最新人教版高中数学选修4-1《直角三角形的射影定理》课堂探究

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人教A版高中数学选修4-1 第一讲四直角三角形的射影定理课件(共16张PPT)最新课件

BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
由(1)(2)(3)反应出直角三角形两直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系.
知识要点
射影定理：
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角形的个数？
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
课堂小结
射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
很重要！
随堂练习
1.已知：Rt△ABC,CD是斜边AB上的高， CD=4,BD=2,
求:AD、AB、AC、BC.
A
解：根据射影定理：CD2=AD·BD
∴AD=16÷2=8. ∴AB=AD+BD=10.
新课导入
阳光照射下，物体都有影子！
观察
A
M
A′
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
A在MN的射影在哪？
探讨
B
A
思
M
N
考
线段AB在直线MN上的射影又是什么呢？
教学目标
知识与能力
1．掌握直角三角形的射影定理. 2．能够利用射影定理求解线段的长.

高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案新人教A版选修41

四直角三角形的射影定理1.了解射影定理的推导过程．课标解读2.会用射影定理进行相关计算与证明.1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言如图1－4－1，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD.AC2＝AD·AB.BC2＝BD·AB.1．如何使用射影定理？【提示】运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．2．如何用射影定理证明勾股定理？【提示】如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则由射影定理可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，则AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2，即AC2＋BC2＝AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．证明如下：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC 为直角三角形．与射影定理有关的计算已知：CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长．【思路探究】先根据AC ∶BC 与AD ∶BD 之间的关系求出AD ∶BD 的值；再根据斜边AB 的长及AD ∶BD 的值分别确定AD 与BD 的值．最后由射影定理CD 2＝AD ·BD ，求得CD 的长．【自主解答】 (1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2， ∴AD BD ＝(AC BC )2＝(34)2＝916，即AD ∶BD ＝9∶16.(2)∵AB ＝25 cm ，AD ∶BD ＝9∶16， ∴AD ＝925×25＝9(cm)．BD ＝1625×25＝16(cm)，∴CD ＝AD ·BD ＝9×16＝12(cm)．1．解答本题(1)时，关键是把AD BD 转化为(AC BC)2.2．解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度．在解题时，要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的．图1－4－2如图1－4－2，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．【解】∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD、AC、BC的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.与射影定理有关的证明图1－4－3已知如图1－4－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：CD3＝AE·BF·AB.【思路探究】∠ACB＝90°，CD⊥AB→CD2＝AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.【自主解答】∵∠BCA＝90°，CD⊥BA，∴CD2＝AD·BD.又∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴AD 2＝AE ·AC ，BD 2＝BF ·BC ，∴CD 4＝AD 2·BD 2＝AE ·AC ·BF ·BC ＝AE ·BF ·AC ·BC . 而S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD 4＝AE ·BF ·AB ·CD . 即CD 3＝AE ·BF ·AB .1．解答本题的关键是利用S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD 进行转化．2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．在本例条件不变的情况下，求证：DE 3DF 3＝AEBF.【证明】根据题意可得，DE ＝CF ，CE ＝DF ，DE 2＝AE ·CE ， DF 2＝BF ·CF ，∴DE 2·BF ·CF ＝DF 2·AE ·CE ， ∴DE 3·BF ＝DF 3·AE ，即DE 3DF 3＝AE BF.(教材第22页习题1.4第1题)在△ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，已知CD ＝60，AD ＝25，求BD ，AB ，AC ，BC 的长．(2013·商丘模拟)如图1－4－4，已知Rt △ABC 的两条直角边AC 、BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝______cm.图1－4－4【命题意图】本题主要考查直角三角形的射影定理及运算求解能力．【解析】连接CD ，则CD ⊥AB . 由AC ＝3cm ，BC ＝4cm 得AB ＝5cm. 由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，即42＝5BD . 所以BD ＝165cm.【答案】1651. 如图1－4－5，在Rt △ABC 中，AC ⊥CB ，CD ⊥AB 于D 且CD ＝4，则AD ·DB ＝( ) A ．16 B ．4 C ．2 D ．不确定图1－4－5【解析】由射影定理AD ·DB ＝CD 2＝42＝16. 【答案】 A2．已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BC ＝15 cm ，BD ＝3 cm ，则AD 的长是( )A ．5 cmB ．2 cmC ．6 cmD ．24 cm【解析】 ∵BC 2＝BD ·AB ， ∴15＝3AB ，即AB ＝5， ∴AD ＝AB －BD ＝5－3＝2(cm)．【答案】 B3. 如图1－4－6所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则AC ＝________.图1－4－6【解析】由CD 2＝BD ·AD 得AD ＝43，∴AB ＝BD ＋AD ＝3＋43＝133，∴AC 2＝AD ·AB ＝43×133＝529，∴AC ＝2313.【答案】 21334．一个直角三角形两条直角边的长分别为1 cm 和 5 cm ，则它们在斜边上的射影比为________．【解析】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝1 cm，BC＝ 5 cm，∵AC2＝AD·AB＝1，BC2＝BD·AB＝5，∴ADBD＝15.【答案】1∶5一、选择题1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是( ) A．3∶2 B．9∶4C.3∶ 2D.2∶ 3【解析】如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.∴ACBC＝1510＝32，即AC∶BC＝3∶2，故选C.【答案】 C 2.图1－4－7如图1－4－7所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6B ．3 2C ．18D ．3 6【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧AD DB ＝12，AD ·DB ＝36，∴AD 2＝18， ∴AD ＝3 2. 【答案】 B3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD等于( ) A.34 B.43 C.169 D.916【解析】如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC ，∴AC 2AB 2＝CD BD ＝(34)2，即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169. 【答案】 C4．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD ＝1：4，则tan ∠BCD 的值是( )A. 14B.13C.12D ．2 【解析】如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ：AD ＝1：4，令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)． ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x ，在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 【答案】 C 二、填空题图1－4－85．如图1－4－8，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥AB .DE ∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，则对角线BD 的长为________．【解析】 ∵OF ＝a ， ∴AD ＝2a ， ∵AE ⊥BD ， ∴AD 2＝DE ·BD .∵DE ∶EB ＝1∶3，∴DE ＝14BD ，∴AD 2＝14BD ·BD .∴BD 2＝4AD 2＝4×4a 2＝16a 2，∴BD ＝4a . 【答案】 4a6．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．【解析】如图，过C 点作CE ⊥AB 于E .在Rt △ACB 中，∵AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ， ∴BC ＝8 cm ，∴BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm. ∴CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)， ∴AD ＝4.8 cm.又∵在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ， ∴DC ＝AE ＝3.6 cm.∴S 梯形ABCD ＝10＋3.6×4.82＝32.64(cm 2)．【答案】 32.64 cm 2三、解答题7．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【解】 (1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48.又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ，∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2，解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF ⊥AB 于F ，∴AC 2＝AF ·AB ， ∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.图1－4－98．如图1－4－9，Rt △ABC 中有正方形DEFG ，点D 、G 分别在AB 、AC 上，E 、F 在斜边BC上，求证：EF2＝BE·FC.【证明】如图，过点A作AH⊥BC于H.∴DE∥AH∥GF.∴DEAH＝BEBH，GF AH ＝FC CH.∵DE·GFAH2＝BE·FCBH·CH.又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC.图1－4－109．如图1－4－10，已知：BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF·GH.【证明】∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，∴△BCE∽△BHG，∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，∴△FCG∽△BHG，∴FGBG＝CGGH，∴BG·GC＝GH·FG. ②由①②得，GD2＝GH·FG.10.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：(1)AE·AB＝AF·AC；(2)△AEF∽△ACB.【证明】(1)∵AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，在Rt△ABD中，由射影定理得AD2＝AE·AB，在Rt△ADC中，由射影定理得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.(2)∵AE·AB＝AF·AC，∴AEAC＝AFAB.又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.。

高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.4 直角三角形的射影定理

由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析典典例例随透透堂析析演练
【做一做2-1】如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,且 CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD . ◆ 全2书优质试题随意编辑 ◆ 课堂教学流程完美展示又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
答案:A
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
图形语言
作用确定成比例的线段
12
MM Z ZZ Z Z D D S 目目目标标标导导导航航航
知识知梳知识理识梳梳理理重难聚焦重重难难聚聚焦焦典例透析典典例例随透透堂析析演练
UUUBBBIAIIAAOOODDDAAAOOOHHHAAANNNGGG HISHIHSHIHSISUHHLI ISSHHUULILIHONGNAN HJHVOOJINNAGOGNNAANN JJIVAVJNJIIAALOIOTOUXI IIAANNLULIIITTOAONUUGXXIYI ANLIA
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高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4-1

探究 2 直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，若 CD2＝AD·BD，则△ABC 为直角三角形．
1．解答本题的关键是利用 S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD 进行转化．
2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．
1．如图 1-4-5 所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，CD ＝2，BD＝3，则 AC 等1-4-5 21
B. 3 1
D.3
我还有这些不足： (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
【答案】 A
图 1-4-2
[小组合作型]
与射影定理有关的计算已知 CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC， BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4. (1)求 AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．【精彩点拨】先根据 AC∶BC 与 AD∶BD 之间的关系求出 AD∶BD 的值；再根据斜边 AB 的长及 AD∶BD 的值分别确定 AD 与 BD 的值．最后由射影定理 CD2＝AD·BD，求得 CD 的长．

1.4-直角三角形的射影定理-教学课件(人教A版选修4-1)

课前探究学习
课堂讲练互动
解在△ABC 中，设 AC 为 x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，又 FC＝1，根据射影定理，得 AC2＝FC·BC，即 BC＝x2. 再由射影定理，得 AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC，即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中，过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC，又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴DAFE＝DACC.
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一射影的概念【例1】如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、
G和线段AB、AC、AF、FG 在直线BC上的射影．
[思维启迪] 要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些点或线段的端点，作BC边的垂线．
课前探究学习
课堂讲练互动
解由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是E； AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E. 反思感悟求点和线段在直线上的射影 (1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影； (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影．
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛 1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的
高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．直角三角形射影定理的逆定理如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在 △ ABC 中， CD⊥AB 于 D ，若 CD2 ＝ AD·BD，则△ABC为直角三角形．证明 ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝ AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD ＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋ ∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．

高中数学新人教版A版精品教案《四直角三角形的射影定理》

《直角三角形的射影定理》教学设计一、整体设计思路（教学设计的思路与学习价值分析）本节课是基于学生已有的初中平面几何知识进一步学习设计的一节课，针对学生的认知特点，将本节课分为四个环节。

第一环节：直观感知，发现概念。

通过视频皮影戏风格的舞蹈引入让学生能直观感知，发现射影的概念。

第二环节：初探定理，品味内涵。

引导学生观察图形找出直角三角形中线段的射影，并通过三角形相似初探定理，品味内涵，培养学生数学逻辑推理。

第三环节：再探定理，深化理解。

通过用勾股定理证明射影定理，以及以射影定理逆定理角度的探点探究，进一步加深对射影定理的理解，培养学生会辩，会用的能力。

第四环节：拓展探究，内化素养。

拓展学生思维，培养学生数学学科核心素养，让学生学会知识迁移，通过类比推理，发现问题并解决问题。

第五环节：自我小结，整理回顾，做到心中有数。

二、目标设计（指向学生素养发展的目标设计）本节课引导学生在学习和运用数学知识解决问题中，提高学生发现提出问题，分析解决问题的能力，不断地经历直观感知、直观想象、观察发现、逻辑推理、数学运算等思维过程，培养学生的数学学科核心素养。

三、学习内容分析（教材地位与作用，教学目标以及重点难点）（一）教材地位与作用“直角三角形的射影定理”是普通高中新课程标准实验教科书高中数学人教A版选修4-1第一章中第四节的内容，它是在学生学习完相似三角形的判定及性质后对直角三角形中的相似进一步研究。

在探究论证的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识，提高学生的数学思维能力。

（二）教学目标1.引导学生利用上节课学到的知识“三角形相似的判定和性质”推导射影定理，并尝试用勾股定理推导证明，让学生学会知识迁移和灵活应用，培养学生逻辑推理能力。

2.通过对射影定理逆定理角度的探究，加深对射影定理的理解。

3.通过拓展探索，渗透对数学核心素养的培养，让学生学会知识迁移，培养学生类比推理，观察发现问题解决问题的能力。

数学人教A版选修4-1 1.4直角三角形的射影定理教案 Word版含解析

直角三角形的射影定理教学目标（一）知识与技能．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三）情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点射影定理的证明．教学难点建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法师生协作共同探究法．教学用具黑板多媒体教学过程设计一复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二新知探究如图，⊿是直角三角形，为斜边上的高．提出问题：图．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△与△，△与△，△与△）．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系：△与△中，·,′′ ′ △与△中， · ,△与△中， · ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段．点和线段的正射影简称为射影．图请学生结合射影定义及图，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三例题分析例如图，圆上一点在直径上的射影为．，,求、和的长．解：∵∠是半圆上的圆周角，∴∠°，即⊿是直角三角形．由射影定理可得：·×，解得；·×，解得；·×，解得．（师生一起分析思路，由学生完成求解．）图例2 如图，⊿中，顶点在边上的射影为，且·．求证：⊿是直角三角形．。

高中数学第一讲四直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4-1

[思路点拨] 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若△ABC中，AB＝m，∠BAC∶∠ ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D. 求BD，CD的长．解：设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x. 因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. 所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. 因为AB＝m，
四
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段． (3)射影：点和线段的正射影简称为射影．
射影定理的有关计算
[例1] 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边 AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD， AC，BC的长．
3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D， G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC. 证明：过点A作AH⊥BC于H. 则DE∥AH∥GF. ∴ADHE＝BBHE，AGHF＝CFHC. ∴DAEH·G2F＝BBHE··CFCH. 又∵AH2＝BH·CH， ∴DE·GF＝BE·FC. 而DE＝GF＝EF，∴EF2＝BE·FC.
利用射影定理证明 [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，点E 在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE. [思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．

高中数学人教A版选修4-1学案第1讲 4 直角三角形的射影定理 Word版含解析

四直角三角形的射影定理
．了解射影定理的推导过程．
．会用射影定理进行相关计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理射影的相关概念
阅读教材“探究”以上部分，完成下列问题．
．点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.
．线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
．射影：点和线段的正射影简称为射影．
教材整理射影定理
阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．
．文字语言
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
．图形语言
如图--，在△中，为斜边上的高，
图--
则有＝·.
＝·.
＝·.
如图--，在△中，⊥，⊥于且＝，则·＝( )
图--
．．
．．不确定
【解析】由射影定理·＝＝＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
. ()求∶的值；
()若＝，求的长．。

数学人教A版选修4-1学案：课堂导学第一讲第五节直角

课堂导学三点剖析一、射影定理解决有关计算问题【例1】如图1-5-2,Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边上的高,AC=5,BC=8,则S △CDA ∶S △CDB 等于( )图1-5-2A.5∶8B.25∶64C.25∶39D.25∶89 思路分析：∵△CDA 与△CDB 同高,∴BDADS S CDB CDA =∆∆. 又∵AC 2=AD·AB,CB 2=BD·AB,∴BDADAB BD AB AD CB AC =∙∙=22. ∴642522==∆∆CB AC S S CDB CDA . 答案:B 温馨提示射影定理的使用,使问题的解决非常简捷,在使用时要切实注意线段间的关系,有时与勾股定理以及面积等其他性质结合. 二、利用射影定理证等积式【例2】 Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于D,作DF ⊥BC 于F,DE ⊥AC 于E. 求证:(1)CE·AC=CF·CB; (2)CD 3=AB·AE·BF.图1-5-4证明：(1)在Rt △ACD 中, ∵DE ⊥AC, ∴CD 2=CE·AC.在Rt △BCD 中,∵DF ⊥BC, ∴CD 2=CF·CB. ∴CE·AC=CF·CB. (2)在Rt △ACD 中,∵DE ⊥AC,∴AD 2=AE·AC.∴AE=ACAD 2.在Rt △BCD 中,∵DF ⊥BC,∴BD 2=BF·BC.∴BF=BCBD 2.∴AB·AE·BF=AB·AC AD 2·BCBD 2=(AD·BD)2·BCAC AB∙.①又∵在Rt △ABC 中,CD 2=AD·BD,②S △ABC =21AC·BC=21AB·CD, ∴CD=ABBC AC ∙.③将②③代入①得AB·AE·BF=CD 4·CD1=CD 3. 三、射影定理的其他应用【例3】在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于D,S △BCD 2=S △ABC ·S △ADC ,求证:BD=AC.图1-5-6证明:∵S △BCD 2=S △ABC ·S △ADC , ∴ADCBDCBDC ABC S S S S ∆∆∆∆=. ∴DC AD CD BD CD BD CD AB ∙∙=∙∙,即ADBDBD AB =.∴BD 2=AB·AD. 又∵AC 2=AD·AB, ∴AC 2=BD 2. ∴AC=BD. 各个击破类题演练1在直角三角形中,斜边上的高为6 cm,且把斜边分成3∶2两段,则斜边上中线的长为( ) A.265cm B.64cm C.65cm D.325cm 解析：如图1-5-3,AD 为Rt △ABC 斜边上的高,AE 为中线.图1-5-3设BD=3x,DC=2x, 则BD·DC=AD 2, 即3x·2x=62. ∴x=6.∴BD=36,DC=26.∴BC=56.又AE=21BC=265. 答案:A类题演练2如图1-5-5,在矩形ABCD 中,过A 作对角线BD 的垂线AP 与BD 交于P,过P 作BC 、CD 的垂线PE 、PF,分别与BC 、CD 交于E 、F.图1-5-5求证:AP 3=BD·PE·PF.证明:∵PE ∥CD,∴△BEP ∽△BCD. ∴CD PE BD BP =.∴PE=BD CDBP ∙. 同理,由△BAP ∽△DPF, ∴PF=ABAPPD ∙. 又∵AB=CD,∴PF=CDAPPD ∙.又由射影定理得AP 2=PB·PD, ∴BD·PE·PF=BD·BD CD BP ∙·CDAPPD ∙=BP·PD·AP =AP 2·AP=AP 3.温馨提示当出现多于2条线段的乘积时,应考虑是否两边能利用某种关系约去部分线段,使之变为m 2=p·q 或m·n=p·q 的形式,若不能,应从等式一方出发,找出线段的关系,而后通过演算化简得出等式另一端. 类题演练3在矩形ABCD 中,作DH ⊥AC,如果AH=6,CH=2,求矩形ABCD 的面积.图1-5-7解:在Rt △ACD 中,DH ⊥AC, ∴AD 2=AH·AC,CD 2=CH·AC. ∴AD=34)26(6=+⨯=∙AC AH ,CD=4)26(2=+⨯=∙AC CH . ∴S 矩形ABCD =AD·CD=34×4=316.。

人教A版高中数学选修4-1课件第一讲四直角三角形的射影定理(共18张PPT)

答案：3 3 5 4∶1
考点二利用射影定理解决证明问题例2 如图所示， CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上， DF⊥ AC， DG⊥ BE， F、 G 分别为垂足．求证： AF· AC＝ BG · BE.
【证明】因为 CD 垂直平分 AB，所以△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且 AD＝ BD. 又因为 DF⊥ AC， DG⊥BE，所以 AF· AC＝AD2， BG · BE＝DB2. 因为 AD2＝ DB2，所以 AF· AC＝BG · BE. 【名师点评】将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
四
直角三角形的射影定理
新知初探思维启动
1．射影的有关概念 (1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线正射影．上的_________ (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，叫做这正射影．条线段在直线上的_________
射影． (3)点和线段的正射影简称为______
类问题时，一定要注意对图形进行剖析．
跟踪训练 2.如图所示，Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥ AB 于 D，DE ⊥AC 于 E， DF⊥BC 于 F，求证： AE· BF· AB＝ CD3.
证明：因为在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90° ， CD⊥ AB，所以 CD2＝ AD· BD，所以 CD4＝ AD2· BD2. 又因为在 Rt△ ADC 中， DE⊥ AC，在 Rt△ BDC 中， DF⊥ BC，所以 AD2＝ AE· AC， BD2＝ BF· BC. 所以 CD4＝ AE· BF· AC· BC. 又因为 AC· BC＝ AB· CD，所以 CD4＝ AE· BF· AB· CD . 所以 AE· BF· AB＝ CD3.

高中数学第一章相似三角形的判定及有关性 1.4 直角三角形的射影定理教案1 新人教A版选修41

1 A A ′M N N A A ′ B ′ M直角三角形的射影定理教学目标（一）知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法借助相似三角形的判定定理及性质定理，采用小组探究的方式，推导出射影定理．（三）情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点射影定理的证明．教学难点建立三角形以外的和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法师生协作共同探究法．教学用具黑板多媒体教学过程设计一复习引入在前面的学习中，大家已经知道了射影，请作出点A 及线段AB 在直线MN 上的射影．如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．显然，AB 、BD 分别是AC 、CD 在斜边AD 上的射影．二新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题： 1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：⊿ACD 与⊿CBD ，⊿BDC 与⊿BCA ，⊿CDA 与⊿BCA ）2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系：⊿ACD 与⊿CBD 中，CD 2= AD ·BD ,⊿BDC 与⊿BCA 中，BC 2= BD ·AB ,⊿CDA 与⊿BCA 中，AC 2= AD ·AB ．CB A B D2b这三个关系式形式完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时引导学生结合射影定义及图像，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三例题分析例1 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求CD 、AC 和BC 的长．解：∵∠ACB 是半圆上的圆周角，∴∠ACB=90°，即⊿ABC 是直角三角形．由射影定理可得：CD 2=AD ·BD=2×8=16，解得CD=4；AC 2=AD ·AB=2×10=20，解得AC=25； BC 2=BD ·AB=8×10=80，解得BC= 45．例2 如图，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2=AD ·BD ．求证：⊿ABC 是直角三角形．证明：在⊿CDA 和⊿BDC 中，∵点C 在AB 上的射影为D ，∴CD ⊥AB ．∴∠CDA=∠BDC=90°．又∵CD 2=AD ·BD ，∴AD:CD=CD:DB ．∴⊿CDA ∽⊿BDC ．在⊿ACD 中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°． ∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．∴⊿ABC 是直角三角形．（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个命题的证明中，可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难．教学中可从如下两方面来引导：①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD 2=AD ·BD 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四课堂练习1 在⊿ABC 中，∠C=90°, CD 是斜边AB 上的高．已知CD=60，AD=25，求BD 、AB 、AC 、BCa A D C A D OB C B的长．（直接运用射影定理．）2 如图，已知线段a、b，求作线段a和b的比例中项．(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同作图方法．)五课堂小结（引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归．六课后作业1 基础训练：在⊿ABC中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D，AC=12,BC=5,求CD的长．2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）3。

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理学案含解析新人教A版选修4_1

高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理学案含解析新人教A版选修4_11．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝＝2(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝＝4(cm)．故CD，AC，BC的长分别为2 cm,4 cm，4 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在△ABC中，AB＝m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D.求BD，CD的长．解：设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°.因为AB＝m，所以BC＝m.又因为CD⊥AB，所以BC2＝BD·AB，即2＝BD·m.所以BD＝m.AD＝AB－BD＝m－m＝m.由CD2＝AD·BD＝m·m＝m2，得CD＝m.因此，BD的长是m，CD的长是m.2．已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，。

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