；（2）求方程x2－mx+m－2=0的整数解；（3）要考虑M点在x•轴与y轴上两种情形．解：（1）△=m2－4m+8=（m－2）2+4>0，所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．（2）方程x 2－mx+m －2=0的根为 由m 为整数，当（m －2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x 轴才可能交于整数点． 设（m －2）2+4=n 2（其中n 为整数）．所以[n+（m －2）][n －（m －2）]=4．因为n+（m －2）与n －（m －2）的奇偶性相同，所以2222222 2.n m n m n m n m +-=+-=-⎧⎧⎨⎨-+=-+=-⎩⎩或解得m=2． 经检验，m=2合题意．（3）当m=2时，抛物线y=x 2－2x ，顶点A （1，－1），与x 轴交点为O （0，0），B （2，0），•易知△AOB 为等腰直角三角形．∴M 1（1，0）为所求的点．若满足条件的点M 2在y 轴上时，设M 2（0，y ），作AN ⊥y 轴于N ．由M 2A=M 2B ，得（y+1）2+12=y 2+22，得y=1，∴M 2（0，1）也为所求的点．综上所述满足条件的M 点坐标为（1，0）或（0，1）．评析：一元二次方程有整数根，必须判别式△为完全平方数．用因式分解法、整数性质，求一元二次方程整数根是常用技巧．◆中考演练一、填空题1．已知：反比例函数y=k x与一次函数y=2x+k 的图象的一个交点的横坐标是－4，•则k 的值是________．2．函数y=x 2+2（a+2）x+a 2的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是________．二、选择题1．点P （a ，b ）是直线y=－x+5与双曲线y=6x的一个交点，则以a 、b •为两实数根的一元二次方程是（ ）． A ．x 2－5x+6=0 B ．x 2+5x+6=0 C ．x 2－5x －6=0 D ．x 2+5x －6=02．关于x 的一元二次方程x 2－x －n=0没有实数根，则抛物线y=x 2－x －n 的顶点在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限三、解答题1．（济南）已知：抛物线y=－12x 2+（6x+m －3与x 轴有A 、B 两个交点，且A 、B •两点关于y 轴对称．（1）求m 的值；（2）写出抛物线解析式及顶点坐标；（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来．2．已知c<0，抛物线y=ax2+bx+c经过正比例函数y=－4x与反比例函数y=－4x的图象的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线顶点在直线y=mx+n上，此直线与x轴、y轴分别交于点A、•B，•且OA：OB=1：2，求作一个以m和n为根的二次项系数为1的一元二次方程．◆实战模拟一、填空题1．点P（a，b）在第二象限内，a，b是方程4x2－2x－15=0的两个实数根，则直线y=ax+•b不经过第______象限．2．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标（－1，－3.2）•及部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3•和x2=_______．3．已知：二次函数y=2x2－4mx+m2的图象与x轴的两交点为A、B，顶点为C，若S△ABC•则m=________．二、选择题1．抛物线y=x 2－（2m －1）x －2m 与x 轴交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），且12x x =1，则m •的值为（ ）． A ．－12 B ．0 C ．±12 D ．12 2．抛物线y=x 2+bx+c 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴于C ，若∠OBC=45°，则下列各式成立的是（ ）．A ．b －c －1=0B ．b+c+1=0C ．b －c+1=0D ．b+c －1=03．（武汉）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x 1=2，•且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（ ）．A ．（2，－3）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（3，2）三、解答题1．（海南）如图9－1－4，已知二次函数图象的顶点坐标为C （1，0），直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3，4），B 点在y 轴上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，•使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，•请说明理由．2．（四川）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），•与y轴的正半轴交于点C，如果x1、x2是方程x2－x－6=0的两个根（x1<x2），且△ABC的面积为152．（1）求此抛物线解析式；（2）求直线AC和BC的方程；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合）过点P作直线y=m（m 为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，•求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．答案:中考演练一、1．－8 2．a>－1且a≠0二、1．A 2．A三、1．（1）m=6 （2）y=－12x 2+3，顶点（0，3）（3）方程－12x 2+（6x+m －3=0的两根互为相反数（或两根之和为零等） 2．（1）=2x 2－4x －2 （2）易得m+n=－4，A （n m，0），B （0，n ），m=±2，所求一元二次方程为x 2+4x －12=0或x 2+4x+4=0实战模拟一、1．三 2．－3．3 3．±2二、1．D 2．B 3．C三、1．（1）点A （3，4）在直线y=x+m 上，∴4=3+m ，m=1．设二次函数为y=a （x －1）2，4=a （3－1）2，a=1∴y=（x －1）2，即y=x 2－2x+1（2）设P 、E 两点的纵坐标分别为y P ，y E ，PE=h=y P －y E =（x+1）－（x 2－2x+1）=－x 2+3x即h=－x 2+3x （0<x<3）（3）∵PE=DC ，点D 在y=x+1上，∴点D 坐标为（1，2）∴－x 2+3x=2，解得x 1=2，x 2=1（舍去）∴当P 点坐标为（2，3）时，四边形DCEP 是平行四边形2．（1）y=－12x 2+12x+3 （2）直线AC 方程为y=32x+3，直线BC 方程为y=－x+3 （3）存在，设直线y=m 与y 轴交于点E （0，m ），易知0<m<3．①当PQ 为等腰Rt △PQR 的一腰时，作PR 1⊥x 轴于R 1（如图1），由△CPQ ∽△CAB ，315315915,,,(,),(,)5384888PQ EC m m m P Q AB OC -===-有易求得， ∴R 1（－34，0），作QR 2⊥x 轴于R 2，则R 2（98，0），• 经检验知R 1、R 2是满足条件的点．②当PQ 为等腰Rt △PQR 的底边时，取PQ 的中点S ，•过点S 作SR 3⊥PQ 于R 3（如图2），由△CPQ ∽△CAB ，有32315121518153,,,(,),(,),(53111111111111PQ EC m m m P Q R AB OC -===-即易得可得，0），经检验可知R 3合题意．。
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方程思想在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。
1. 要具有正确列出方程的能力有些数学问题需要利用方程解决，而正确列出方程是关键，因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。
2. 要具备用方程思想解题的意识。
有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，还有一些综合问题，需要通过构造方程来解决。
在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法。
3. 要掌握运用方程思想解决问题的要点。
除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式，根与系数关系，方程、函数、不等式的关系等内容，在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。
例题分析例1：一商店以每3盘16元钱的价格购进一批录音带，又从另外一处以每4盘21元钱价格购进比前一批数量加倍的录音带，如果以每3盘k 元的价格全部出售可得到所投资的20％的收益，求k 的值。
分析：可以设商店第一次购进x 盘录音带，则第二次购进2x 盘录音带。
根据题意，列出方程：()()(x x k x x x k x x x k +⋅=⋅+⋅+⋅=+⋅⋅≠=231632214120%)3263665019解这个方程：两边除以，得： 答：k 的值是19。
小结：上述例题是应用问题，正确列出方程是解题的关键，在学习过程中要不断培养这方面的能力。
其中所设的x 是辅助元，它在解题过程中是参加变化的量，可以消去，也叫做参变量，并不是最终所求的未知量。
从本题可以看出，设辅助元x 以后可以方便我们解题。
例2：∆ABC AB AC 中，，=以AB 为直径的圆交BC 于D ，交AC 于F ，DE 切半圆于D ，交AC 于E ，若AB ：BC ＝5：6，且AF ＝7，求CE 的长。
解：连结AD 、FD 。
AB 是直径∴∠=︒=∴∴=ADB AC AB D BC CD BD90 是中点F A B D CFD B B CC CFD DC DFCDF CAB CF CB CD ACAB BC AB AC x BC x 、、、四点共圆，：：：：，设，。
∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=∴∴=====∆∆~5656∴=∴==--=∴=∴=∴=∴∠=∠∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠=∠=∠∴=∴CD x CF x x x CF x x x x AC CF ED EDF CADCAD BAC CDF BAC EDF CAD BAC CDF CDECE EF CE 36355757635525181212129：：即：：，是切线，，，＝ ()C EF DA O B例3：已知方程x x 26410++=两根为a 、b ，方程x x 27810++=两根为c 、d ，求()()()()a c b c a d b d ++--的值.解：由根系关系得：a b a b c d c d +=-⋅=+=-⋅=641781，，()()()()[()()][()()]()()()()a c b c a d b d a c b d b c a d ab ad cb cd ab bd ac cd cb ad ac bd abc cdb cda abd c b a d ++--=+-⋅+⋅-=-+--+-=--=--+=--+22222222c d x x c c d d c d c d a b a b c d a b a b 、是方程的两根，同理：原式22222222222227810781078107826422642646478641988++=∴++=++=∴+=-+-+=-+-∴=+-+--+++-⨯-+⨯-=-=()()()()()(() =78(c +d) =7878)例4：已知方程252453200432x x x x --+-=有两个根的积等于2，解这个方程。
分析：若直接求解此方程较困难，可以利用待定系数法，由根与系数的关系可知，两根之积为2的一元二次方程，如果二次项的系数是1，那么常数项是2。
解：设25245320432x x x x --+-=+++-=+++-+-+-()()()()()x ax x bx x a b x ab x a b x 22432221022610220比较对应项系数，得解得：，。
原方程可以化成原方程的根是，，。
2562410253924922241001241622a b ab a b a b x x x x +=--=--+=⎧⎨⎪⎩⎪=-=∴-++-=∴-±()()小结：本例是一个解方程的问题，但是在求解过程中仍然体现了方程思想，利用根系关系构造方程，利用待定系数法构造方程组，都是方程思想的应用。
易错题分析例1. 已知关于x 的方程有两个正整数根，求整数m 。
分析：本题关于x 的方程有两个正整数根，所以这个方程是一元二次方程，，如果用根系关系来解，即，，。
列出关于m的不等式，再由正整数根的条件求出m的值，方法比较繁。
一般来说，解字母系数的一元二次方程，都可以分解因式，这样解法比较简便。
解：将方程分解因式：检验：当m＝1时，方程为当m＝2时，方程为点证：本题有的同学解法比较繁，而且容易错，用分解因式的方法较好。
另外求出以后，变形为以后，便于讨论m的值。
最后，求出m的值以后要注意检验是否符合题意，以免多解或丢解，还可以检验，等。
例2. 若关于x的方程，有两个不同的正整数根，求正整数k的值。
分析：本题用因式分解的方法较好，但求出k以后，要注意检验，因为题目要求有两个不同的正整数根，所以。
解：关于x的方程有两个不同的正整数根，将方程的左边分解因式：点评：本题容易错在k＝3没有舍。
所以一定要注意检验。
例3.已知抛物线在x轴上方，关于x的方程两个不等实数根是，当m是整数时，求的值。
分析：本题是二次函数和方程的综合题，要用限定m的范围，由已知m是整数确定m 的值。
然后用根系关系求出的值。
解：在x轴上方但方程有两个不等实根是一元二次方程点评：本题容易错的地方是求出以后，没有舍去m ＝－3，所以一定要检验一元二次方程的二次项系数，使其不为零。
以上三个例题，组成一个题组，小结为一元二次方程要注意验二次项系数，验，并且还要检验是否符合题意，这样才能避免出错。
练习一. 选择题：1. 已知∆ABC A 的周长是，28120∠=︒，其内切圆半径为3，则三角形三边的长是（ ）A. 8，7，13B. 8，5，12C. 6，7，14D. 8，7，142. 已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程x x a 260-+=的两根，若这样的三角形只有一个时，a 的取值范围是（ ）A. a<8B. 0<a<8C. 0<a<8或a ＝9D. a ＝93. 已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a 、b 为方程x mx m 2360-++=的两根，则m 的值为（ ）A. m ＝－8B. m ＝14C. m ＝14或m ＝－8D. m ＝54. 已知二次函数图象顶点坐标为（－2，－4），交y 轴于点（0，－3），则它的解析式是（ ）A y x xB y x xC y x x y x x ... D. =-+-=--=++=+-1431431431432222 5. 在∆ABC AD BC D B C BC AD 中，于，＝，，，则⊥∠︒∠=︒=60456的长为（ ） A . B. 93 3 C. 9 D. 33933-+6. 如图，AE 切⊙O 于D ，并且和弦BC 的延长线交于A ，CD 平分∠=BDE CD ，，7AD ＝12，则AC 的长为（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17C BA D E7. Rt ABC C ∆中，，∠=︒90⊙O 与AB 、AC 相切于M 、N ，且圆心O 在AB 上，又AO=15cm ，BO=20cm ，则⊙O 的面积为（ ）A cmB cmC cm cm.... D 1441441691962222ππ二. 填空题：1. 已知∆ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足(1)a>b>c ，(2)2b ＝a ＋c ，(3)b 是正整数，(4)a b c 22284++=，则b 的值是_______。
2. 已知a 为自然数，二次方程x x a 232240-++-=()有一正整数根p ，那么a=_______，方程的另一极是_____________。
3. 已知m 是整数，二次方程mx m x m 22120-+++=()有两个正整数根，则m 的值是_________。
三. 解答题：1. 某考生的准考证号码是一个四位数，它的千位数字是1，如果把1移到个位上去，那么所得的新数比原数的5倍少49，求这个考生的准考证号码。
2. 如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为19892cm P ，为正方形内的一点，且∠=︒=OPB PA PB 45514，：：，求PB 的长。
D C O PA B3. 已知x x 12、是关于x 的一元二次方程mx mn m x n 2140++++=()的两个实数根，y y y y m y n 12282450、是关于的方程-++-=()()的两个实根，且x y x y 112211=-=-，，求m 、n 的值。
4. 如图，EB 是直径，O 是圆心，CB 、CD 切半圆于B 、D 、CD 交BE 延长线于A 点，若BC=6，AD=2AE ，求半圆的面积。
CB5. 已知抛物线y x m x m =-++++2213()与x 轴有两个交点A 、B ，且A 在x 轴正半轴，B 在x 轴负半轴，设OA 长为a ，OB 长为b 。
(1)求m 的取值范围。
(2)若a 、b 满足a ：b ＝3：1，求m 的值。
(3)由(2)所得的抛物线与y 轴交于C ，问在抛物线上是否存在一点P ，使∆∆PAC OAC ~？若存在，求P 点的坐标；如果不存在，请说明理由。
疑难解析A. 教师自己设计的问题：1. 解答题的第4小题怎样用方程的思想解决问题？2. 解答题的第5小题的解题思路是什么？ B. 对问题的解答：1. 答：这个题也是方程思想的应用，关键在于理解AD=2AE 在条件中的作用。
因为有倍半关系，所以AE ：AD=1：2，这是方程思想应用最明显的知识特征。
再利用勾股定理和成比例线段的知识，就可以转化为方程求解了。
略解：连结CO 、DE 、BD ，设DB 交OC 于F 点。
CD CB CD CB DCO BCO CO DB AB EDB DE COAD DC AE EOAD AE CD EO AD AECD EO EO S R S 、是切线，且，是直径，：：：：：：，，半圆半圆∴==∠=∠∴⊥∴∠=︒∴∴=∴==∴=∴==∴=690221312922//ππ2. 答由于抛物线与x 轴有两个交点A 、B ，可知方程-++++=x m x m 22130()有两个不等实根，即判别式大于零，由已知A 在x 轴正半轴，B 在x 轴负半轴，可进一步确定上面方程有一个正根，一个负根，从而将函数图形问题转化为方程根的判定去解决。