高一数学《夹角和距离公式》

做一做： 教师备用：已知 a＝(0，－1,1)，b＝(1,2，－1)，则 a 与 b 的夹角等于( D ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)150°
解析：a·b＝0－2－1＝－3，
|a|＝ 2，|b|＝ 1＋22＋1＝ 6，
∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
－3 ＝－ 2· 6
nn··ab＝ ＝00 .
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． (3)方法二必须建立空间直角坐标系，方法一不一定要建立空间直角坐标系． (4)在求平面的法向量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法．
(5)在利用方法二求解平面的法向量时，方程组nn··ab＝ ＝00 有无数多个解，只需给 x，y，z
角时可以在两条异面直线上分别取出两个向量，通过求这两个向量所成的角来求异面直线所
成的角，但需注意异面直线所成角范围(0°，90°]，注意这两个角相互转化时范围的不同．
知识要点二：线段的长度的求法
1．利用 a·a离公式来求．
知识要点三：对平面法向量的理解 1．所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然，一个平面的法向 量有无数多个，它们是共线向量．由于过直线外一点作与已知直线垂直的平面有且只有一个， 因此，在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过 A 的平面是唯 一确定的． 2．求平面法向量的方法 (1)方法一：找到一条与已知平面垂直的直线，则该直线的任意方向向量都是该平面的法 向量． (2)方法二：待定系数法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解，一般步骤如下： ①设出平面的法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． ③根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组
∴EF―→＝(12，12，－12)，CG―→＝(1,0，12)．
∵EF―→·CG―→＝12×1＋12×0＋(－12)×12＝14，
第二课时 夹角和距离公式
想一想：
1．空间两直线的夹角公式 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 |a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23，
|b|＝ b·b＝ b21＋b22＋b23， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3， cos 〈a，b〉＝ a21＋a1ab22＋1＋aa232b·2＋b21a＋3bb322＋b32(a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2))． 2．空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
3 2.
∴〈a，b〉＝150°，故选 D.
1．已知 A 点的坐标是(－1，－2,6)，B 点的坐标为(1,2，－6)，O 为坐标原点，则向量 OA―→与 OB―→的夹角是( C )
(A)0 (B)π2 (C)π (D)32π
解析：由题意可得向量 OA―→与 OB―→是共线向量且方向相反，所以向量 OA―→与 OB―→的夹角是 π.
中的一个变量赋予一个特值，即可确定平面的一个法向量．赋的值不同，所求平面的法向量 就不同，但它们是共线向量．
3．应用平面的法向量解决线面平行、面面平行问题 (1)设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0. (2)若能求出平面 α、β 的法向量 u、v，则要证明 α∥β，只需证明 u∥v.
|AB―→|＝ AB―→·AB―→
＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12， 或 dA，B＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12， 其中 dA，B 表示 A 与 B 两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式． 3．平面的法向量 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α. 如果 a⊥α，那么向量 a 叫做平面 α 的法向量．
2．若 A(1，－1,1)，B(－2,0,3)，则|AB―→|的值为( C ) (A) 3 (B) 13 (C) 14 (D)14
解析：AB―→＝(－3,1,2)， ∴|AB―→|＝ －32＋12＋22＝ 9＋1＋4＝ 14，应选 C.
3．下面坐标是平面 xOy 的一个法向量的是( D ) (A)(1,1,0) (B)(1,0,1) (C)(1,0,0) (D)(0,0，－4)
来求异面直线的夹角．
当用几何法求线线角较为困难时，可建立适当的空间直角坐标系，利用向量数量积 的坐
标运算，通过向量的夹角公式来求．
在求两条直线的夹角时，要注意两个向量 a，b 的夹角〈a，b〉与两条直线的夹角 θ 的
区别与联系．空间两个向量夹角范围为[0°，180°]，我们在求空间角例如求异面直线所成的
解析：由法向量的定义，设平面 xOy 内的任一向量为(a，b,0)，其中 ab≠0，则能与向 量(a，b,0)垂直的向量只有(0,0，－4)，故应选 D.
4．若 a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则 x 的取值范围是 ______________．
解析：∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＜0， 即 3x－2x＋4＜0 ∴x＜－4.
夹角问题 【例 1】 棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G 分别是 DD1、BD、BB1 的中 点．求 EF―→与 CG―→所成角的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，
则 D(0,0,0)、E(0,0，12)、C(0,1,0)、 F(12，12，0)、G(1,1，12)，
答案：x＜－4
知识要点一：异面直线所成角的求法
1．几何法：即先根据异面直线所成角的定义，在给定的图形中找出或作出角，然后再
加以证明，最后在一个三角形中进行计算．上述过程即“作—证—求”三步．
2．向量法：即利用
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21· x22＋y22＋z22