首都师范大学2001-2012高等代数考研真题
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2001 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学，应用数学 一、 （12 分） 计算行列式 QQ：962914132 研究方向：各方向。
Dn
1 c1b1 c1b2 c2b1 1 c2b2 cnb1 cnb2
c1bn c2bn 1 cnbn
二、 （12 分） 如果 f1 ( x), f2 ( x), f3 ( x) 是数域 F 上线性空间 F[x]中三个互素的多项式，但其中 任意两个都不互素，证明： f1 ( x), f2 ( x), f3 ( x) 线性无关。
三、 （16 分）设 ( f ( x), g ( x)) 表示数域 F 上多项式 f ( x), g ( x) 的首 1 最大公因式， 证明：如果 ( f1 ( x), f 2 ( x)) 1 ，则对任意的 g ( x) F[ x], 有
( f1 ( x) f2 ( x), g ( x)) (( f1 ( x) g ( x))( f 2 ( x) g ( x)) .
六、 （12 分） 设 A， B 都是 n 阶实对称矩阵， 证明： 存在正交矩阵 P， 使得 P 1 AP B 的充要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式。 七、 （12 分）线性变换 称为幂等的，如果 2 。设 与 都是空间 V 的幂等变 换，证明 是幂等变换的充要条件是 。 八、 （10 分）设 V 是复数域上的有限维线性空间， 是 V 的线性变换，如果对 V 的任意 U（即 (U ) U ） ，存在 V 的 子空间 W，满足 V U W ，则称 是完 全可约的。证明 是完全可约的当且仅当 V 有由特征向量组成的基。
四（18 分）设 V 是数域 F 上的骊性空间， 1 , 2 ,
(i ) i 1,i 1, 2,
n n 1
, n 是 V 的基，于是由 , n 1, ( n ) 0 定义了 V 的一个线性变换 ， , n 下的矩阵 A；
1、试求 在基 1 , 2 ,
,r
线性无关， i aij j (i 1, 2, 1、向量组 1 , 2 , 2、 s r 时， 1 , 2 ,
, s) ，求证
, s 的秩等于矩阵 A (aij ) 的秩； , s 线性无关的充要条件是 | A | 0 。
2004 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
九、 （16 分）设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间，若能在 V 上定义一个二元函数， 记为 [ , ] ，满足以下性质： （1） ， [k , ][ , ] k ，对任意 , V , k R ； （2） [ , ] [ , ] [ , ] ，对任意 , , V ； （3） [ , ] [ , ] ，对任意 , V ； （4）对对任意 V \{0} ，存在 V ，使 [ , ] 0 。 则称 V 为 S 空间，在 n 维 S 空间 V 中，回答下列问题： 1、证明，对任意， , , V , k R ，有 [ , ] [ , ] [ , ] ， [ , ] 0 ； 2 、 设 是 V 上 的 一 个 可 逆 线 性 变 换 且 满 足 ， 对 任 意 , V ， 有 。 设 U 是 V 的 一 个 不 变 子 空 间 ， 令 [ ( ) , ( ) ] [ , ]
式 | An | 。 七、 （15 分）设 A 与 B 是两个 n 阶实对称矩阵，且 A 是正定矩阵，试证，存在一 个 n 阶实可逆矩阵 T，使 T AT 及T BT 都是对角矩阵。 八、 （15 分） 设 1 , 2 ,
r j 1
, r 与 1 , 2 ,
且 1 , 2 , , s 是线性空间 V 的两组向量，
a 2 0 四、 （12 分）设矩阵 A b 1 2 的三个特征值为 4,1, 2 ，求 a, b, c 。 c 2 0
五、 （12 分）设 1 , 2 ,
P1 , P2 ,
, n 是线性无关的 n 元向量，P 为 n 阶方阵，试给出向量组 , Pn 线性无关的充要条件，并证明你的结论。
八、 （10 分） 设 为一复数，且是数域 F 上的非零多项式 g ( x) 的根，令 W { f ( x) F[ x]| f ( ) 0} 证明： 在 W 中存在多项式 p( x) ,使得对任一 f ( x) W ， 都有 p( x) | f ( x) ， 且 p ( x) 在数域 F 上不可约。
,r 是它的导出组
ki (i 1, 2,
, r ), k1 k2
kr 1 ，使得 k1 ( 0 1 ) k2 ( 0 2 )
kr ( 0 r ) 。
六、 （18 分）设 C 与 D 为 n 阶实矩阵， A CC, B DD, , 为正实数，证明： 1、存在方阵 P，使 A B PP ； 2、若 C 与 D 之一为可逆矩阵，则上述矩阵 P 可逆。
三、 （14 分） 证明线性方程组
对任何 b1 , b2 ,
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn , bn 都有解的充要条件是系数行列式
七、 （16 分）设 A，B 与两个 n 阶复矩阵，是 B 的特征多项式，证明， ( A) 为可 逆矩阵的充要是 A 与 B 没有公共的条件征值。
八、 （16 分） 设 A 是 n 阶实方阵， X 与 均为实 n 元列向量， 证明， 线性方程组 AX 是有解的充要条件是 与线性方程组 AX 0 的解空间正交。
a1 x a0 F [ x] 是数域 F 上的不可约多项式，
是 f ( x) 的一复数根， 1、证明： F[ ] {g ( ) | g ( x) F[ x]} 是 F 上 n 维线性空间，且 1, , , n1 是一基； 2、定义 F[ ] 的线性变换 : ，求 在上述基下对应的矩阵 An ，并求行列
六、 （12 分）
2 设 A 是数域 F 上的 n 阶方阵，I 是 n 阶单位矩阵， A I ， V1 ,V2 分别是线性 方程组 ( I A) X 0和( I A) X 0 的解空间，则 F n V1 V2 ，其中 F n 是所有 n 维
向量所成的向量空间。
七、 （14 分） 设 4 阶实对称矩阵 A 的特征值为 3,1,1,1 ，已知属于特征值 1 的特征向量是 1 1 1 1 0 0 1 , 2 , 3 0 1 0 0 0 1 1、求属于特征值 3 的特征向量 ； 2、求矩阵 A。
U {v V |,[u, v] 0, u U} ，证明 U 是 u U 是 V 的 不变子空间； 3、设 n 2,U 是 V 的一个由 和 生成的子空间且 [ , ] 0 ，证明 U {0} ； 4、是否存在一维和三维 S 空间？说明理由。
2005 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率与数理统计；研究方向：各方向。 一、 （16 分）证明多项式 x4 32 x 1 在有理数域上不可约。
二、 （16 分）设 V 是数域 F 的上全体 n 阶方阵作成的线性空间，A，B，C，D V， 对任意 X V ，定义 ( X ) AXB CX XD ，证明： 1、 是 V 的线性变换； 2、当 C=D 时， 为可逆线性变换当且仅当 | AB | 0 。
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1Hale Waihona Puke Baidu a2 n ann
0
四、 （12 分） 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，A 的所有特征值都小于 a ，B 的所有特征值都小 于 b ，则矩阵 A+B 的所有特征值都小于 a b 。
五、 （14 分） 证明，对 n 维线性空间 V 中的线性变换 可逆的充要条件是 把 V 的一组基 仍变为一组基。
2002 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （12 分）设 p(x)为数域 F 上的次数大于 0 的多项式，证明：如果 p(x)对任意多 项式 f(x),都有 p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1，则 p(x)必为 F 上的不可约多项式。
2003 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （20 分）用 ( f ( x), g ( x)) 表示数域 F 上多项式 f(x)和 g(x)的首项系数为 1 的最大 公因式。证明： ( f ( x), g ( x)) ( f ( x) 2g ( x), f ( x) g ( x)) 。 二、 （20 分）叙述实系数多项式的因式分解定理，并将多项式 x10 1 在实数域上分 解为不可约多项式的乘积。 三、 （20 分）设 F 为数域，已知矩阵 A F nn ，的列向量是一齐次线性方程组的基 础解系， 证明矩阵 C F nn 的列向量也是该齐次线性方程组的基础解系的充要条件 为：存在可逆矩阵 B F nn ，使 C AB 。 四、 （20 分）设 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换， 与 分别是 的属于 特征值 1与2 的特征向量，而且 1 2 ，试证： 1、 , 线性无关； 2、 不可能是 的特征向量。 五、 （20 分） 设数域 F 上 n 维线性空间 V W1 W2 ， 则任一 x V 可表示为 x x1 x2 ， 其中 xi Wi (i 1, 2) ，我们把变换 ( x) : x x1 称为在 W1 上的投影变换，试证： 1、投影变换也是线性变换； 2、V 的线性变换 是投影变换的充要条件是 在 V 的任何基下的矩阵 A 满足 A2 A. 六、 （20 分）设 f ( x) x n an1 x n1
2、证明 0, 0 ； 3、 设 是 V 的线性变换且满足 n 0, n1 0, 则存在 V 的基， 使 在该基下的矩阵 与 1 中 的矩阵 A 相同。
五、 （18 分）设 0 是非齐次线性方程组 AX=B 的一个解，1 ,2 , 的基础解系，证明： 1、 0 ， 0 1 , 0 2 , , 0 r 线性无关； 2、n 元向量 是这个方程组的解的充要条件是存在 r 1 数
0 0 0 二、 （16 分）设 V 是数域 F 上全体三阶矩阵所作成的线性空间， A 0 0 1 ， 0 0 0 令 W {B V ,| AB 0} （1）证明 W 是 V 的一个子空间； （2）求 W； （3）求 W 的维数和一组基。
三、 （14 分） 设 V 是数域 F 上全体 n 阶方阵所作成的线性空间,C 为 V 中一个矩阵， 定义 V 的变换 : ( A) CA AC ，证明： （1） 是 V 的一个线性变换； （2）对 V 中任意的 A，B，都有 ( AB) ( A) B A ( B) 。
专业：基础数学，应用数学 一、 （12 分） 计算行列式 QQ：962914132 研究方向：各方向。
Dn
1 c1b1 c1b2 c2b1 1 c2b2 cnb1 cnb2
c1bn c2bn 1 cnbn
二、 （12 分） 如果 f1 ( x), f2 ( x), f3 ( x) 是数域 F 上线性空间 F[x]中三个互素的多项式，但其中 任意两个都不互素，证明： f1 ( x), f2 ( x), f3 ( x) 线性无关。
三、 （16 分）设 ( f ( x), g ( x)) 表示数域 F 上多项式 f ( x), g ( x) 的首 1 最大公因式， 证明：如果 ( f1 ( x), f 2 ( x)) 1 ，则对任意的 g ( x) F[ x], 有
( f1 ( x) f2 ( x), g ( x)) (( f1 ( x) g ( x))( f 2 ( x) g ( x)) .
六、 （12 分） 设 A， B 都是 n 阶实对称矩阵， 证明： 存在正交矩阵 P， 使得 P 1 AP B 的充要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式。 七、 （12 分）线性变换 称为幂等的，如果 2 。设 与 都是空间 V 的幂等变 换，证明 是幂等变换的充要条件是 。 八、 （10 分）设 V 是复数域上的有限维线性空间， 是 V 的线性变换，如果对 V 的任意 U（即 (U ) U ） ，存在 V 的 子空间 W，满足 V U W ，则称 是完 全可约的。证明 是完全可约的当且仅当 V 有由特征向量组成的基。
四（18 分）设 V 是数域 F 上的骊性空间， 1 , 2 ,
(i ) i 1,i 1, 2,
n n 1
, n 是 V 的基，于是由 , n 1, ( n ) 0 定义了 V 的一个线性变换 ， , n 下的矩阵 A；
1、试求 在基 1 , 2 ,
,r
线性无关， i aij j (i 1, 2, 1、向量组 1 , 2 , 2、 s r 时， 1 , 2 ,
, s) ，求证
, s 的秩等于矩阵 A (aij ) 的秩； , s 线性无关的充要条件是 | A | 0 。
2004 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
九、 （16 分）设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间，若能在 V 上定义一个二元函数， 记为 [ , ] ，满足以下性质： （1） ， [k , ][ , ] k ，对任意 , V , k R ； （2） [ , ] [ , ] [ , ] ，对任意 , , V ； （3） [ , ] [ , ] ，对任意 , V ； （4）对对任意 V \{0} ，存在 V ，使 [ , ] 0 。 则称 V 为 S 空间，在 n 维 S 空间 V 中，回答下列问题： 1、证明，对任意， , , V , k R ，有 [ , ] [ , ] [ , ] ， [ , ] 0 ； 2 、 设 是 V 上 的 一 个 可 逆 线 性 变 换 且 满 足 ， 对 任 意 , V ， 有 。 设 U 是 V 的 一 个 不 变 子 空 间 ， 令 [ ( ) , ( ) ] [ , ]
式 | An | 。 七、 （15 分）设 A 与 B 是两个 n 阶实对称矩阵，且 A 是正定矩阵，试证，存在一 个 n 阶实可逆矩阵 T，使 T AT 及T BT 都是对角矩阵。 八、 （15 分） 设 1 , 2 ,
r j 1
, r 与 1 , 2 ,
且 1 , 2 , , s 是线性空间 V 的两组向量，
a 2 0 四、 （12 分）设矩阵 A b 1 2 的三个特征值为 4,1, 2 ，求 a, b, c 。 c 2 0
五、 （12 分）设 1 , 2 ,
P1 , P2 ,
, n 是线性无关的 n 元向量，P 为 n 阶方阵，试给出向量组 , Pn 线性无关的充要条件，并证明你的结论。
八、 （10 分） 设 为一复数，且是数域 F 上的非零多项式 g ( x) 的根，令 W { f ( x) F[ x]| f ( ) 0} 证明： 在 W 中存在多项式 p( x) ,使得对任一 f ( x) W ， 都有 p( x) | f ( x) ， 且 p ( x) 在数域 F 上不可约。
,r 是它的导出组
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, r ), k1 k2
kr 1 ，使得 k1 ( 0 1 ) k2 ( 0 2 )
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六、 （18 分）设 C 与 D 为 n 阶实矩阵， A CC, B DD, , 为正实数，证明： 1、存在方阵 P，使 A B PP ； 2、若 C 与 D 之一为可逆矩阵，则上述矩阵 P 可逆。
三、 （14 分） 证明线性方程组
对任何 b1 , b2 ,
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn , bn 都有解的充要条件是系数行列式
七、 （16 分）设 A，B 与两个 n 阶复矩阵，是 B 的特征多项式，证明， ( A) 为可 逆矩阵的充要是 A 与 B 没有公共的条件征值。
八、 （16 分） 设 A 是 n 阶实方阵， X 与 均为实 n 元列向量， 证明， 线性方程组 AX 是有解的充要条件是 与线性方程组 AX 0 的解空间正交。
a1 x a0 F [ x] 是数域 F 上的不可约多项式，
是 f ( x) 的一复数根， 1、证明： F[ ] {g ( ) | g ( x) F[ x]} 是 F 上 n 维线性空间，且 1, , , n1 是一基； 2、定义 F[ ] 的线性变换 : ，求 在上述基下对应的矩阵 An ，并求行列
六、 （12 分）
2 设 A 是数域 F 上的 n 阶方阵，I 是 n 阶单位矩阵， A I ， V1 ,V2 分别是线性 方程组 ( I A) X 0和( I A) X 0 的解空间，则 F n V1 V2 ，其中 F n 是所有 n 维
向量所成的向量空间。
七、 （14 分） 设 4 阶实对称矩阵 A 的特征值为 3,1,1,1 ，已知属于特征值 1 的特征向量是 1 1 1 1 0 0 1 , 2 , 3 0 1 0 0 0 1 1、求属于特征值 3 的特征向量 ； 2、求矩阵 A。
U {v V |,[u, v] 0, u U} ，证明 U 是 u U 是 V 的 不变子空间； 3、设 n 2,U 是 V 的一个由 和 生成的子空间且 [ , ] 0 ，证明 U {0} ； 4、是否存在一维和三维 S 空间？说明理由。
2005 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率与数理统计；研究方向：各方向。 一、 （16 分）证明多项式 x4 32 x 1 在有理数域上不可约。
二、 （16 分）设 V 是数域 F 的上全体 n 阶方阵作成的线性空间，A，B，C，D V， 对任意 X V ，定义 ( X ) AXB CX XD ，证明： 1、 是 V 的线性变换； 2、当 C=D 时， 为可逆线性变换当且仅当 | AB | 0 。
a11 a21 an1
a12 a22 an 2
a1Hale Waihona Puke Baidu a2 n ann
0
四、 （12 分） 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，A 的所有特征值都小于 a ，B 的所有特征值都小 于 b ，则矩阵 A+B 的所有特征值都小于 a b 。
五、 （14 分） 证明，对 n 维线性空间 V 中的线性变换 可逆的充要条件是 把 V 的一组基 仍变为一组基。
2002 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （12 分）设 p(x)为数域 F 上的次数大于 0 的多项式，证明：如果 p(x)对任意多 项式 f(x),都有 p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1，则 p(x)必为 F 上的不可约多项式。
2003 年首都师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷
专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （20 分）用 ( f ( x), g ( x)) 表示数域 F 上多项式 f(x)和 g(x)的首项系数为 1 的最大 公因式。证明： ( f ( x), g ( x)) ( f ( x) 2g ( x), f ( x) g ( x)) 。 二、 （20 分）叙述实系数多项式的因式分解定理，并将多项式 x10 1 在实数域上分 解为不可约多项式的乘积。 三、 （20 分）设 F 为数域，已知矩阵 A F nn ，的列向量是一齐次线性方程组的基 础解系， 证明矩阵 C F nn 的列向量也是该齐次线性方程组的基础解系的充要条件 为：存在可逆矩阵 B F nn ，使 C AB 。 四、 （20 分）设 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换， 与 分别是 的属于 特征值 1与2 的特征向量，而且 1 2 ，试证： 1、 , 线性无关； 2、 不可能是 的特征向量。 五、 （20 分） 设数域 F 上 n 维线性空间 V W1 W2 ， 则任一 x V 可表示为 x x1 x2 ， 其中 xi Wi (i 1, 2) ，我们把变换 ( x) : x x1 称为在 W1 上的投影变换，试证： 1、投影变换也是线性变换； 2、V 的线性变换 是投影变换的充要条件是 在 V 的任何基下的矩阵 A 满足 A2 A. 六、 （20 分）设 f ( x) x n an1 x n1
2、证明 0, 0 ； 3、 设 是 V 的线性变换且满足 n 0, n1 0, 则存在 V 的基， 使 在该基下的矩阵 与 1 中 的矩阵 A 相同。
五、 （18 分）设 0 是非齐次线性方程组 AX=B 的一个解，1 ,2 , 的基础解系，证明： 1、 0 ， 0 1 , 0 2 , , 0 r 线性无关； 2、n 元向量 是这个方程组的解的充要条件是存在 r 1 数
0 0 0 二、 （16 分）设 V 是数域 F 上全体三阶矩阵所作成的线性空间， A 0 0 1 ， 0 0 0 令 W {B V ,| AB 0} （1）证明 W 是 V 的一个子空间； （2）求 W； （3）求 W 的维数和一组基。
三、 （14 分） 设 V 是数域 F 上全体 n 阶方阵所作成的线性空间,C 为 V 中一个矩阵， 定义 V 的变换 : ( A) CA AC ，证明： （1） 是 V 的一个线性变换； （2）对 V 中任意的 A，B，都有 ( AB) ( A) B A ( B) 。