高考以立体几何为背景的新颖问题

立体几何为背景的新颖问题

以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.

【例1】（2020•全国二模）我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”下图解释了这段话中由一个长方体，得到“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”的过程．已知堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑的体积最小值为()

A．2B．6+C．2+D．1+

解：已知可得，堑堵的内切球直径恰为堑堵的边长a，则2

a=．

易知，截面的内切圆与堑堵内切球最大的圆全等，设内切圆半径为r，则1

r=．如图可知，

根据三角形面积公式可得：11

(22bc r b c =+，则222b c bc +=+，

0b >，0c >，222224b c b c bc ∴+b c =时取等号．

24bc bc ∴+，即220-．解得：022<-或22+．

又内切圆半径1r b =<，r c <，∴1>．∴22+，即642bc +．

∴鳖臑的体积为1

1142

23233

V a

bc bc ==+

．故选：C ． 【例2】（2020•3月份模拟）

111ABC A B C -中，ABC ∆的边长为2，D 为棱11B C 的中点，若一只蚂蚁从点A 沿表面爬向点D ，则蚂蚁爬行的最短距离为( )

A ．3

B ．

C ．

D ．2

解：如图：

当按图①走时，DE =

；13

222

AE =-=；3AD ===；

当按图②走时，DE =；213AE =+=；AD 故蚂蚁爬行的最短距离为：3；故选：A ．

【例3】（2019•全国三模）如图，直角梯形ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2CD =，1AB BC ==，E 是边CD 中点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，则点C 到平面ABD '距离的最大值为( )

A ．

1

2

B C D ．1

解：直角梯形ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2CD =，1AB BC ==，

E 是边CD 中点，ADE ∆沿AE 翻折成四棱锥D ABCE '-，

当D E CE '⊥时，点C 到平面ABD '距离取最大值，

D E AE '⊥，CE AE E =，D E ∴'⊥平面ABCE ，

以E 为原点，EC 为x 轴，EA 为y 轴，ED '为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0A ，1，0)，(1C ，0，0)，(0D '，0，1)，(1B ，1，0)， (1AB =，0，0)，(1AC =，1-，0)，(0AD '=，1-，1)，

设平面ABD '的法向量(n x =，y ，)z ，

则00n AB x n AD y z ⎧==⎪⎨'=-+=⎪⎩

，取1y =，得(0n =，1，1)，

∴点C 到平面ABD '距离的最大值为：||||2

AC n d n =

==．故选：B ．

【变式训练】（2020•4月份模拟）如图所示，三棱锥A BCD -的顶点A ，B ，C ，D

面上，ABD ∆与BCD ∆为直角三角形，ABC ∆是边长为2的等边三角形，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为 ．

解：设AP x =，x ∈．由题意可知：BD 的中点O 为球心，当平面ABD ⊥平面BCD 时， 三棱锥P QCO -体积21111121

(2)2sin 45(2)(3326612

OCQ x V PO S x x x x ∆+==⨯-⨯⨯︒==

，当

且仅当x 时取等号． ∴三棱锥P QCO -体积的最大值为

112．故答案为：112

．

1．（2020•吉林模拟）我国古代的数学著作《九章算术商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵” 111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，M 、N 分别是1BB 和11A C 的中点，则平面AMN 截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形的面积为( )

A B C D 解：延长AN ，与1CC 的延长线交于点P ，则P ∈平面11BB C C ， 连结PM ，与11B C 交于点E ，连结NE ，

得到的四边形AMEN 是平面AMN 截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形，

由题意得NE ME ==

，AM AN =，MN AMN ∴截“堑堵” 111ABC A B C -所得截面图形面积为：

1122S =

． 故选：A ．

2．（2020春•全国月考）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且BD CD ⊥，AB BD CD ==，则直线AC 与平面ABD 所成角的正切值是( )

A B ．2

C D