高一数学《夹角和距离公式》
夹角计算公式文解析
夹角计算公式文解析夹角是指两条线或两个平面的交汇部分所形成的角度。
在几何学和物理学中，夹角的计算是一个常见的问题，而夹角计算公式则是用来计算夹角的数学公式。
本文将对夹角计算公式进行详细的文解析，帮助读者更好地理解夹角的计算方法。
夹角的定义。
在几何学中，夹角是指两条线或两个平面的交汇部分所形成的角度。
夹角通常用两条线或两个平面的交点来表示，其中交点称为角的顶点，两条线或两个平面分别称为角的边。
夹角的大小通常用度数来表示，例如30°、45°等。
夹角的计算公式。
夹角的计算公式可以根据夹角的类型和给定的条件来确定。
在几何学中，夹角通常分为以下几种类型，直角、锐角和钝角。
根据夹角的类型不同，其计算公式也会有所不同。
1. 直角夹角的计算公式。
直角夹角是指两条线或两个平面相交时形成的90°角。
直角夹角的计算公式非常简单，即角的度数为90°。
2. 锐角夹角的计算公式。
锐角夹角是指两条线或两个平面相交时形成的小于90°的角。
锐角夹角的计算公式可以通过三角函数来确定，其中最常用的是正弦函数、余弦函数和正切函数。
假设锐角夹角的两条边分别为a和b，夹角的度数为θ，则可以使用以下公式来计算：sin(θ) = a / c。
cos(θ) = b / c。
tan(θ) = a / b。
其中c为夹角的斜边，即两条边之间的最长边。
通过上述三角函数的计算，可以得到锐角夹角的度数。
3. 钝角夹角的计算公式。
钝角夹角是指两条线或两个平面相交时形成的大于90°的角。
钝角夹角的计算公式与锐角夹角类似，也可以通过三角函数来确定。
假设钝角夹角的两条边分别为a和b，夹角的度数为θ，则可以使用以下公式来计算：sin(180°θ) = a / c。
cos(180°θ) = b / c。
tan(180°θ) = a / b。
通过上述三角函数的计算，可以得到钝角夹角的度数。
高一数学复习考点知识专题讲解37---夹角问题
高一数学复习考点知识专题讲解夹角问题学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．知识点一两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．知识点二空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v||u||v|⎝⎛⎦⎤0，π2直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝|u·n||u||n|⎣⎡⎦⎤0，π2两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝|n1·n2||n1||n2|⎣⎡⎦⎤0，π21.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 D解析 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则A 1M —→＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，cos 〈A 1M —→，DN →〉＝|A 1M —→·DN →||A 1M —→||DN →|＝0. ∴〈A 1M →，DN →〉＝π2.2．已知向量m ，n 分别是直线l 与平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案 B解析 设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32，∴θ＝60°，故选B. 3．已知平面α的法向量u ＝(1,0，－1)，平面β的法向量v ＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________． 答案 π3解析 ∵cos 〈u ，v 〉＝－12×2＝－12，∴〈u ，v 〉＝23π，∴平面α与β的夹角是π3.4．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)，B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________． 答案74解析 设平面xOz 的法向量为n ＝(0,1, 0) ，AB →＝(1,3，6)， 所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB →|＝ 34 ，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝⎛⎭⎫342 ＝74. 故向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为74.一、两条异面直线所成的角例1 如图，在三棱柱OAB －O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．解 以O 为坐标原点，OA →，OB →的方向为x 轴，y 轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， ∴A 1B —→＝(－3，1，－3)，O 1A —→＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B →，O 1A →〉|＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →||O 1A →|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7×7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.反思感悟 求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．(2)向量法：在两异面直线a 与b 上分别取点A ，B 和C ，D ，则AB →与CD →可分别为a ，b 的方向向量，则cos θ＝|AB →·CD →||AB →||CD →|.跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( )A.3010B.3015 C.3030D.1515答案 A解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0,0,2)，N (1,0,0)， ∴B 1M —→＝(－1，－1，－2)， D 1N —→＝(1,0，－2)，∴cos 〈B 1M —→，D 1N —→〉＝－1＋41＋1＋4×1＋4＝3010. 二、直线与平面所成的角例2 如图所示，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．(1)证明 设P A ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，又AN ＝14AB ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫12，0，0，M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，S ⎝⎛⎭⎫1，12，0， CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12，SN →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， ∴CM →·SN →＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12·⎝⎛⎭⎫－12，－12，0＝0， ∴CM →⊥SN →， 因此CM ⊥SN .(2)解 由(1)知，NC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量， ∴CM →·a ＝0，NC →·a ＝0.则⎩⎨⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝－2y . 取y ＝1，得a ＝(2,1，－2)． 设SN 与平面CMN 所成的角为θ，∵sin θ＝|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22. ∴SN 与平面CMN 所成角为π4.反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量u . (3)求平面的法向量n . (4)设线面角为θ，则sin θ＝|u ·n ||u ||n |. 跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，E ，F 依次为C 1C ，BC 的中点．求A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值．解 以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，B (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,1,0)， 所以A 1B —→＝(2,0，－2)，AE →＝(0,2,1)，AF →＝(1,1,0)． 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ＝0，a ＋b ＝0，令a ＝1可得n ＝(1，－1,2)． 设A 1B 与平面AEF 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n ，A 1B —→〉|＝|n ·A 1B —→||n ||A 1B —→|＝36，即A 1B 与平面AEF 所成角的正弦值为36. 三、两个平面的夹角例3 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥平面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面OB 1D 夹角的余弦值．(1)证明 因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ， 又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ， 所以O 1O ⊥平面ABCD .(2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，又O 1O ⊥平面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°， 所以OB ＝3，OC ＝1，所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ⊥OB 1—→，m ⊥OC 1—→，得3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝2319＝25719.所以平面C 1OB 1与平面OB 1D 夹角的余弦值为25719.延伸探究本例不变，求平面BA 1C 与平面A 1CD 夹角的余弦值． 解 B (3，0,0)，A 1(0，－1,2)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)， 设平面BA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， A 1C →＝(0,2，－2)，BC →＝(－3，1,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C —→＝0，m ·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝3，z 1＝3， ∴m ＝(1，3，3)，同理得，平面A 1CD 的法向量n ＝(1，－3，－3)， cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－57，则平面BA 1C 与平面A 1CD 夹角的余弦值为57.反思感悟 求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n 1，n 2，则两平面的夹角为〈n 1，n 2〉⎝⎛⎭⎫当〈n 1，n 2〉∈⎣⎡⎦⎤0，π2时或π－〈n 1，n 2〉⎝⎛⎭⎫当〈n 1，n 2〉∈⎝⎛⎦⎤π2，π时.跟踪训练3 如图所示，在几何体S －ABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，AD ＝DC ＝2，BC ＝1，又SD ＝2，∠SDC ＝120°，求平面SAD 与平面SAB 夹角的余弦值．解 如图，过点D 作DC 的垂线交SC 于E ，以D 为原点，以DC ，DE ，DA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵∠SDC ＝120°，∴∠SDE ＝30°，又SD ＝2，∴点S 到y 轴的距离为1，到x 轴的距离为3，则有D (0,0,0)，S (－1，3，0)，A (0,0,2)，C (2,0,0)，B (2,0,1)， 设平面SAD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AD →＝(0,0，－2)，AS →＝(－1，3，－2)，∴⎩⎨⎧－2z ＝0，－x ＋3y －2z ＝0，取x ＝3，得平面SAD 的一个法向量为m ＝(3，1,0)． 又AB →＝(2,0，－1)，设平面SAB 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AS →＝0，即⎩⎨⎧2a －c ＝0，－a ＋3b －2c ＝0，令a ＝3， 则n ＝(3，5,23)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝8210×2＝105，故平面SAD 与平面SAB 夹角的余弦值是105.空间向量和实际问题典例 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处．从A ，B 到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC 和BD 分别为a 和b ，CD 的长为c ，甲乙之间拉紧的绳长为d ，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值．解 由题意可知AC ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ，AB ＝d ，所以d 2＝AB →2＝(AC →＋CD →＋DB →)2＝AC →2＋CD →2＋DB →2＋2(AC →·CD →＋AC →·DB →＋CD →·DB →) ＝a 2＋c 2＋b 2＋2AC →·DB →＝a 2＋c 2＋b 2－2CA →·DB →， 则2CA →·DB →＝a 2＋b 2＋c 2－d 2，设向量CA →与DB →的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角， 因此2ab cos θ＝a 2＋b 2＋c 2－d 2，所以cos θ＝a 2＋b 2＋c 2－d 22ab，故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为a 2＋b 2＋c 2－d 22ab .[素养提升]利用空间向量解决实际问题(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题．(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养．1．若异面直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角为150°，则l 1与l 2所成的角为( ) A.π6B.5π6C.π6或5π6D ．以上均不对 答案 A解析 l 1与l 2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，故选A. 2．已知向量m ，n 分别是平面α和平面β的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则α与β的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 B解析 设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°， 则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12，∴θ＝60°.3．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22答案 C解析 如图所示，以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线CC 1为z 轴建立空间直角坐标系，设CA ＝CB ＝1，则B (0,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，1，A (1,0,0)，N ⎝⎛⎭⎫12，0，1. 故BM →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1， 所以cos 〈BM →，AN →〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|＝3462×52＝3010.4.如图所示，点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系Oxyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0,0,2)，平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,2)，平面ABC 与平面ABO 的夹角为θ，则cos θ＝________.答案 23解析 cos θ＝OC →·n |OC →||n |＝42×3＝23.5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为________． 答案33解析 设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)． 平面ACD 1的一个法向量为DB 1—→＝(1,1,1)． 又BB 1—→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1—→，BB 1—→〉＝DB 1—→·BB 1—→|DB 1—→||BB 1—→|＝13×1＝33.1．知识清单：(1)两条异面直线所成的角． (2)直线和平面所成的角． (3)两个平面的夹角． 2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围．1．已知A (0,1,1)，B (2，－1,0)，C (3,5,7)，D (1,2,4)，则直线AB 与直线CD 所成角的余弦值为( ) A.52266 B ．－52266 C.52222 D ．－52222答案 A解析 ∵AB →＝(2，－2，－1)，CD →＝(－2，－3，－3)，∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝53×22＝52266，∴直线AB ，CD 所成角的余弦值为52266.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面夹角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135° D ．90° 答案 A解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.3．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )A.2π3B.π3C.π6D.5π6 答案 C解析 线面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵〈a ，n 〉＝2π3，∴l 与法向量所在直线所成角为π3，∴l 与α所成的角为π6.4．若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的余弦值为( )A ．－41133 B.41133 C ．－91333 D.91333答案 D解析 设α与l 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|(－2，－3，3)·(4，1，1)|4＋9＋9×16＋1＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4311＝41133，故直线l 与α所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫411332＝91333.5．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 B解析 如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． 于是AD →＝(0,1,0)，取PD 的中点E ，则E ⎝⎛⎭⎫0，12，12， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，易知AD →是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量， ∴cos 〈AD →，AE →〉＝22，∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°.6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为________．答案 π2解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，A 1P ＝x ，则O (1,1,0)，P (2，x ，2)，B (2,2,0)，M (0,2,1)， OP →＝(1，x －1,2)，BM →＝(－2,0,1)． 所以OP →·BM →＝0，所以直线BM 与OP 所成的角为π2.7．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为________．答案105解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0，2,0)，D 1(0,0,1)，C 1(0,2,1)， ∴BC 1→＝(－2,0,1)．连接AC ，易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴平面BB 1D 1D 的一个法向量为a ＝AC →＝(－2,2,0)．∴所求角的正弦值为|cos 〈a ，BC 1—→〉|＝|a ·BC 1—→||a ||BC 1—→|＝48×5＝105.8．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 夹角的余弦值等于 ________. 答案31111解析 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)， 平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )． 所以A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23， 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，13，EF →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，13， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AE →＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 夹角的余弦值为31111.9.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，点D 是BC 的中点．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．解 以点A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,4)，D (1,1,0)，C 1(0,2,4)， ∴A 1B —→＝(2,0，－4)，C 1D —→＝(1，－1，－4)， ∴cos 〈A 1B —→，C 1D —→〉＝A 1B —→·C 1D —→|A 1B —→||C 1D —→|＝31010，∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.10．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小． (1)证明 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，D (0,0,0)，P (0,0，h )， ∴AC →＝(－a ，a ，0)，DP →＝(0,0，h )，DB →＝(a ，a ，0)，∴AC →·DP →＝0，AC →·DB →＝0，∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ，DP ，DB ⊂平面PDB ， ∴AC ⊥平面PDB ， 又AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)解 当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时， P (0,0，2a )，E ⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0， 连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝⎛⎭⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝⎛⎭⎫0，0，－22a ，∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO →|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成角的大小为45°.11．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35答案 A解析 不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，则AB 1—→＝(－2,2,1)，C 1B —→＝(0，－2,1)， 所以cos 〈AB 1—→，C 1B —→〉＝AB 1—→·C 1B —→|AB 1—→||C 1B —→|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.所以所求角的余弦值为55. 12．已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．45° D ．以上都不对 答案 B解析 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E —→＝(0,1，－1)，D 1E —→＝(1,1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)． 设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0，令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1，设直线与平面A 1ED 1所成角为θ，则sin θ＝1，所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°.13．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.答案 125 解析 平面xOy 的法向量n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0， 即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22，又∵a >0，∴a ＝125. 14．已知正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则平面ABD 与平面BDC 夹角的余弦值为____． 答案 55解析 取BC 的中点O ，连接AO ，DO ，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎫32，0，0. 所以OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA →＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD →＝⎝⎛⎭⎫32，12，0. 由于OA →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量． 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA →＝0，n ·BD →＝0，所以⎩⎨⎧ 12y ＋32z ＝0，32x ＋12y ＝0，取x ＝1，则y ＝－3，z ＝1，所以n ＝(1，－3，1)，所以cos 〈n ，OA →〉＝55.15．如图，在三棱锥V －ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x 轴、y轴、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝π3，则异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．答案 24解析 ∵AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2， ∴V (0,0，6)，∴AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)，∴cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22×22＝－24. ∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 16.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，A 1D 1的中点．(1)求直线A 1C 与DE 所成角的余弦值；(2)求直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值；(3)求平面B 1EDF 与平面ABCD 夹角的余弦值． 解 以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz .(1)A 1(0,0，a )，C (a ，a ，0)，D (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0， ∴A 1C —→＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝⎛⎭⎫a ，－a 2，0， ∴cos 〈A 1C —→，DE →〉＝A 1C —→·DE →|A 1C —→||DE →|＝1515， 故A 1C 与DE 所成角的余弦值为1515. (2)连接DB 1，∵∠ADE ＝∠ADF ，∴AD 在平面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上． 又四边形B 1EDF 为菱形，∴DB 1为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1. 由A (0,0,0)，B 1(a ，0，a )，D (0，a ，0)， 得DA →＝(0，－a ，0)，DB 1—→＝(a ，－a ，a )，∴cos 〈DA →，DB 1→〉＝DA →·DB 1—→|DA →||DB 1—→|＝33，又直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， 故直线AD 与平面B 1EDF 所成角的余弦值为33. (3)由已知得A (0,0,0)，A 1(0,0，a )，B 1(a ，0，a )，D (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0， 则ED →＝⎝⎛⎭⎫－a ，a 2，0，EB 1→＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a ， 平面ABCD 的一个法向量为m ＝AA 1—→＝(0,0，a )．设平面B 1EDF 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·ED →＝0，n ·EB 1—→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝1， ∴n ＝(1,2,1)，∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝66， ∴平面B 1EDF 与平面ABCD 夹角的余弦值为66.。
人教A版高中数学选择性必修一1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件
FE
则(1,1, 1) (k, k,1 k) k k 1 k 3k 1 0,
D
所以k
1 3
,
点F的坐标为
1 3
,
1 3
,
2 3
.
A
G
C y
B
x
典型例题
又点E的坐标为
0,
1 2
,
1 2
,
所以FE
1 3
,
1 6
,
1 6
.
所以cos EFD
FE FD
1 3
,
1 6
,
1 6
cos cos n1, n2
n1 n2 n1 n2 n1 n2 n1 n2
典型例题
例 8 如图 1.4-22，在直棱柱 ABC A1B1C1 中，AC CB 2 ， AA1 3 ，ACB 900 ， P 为 BC 中点，Q，R 分别在棱 AA1 ，BB1 上，A1Q 2AQ ，BR 2RB1 .求平面 PQR 与 平面 A1B1C1 夹角的余弦值.
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的协 力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的 法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相 反向量．
图1.4-24
典型例题
解：如图1.4 24, 设水平面的单位法向量为n, 其中每一根绳子的拉力
均为F .因为n, F 30,所以F在n上的投影向量为
A
G
B
x
(2) 求证：PB 平面EFD;
依题意得B(1,1, 0),
PB
(1,1,
1),
又 DE
0,
1 2
,
1 2
,
空间向量的夹角与距离求解公式-高中数学知识点讲解
空间向量的夹角与距离求解公式1．空间向量的夹角与距离求解公式【知识点的认识】1．空间向量的夹角公式→→设空间向量푎=（a1，a2，a3），푏=（b1，b2，b3），→→cos＜푎，푏＞=→→푎⋅푏→→|푎|⋅|푏|=푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎22+푎32⋅푏12+푏22+푏32注意：→→→→（1）当 cos＜푎，푏＞= 1时，푎与푏同向；→→→→（2）当 cos＜푎，푏＞=― 1时，푎与푏反向；→→→→（3）当 cos＜푎，푏＞= 0时，푎⊥푏．2．空间两点的距离公式设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则→퐴퐵=(푥2―푥1，푦2―푦1，푧2―푧1)→d A，B＝|퐴퐵| =→퐴퐵⋅→퐴퐵=(푥2―푥1)2+(푦2―푦1)2+(푧2―푧1)2．【解题思路点拨】1．求空间两条直线的夹角建系→写出向量坐标→利用公式求夹角2．求空间两点的距离建系→写出点的坐标→利用公式求距离．【命题方向】（1）利用公式求空间向量的夹角→→例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量퐴퐵与퐴퐶的夹角为（）1/ 3A.30°B.45°C.60°D.90°→→→分析：由题意可得：퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，进而得到퐴퐵⋅→→→→→퐴퐶与|퐴퐵|，|퐴퐶|，再由cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→可得答案．|퐴퐵||퐴퐶|解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以→→퐴퐵=(0，3，3)，퐴퐶=(―1，1，0)，→所以퐴퐵⋅→→→퐴퐶═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|퐴퐵|＝3 2，|퐴퐶| = 2，→→所以 cos＜퐴퐵，퐴퐶＞=→→퐴퐵⋅퐴퐶→→|퐴퐵||퐴퐶|=332×2=12，→→∴퐴퐶的夹角为 60°퐴퐵与故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．（2）利用公式求空间两点的距离例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（）A.3B. 29C.25D.5分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），→→所以퐴퐵=（﹣3，0，﹣4），所以|퐴퐵|=(―3)2+02+(―4)2= 5．故选D．点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．2/ 33/ 3。
高中向量夹角运算方法
高中向量夹角运算方法一、向量夹角的定义向量夹角是两个向量之间的夹角，它可以用余弦定理来计算。
向量夹角的大小决定了两个向量之间的关系，如平行、垂直或一般方向。
二、向量夹角的计算公式设有两个向量a和b，它们的夹角为θ，则有以下公式：cosθ = （a·b） /（|a|·|b|）其中，a·b表示向量a和向量b之间的数量积，|a|和|b|分别代表向量a 和向量b的模长。
通过这个公式，可以计算出向量夹角的余弦值，从而得出向量夹角的大小。
三、向量夹角的判别方法1.若a·b=|a|·|b|，则向量a和向量b平行；2.若a·b=0，则向量a和向量b垂直；3.若a·b<0，则向量a和向量b夹角在锐角；4.若a·b>0，则向量a和向量b夹角在钝角。
四、向量夹角的应用向量夹角的计算方法在几何学、物理学、工程学等各种领域都有重要应用。
例如在力学中，可以计算出物体施加力的方向与力的大小；在机械动力学中，可以计算出两个运动物体之间的相对速度和加速度；在地理学中，可以计算出地球表面上两个点之间的方向和距离等等。
五、向量夹角的注意事项在使用向量夹角的计算公式时，需要注意以下几点：1.向量的方向很重要，夹角取值范围是0°-180°；2.向量的模长必须为正数；3.应用余弦定理时，需要计算向量数量积的值；4.在实际问题中，应用向量夹角可以通过将向量分解为水平和竖直方向的分量来简化计算。
综上所述，向量夹角是两个向量之间的夹角，它可以通过余弦定理来计算。
在实际应用中，向量夹角有着广泛的应用，涉及到了很多学科领域。
在计算向量夹角时，需要注意向量的方向、模长以及数量积的值。
向量之间的夹角公式
向量之间的夹角公式向量之间的夹角是数学中一个非常关键的概念，也是许多领域中必不可少的知识点。
在物理、计算机科学和工程学等领域，向量之间的夹角经常被用来计算两个向量之间的关系或是确定一个向量相对于另一个向量的位置。
本文将全面介绍向量之间的夹角的公式以及其应用。
夹角公式两个向量A、B之间的夹角可以用向量内积的余弦值表示。
具体公式如下：cosθ = A·B / (|A|·|B|)其中，A·B表示向量A与向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
θ表示向量A和向量B之间的夹角。
该公式非常普遍且直观，可以用于计算任何两个向量之间的夹角。
简单来说，余弦值的大小决定了夹角的大小。
值得注意的是，该公式只有在向量A和向量B不为零向量且方向相同时才有意义。
应用计算两个向量之间的夹角常用于许多领域，如三维图形设计、机器学习、光学和物理等。
下面将介绍其中一些应用场景。
1. 计算夹角余弦值赋予向量以形状，计算它们之间的夹角余弦值，是计算机视觉和三维图形设计中的常用方法。
通过计算两个向量之间的夹角余弦值，可以判断它们之间的相似性，从而对物体的识别和模拟产生重要作用。
2. 确定向量投影向量的投影表示该向量在另一个向量上的分量。
计算一个向量在另一个向量上的投影，可以使用向量之间的夹角公式。
通过计算向量之间的夹角余弦值，可以找到向量在另一个向量上的投影的大小。
3. 测量物体的速度在实际物理中，确定物体的速度和方向是非常重要的。
通过计算物体的速度向量与其他向量之间的夹角，可以得到物体在某个方向上的速度分量。
4. 计算向量之间的距离向量之间的距离也可以用向量之间的夹角公式来计算。
通过计算两个向量之间的余弦值，可以得到它们的夹角，从而计算出向量之间的距离。
总结向量之间的夹角公式在许多领域中都有广泛的应用。
它不仅是理论上的重要概念，也是实际问题求解中的基本工具。
准确理解和掌握向量之间的夹角公式，对于进行相关领域中的研究和应用都将具有重要指导意义。
空间向量的夹角和距离公式
A
B C
5 6 由(1)知 | FA | ,| FE | . 2 2 30 cos FE , FA . 10 30
sin FE , FA 10 .
D
补充作业：
A
1
F1
M
C1 B1 E
D A x
C
O
y B
SAEF
5 30 6 6 | AM | . 故点A到直线EF的距离为 . 2 10 4 4
分析：到两点距离相等直接做
B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 到 A、
满足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
练习P42 已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),求证 △是直角三角形.
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 15 B1 E1 BE1 DF1 15 A B 16 1 1 cos , DF1BE 1与 DF1 所成的角的余弦值。 . D1 F1 BE1，求 | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 解： 设正方体的棱长为1，建立如图空间直角坐标 4z 4 系 O xyz ，得 F D
A
z
B
O
y
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b 2 2 2 2 2 2 | a | | b | a1 a2 a3 b1 b2 b3 x
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则 (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b _____________________;
(a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b ______________________; (a1 , a2 , a3 ),( R) a _________________;
夹角和距离公式
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求： (2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z) 的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A、B的距离相等，则
(x 3) y 3 z 1 x 1 y 0 z 5
2 2 2 2 2 2
化简，得 4x+6y-8z+7=0
z F D1 B1 D A x C1
A1
E C y
解：以D为原点， DA,DC,DD1分别为x 轴，y轴，z轴建立直 角坐标系.
B
例3.求证：如果两条直线垂直于一个 平面，则这两条直线平行。 已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足 求证：OA∥BD
α A D
o
B
已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足 求证：OA∥BD
§9.6.3 夹角和距离公式
空间直角坐标系
z A k i o j
若a=a1i+a2j+a3k
则a=(
a1,a2,a3 )
y
OA=(x,y,z); A(x,y,z)
x
设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
z
k i o
x1
j
a
y1
y
x
向量的直角坐标运算
a1b1+a2b2+a3b3=0
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：
(1)线段 AB的中点坐标和长度；
z B(1,0,5)
M
设M(x,y,z)是AB的中点，则 OM=
1 2
(OA+OB)
AM=MB
y
高中数学立体几何公式大全
立体几何公式大全向量式cos a b a b θ⋅=⋅ a b ⊥0a b ⋅=//a b （0b ≠）a b λ=（0,λ>方向相同0,λ<方向相反）模a2a a =夹角θ（0a ≠，0b ≠）cos a b a bθ⋅=⋅二、求角和距离公式： 求异面直线a 与b ： 12222111cos a b x x y a bx y z θ⋅+==⋅++与平面αa n a n⋅⋅（n 表示平面为平面α的法向量1n 与平面2n 的夹角：则12112cos n n n n θ⋅=⋅：求二面角步骤：一、瞄：瞄一下看二面角θ是锐角还是钝角；二、的法向量1n 与平面的法向2n ，而后用12112cos n n n n θ⋅=⋅ 求出1n 与2n 的夹角1θ；三、定：同锐相等：若θ是锐角，也是锐角，；同钝相等：若θ是锐角，θ也是锐角，则1θ=；锐钝互补：若θJP69/KP127/AP n n⋅A 为平面α上的任意n 为平面α的法向量三、求法向量步骤：（1） 设法向量(,,)n x y z =，利用法向量n 与平面上的两相交直线方向向量垂直数量积为0建立两个方程；（2） 求出x 等于多少z, y 等于多少z;并令z=1进而求出x,y,从而得到法向量n ；或者求出x 等于多少y, z 等于多少y;并令y=1进而求出x,z,从而得到法向量n ； 或者求出y 等于多少x, z 等于多少x;并令x=1进而求出y,z,从而得到法向量n ；（3） 把所求的法向量n 代入方程组检验！ 四、法向量n 的在证明题中用处:(1) 线面平行：l l n α⊄⊥平面且⇔//l α平面：参见JP65/例2 （证明线面平行问题只要转成去求线的向量与法向量数量积为0即可） (2) 面面平行：12//n n ⇔//αβ平面平面：参见JP65/例2（证明面面平行问题只要转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可） (3) 线面垂直：//l n l α⇔⊥平面：（证明线面垂直问题只要转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可） (4) 面面垂直：12n n ⊥⇔αβ⊥平面平面：参见JP65/例3 （证明面面垂直问题只要转成去求两法向量数量积为0即可）。
空间解析几何中的平面夹角与距离
空间解析几何中的平面夹角与距离空间解析几何是数学中的一个分支，主要研究点、直线、平面在三维空间中的位置关系和性质。
其中涉及到的平面夹角与距离是十分重要的概念，本文将对此进行详细解释。
一、平面夹角在空间解析几何中，平面夹角是指两个平面之间的夹角。
平面夹角可以通过两个平面的法向量来求解。
1. 法向量一个平面在空间中的位置是由其法向量来确定的。
法向量垂直于平面，可以唯一确定平面的朝向和方向。
设平面P的法向量为n1，平面Q的法向量为n2，则平面P和平面Q之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1·n2) / (|n1||n2|)其中，·表示向量的点乘操作，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。
2. 夹角性质通过计算得到的夹角θ有以下性质：- 当θ=0时，表示两个平面重合；- 当0<θ<90°时，表示两个平面之间的夹角是锐角；- 当θ=90°时，表示两个平面垂直；- 当90°<θ<180°时，表示两个平面之间的夹角是钝角；- 当θ=180°时，表示两个平面平行。
夹角的计算公式可以用于解决很多实际问题，比如在工程中确定两个平面的夹角，计算房屋之间的夹角等。
二、平面距离平面距离是指两个平面之间的最短距离。
在几何学中，求解平面距离的方法有多种，以下将介绍其中两种常用的方法。
1. 点到平面距离设平面P的方程为Ax+By+Cz+D=0，点Q(x0,y0,z0)为空间中一点。
点Q到平面P的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，| | 表示求绝对值，√表示开平方。
2. 线段到平面的距离如果需要求解线段AB到平面P的距离，可以利用点到平面的距离公式进行计算。
求解步骤如下：- 确定平面P的方程Ax+By+Cz+D=0；- 计算A、B两点到平面P的距离分别为d1和d2，使用点到平面距离公式；- 线段AB到平面P的最短距离为min(d1, d2)。
cos两直线夹角计算公式
cos两直线夹角计算公式在数学中，直线是一个无限延伸的线段，它具有无限多个点。
直线是几何学中最基本的图形之一，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在几何学中，我们经常需要计算两条直线之间的夹角，这对于解决许多实际问题非常重要。
本文将介绍如何使用cosine函数来计算两条直线夹角的公式，并且解释这个公式的原理和应用。
首先，让我们来看一下两条直线的夹角是如何定义的。
两条直线的夹角是指这两条直线在平面上的夹角，通常用角度来表示。
夹角的大小可以用来描述两条直线之间的关系，比如是否平行、垂直或者是倾斜的关系。
因此，计算两条直线夹角的公式对于解决这些问题非常有用。
在几何学中，我们知道，两条直线的夹角可以通过它们的斜率来计算。
斜率是直线上任意两点的纵向距离和横向距离的比值。
如果我们知道两条直线的斜率，我们就可以通过它们之间的夹角来计算两条直线的夹角。
然而，有时候我们并不知道两条直线的斜率，这时候我们可以使用cosine函数来计算两条直线夹角的公式。
假设我们有两条直线的方程分别为 y1 = m1x1 + b1 和 y2 = m2x2 + b2，其中m1和m2分别为两条直线的斜率，b1和b2分别为两条直线的截距。
我们可以通过这两条直线的斜率来计算它们之间的夹角。
夹角的cosine值可以通过两条直线的斜率来计算，其公式为：cos(θ) = |m1 m2 + 1| / √(1 + m1^2) √(1 + m2^2)。
其中，θ表示两条直线的夹角，m1和m2分别为两条直线的斜率。
这个公式可以帮助我们计算出两条直线之间的夹角，而不需要知道它们的具体方程。
这个公式的原理是基于向量的内积来计算的。
我们知道，两个向量的内积可以通过它们的长度和夹角来计算。
而两条直线的斜率可以被看作是向量的斜率，因此我们可以通过向量的内积来计算两条直线之间的夹角。
这个公式的推导过程比较复杂，需要一定的线性代数知识，这里就不展开了。
这个公式在实际中有着广泛的应用。
高一数学-《夹角和距离公式》课件
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a＝|a|2 求有关线段的长度；
2．利用两点间的距离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
答案：x＜－4
知识要点一：异面直线所成角的求法
1．几何法：即先根据异面直线所成角的定义，在给定的图形中找出或作出角，然后再
加以证明，最后在一个三角形中进行计算．上述过程即“作—证—求”三步．
2．向量法：即利用
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21· x22＋y22＋z22
中的一个变量赋予一个特值，即可确定平面的一个法向量．赋的值不同，所求平面的法向量 就不同，但它们是共线向量．
3．应用平面的法向量解决线面平行、面面平行问题 (1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0. (2)若能求出平面 α、β 的法向量 u、v，则要证明 α∥β，只需证明 u∥v.
用空间向量研究距离,夹角问题公式
用空间向量研究距离,夹角问题公式
对于距离和夹角问题的研究，空间向量提供了一种有效的方法。
空间向量是指具有方向和大小的矢量，可以用来表示在三维空间中的物理量或者几何对象。
首先，我们来讨论两个点之间的距离问题。
在空间向量中，两个点的距离可以通过计算它们的欧几里得距离来确定。
欧几里得距离是指从一个点到另一个点的直线距离。
如果我们将两个点表示为向量A和向量B，那么它们之间的欧几里得距
离可以使用以下公式计算：
距离 = |向量AB| = √((Bx-Ax)^2 + (By-Ay)^2 + (Bz-Az)^2)
其中，Ax、Ay、Az分别表示向量A的x、y、z坐标，Bx、By、Bz分别表示
向量B的x、y、z坐标。
通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的距离。
接下来，让我们来看一下关于夹角问题的公式。
在空间向量中，可以使用两个向量的点积和模长之间的关系来计算它们之间的夹角。
如果我们将两个向量表示为向量A和向量B，它们的夹角可以通过以下公式计算：
夹角θ = arccos((向量A·向量B) / (|向量A| × |向量B|))
其中，向量A·向量B表示两个向量的点积，|向量A|和|向量B|分别表示向量A 和向量B的模长。
通过这个公式，我们可以确定两个向量之间的夹角。
通过使用上述的距离和夹角问题的公式，我们可以将空间向量用于研究并解决各种几何和物理问题。
这些公式能够提供详细而完整的信息，帮助我们深入了解空间中不同物体之间的距离和夹角关系。
无论是在几何学、物理学还是其他相关领域，空间向量的研究都具有重要的应用价值。
夹角和距离公式
，那么向量 a叫做平面
的
练习：如图，在正方体 A B C D
A1 B 1 C 1 D 1
中，
F E 为C C 1中点， 为 A C 和 B D 的交点，求
证：A1 F
平 面 BED.
D1
C1Байду номын сангаас
A1
D
B1
E C
A
F
B
2
注意：
（1）当
a （2）当 时， 与 （3）当 c o s a , b 0 时，a
cos a , b 1
a c o s a , b 1 时， 与 b b b
同向； 反向； 。
思考：当 0 c o s a , b 1及 1 c o s a , b 0 时， , b 的夹角在什么范围内？ a
A z
i
k j
D
证明：以点 O 为原点，以射 线 O A 为非负 z 轴，建立空 间直角坐标系
O - x y z， j k i，，
x
O y
B
为沿 x 轴、y 轴、 z
轴的坐标向量，且设
BD (x, y, z)
例3 求证:如果两条直线同垂直于一个 平面,则这两条直线平行.
1
1
B 中， E
D 1 F1
A1 B 1 4
，求 B E 与 D F 所成的
角的余弦值.
z D1 F1
A1 E1 B1 C1
1 1 D F1 0 , ， 1 (0 , 0 , 0 ) 0 , ， 1 . 4 4
| B E 1 |
高中数学《用空间向量研究距离、夹角问题-求空间距离》课件
讲 课 人
点P到直线l的距离为PQ =
| AP |2 | AQ |2
a2 (a b )2
： 邢
|b |
启 强
4
巩固练习 点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,
D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为
.
2.两条平行直线之间的距离
A
| n BE| 2 11
E
B
y
d
.
讲 课
n
11
人 ： 邢 启
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
强
11
11
典型例题
如图, ABCD 是矩 形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
C1 z
F1
B1
A1
D1 C
By
A
讲
课 人 ：
x
邢
启 强
25
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系C x如yz图
所示，设
则CC：1 1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
F1
(
1 2
,
0,1),
D1
(
1 2
,
1 2
,1)
所以：
1 AF1 ( 2 , 0,1),
∴ MC (
2
a,a,
0)
,
MN
(0,
1
a,
1
2 a)
,
2
22
数学夹角公式
数学夹角公式在咱们的数学世界里，夹角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多几何问题的大门。
先来说说什么是夹角。
比如说，你站在操场上，看到两根旗杆，这两根旗杆之间形成的那个角度，就是夹角啦。
夹角公式呢，就是用来准确计算这个角度大小的工具。
就像我之前教过的一个学生小明，他呀，刚开始对夹角公式那是一头雾水。
有一次做作业，遇到一道求两条直线夹角的题目，他抓耳挠腮半天，愣是没搞明白。
咱们常见的夹角公式有很多种，比如平面向量的夹角公式，直线的夹角公式等等。
先说平面向量的夹角公式吧，它就像是一个神奇的魔法咒语：cosθ= （a·b）/ （|a|×|b|）。
这里的 a 和 b 是两个向量，a·b 是它们的数量积，|a|和|b|分别是它们的模。
还记得我给小明讲解这个公式的时候，我就拿教室里的桌椅来举例。
把桌子的边看成向量 a，椅子的边看成向量 b，然后通过计算它们之间的关系来理解这个公式。
小明一开始还是懵懵懂懂的，我就让他自己动手画一画，量一量，感受一下这个公式的魔力。
再说说直线的夹角公式。
这个公式就像是一个解谜的密码：tanθ = |（k1 - k2）/ （1 + k1×k2）|，这里的 k1 和 k2 分别是两条直线的斜率。
有一次课堂上，为了让同学们更好地理解这个公式，我在黑板上画了两条歪歪扭扭的直线，然后带着大家一起分析斜率，计算夹角。
同学们都特别积极，小明也终于有点开窍了。
其实啊，夹角公式在生活中也有很多用处呢。
比如你设计一个花园的布局，要计算不同小径之间的夹角，让整个花园看起来更美观；或者是工程师建造桥梁时，要计算钢梁之间的夹角，确保桥梁的稳固。
回到小明身上，经过不断地练习和琢磨，他终于掌握了夹角公式。
后来在一次考试中，有一道比较难的夹角问题，好多同学都没做出来，小明却轻松搞定了，那脸上洋溢的自豪和喜悦，我到现在都还记得。
总之，夹角公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做练习，就一定能把它拿下，让它成为我们解决数学问题的得力助手！。
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式(教案说明)
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式教案说明江西省宜丰中学熊星飞一、教材在本章节中的地位及作用1．向量的坐标运算是在空间向量的运算（加减法运算、实数与向量的积，空间向量的基本定理的基础上，用坐标对几何图形进行量化，通过对运算来掌握向量的关系和性质；2．向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上，对向量的夹角和距离进行的一种运算，是空间解析几何的基础；3．本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材；4．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。
5．课时安排空间向量的坐标运算共分4个课时（第一课时：空间直角坐标系；第二课时：空间向量的直角坐标运算；第三课时：空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用；第四课时：空间向量的坐标运算综合运用。
本节课是第三课时（夹角与距离公式的掌握及简单运用）二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为立体几何的问题，立体几何问题再用坐标运算进行解决；2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．4．知识教学点（1）．掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式；（2）．会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直；（3）．会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。
三、教学重点与难点1．教学重点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。
2．教学难点：异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。
四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。
空间向量的夹角和距离公式
空间向量的夹角和距离公式
cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)
其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，A，和，B，表示向量A和向量B的模。
点乘的计算方法如下：
A·B=A1*B1+A2*B2+A3*B3
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。
模的计算方法如下：
A，=√(A1^2+A2^2+A3^2)
B，=√(B1^2+B2^2+B3^2)
其中，^2表示求平方根的操作。
夹角θ的取值范围是[0,π]，即0到180度。
此外，空间向量的夹角还可以通过向量的叉乘计算。
设有两个三维向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
sinθ = ，A × B， / (，A， * ，B，)
其中，A×B表示向量A和向量B的叉乘。
叉乘的计算方法如下：
A×B=(A2*B3-A3*B2,A3*B1-A1*B3,A1*B2-A2*B1)
其中，A1、A2、A3和B1、B2、B3分别表示向量A和向量B的三个分量。
距离公式：
两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)之间的距离可以通过以下公式计算：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)
其中，^2表示求平方根的操作。
这个公式适用于二维和三维空间的点之间的距离计算。
总结起来，空间向量的夹角可以通过点乘和叉乘计算，距离可以通过
坐标差的平方和再开方计算。
这些公式在物理学、几何学和计算机图形学
等领域有广泛应用。
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做一做： 教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
∴EF―→＝(12，12，－12)，CG―→＝(1,0，12)．
∵EF―→·CG―→＝12×1＋12×0＋(－12)×12＝14，
第二课时 夹角和距离公式
想一想：
1．空间两直线的夹角公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 |a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23，
|b|＝ b·b＝ b21＋b22＋b23， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3， cos 〈a，b〉＝ a21＋a1ab22＋1＋aa232b·2＋b21a＋3bb322＋b32(a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2))． 2．空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
3 2.
∴〈a，b〉＝150°，故选 D.
1．已知 A 点的坐标是(－1，－2,6)，B 点的坐标为(1,2，－6)，O 为坐标原点，则向量 OA―→与 OB―→的夹角是( C )
(A)0 (B)π2 (C)π (D)32π
解析：由题意可得向量 OA―→与 OB―→是共线向量且方向相反，所以向量 OA―→与 OB―→的夹角是 π.
中的一个变量赋予一个特值，即可确定平面的一个法向量．赋的值不同，所求平面的法向量 就不同，但它们是共线向量．
3．应用平面的法向量解决线面平行、面面平行问题 (1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0. (2)若能求出平面 α、β 的法向量 u、v，则要证明 α∥β，只需证明 u∥v.
|AB―→|＝ AB―→·AB―→
＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12， 或 dA，B＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12， 其中 dA，B 表示 A 与 B 两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式． 3．平面的法向量 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α. 如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量．
2．若 A(1，－1,1)，B(－2,0,3)，则|AB―→|的值为( C ) (A) 3 (B) 13 (C) 14 (D)14
解析：AB―→＝(－3,1,2)， ∴|AB―→|＝ －32＋12＋22＝ 9＋1＋4＝ 14，应选 C.
3．下面坐标是平面 xOy 的一个法向量的是( D ) (A)(1,1,0) (B)(1,0,1) (C)(1,0,0) (D)(0,0，－4)
来求异面直线的夹角．
当用几何法求线线角较为困难时，可建立适当的空间直角坐标系，利用向量数量积 的坐
标运算，通过向量的夹角公式来求．
在求两条直线的夹角时，要注意两个向量 a，b 的夹角〈a，b〉与两条直线的夹角 θ 的
区别与联系．空间两个向量夹角范围为[0°，180°]，我们在求空间角例如求异面直线所成的
解析：由法向量的定义，设平面 xOy 内的任一向量为(a，b,0)，其中 ab≠0，则能与向 量(a，b,0)垂直的向量只有(0,0，－4)，故应选 D.
4．若 a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 ______________．
解析：∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＜0， 即 3x－2x＋4＜0 ∴x＜－4.
夹角问题 【例 1】 棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G 分别是 DD1、BD、BB1 的中 点．求 EF―→与 CG―→所成角的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，
则 D(0,0,0)、E(0,0，12)、C(0,1,0)、 F(12，12，0)、G(1,1，12)，
答案：x＜－4
知识要点一：异面直线所成角的求法
1．几何法：即先根据异面直线所成角的定义，在给定的图形中找出或作出角，然后再
加以证明，最后在一个三角形中进行计算．上述过程即“作—证—求”三步．
2．向量法：即利用
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21· x22＋y22＋z22