首都师范大学2001-2012高等代数考研真题
北京大学2001年高等代数与解析几何试题及解答
→
1 0
−3 −5
5 7
−2 −3
,
−1 −7 9 −4
0 −10 14 −6
0000
可以看出
−4
η1 =
7 5
,
1
η2
=
−3 0
0
5
是 AX = 0 的解空间中的线性无关向量, 注意到解空间的维数是 2, 从而 η1, η2 是解空间的一组基. 进
4. (1) 特征多项式 f (λ) = |λE − A| = λ3 + λ2 − 3λ + 2.
a. 由于 f (±1) ̸= 0, f (±2) ̸= 0, 从而 f (λ) 没有有理根，故 A 没有有理特征值, 从而不能在有理数域 上对角化.
b. (f (λ), f ′(λ) = 1, 从而 f (λ) = 0 没有重根, 即 f (λ) 在 C[λ] 中可分解为三个互素一次因式的乘积, 于是 A 在复数域上可对角化.
(X0Tα1, . . . , X0Tαs) = (0, . . . , 0),
从而 (X0, αi) = 0, i = 1, 2, . . . , s, 于是 αi ∈ W ⊥, i = 1, 2, . . . , s. 故 U ⊂ W ⊥, 再注意到
dim W = n − rank(A), dim U = rank(A), dim W + dim W ⊥ = n,
2. (15 分) 在空间直角坐标系中, 与 是一对相交直线.
x−a y z
ℓ1 :
== 1 −2 3
x y−1 z
ℓ2 :
= 2
1
= −2
(1) 求 a.
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全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)
考生注意： 1.本 试 卷 满 分 为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸 上均无效。
一、设 是 阶单位矩阵， ，证明 的行列式等于 .
，矩阵 满足
二、设 是 阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的 都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵 的秩.
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有
证明：
(1)
.
(2) 是 的不变子空间，则 也是的 不变子空间.
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2001考研数学真题+答案
1 2
.
(2) 设函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0) 3, f y (0,0) 1 ，则 (A) dz |(0,0) 3dx dy (B) 曲面 z f ( x, y ) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为 {3,1,1} (C) 曲线
1
1 ( A 2E) 2
(5) 设随机变量 X 的方差为 2， 则根据切比雪夫不等式有估计 P{ X E( X ) 2} 二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) (1) 设函数 f ( x) 在定义域内可导， y f ( x ) 的图形如右图所示， 则导函数 y f ( x ) 的图形为 （D）
x 0
1 . 2
……1 分
证法一：(1) 任给非零 x ( 1,1) ，由拉格朗日中值定理得
f ( x) f (0) xf ( ( x) x) (0 ( x) 1) . 因为 f ( x ) 在 ( 1,1) 内连续且 f ( x) 0 ，所以 f ( x ) 在 ( 1,1) 内不变号.
x
……2 分 ……4 分 ……6 分
1 2 x e arctan e x e x arctan e x C . 2
注：答案中缺任意常数 C 扣 1 分. 四、(本题满分 6 分) 设函数 z f ( x, y ) 在点 (1,1) 处可微， 且 求
f x
2,
(C)
z f x, y 在点(0,0, f (0,0))的切向量为 {1, 0,3} y 0
(D) 曲线
z f x, y 在点(0,0, f (0,0))的切向量为 {3, 0,1} y 0
高等代数考研真题第一章多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
数2--01真题初步答案
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题 （1）1x →=【答】【详解】112(1)lim (1)(2)x x x x x →→-=-+112x x →=+6=-(2)设函数y =f (x )由方程2cos()1x ye xy e +-=-所确定,则曲线y =f (x )在点(0,1)处的法线方程为 . 【答】 x −2y +2=0. 【详解】在等式2cos()1x yexy e +-=-两边对x 求导,得2(2')sin()(')0,x y e y xy y xy +⋅++⋅+=将x =0, y =1代入上式,得'(0) 2.y =-故所求法线方程为11,2y x -=即 x −2y +2=0. (3)()32222sin cos xx xdx ππ-+=⎰【答】8π 【详解】 在区间[,]22ππ-上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数, 故()()322322222222221sin cos cos sin cos sin 24xx xdx x x x x dx xdx ππππππ---+=+=⎰⎰⎰221(1cos 4)8x dx ππ-=-⎰ .8π=(4)过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足关系式'arcsin 1y x +=的曲线方程为 .【答】1arcsin .2y x x =- 【详解】 方法一:原方程'arcsin 1y x =可改写为()'arcsin 1,y x =两边直接积分,得arcsin .y x x c =+又由1()0,2y =解得1.2C =- 故所求曲线方程为：1arcsin .2y x x =-方法二:将原方程写成一阶线性方程的标准形式1'.arcsin y y x=解得11(),arcsin arcsin y e C e dx C x x x -⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰又由1()0,2y =解得1.2C =-故曲线方程为：1arcsin .2y x x =-(5)设方程123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多个解,则a = . 【答】 -2【详解】 方法一:利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有2111112111011311201112a aA a a a a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦()()()()1120113,001222a a a a a a -⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦可见,只有当a =−2 时才有秩()()23,r A r A ==<对应方程组有无穷多个解. 方法二:当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式为零,即有21111(2)(1)0,11a a a a a=+-= 解得a =−2 或a =1.由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当a =1时,原方程无解,因此只能是a =−2.二、选择题(1)设1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]{}()f f f x 等于 （ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）1,1,0,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ （D ）0,1,()1,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩（2）设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin nx x 是比()1nx e -高阶的无穷小，则正整数n 等于 （ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为 （ C ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3（4）已知函数()f x 在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数，'()f x 严格单调减少，且(1)'(1)1,f f ==则 （ A ）（A ）在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x <.（B ）在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x >.（C ）在(1,1)δ-内，()f x x <.在(1,1)δ+内，()f x x >. （D ）在(1,1)δ-内，()f x x >.在(1,1)δ+内，()f x x <.（5）设函数f (x) 在定义域内可导，y= f(x) 的图形如右图所示，则导函数y= f' (x) 的图 形为 （ ）三、求22.(21)1dxxx ++⎰解 设tan ,x u =则2sec ,dx udu = 原式222cos (2tan 1)cos 2sin cos du uduu u u u ==++⎰⎰2sin sin 1d uu =+⎰arctan(sin )u C =+ 2arctan()1x C x=++四、设函数z = f(x,y)在点(1,1) 处可微，且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).f f x f x f x x xϕ∂===∂求31()x d x dxϕ=五、设()x ρρ=是抛物线y =(,)(1)M x y x ≥处的曲率半径，()s s x =使该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长，计算2223d d ds ds ρρρ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
北京大学高等代数2001年真题
但 OA = (−2,1, 4),OB = (−2, −3, −4),OC = (−1,3,3) ，
−2 1 4
( ) 所以 OA,OB,OC = −2 −3 −4 = −32 ，
−1 3 3
( ) 从而V = 1 OA,OB,OC = 16 ．
6
3
⑵．三角形 ABC 的面积等于平行四边形 ABCD 面积的一半，
2． 解
显然当 i ≠ j ，且 0 ≤ i, j ≤ n 时，ωi ≠ ω j ．
考虑前 s 列构成的 s 阶子式，
1 Ds = 1
ωb ω b +1
1 ωb+s−1
ω ( s −1)b
∏ ( ) ∏ ( ) ω(s−1)(b+1) =
s( s −1)
ωb+i − ωb+ j = ω 2
ωi −ω j ≠ 0
次因式，也即有有理根．但它的有理根只能为 ±1, ±2 ，而可以验算这些全不是它的根，因
5
博士家园系列内部资料
而 f (λ ) 在有理数域上不可约．
另一方面，最小多项式 m(λ ) | f (λ ) ，则 m(λ ) = f (λ ) ，从而它在有理数域上不能分
解成互素的一次因式的乘积，故把 A 看作有理数域上的矩阵， A 是不可对角化． b ．把 A 看作复数域上的矩阵．
这时， f (λ ) 是 A ( 的特征多项式，且有 f (λ ), f ′(λ )) = 1，即它在复数域上无重根，
故 m( A) 在复数域上无重根．从而，把 A 看成复数域上的矩阵， A 是可对角化的．
⑵由在有理数域上 A 合同与单位矩阵 I ，知，存在有理数域上的可逆矩阵 P ，使得
PT AP = I ．
高等代数考研试题精选
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
中国科学院2012高等代数试题与答案+
中定义：
( A, B) tr( AT B) ， A, B R 22 其中， AT 表示矩阵 A 的转置， tr( X ) 表示矩阵 X 的迹。 1) 证明 ( A, B) 是线性空间 R 22 的内积； 1 1 2) 设 W 是由 A1 , 0 0 交基。
A−1αβ T A−1 。 1 + β T A−1α
仿照 ( I m + BA) −1 = I m − B ( I n + AB ) −1 A 的证明方法，把 A + αβ T
先化为 A + αβ T = A( I + A−1α ⋅ β T ) ，得到
( A + αβ T ) −1 = ( I + A−1α ⋅ β T ) −1 A−1 = [ I − A−1α (1 + β T ⋅ A−1α ) −1 β T ] A−1
⎟ ⎠
A−1α ⎞ ⎟ 1 + β T A−1α ⎟ ⎟ 1 ⎟ T −1 1+ β A α ⎠ − A−1α ⎞ ⎟ 1 + β T A−1α ⎟ ⎛ I 0 ⎞ = ⎟ ⎟ ⎜ 1 ⎝0 1⎠ ⎟ 1 + β T A−1α ⎠
证明
⎛ −1 A−1αβ T A−1 A − α⎞ ⎜ 1 + β T A−1α ⎜ ⋅ ⎟ 1⎠ ⎜ β T A−1 ⎜ T −1 ⎝ 1+ β A α
线性方程组可求出基础解系，得 W ⊥ 的一组基 X 1 , X 2 ，用施密特正交化方法把
X 1 , X 2 化为标准正交基即得。略。
8 ．证明 我们先证明若 T1 , T2 为非零线性变换，则存在向量 α ∈V ，使得
T1 (α ) ≠ 0 ， T2 (α ) ≠ 0 ： 因为 T1 , T2 非零， 故有向量 α1 , α 2 ， 使得 T1 (α1 ) ≠ 0 ， T2 (α 2 ) ≠ 0 ，
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a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
0
四、 （12 分） 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，A 的所有特征值都小于 a ，B 的所有特征值都小 于 b ，则矩阵 A+B 的所有特征值都小于 a b 。
五、 （14 分） 证明，对 n 维线性空间 V 中的线性变换 可逆的充要条件是 把 V 的一组基 仍变为一组基。
2、证明 0, 0 ； 3、 设 是 V 的线性变换且满足 n 0, n1 0, 则存在 V 的基， 使 在该基下的矩阵 与 1 中 的矩阵 A 相同。
五、 （18 分）设 0 是非齐次线性方程组 AX=B 的一个解，1 ,2 , 的基础解系，证明： 1、 0 ， 0 1 , 0 2 , , 0 r 线性无关； 2、n 元向量 是这个方程组的解的充要条件是存在 r 1 数
八、 （10 分） 设 为一复数，且是数域 F 上的非零多项式 g ( x) 的根，令 W { f ( x) F[ x]| f ( ) 0} 证明： 在 W 中存在多项式 p( x) ,使得对任一 f ( x) W ， 都有 p( x) | f ( x) ， 且 p ( x) 在数域 F 上不可约。
七、 （16 分）设 A，B 与两个 n 阶复矩阵，是 B 的特征多项式，证明， ( A) 为可 逆矩阵的充要是 A 与 B 没有公共的条件征值。
八、 （16 分） 设 A 是 n 阶实方阵， X 与 均为实 n 元列向量， 证明， 线性方程组 AX 是有解的充要条件是 与线性方程组 AX 0 的解空间正交。
,r
线性无关， i aij j (i 1, 2, 1、向量组 1 , 2 , 2、 s r 时， 1 , 2 ,
, s) ，求证
, s 的秩等于矩阵 A (aij ) 的秩； , s 线性无关的充要条件是 | A | 0 。
2004 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
2005 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率与数理统计；研究方向：各方向。 一、 （16 分）证明多项式 x4 32 x 1 在有理数域上不可约。
二、 （16 分）设 V 是数域 F 的上全体 n 阶方阵作成的线性空间，A，B，C，D V， 对任意 X V ，定义 ( X ) AXB CX XD ，证明： 1、 是 V 的线性变换； 2、当 C=D 时， 为可逆线性变换当且仅当 | AB | 0 。
六、 （12 分）
2 设 A 是数域 F 上的 n 阶方阵，I 是 n 阶单位矩阵， A I ， V1 ,V2 分别是线性 方程组 ( I A) X 0和( I A) X 0 的解空间，则 F n V1 V2 ，其中 F n 是所有 n 维
向量所成的向量空间。
七、 （14 分） 设 4 阶实对称矩阵 A 的特征值为 3,1,1,1 ，已知属于特征值 1 的特征向量是 1 1 1 1 0 0 1 , 2 , 3 0 1 0 0 0 1 1、求属于特征值 3 的特征向量 ； 2、求矩阵 A。
2003 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （20 分）用 ( f ( x), g ( x)) 表示数域 F 上多项式 f(x)和 g(x)的首项系数为 1 的最大 公因式。证明： ( f ( x), g ( x)) ( f ( x) 2g ( x), f ( x) g ( x)) 。 二、 （20 分）叙述实系数多项式的因式分解定理，并将多项式 x10 1 在实数域上分 解为不可约多项式的乘积。 三、 （20 分）设 F 为数域，已知矩阵 A F nn ，的列向量是一齐次线性方程组的基 础解系， 证明矩阵 C F nn 的列向量也是该齐次线性方程组的基础解系的充要条件 为：存在可逆矩阵 B F nn ，使 C AB 。 四、 （20 分）设 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换， 与 分别是 的属于 特征值 1与2 的特征向量，而且 1 2 ，试证： 1、 , 线性无关； 2、 不可能是 的特征向量。 五、 （20 分） 设数域 F 上 n 维线性空间 V W1 W2 ， 则任一 x V 可表示为 x x1 x2 ， 其中 xi Wi (i 1, 2) ，我们把变换 ( x) : x x1 称为在 W1 上的投影变换，试证： 1、投影变换也是线性变换； 2、V 的线性变换 是投影变换的充要条件是 在 V 的任何基下的矩阵 A 满足 A2 A. 六、 （20 分）设 f ( x) x n an1 x n1
U {v V |,[u, v] 0, u U} ，证明 U 是 u U 是 V 的 不变子空间； 3、设 n 2,U 是 V 的一个由 和 生成的子空间且 [ , ] 0 ，证明 U {0} ； 4、是否存在一维和三维 S 空间？说明理由。
六、 （12 分） 设 A， B 都是 n 阶实对称矩阵， 证明： 存在正交矩阵 P， 使得 P 1 AP B 的充要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式。 七、 （12 分）线性变换 称为幂等的，如果 2 。设 与 都是空间 V 的幂等变 换，证明 是幂等变换的充要条件是 。 八、 （10 分）设 V 是复数域上的有限维线性空间， 是 V 的线性变换，如果对 V 的任意 U（即 (U ) U ） ，存在 V 的 子空间 W，满足 V U W ，则称 是完 全可约的。证明 是完全可约的当且仅当 V 有由特征向量组成的基。
0 0 0 二、 （16 分）设 V 是数域 F 上全体三阶矩阵所作成的线性空间， A 0 0 1 ， 0 0 0 令 W {B V ,| AB 0} （1）证明 W 是 V 的一个子空间； （2）求 W； （3）求 W 的维数和一组基。
三、 （14 分） 设 V 是数域 F 上全体 n 阶方阵所作成的线性空间,C 为 V 中一个矩阵， 定义 V 的变换 : ( A) CA AC ，证明： （1） 是 V 的一个线性变换； （2）对 V 中任意的 A，B，都有 ( AB) ( A) B A ( B) 。
四（18 分）设 V 是数域 F 上的骊性空间， 1 , 2 ,
(i ) i 1,i 1,Байду номын сангаас2,
n n 1
, n 是 V 的基，于是由 , n 1, ( n ) 0 定义了 V 的一个线性变换 ， , n 下的矩阵 A；
1、试求 在基 1 , 2 ,
a1 x a0 F [ x] 是数域 F 上的不可约多项式，
是 f ( x) 的一复数根， 1、证明： F[ ] {g ( ) | g ( x) F[ x]} 是 F 上 n 维线性空间，且 1, , , n1 是一基； 2、定义 F[ ] 的线性变换 : ，求 在上述基下对应的矩阵 An ，并求行列
2002 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （12 分）设 p(x)为数域 F 上的次数大于 0 的多项式，证明：如果 p(x)对任意多 项式 f(x),都有 p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1，则 p(x)必为 F 上的不可约多项式。
三、 （14 分） 证明线性方程组
对任何 b1 , b2 ,
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn , bn 都有解的充要条件是系数行列式
a 2 0 四、 （12 分）设矩阵 A b 1 2 的三个特征值为 4,1, 2 ，求 a, b, c 。 c 2 0
五、 （12 分）设 1 , 2 ,
P1 , P2 ,
, n 是线性无关的 n 元向量，P 为 n 阶方阵，试给出向量组 , Pn 线性无关的充要条件，并证明你的结论。
式 | An | 。 七、 （15 分）设 A 与 B 是两个 n 阶实对称矩阵，且 A 是正定矩阵，试证，存在一 个 n 阶实可逆矩阵 T，使 T AT 及T BT 都是对角矩阵。 八、 （15 分） 设 1 , 2 ,
r j 1
, r 与 1 , 2 ,
且 1 , 2 , , s 是线性空间 V 的两组向量，
三、 （16 分）设 ( f ( x), g ( x)) 表示数域 F 上多项式 f ( x), g ( x) 的首 1 最大公因式， 证明：如果 ( f1 ( x), f 2 ( x)) 1 ，则对任意的 g ( x) F[ x], 有
( f1 ( x) f2 ( x), g ( x)) (( f1 ( x) g ( x))( f 2 ( x) g ( x)) .
2001 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学，应用数学 一、 （12 分） 计算行列式 QQ：962914132 研究方向：各方向。
Dn
1 c1b1 c1b2 c2b1 1 c2b2 cnb1 cnb2
c1bn c2bn 1 cnbn
二、 （12 分） 如果 f1 ( x), f2 ( x), f3 ( x) 是数域 F 上线性空间 F[x]中三个互素的多项式，但其中 任意两个都不互素，证明： f1 ( x), f2 ( x), f3 ( x) 线性无关。
,r 是它的导出组
ki (i 1, 2,
, r ), k1 k2
kr 1 ，使得 k1 ( 0 1 ) k2 ( 0 2 )