第9章点的动力学微分方程
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ma=F
d 2r m 2 F dt
(9-1)
(9 2)
质点动力学的两类问题: 质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。 质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。 ● 解决第一类问题，只需根据质点的已知运动 规律 r = r (t)，通过导数运算，求出加速度， 代入(1-1) —— (1-4)，即得作用力 F。 ● 求解第二类问题，是个积分过程。 必须注意：在求解第二类问题时，方程的积 分中要出现积分常数，为了完全确定质点的运动,
M0 at
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有
从而得
0
2 ) ( d(
0
2g sin )d l
2g (cos cos 0 ) l
2
(4)
把式(4)代入式(2)，得绳拉力
FN = W(3cos 2cos 0) 显然，当摆球 M 到达最低位置 = 0 时，有最大值。故 FNmax = W(3 2cos 0) 第9章 质点动力学基础
F x m x
（3）力是速度的函数
'' x''
F x F x m x x m dx x t 1 dt x0 F x m t0
F F v
例如：空气阻力
第9章 质点动力学基础
两类问题
（4）力是时间的函数
第9章 质点动力学基础
§9-2 质点运动微分方程
一、矢量形式
z
r O x M F a y
设有可以自由运动的质点 M，质
量是 m，作用力的合力是 F，加速 度是 a 。
d 2r m 2 F dt (9 2)
这就是质点运动微分方程的矢量形式。
第9章 质点动力学基础
§9-2 质点运动微分方程
d 2r m 2 F dt (9 2)
§1-1 动力学的基本定律
§1-2 质点运动微分方程
质 点 动 力 学 基 础
§1-3 质点动力学基本问题 §1-4 质点动力学问题的例子 §1-5 质点的相对运动动力学
第9章 质点动力学基础
§1-1 动力学的基本定律
第一定律 第二定律 第三定律
惯性定律 力与加速度关系定律 作用与反作用定律
O φ0 φ
n t
M0
M
第9章 质点动力学基础
例题 9-2
§9-3 质点动力学基本问题
解:
摆锤 M 在绳的约束下只能沿已知圆弧运动，
O
例题 1-2
用自然形式的质点用自然形式的运动微分方程求解
较方便。
φ
φ0
n t
以摆锤M为研究对象。 选择如图自然轴系。 任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为
第9章 质点动力学基础
§9-2 质点运动微分方程
d 2r m 2 F dt
这就是质点运动微分方程的矢量形式。 三、自然形式 如采用自然轴系 Mtnb,并把式(1-2)向各轴投 影,可得
2 2
(9 2)
z r O x M
b F n a
t
y
m
d s v F , m Fn , 0 Fb (9 4) t 2 dt d2s v2 a t 2 , an 和 ab 0 式中 dt
d2x m 2 Fx dt d2 y m 2 Fy (9 3) dt d2z m 2 Fz dt
必须根据运动的初始条件定出这些积分常数。
d2s v2 m 2 Ft , m Fn , 0 Fb dt
第9章 质点动力学基础
(9 4)
两类问题
1、已知运动，求力（微分问题） 已知
第9章 5-1 质点动力学基础 质点动力学方程
§1-1 动力学的基本定律
光滑圆管在水平面匀速转动，管内小球如何运动? 在x方向有: 即 mx mx 小球沿 管向外运动。
2
m x x 2 0
aC
x 2
x
m
x
第9章 质点动力学基础
§9-2 质点运动微分方程
矢量形式 直角坐标形式 自然形式
§1-1 动力学的基本定律
问题 2. 已知 mA ,mB 悬挂重物，求绳断时a A ,aB ?
aB 0
aA
mA mB g
mA
A
k
B
问题 3. 已知 F,G, f 0, 求物体所受合力。
物块沿斜面运动， a 沿斜面。 故合力沿斜面，且大小为
F
G
FR F cos G sin
动力学
第9章
质点动力学基础
第9章 质点动力学基础
绪论
动 力 学
一、 动力学的任务 ——研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。
二、 动力学的应用 动力学的形成与发展是和生产的发展密切联系的，特别是在现代 工业与科学技术迅猛发展的今天，对动力学提出了更加复杂的课题。 例如：高速转动机械的动力计算、航空航天高技术、动强度分析、 机械手、机器人、系统的动力稳定性等都需要动力学理论。 三、 动力学的分类 质点动力学
F F t
例如：周期力
'' x''
x
Fx t m x
1 t Fx t dt x 0dx m t0
Fx t x m
x 0 t x
说明：以上积分的分离形式并不是唯一的，具体如何
分离，要与所求问题相对应
第9章 质点动力学基础
a
注意到 m = W /g ，则由上式解得地板反力
FN W
第9章 质点动力学基础
§9-3 质点动力学基本问题
所以地板所受的压力为
例题9-1
x
W FN
W a a W (1 ) g g
M
上式第一部分称为静压力，第二部分称为
附加动压力， FN' 称为动压力。 讨论 令
FN
§9-3 质点动力学基本问题
例题 1-1
例题 9-1 设电梯以不变的加速度a 上升,求放在电梯地板上重W 的物块
M 对地板的压力。 解: 分析物体 M ，它受重力 W 和 地板反力 FN 的作用。
x
根据
可得
F = ma ma = FN W
W a a W (1 ) g g
FN M M W
φ0
M0
at φ
第9章 质点动力学基础
§9-3 质点动力学基本问题
考虑到
d 2 d d d 1 d dt d dt d 2 d
（3） O
例题 1-2
则式(1Hale Waihona Puke Baidu化成
1 d g sin 2 d l
2
φ0 φ FN an M φ W
是加速度 a 在切线、主法线和副法线正向的投影;Ft , Fn 和 Fb 是合力 F
在相应轴上的投影。式(1-4)就是自然形式的质点运动微分方程。 第9章 质点动力学基础
§9-3 质点动力学基本问题
质点动力学的第一类问题
质点动力学的第二类问题
第9章 质点动力学基础
§1-3 质点动力学基本问题
z
r O x M F a y
这就是质点运动微分方程的矢量形式。 二、直角坐标形式
把上式沿固定直角坐标系 Oxyz 的各 轴投影,得
d2 x d2 y d2 z m 2 Fx , m 2 Fy , m 2 Fz dt dt dt (9 3)
Fx , Fy , Fz 是作用力 F 的合力在各轴上的投影。式(9-3) 是直角坐标形式的质点运动微分方程。
动力学
质点系动力学
质
点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。 第9章 质点动力学基础
动 力 学
四、 动力学的重点章节
动能定理
动量定理
动量矩定理
达朗贝尔原理 虚位移原理
第9章 质点动力学基础
目录
第 一 章
动
力
学
d 2 d 2 2 at l l , a l ( ) l n 2 dt dt
M0 M
O φ FN an M W
写出质点的自然形式的运动微分方程
W W sin mat l g W 2 FN W cos man l g (1) (2)
M
a
W
a n 1 g
则
F nW
1. n＞1, 动压力大于静压力，这种现象称为超重。 2. n＜1, 动压力小于静压力，这种现象称为失重。
第9章 质点动力学基础
蹲在磅秤上的人站起来 磅秤指示数会不会发生的变化
第9章 质点动力学基础
？
直立站在磅秤上的人蹲下 磅秤指示数会不会发生的变化
第9章 质点动力学基础
a
ma F mg sin
0 FN mg cos
解得
y
a F
x
a F mg ( sin ) g
φ mg
FN
FN mg cos
第9章 质点动力学基础
例题 9-3
§1-3 质点动力学基本问题
a F mg ( sin ) g
例题 1-3 a
FN mg cos
第9章 质点动力学基础
§1-1 动力学的基本定律
第一定律 惯性定律 质点如不受力作用,则保持其运动状态不变,即作直线匀速运动或者静止。
第一定律说明了任何物体都具有惯性。
第二定律 力与加速度关系定律 质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比 而与质量成反比。
F = ma
(9–1)
r r t v v t
a at 求 F 是一个微分过程
2、已知力，求运动（积分问题）， 还要已知初始条件
（1）力是常力 F 常矢量
例如：重力
'' x''
x
Fx m x
Fx x m Fx x 0 x t m
说 1. 明：
F = ma
该式称为质点动力学基本方程。
2. 牛顿第一定律和第二定律不是在任何参考系中皆成立的。
3. 牛顿定律适用的参考系称为基础坐标系。
4. 惯性参考系——相对于基础参考系作惯性运动的坐标系。 5. 在惯性参考系中牛顿定律也同样适用。
思考题 加速度可分为aa，ae，ar，ac， 公式F = ma中的a指 的是什么加速度。
W W sin l g W 2 FN W cos l g
(1) (2)
§9-3 质点动力学基本问题
例题 9-3 小车载着质量为 m 物体以加
速度 a 沿着斜坡上行，如果物体不捆扎， 也不致于掉下，物体与小车接触面的摩擦 系数至少应为多少？ 解： 取物体为研究对象。 φ
第9章 质点动力学基础
§1-1 动力学的基本定律
问题 1. A与B在F作用下匀速运动，已知 mA ,mB 和 f
突然拆去F，求此时 a A ,aB。
此时弹力，摩擦力不变:
aB 0
B
k
A
F
mA mB g f F aA mA mA
第9章 5-1 质点动力学基础 质点动力学方程
Fx dx dt m
Fx x 0 dx m
t
0
dt
第9章 质点动力学基础
两类问题
（2）力是位置的函数
F F r
例如：弹簧力
'' x''
F x x m dx dx dx dx （分离变量法） x x dt dx dt dx x 1 x 2 2 2 x 0 x x x 0xdx m x0 F x dx m
？
§9-3 质点动力学基本问题
质点动力学解题步骤：
1. 明确研究对象； 2. 进行受力分析，并画出受力图； 3. 进行运动分析，并画出相应的运动学量，如速度、加速度、角速度、 角加速度等； 4. 选择动力学定理进行分析求解。
第9章 质点动力学基础
§9-3 质点动力学基本问题
例题 9-2 单摆 M 的摆锤重 W ,绳长 l ,悬于固定点 O ,绳的质 量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角 0 ≤ /2 , 并被无初速释放， 求绳中拉力的最大值。
要保证物体不下滑，应有
φ
F ≤ Fmax fFN
y 即
a
F φ mg FN
x
a mg ( sin ) ≤ fmg cos g a ( sin ) g f min cos
第9章 质点动力学基础
第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的
力，而且与物体的惯性有关。
第三定律 作用与反作用定律 任何两个物体间相互作用的力,总是大小相等，方向相反,沿同一直线， 同时分别作用在这两个物体上。 第三定律说明了二物体间相互作用力的关系。 第9章 质点动力学基础
§1-1 动力学的基本定律
d 2r m 2 F dt
(9-1)
(9 2)
质点动力学的两类问题: 质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。 质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。 ● 解决第一类问题，只需根据质点的已知运动 规律 r = r (t)，通过导数运算，求出加速度， 代入(1-1) —— (1-4)，即得作用力 F。 ● 求解第二类问题，是个积分过程。 必须注意：在求解第二类问题时，方程的积 分中要出现积分常数，为了完全确定质点的运动,
M0 at
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有
从而得
0
2 ) ( d(
0
2g sin )d l
2g (cos cos 0 ) l
2
(4)
把式(4)代入式(2)，得绳拉力
FN = W(3cos 2cos 0) 显然，当摆球 M 到达最低位置 = 0 时，有最大值。故 FNmax = W(3 2cos 0) 第9章 质点动力学基础
F x m x
（3）力是速度的函数
'' x''
F x F x m x x m dx x t 1 dt x0 F x m t0
F F v
例如：空气阻力
第9章 质点动力学基础
两类问题
（4）力是时间的函数
第9章 质点动力学基础
§9-2 质点运动微分方程
一、矢量形式
z
r O x M F a y
设有可以自由运动的质点 M，质
量是 m，作用力的合力是 F，加速 度是 a 。
d 2r m 2 F dt (9 2)
这就是质点运动微分方程的矢量形式。
第9章 质点动力学基础
§9-2 质点运动微分方程
d 2r m 2 F dt (9 2)
§1-1 动力学的基本定律
§1-2 质点运动微分方程
质 点 动 力 学 基 础
§1-3 质点动力学基本问题 §1-4 质点动力学问题的例子 §1-5 质点的相对运动动力学
第9章 质点动力学基础
§1-1 动力学的基本定律
第一定律 第二定律 第三定律
惯性定律 力与加速度关系定律 作用与反作用定律
O φ0 φ
n t
M0
M
第9章 质点动力学基础
例题 9-2
§9-3 质点动力学基本问题
解:
摆锤 M 在绳的约束下只能沿已知圆弧运动，
O
例题 1-2
用自然形式的质点用自然形式的运动微分方程求解
较方便。
φ
φ0
n t
以摆锤M为研究对象。 选择如图自然轴系。 任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为
第9章 质点动力学基础
§9-2 质点运动微分方程
d 2r m 2 F dt
这就是质点运动微分方程的矢量形式。 三、自然形式 如采用自然轴系 Mtnb,并把式(1-2)向各轴投 影,可得
2 2
(9 2)
z r O x M
b F n a
t
y
m
d s v F , m Fn , 0 Fb (9 4) t 2 dt d2s v2 a t 2 , an 和 ab 0 式中 dt
d2x m 2 Fx dt d2 y m 2 Fy (9 3) dt d2z m 2 Fz dt
必须根据运动的初始条件定出这些积分常数。
d2s v2 m 2 Ft , m Fn , 0 Fb dt
第9章 质点动力学基础
(9 4)
两类问题
1、已知运动，求力（微分问题） 已知
第9章 5-1 质点动力学基础 质点动力学方程
§1-1 动力学的基本定律
光滑圆管在水平面匀速转动，管内小球如何运动? 在x方向有: 即 mx mx 小球沿 管向外运动。
2
m x x 2 0
aC
x 2
x
m
x
第9章 质点动力学基础
§9-2 质点运动微分方程
矢量形式 直角坐标形式 自然形式
§1-1 动力学的基本定律
问题 2. 已知 mA ,mB 悬挂重物，求绳断时a A ,aB ?
aB 0
aA
mA mB g
mA
A
k
B
问题 3. 已知 F,G, f 0, 求物体所受合力。
物块沿斜面运动， a 沿斜面。 故合力沿斜面，且大小为
F
G
FR F cos G sin
动力学
第9章
质点动力学基础
第9章 质点动力学基础
绪论
动 力 学
一、 动力学的任务 ——研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。
二、 动力学的应用 动力学的形成与发展是和生产的发展密切联系的，特别是在现代 工业与科学技术迅猛发展的今天，对动力学提出了更加复杂的课题。 例如：高速转动机械的动力计算、航空航天高技术、动强度分析、 机械手、机器人、系统的动力稳定性等都需要动力学理论。 三、 动力学的分类 质点动力学
F F t
例如：周期力
'' x''
x
Fx t m x
1 t Fx t dt x 0dx m t0
Fx t x m
x 0 t x
说明：以上积分的分离形式并不是唯一的，具体如何
分离，要与所求问题相对应
第9章 质点动力学基础
a
注意到 m = W /g ，则由上式解得地板反力
FN W
第9章 质点动力学基础
§9-3 质点动力学基本问题
所以地板所受的压力为
例题9-1
x
W FN
W a a W (1 ) g g
M
上式第一部分称为静压力，第二部分称为
附加动压力， FN' 称为动压力。 讨论 令
FN
§9-3 质点动力学基本问题
例题 1-1
例题 9-1 设电梯以不变的加速度a 上升,求放在电梯地板上重W 的物块
M 对地板的压力。 解: 分析物体 M ，它受重力 W 和 地板反力 FN 的作用。
x
根据
可得
F = ma ma = FN W
W a a W (1 ) g g
FN M M W
φ0
M0
at φ
第9章 质点动力学基础
§9-3 质点动力学基本问题
考虑到
d 2 d d d 1 d dt d dt d 2 d
（3） O
例题 1-2
则式(1Hale Waihona Puke Baidu化成
1 d g sin 2 d l
2
φ0 φ FN an M φ W
是加速度 a 在切线、主法线和副法线正向的投影;Ft , Fn 和 Fb 是合力 F
在相应轴上的投影。式(1-4)就是自然形式的质点运动微分方程。 第9章 质点动力学基础
§9-3 质点动力学基本问题
质点动力学的第一类问题
质点动力学的第二类问题
第9章 质点动力学基础
§1-3 质点动力学基本问题
z
r O x M F a y
这就是质点运动微分方程的矢量形式。 二、直角坐标形式
把上式沿固定直角坐标系 Oxyz 的各 轴投影,得
d2 x d2 y d2 z m 2 Fx , m 2 Fy , m 2 Fz dt dt dt (9 3)
Fx , Fy , Fz 是作用力 F 的合力在各轴上的投影。式(9-3) 是直角坐标形式的质点运动微分方程。
动力学
质点系动力学
质
点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。 第9章 质点动力学基础
动 力 学
四、 动力学的重点章节
动能定理
动量定理
动量矩定理
达朗贝尔原理 虚位移原理
第9章 质点动力学基础
目录
第 一 章
动
力
学
d 2 d 2 2 at l l , a l ( ) l n 2 dt dt
M0 M
O φ FN an M W
写出质点的自然形式的运动微分方程
W W sin mat l g W 2 FN W cos man l g (1) (2)
M
a
W
a n 1 g
则
F nW
1. n＞1, 动压力大于静压力，这种现象称为超重。 2. n＜1, 动压力小于静压力，这种现象称为失重。
第9章 质点动力学基础
蹲在磅秤上的人站起来 磅秤指示数会不会发生的变化
第9章 质点动力学基础
？
直立站在磅秤上的人蹲下 磅秤指示数会不会发生的变化
第9章 质点动力学基础
a
ma F mg sin
0 FN mg cos
解得
y
a F
x
a F mg ( sin ) g
φ mg
FN
FN mg cos
第9章 质点动力学基础
例题 9-3
§1-3 质点动力学基本问题
a F mg ( sin ) g
例题 1-3 a
FN mg cos
第9章 质点动力学基础
§1-1 动力学的基本定律
第一定律 惯性定律 质点如不受力作用,则保持其运动状态不变,即作直线匀速运动或者静止。
第一定律说明了任何物体都具有惯性。
第二定律 力与加速度关系定律 质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比 而与质量成反比。
F = ma
(9–1)
r r t v v t
a at 求 F 是一个微分过程
2、已知力，求运动（积分问题）， 还要已知初始条件
（1）力是常力 F 常矢量
例如：重力
'' x''
x
Fx m x
Fx x m Fx x 0 x t m
说 1. 明：
F = ma
该式称为质点动力学基本方程。
2. 牛顿第一定律和第二定律不是在任何参考系中皆成立的。
3. 牛顿定律适用的参考系称为基础坐标系。
4. 惯性参考系——相对于基础参考系作惯性运动的坐标系。 5. 在惯性参考系中牛顿定律也同样适用。
思考题 加速度可分为aa，ae，ar，ac， 公式F = ma中的a指 的是什么加速度。
W W sin l g W 2 FN W cos l g
(1) (2)
§9-3 质点动力学基本问题
例题 9-3 小车载着质量为 m 物体以加
速度 a 沿着斜坡上行，如果物体不捆扎， 也不致于掉下，物体与小车接触面的摩擦 系数至少应为多少？ 解： 取物体为研究对象。 φ
第9章 质点动力学基础
§1-1 动力学的基本定律
问题 1. A与B在F作用下匀速运动，已知 mA ,mB 和 f
突然拆去F，求此时 a A ,aB。
此时弹力，摩擦力不变:
aB 0
B
k
A
F
mA mB g f F aA mA mA
第9章 5-1 质点动力学基础 质点动力学方程
Fx dx dt m
Fx x 0 dx m
t
0
dt
第9章 质点动力学基础
两类问题
（2）力是位置的函数
F F r
例如：弹簧力
'' x''
F x x m dx dx dx dx （分离变量法） x x dt dx dt dx x 1 x 2 2 2 x 0 x x x 0xdx m x0 F x dx m
？
§9-3 质点动力学基本问题
质点动力学解题步骤：
1. 明确研究对象； 2. 进行受力分析，并画出受力图； 3. 进行运动分析，并画出相应的运动学量，如速度、加速度、角速度、 角加速度等； 4. 选择动力学定理进行分析求解。
第9章 质点动力学基础
§9-3 质点动力学基本问题
例题 9-2 单摆 M 的摆锤重 W ,绳长 l ,悬于固定点 O ,绳的质 量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角 0 ≤ /2 , 并被无初速释放， 求绳中拉力的最大值。
要保证物体不下滑，应有
φ
F ≤ Fmax fFN
y 即
a
F φ mg FN
x
a mg ( sin ) ≤ fmg cos g a ( sin ) g f min cos
第9章 质点动力学基础
第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的
力，而且与物体的惯性有关。
第三定律 作用与反作用定律 任何两个物体间相互作用的力,总是大小相等，方向相反,沿同一直线， 同时分别作用在这两个物体上。 第三定律说明了二物体间相互作用力的关系。 第9章 质点动力学基础
§1-1 动力学的基本定律