矩阵分解
矩阵分解——精选推荐
矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。
矩阵分解技术
矩阵分解技术
矩阵分解技术是一种数学方法，用于将一个大型矩阵分解成更小的矩阵。
这种技术可以应用于许多领域，例如图像和音频处理、机器学习和数据分析等。
其中最著名的矩阵分解技术是奇异值分解（SVD）。
SVD可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。
这种分解能够捕捉矩阵的主要特征，从而提高数据的压缩和降维效果。
另外，矩阵分解技术还可以应用于推荐系统。
通过将用户评分矩阵分解成用户因子矩阵和物品因子矩阵，可以预测用户对未评分物品的评分值，从而提高推荐的准确性。
矩阵分解技术的应用还在不断扩展和深化，为各领域的研究和应用提供了一种有效的数学工具。
- 1 -。
线性代数中的矩阵分解方法
线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。
一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。
LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。
QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。
QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。
SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。
奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。
特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。
特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。
五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。
矩阵分解方法
矩阵分解方法矩阵分解方法是一种将一个大型矩阵分解成小矩阵的技术。
这种方法在数学、计算机科学、物理和化学等领域都得到了广泛的应用。
本文将介绍这种技术的基本原理、常见方法以及应用案例。
一、基本原理矩阵分解技术的基本原理是将一个大型矩阵分解成小矩阵，这些小矩阵可以更容易地进行计算和存储。
通常情况下，矩阵可以分解成若干个子矩阵的乘积形式，即$A=BC$，其中$A$为大矩阵，$B$为左边的小矩阵，$C$为右边的小矩阵。
二、常见方法1.奇异值分解(SVD)奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个正交矩阵的乘积形式的方法。
其中一个正交矩阵包含了原矩阵的奇异值，而另外两个正交矩阵则包含了原矩阵的左右奇异向量。
这种方法在数据降维、信号处理、模式识别等领域得到了广泛的应用。
2.QR分解QR分解是一种将一个矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。
这种方法在线性代数、统计学、数值分析等领域得到了广泛的应用。
3.LU分解LU分解是一种将一个矩阵分解成一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。
这种方法在求解线性方程组时得到了广泛的应用。
三、应用案例1.推荐系统推荐系统是一种基于用户历史行为和偏好的算法，通过对用户喜好和商品特征进行分析和预测，为用户推荐最可能感兴趣的商品。
矩阵分解技术可以对用户行为和商品特征进行分解，从而得到用户和商品的隐含特征向量，从而更好地实现推荐。
Netflix prize就是一个基于矩阵分解技术的推荐系统竞赛。
2.图像处理图像处理是一种将数字信号处理与计算机视觉相结合的技术。
在图像处理中，矩阵分解技术可以将图像矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现图像处理和压缩。
3.自然语言处理自然语言处理是一种将人类语言转化为计算机可处理的形式的技术。
在自然语言处理中，矩阵分解技术可以将句子矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现语言模型训练和文本分类。
综上所述，矩阵分解方法具有广泛的应用价值和理论意义，在学术界和工业界都得到了广泛的关注和应用。
矩阵分解稀疏矩阵
矩阵分解稀疏矩阵
矩阵分解是将一个矩阵分解为多个较小矩阵的过程。
稀疏矩阵是指大部分元素为0的矩阵。
在矩阵分解中，如果原始矩阵是稀疏矩阵，可以采取特殊的方法来处理。
一种常用的稀疏矩阵分解方法是SVD（奇异值分解）。
SVD
将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：U、S和V。
其中，U和
V是正交矩阵，S是对角矩阵，对角线上的元素被称为奇异值。
在稀疏矩阵分解中，可以限制奇异值的数量，从而保留最重要的特征，进一步减少稀疏矩阵的维度。
另一种常用的稀疏矩阵分解方法是NMF（非负矩阵分解）。
NMF将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积：W和H。
NMF的优势在于可以保证分解后的矩阵元素非负，适用于处
理非负数据，如图像和文本数据。
除了SVD和NMF外，还有其他一些方法可以用于稀疏矩阵
分解，如PCA、LDA等。
这些方法都可以根据实际问题的特
点选择合适的方法来进行稀疏矩阵的分解。
第3章 矩阵的分解
2,正规矩阵的基本特性 定理3 .78 定理3.10 (P.78 ) : A∈Cn×n正规A酉相似于对角形. 正规 酉相似于对角形.
推论:正规A 推论:正规A∈Cn×nA有n个标准正交的特征 向量构成空间C 的标准正交基. 向量构成空间Cn 的标准正交基.
定理3 11( .80 )(正规矩阵的谱分解 定理3.11(P.80 )(正规矩阵的谱分解) 正规矩阵的谱分解) Hermite A正规A有如下谱分解: 正规 有如下谱分解: 性
已知:欧氏空间中的对称矩阵A 已知:欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形. 相似于对角形. 讨论:一般方阵A 讨论:一般方阵A ,在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵? 酉相似于对角矩阵? 在内积空间中讨论问题,涉及: 在内积空间中讨论问题,涉及:
空间 Cn, Cn×n, 酉矩阵U 酉矩阵U,UHU=I, U – 1=UH U=I, 酉相似: 酉相似: UHAU=J U–1 AU=J 重点: 重点:理论结果
三角分解 满秩分解 等价标准形 相似标准形
可对角化矩阵的谱分解
一,矩阵的三角分解
方阵的LU和LDV分解 方阵的LU和LDV分解(P.61) 分解( .61
LU分解:A∈Fn×n, 存在下三角形矩阵L , LU分解: 存在下三角形矩阵L 分解 上三角形矩阵U 使得A=LU. 上三角形矩阵U ,使得A=LU. LDV分解 LDV分解:A∈Fn×n, L,V分别是主对角线 分解: 元素为1的下三角形和上三角形矩阵, 元素为1的下三角形和上三角形矩阵,D为 对角矩阵,使得A=LDV. 对角矩阵,使得A=LDV. 已知的方法:Gauss已知的方法:Gauss-消元法 例题1 .61eg1 例题1 (P.61eg1)设 2 2 3
A∈C m×n,AHA∈C n×n,AAH∈C m×m , A 都是Hermite矩阵 矩阵. 都是Hermite矩阵. 定理3 12 定理3.12(P.82)
矩阵论矩阵的分解
对称和反对矩称矩阵阵：A，T=A，则AT=A–A。可以分解为下列半正定矩阵的和。
A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH
§3.2 Schur 分解和正规矩阵
已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交
相似于对角形。
讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以
酉相似于对角矩阵？
在内积空间中讨论问题，涉及：
空间 Cn、 Cnn， 酉矩阵U，UHU=I， U – 1=UH 酉相似： UHAU=J U–1 AU=J 相似关系
在内积空间中讨论问题，涉及：
Hermite 矩阵的谱分解 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解
相似于对角形。
例题3 设A Rn n，AT=–A，证明
定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite 则A的谱={ 1， 2， ， s}。
74 ）对矩阵A Cn n，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得
nn LU分解：A Fn n， 有下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。
2 Schur 分解和正规矩阵
推论：正规AC A有个标准正交的特征向 1 常见的矩阵标准形与分解
证明：源于Schmidt正交化方法（P.
nn
量构成空间C 的标准正交基。 UHAU=T=
n
矩阵化简的方法与矩阵技术
定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） 1 常见的矩阵标准形与分解
方阵的LU和LDV分解（P.61）
LU分解：AFnn， 有下三角形矩阵L ，上 三角形矩阵U ，使得A=LU。
LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线 元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为 对角矩阵，使得A=LDV。
已知的方法：Gauss-消元法
矩阵分解的物理意义
矩阵分解的物理意义矩阵分解是线性代数中一个非常重要的概念，它在许多实际应用中都有着广泛的应用。
然而，矩阵分解的物理意义并不总是显而易见。
在本文中，我们将讨论矩阵分解的物理意义，并探索它在物理学中的应用。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《矩阵分解的物理意义》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《矩阵分解的物理意义》篇1首先，让我们考虑矩阵分解的最基本形式：LU 分解。
LU 分解将一个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U，使得A=LU。
这个分解在许多实际应用中都有着重要的作用，例如在数值计算中求解线性方程组。
LU 分解的物理意义可以解释为：将一个线性变换表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
这个线性变换可以看作是一个物理系统中的变换，而 LU 分解则提供了一种简单的方法来描述这个变换。
具体来说，假设我们有一个线性变换 A，它将一个 n 维向量 x 映射到一个 m 维向量 y。
那么，我们可以将这个变换表示为一个 n ×n 的矩阵 A，其中第 i 行第 j 列的元素表示将第 i 个基向量映射到第 j 个基向量的系数。
现在，我们可以通过 LU 分解将这个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U，使得 A=LU。
下三角矩阵 L 表示了一个线性变换中的“位移”部分，它将一个基向量映射到另一个基向量，但不改变基向量的长度。
上三角矩阵 U 表示了一个线性变换中的“旋转”部分，它将一个基向量映射到另一个基向量，并改变基向量的长度。
在物理学中，LU 分解也有着广泛的应用。
例如，在力学中，LU 分解可以用来描述物体的运动和力学系统的变化。
下三角矩阵 L 可以表示物体的位移，而上三角矩阵 U 可以表示物体的旋转。
此外，LU 分解还可以用于计算机视觉中，用于求解图像处理中的线性方程组。
此外，矩阵分解还有另一种形式：QR 分解。
QR 分解将一个矩阵A 分解成一个正交矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R，使得 A=QR。
矩阵的分解
§1 矩阵的三角分解
一、n 阶方阵的三角分解
定义 1
正线上三角阵
a11 a12 0 a 22 R 0 0
a1n a2 n ann
单位上三角阵
1 a12 0 1 R 0 0
a1n a2 n 1
( i 1,2,, k )
的解空间Vi 称为A的对应于特征值 i的特征
空间，则Vi 的维数称为 A的特征值i的
几何重复度 定义 3 若矩阵A的每个特征值的代数重 复度
与几何重复度相等，则 称矩阵A为单纯矩阵
定理6 设 A C nn是单纯矩阵，则 A可分解
为一系列幂等矩阵 Ai (i 1,2,, n)的加权和，
a1 , a2 , , an 线性无关
正交化、单位化
a1 1 || a1 || i 1 ai ( ai , j ) j j 1 i i 2, 3, , n i 1 || ai (ai , j ) j || j 1
9 16 5 16
§2 矩阵的谱分解
一、单纯矩阵的谱分解
定义 1 设 1 , 2 ,, k 是 A C nn 的相异特征值，
其重数分别为 r 1 , r 2 ,, rk , 则称 ri 为矩阵A的特
征值i的 代数重复度
定义 2 齐次方程组 Ax i x
的最大秩分解 .
~
2 1 3 4
2 1 3 4
解:
A
1 0 0 0
3 9 0 16 16 7 5 1 16 16 0 0 0 0 0 0
9 16 5 ~ A 16 0 0
第4章-矩阵分解
于是存在 m 阶可逆矩阵 P ，使得 PA B 或者 A P1B ． 将 P 1
分块为 P 1 (F , S ) ，其中
F C mr 且 rankF r ， S C m(mr) 且 rankS m r ，
则有
A P1B (F, S)G0 FG， 其中 F 是列满秩矩阵， G 是行满秩矩阵．
若 k 0 ，就取 k
1
kH k
k ，（ k
2,3,n) ．
可以验证 1, 2 , n 为“正交向量组”，且每个向量或为零向量， 或为单位向量．而且每个 j 是1, 2 j 的线性组合．反过来上述作 法也保证了每个 j 是 1 , 2 j 的线性组合．因此存在复数 rij 使得
P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 称为置换矩阵，这里 j1 j2 jn 是1,2,, n 的一个全排列．
0 0 1 0
例如，矩阵
P
(e3
,
e4
,
e1
,
e2
)
=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 0 0
就是一个
4
阶置换
矩阵．
置换矩阵 P (e j1 , e j2 ,, e jn ) 有如下一些性质： （1） P 是正交矩阵； （2）对任意 A C mn ， AP 是将 A 的列按 j1 , j2 ,, jn 的次序
1
P
1
A
P
0
r12 2
r n11n 1
r
n2 2n
n
0
b12
2
b1n
b2n
，
n
对给定的 0 ，可选择 r ，使得 bij 成立． 1i jn
矩阵乘法分解
矩阵乘法分解
矩阵乘法分解通常指的是将一个矩阵分解成两个或多个矩阵的乘积。
常见的矩阵乘法分解有 LU 分解、QR 分解和奇异值分解（SVD）等。
以下是其中几种常见的矩阵乘法分解方法：
1. LU 分解（LU Decomposition）:
LU 分解将一个矩阵拆分为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积。
这种分解对于解线性方程组和矩阵求逆等问题很有用。
假设有矩阵 A，LU 分解可以表示为 A = LU。
2. QR 分解（QR Decomposition）:
QR 分解将一个矩阵拆分为一个正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵（R）的乘积。
这种分解对于求解最小二乘问题等有很好的应用。
假设有矩阵 A，QR 分解可以表示为 A = QR。
3. 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）:
SVD 将一个矩阵拆分为三个矩阵的乘积，分别是一个正交矩阵（U）、一个对角矩阵（Σ）和另一个正交矩阵（V^T）。
SVD 在降维、图像压缩等领域有广泛应用。
假设有矩阵 A，SVD 分解可以表示为 A = UΣV^T。
这些分解方法都有各自的应用场景和优势。
矩阵乘法分解在数值计算、线性代数和机器学习等领域都有广泛的应用，可以帮助简化复杂的计算问题。
矩阵分解应用
矩阵分解应用矩阵分解是一种将一个矩阵拆分为多个子矩阵的数学方法，它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍矩阵分解在推荐系统、图像处理以及数据压缩领域的应用。
一、推荐系统中的矩阵分解推荐系统是指根据用户的历史行为和偏好，为用户提供个性化的推荐信息。
矩阵分解可以用于推荐系统中的协同过滤算法，通过分解用户-物品评分矩阵，将其拆分为用户特征矩阵和物品特征矩阵。
通过计算用户特征矩阵和物品特征矩阵的乘积，可以预测用户对未评分物品的喜好程度，从而进行个性化推荐。
二、图像处理中的矩阵分解图像处理中的矩阵分解主要应用于图像压缩和图像恢复。
在图像压缩中，矩阵分解可以将原始图像矩阵拆分为低秩近似矩阵和稀疏矩阵。
低秩近似矩阵包含图像的主要信息，而稀疏矩阵包含图像的噪声和细节信息。
通过保留低秩近似矩阵，可以实现对图像的高效压缩。
在图像恢复中，矩阵分解可以通过拆分观测矩阵和字典矩阵，利用稀疏表示的方法对图像进行重建，从而实现对图像的修复和增强。
三、数据压缩中的矩阵分解数据压缩是指对原始数据进行编码和压缩，以减少存储空间和传输带宽的需求。
矩阵分解可以应用于数据压缩中的矩阵压缩算法。
通过将原始数据矩阵拆分为低秩近似矩阵和稀疏矩阵，可以利用低秩近似矩阵的低维表示来压缩数据。
同时，稀疏矩阵的稀疏性质可以进一步压缩数据，减少存储和传输的开销。
矩阵分解在推荐系统、图像处理以及数据压缩领域都有重要的应用。
通过将原始矩阵拆分为多个子矩阵，可以提取出矩阵的主要信息，从而实现个性化推荐、图像压缩和数据压缩等功能。
矩阵分解为这些领域提供了一种有效的数学工具，为相关技术的发展和应用提供了基础。
随着数据量的不断增加和应用场景的多样化，矩阵分解的应用将会越来越广泛，对于提高系统性能和用户体验具有重要意义。
《矩阵的分解》课件
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
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矩阵分解公式
矩阵分解公式摘要：一、矩阵分解公式简介1.矩阵分解的定义2.矩阵分解的意义二、矩阵分解的几种方法1.奇异值分解（SVD）2.谱分解（eigenvalue decomposition）3.非负矩阵分解（NMF）三、矩阵分解在实际应用中的案例1.图像处理2.信号处理3.数据降维四、矩阵分解的发展趋势和挑战1.高维数据的处理2.矩阵分解算法的优化3.新型矩阵分解方法的研究正文：矩阵分解公式是线性代数中一个重要的概念，它涉及到矩阵的诸多操作，如矩阵的乘法、求逆、迹等。
矩阵分解的意义在于将一个复杂的矩阵简化为易于处理的形式，从而便于进行矩阵运算和数据分析。
本文将介绍几种常见的矩阵分解方法，并探讨它们在实际应用中的案例和发展趋势。
首先，我们来了解一下矩阵分解的定义。
设A是一个m×n的矩阵，矩阵分解就是将A表示为若干个矩阵的乘积，即A = UΣV*，其中U是m×m的酉矩阵（满足UU* = I），Σ是m×n的非负实对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值，V是n×n的酉矩阵（满足VV* = I），V*是V的共轭转置。
通过矩阵分解，我们可以得到矩阵A的秩、奇异值、特征值等信息。
矩阵分解有多种方法，其中较为常见的有奇异值分解（SVD）、谱分解（eigenvalue decomposition）和非负矩阵分解（NMF）。
奇异值分解是将矩阵A分解为三个矩阵的乘积：UΣV*，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵。
谱分解是将矩阵A分解为两个矩阵的乘积：A = UΣV*，其中U和V是酉矩阵，Σ是对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
非负矩阵分解是将矩阵A分解为两个非负矩阵的乘积：A = WH，其中W和H都是非负矩阵。
矩阵分解在实际应用中有着广泛的应用，尤其在图像处理、信号处理和数据降维等领域。
在图像处理中，矩阵分解可以用于图像压缩、去噪和特征提取等任务。
在信号处理中，矩阵分解可以用于信号降噪、特征提取和频谱分析等任务。
矩阵的标准型分解课件
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02
矩阵的分解与变换
2.矩阵的变换
例2・4一3
z=[l+2i,3+4i;5+6i,7+8i] z1=zr z2=conj(z) z3=conj、列扩展
a=[1,2,3; 4,5,6;7,8,9] 行扩展：a(4,3)=6.5
a(5,:)=[5,4,3] 列扩展：a(:,4)=[5;4;3;2;1]
矩阵的分解与变换
o Z ^3*5
主要内容
矩阵的分解 矩阵的变换
1.矩阵的分解
等三角分解(方阵):[l,u]=lu(a) 等
正交分解：[q,r]=qr(a) a(n,m) q： n阶正交方阵 r：与a同阶的上三角矩阵
1.矩阵的分解
等奇异值分解：[u,s,v]=svd(a)
u： n阶正交方阵 s： nXm阶的对角阵，对角线元素为a
的奇异值，长度为n、m的较小者 v： m阶正交方阵
2.矩阵的变换
♦矩阵的共轭转 置：，
♦矩阵的共W：
conj
♦矩阵的转
置:conj'
2.矩阵的变换
复数矩阵的赋值
♦对元素逐个赋值：
z=[l+2i,3+4i;5+6i,7+8i]
♦对实部和虚部矩阵分别赋值：
z=[l,3;5,7]+[2,4;6,8]*i 注意：只有数字和i的乘积可省略 乘号。
矩阵分解算法原理
矩阵分解算法原理
矩阵分解算法是一种常用的数据分析技术，它可以将大型矩阵分解成较小的子矩阵，从而简化数据处理和分析的难度。
矩阵分解算法的原理基于矩阵的奇异值分解和矩阵图像压缩技术，通过数学模型和算法实现数据降维和特征提取，从而提高数据分析的效率和准确性。
在矩阵分解算法中，常用的分解方法有主成分分析(PCA)、奇异值分解(SVD)、非负矩阵分解(NMF)等。
其中，PCA通过线性变换将高维数据转换为低维数据，实现数据降维和特征提取；SVD则将矩阵分解成三个矩阵的乘积，从而提取矩阵的奇异值和特征向量；NMF则将非负矩阵分解成两个非负矩阵的乘积，从而实现数据的聚类和特征提取。
矩阵分解算法在数据挖掘、机器学习、图像处理和推荐系统等领域具有广泛的应用，例如在推荐系统中，可以通过矩阵分解算法实现用户对物品的评分预测和推荐，从而提高用户体验和商业价值。
此外，矩阵分解算法还可以应用于信号处理、文本挖掘、模式识别等领域，为大数据时代提供了强有力的工具和方法。
- 1 -。
矩阵的分解及简单应用
矩阵的分解及简单应用矩阵的分解是对矩阵的一种操作和处理，可以将矩阵拆分成不同形式的矩阵。
矩阵的分解可以被广泛地应用于各种领域中，包括机器学习、信号处理、图像处理等。
在本文中，我们将介绍矩阵的分解以及其简单应用。
1. 矩阵的分解矩阵的分解可以分为以下几种：1.1 LU分解LU分解是一种矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。
这种分解方法可以用于解线性方程组、求矩阵的逆和计算行列式等。
LU 分解的思路是通过高斯消元的方法将矩阵化为上三角矩阵，再将对角线以上的元素置0。
这样做是为了加速计算过程，比如在解线性方程组时，可以只用求解两个三角矩阵的乘积，而不需要进行高斯消元。
1.2 QR分解QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵乘上上三角矩阵的方法。
这种分解方法可以用于求解矩阵的特征值和特征向量、计算最小二乘问题、求解线性方程组等。
QR分解的基本思路是通过对一个矩阵进行正交变换，使得其变为上三角矩阵。
这个正交变换也可以表示为一个正交矩阵的乘积，这样就可以将原始矩阵分解为正交矩阵乘上上三角矩阵的乘积。
1.3 奇异值分解奇异值分解（singular value decomposition, SVD）是一种广泛应用于矩阵分解的方法。
SVD将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别是一个正交矩阵、一个含有奇异值的矩阵和另一个正交矩阵的转置。
SVD可以用于特征提取、图像压缩、推荐系统等方面。
2. 矩阵分解的应用矩阵的分解可以广泛应用于各种领域中，包括以下几个方面。
2.1 机器学习在机器学习中，矩阵的分解被广泛应用于推荐系统中。
推荐系统的目标是预测用户对商品的喜好或评分，并根据这些信息为用户推荐商品。
通过对用户与商品评分矩阵进行奇异值分解或因子分解，可以得到用户和商品的隐含特征，从而较准确地预测用户对商品的评分。
2.2 信号处理在信号处理领域中，矩阵的分解被广泛应用于降噪滤波、雷达信号处理、图像处理等方面。
矩阵分解的几种形式
矩阵分解的⼏种形式就⽬前我总结到的矩阵分解有三种形式：矩阵对⾓化分解奇异值分解乔⾥斯基(Cholesky)分解下⾯分别简单介绍上⾯三个分解算法：1. 对⾓化分解：定义：⼀个n*n矩阵A如果可以写为X-1AX=D,其中x是可逆矩阵，D为对⾓矩阵，那么我们说A可以对⾓化。
定理：如果⼀个矩阵可以对⾓化分解，那么A的n个特征向量就⼀定线性独⽴，反过来也成⽴。
性质：A n=XD n X-1 这是⼀个⾮常重要的性质，它和随机过程，马尔科夫过程有紧密的联系。
我们熟知的PageRank算法中就应⽤了矩阵的对⾓化分解。
2. 奇异值分解⼤家知道奇异值分解师应⽤最⼴的⼀个数学模型，在特征提取，图⽚压缩，主成因分析等都⽤到了奇异值分解。
定义: 如果⼀个m*n矩阵A能够分解为A=UBV T的形式,其中U矩阵式m*m格式的标准化正交矩阵，V是n*n的标准化的正交矩阵，B是m*n的对⾓矩阵。
奇异值⼀个重要的应⽤就是矩阵的近似表达。
上⾯定义中的矩阵B的对⾓值就是我们说的奇异值a1>=a2>=a3>=...>=a n,如果A的rank为r,那么a1>=a2>=a3>=...>=a r>0, a r+1=a r+2=...=a n=0;将上⾯n-r部分的奇异值去掉，A=U1B1V1T那么矩阵A就能够得到简化.如果将上⾯的a r设置为0得到矩阵A',那么||A'-A||F=a r这个值⽐较⼩，所以可以⽤A'近似表达A，这就是图⽚压缩的原理。
3. 乔⾥斯基(Cholesky)分解介绍乔⾥斯基分解之前先介绍正定矩阵，正定矩阵在⼆次优化中有重要作⽤，通过正定矩阵我们可以求⼆次多项式的最⼤，最⼩或者鞍点。
定义：如果对于所有的x，x T Ax>0那么A是正定矩阵，对应的⼆次多项式有最⼩值； 如果对于所有的x, x T Ax>=0那么A是半正定矩阵，对应⼆次多项式有最⼩值； 如果对于所有的x，x T Ax<0那么A是负定矩阵，对应⼆次多项式有最⼤值； 如果对于所有的x，x T Ax<=0那么A是半负定矩阵，对应⼆次多项式有最⼤值；如果x T Ax的符号不确定，那么不能判断⼆次多项式的极值情况。
矩阵分析
命题:用初等行变换可把A 变为: 命题:用初等行变换可把A∈Crm×n,变为:
Er 0 1 0 = 0 * 1 ⋱ 1 * * * * * * *
设A∈Crm×n的前列线性无关
证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘 因前r列线性无关, 可使A (1,1)元 0.再用第二类初等矩阵左 可使A的(1,1)元≠0.再用第二类初等矩阵左 乘可使a =1;最后用若干第三类初等矩阵左 乘可使a11=1;最后用若干第三类初等矩阵左 乘可使A的第一列=e 因前2列线性无关, 乘可使A的第一列=e1.因前2列线性无关,故 新的第2列与e 不线性相关且≠0,故用第一类 新的第2列与e1不线性相关且≠0,故用第一类 行变换可使(2,2) (2,2)元 0,…可使 的第2 可使A 行变换可使(2,2)元≠0, 可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元。 此时空白处必为0 .可使A的第r
-1 Er ( E A =P
Er B=P-1 0
, C= (Er 0) Q-1 满足所要求的条件. 满足所要求的条件.
0
r
0)
Q-1 = BC
,其中 ,其中
教本pp.183 184给出的证明 pp.183给出的证明. 比较:教本pp.183-184给出的证明.
1 ⋱ 1 k ⋱ 1 ⋱ 1
1
初等变换与初等矩阵性质 初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 可逆的 0) ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变 ,P
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1 1 A 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1
0 2 1 2 4 5 1 6 5 2 2 8 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0
0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0
0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 2 5 0 0 0
0 2 1 1 1 2 ~ LU 0 1 1 0 0 1
0 2 0 0 ~ 继续分解成 LD 得出: 1 1 0 2 2 5
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和求解联立方程组。
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假定我们能把矩阵 A写成下列两个矩阵相乘的
形式： LU 其中L为下三角矩阵， 为上三角矩阵。 A U
这样,我们可以把线性方程组 Ax b 写成 Ax ( LU ) x L(Ux ) b
令 Ux y ,则原线性方程组 Ux y Ax b Ly b 于是可首先求解向量 然后求解Ux y ,
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例 1 求下列矩阵的正交三角分解
1 1 A 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
解答:容易判断出 A C343 即 A 是一个列满秩矩 阵。按照定理的证明过程， 将A 1 2 3 的三个列向量正交化与单位化 先得到一个正交向量组:
l43 a43 u13l41 u23l42 2
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l44 5
1 1 A 2 1 1 1 将L 2 1
0 2 1 1 1 2 4 5 1 6 5 2 2 2 8 1 0 0
mn
，那么存在 B Cr
m r
, C Cr
r n
使得： A BC 其中 B 为列满秩矩阵， C 为行满秩矩阵。我们成 此分解为矩阵的满秩分解。
Ir D 证明：假设矩阵 A 的前 r 个列向量是线性无关的， 0 0 对矩阵 A 只实施行初等变换可以将其化成
r
[1 , 2 ,, m ] [ 1 , 2 ,, m ]R 一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正
由前面学的定理有： A (1 , 2 ,, r ) R
U (1 , 2 ,, r ) ,则 U H U I 记:
于是: A UR , U U rnr,下面证明分解是唯一的
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
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第 四 章
矩阵的分解
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§4.1矩阵的三角分解
三角分解法是将原正方 (square) 矩阵分解
成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上 三角形矩阵 和一个 下三角形矩阵，这样的分 解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一 个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，
~
证明:
~ A LU
~ 设: A LU
~ L ( l ij )nn , ( l ij 0 , i j )
U ( uij )nn , ( uij 0 , i j )
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~ 思 路 通过比较法直接导出 L 和 U 的计算公式。
y 使 Ly b
从而达到求解线性方程组 Ax b 的目的.
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定义：设 A C nn若 使得: A 其中:
L C
nnபைடு நூலகம்
U C
nn
LU 称 A可以作三角分解
u1 n u2 n unn
u11 u12 l11 u22 l21 l22 U L ln1 ln 2 lnn
T T
1 1 1 3 1 2 2 3 3
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再将其单位化，得到一组标准正交向量组
2 1 1 1 2 1 6 2 2 2 6 1 3 3 3 3 6 1 2 2 6 6 3 6 0 0 6 3 3 6
1 1 2 1
0 2 1 l11 l 2 4 5 21 1 6 5 l 31 2 2 8 l41
0 l 22 l 32 l42
0 0 l 33 l43
0 1 u12 0 0 1 0 0 0 l44 0 0
u13 u23 1 0
u14 u24 u34 1
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由此: l11 1, l 21 1, l 31 2, l41 1
l11u12 0 u12 0 , u13 2, u14 1 l 21u12 l 22 2 l 22 2 l 21u12 2
酉阵的集合记为： rnr (U rr n ) U
定理1： A 是次酉阵当且仅当 A 的列（行）为标
准正交向量组。
A C rnr ，那么 定理2: 设
称为A的UR分解
A 可唯一地分解为
A UR
其中：U U rnr ， R 为正线上三角阵
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0 2 1 1 1 2 ~ ~ L DU 0 1 1 0 0 1
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§4.2 矩阵的QR分解
定义1: 设 A C rnr (C rrn ) ,若 A H A I ( AAH I )
则称 A 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次
T
0
T
3 2
T
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这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系
可表示成
1 21
6 2 2 2 1 2 2 2 3 6 2 3 3 2 1 3 6 2
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将上面的式子矩阵化，即为
A 1 2 0 0
2
2 2 6 2 0
3 1 2
2 2 6 UR 6 2 3 3
3
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练习: 求下列矩阵的正交三角分解
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n 定理 : A Cn n可作唯一三角分解 A LU 的充要条件为:
k 0 k 1, 2,, n
其中: k det Ak 为 A 的顺次主子式 记:
1 l 21 ~ L . l n1 1 ... ... 1
ˆ ˆ ˆ ˆ 于是: U 1U InnRR 1 I ,从而 U U , R R 推论2: 设 A C n ，那么 A 可唯一地分解为 r n 推论1: 设 A C r A UR 可唯一地分解为 ，那么 A
A n ， 其中：U U n nLU R为正线上三角阵 U U rr n ， L 为正线下三角阵 其中：
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1 1 1 1 0 0
T
( 2 , 1 ) 1 2 2 1 2 1 (1 , 1 ) 2 1 2 1 1 0 2 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 2 3 1 2 (1 , 1 ) ( 2 , 2 ) 1 3 1 1 3
a11 a12 a a 21 22 A a n1 a n 2
a1n 1 a2 n l 21 1 ann l n1 1
min( i , j )
u11 u12 u22
D 为对角阵
定理:(Cholesky分解 ) 正定的Hermite矩阵 A 可唯一的分解为:
A LL
H
其中, L 为正线下三角,即对角线的元素均为正的
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~ ~ 分解 例1:求A的Crout分解和 L DU
解答:设 A LU ,即:
1 0 2 1 1 2 4 5 A 2 1 6 5 1 2 2 8
1 u12 1 ~ U
u1 n u2 n 1
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~ 则 A LU 为 Crout 分解 ~ 而 A L U 为 Doolittle 分解
L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称 为Crout 分解。 ~ L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的分解 称为Doolittle分解
4 u13l 21 u23 1 l 22
l 32 a32 u12l 32 1 0 1 l 33 a33 u13l 31 u23l 32 1
a34 l 31u14 l 32u24 u34 1 l42 a42 u12l41 2 l 33
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ˆˆ 假设: A UR UR,那么有: ˆ ˆ U 1U RR 1
ˆ ˆ 注意到 U 1U AT C rrn ,,则 AT UR 1 U U rnr 证明:因为 仍是酉矩阵，而 RR , 是一个正线 上三角矩阵，因此有:U T U rn 所以, A RT U T , r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (U 1U )(U 1U ) H (U 1U )U H (U 1 ) H U 1U I