说题(有关高中一道数学题的说题)

讲解人：杜英慧 永吉县第四中学
高考试题的“一体四层四翼”和“五应对” 一体:是落实立德树人的根本任务，服务选拔， 导向教学。回答了“为什么考”的问题 四层：是必备知识、关键能力、学科素养、核 心价值。回答了“考什么”的问题。 四翼：是基础性、综合性、应用性、创新性。 回答了“怎么考”的问题。 五应对：基础性应对、综合性应对、应用性应 对、创新性应对、方法策略应对。尝试回答了 我们教师和学生如何应对高考的问题
3.已知函数f ( x) 3sin x 4cos x的图象 关于直线x a对称，则实数a的范围可 以是
0 ， A． 4

3 C． ， 2 4
B． ， 4 2 3 ， D． 4
二、内容分析
1、考查内容：近十年高考每年一道选择题，考察三 角函数的周期性、单调性、对称性、奇偶性、图象 变换、恒等变换等。
2、已知条件：已知函数的表达式或者是函数周期性、 单调性、对称性、奇偶性中的一个或两个或者质点 运动的轨迹。 3、难点分析：等价转化，三角函数与其它学科内 部知识的整合，如导数、向量、不等式、定积分等
若 x x0是函数的一条对称轴 2. 已知函数 f ( x) a sin x b cos， x， 则 ’ ( x0 ) a cos x0 b sin x0 =0，且 ，且 若 xf 0是函数的一条对称轴 a tan x 3, 则点（ a , b ) 所在的直线为 0 3,即 tan x tan x =3, a =3b则 0 0 b ______ 点（a, b)所在的直线为x 3y 0
抽象函数对称性 1.函数y=f ( x)定义域为R，满足
f (a x) f (b x )则函数图象 ab 关于x= 对称 2 特例：
1）若f (a x) f (a x)，则对称轴为x a 2）若f (2a x) f ( x)，则对称轴为x a 3）若f ( x) f ( x)，则对称轴为x 0 （y轴、偶函数）
函数化为一角一函数（化归思想）
解法四（辅助角法） 由辅助角公式得 sin x a cos x = a 2 1 sin( x )
是辅助角， tan a, 又x
由对称轴公式得 即a 1

4
是f ( x)的一条对称轴，

4


2
k ，

4
k 则 tan 1,
抽象函数对称性 2.函数y=f ( x)定义域为R，满足
f (a x) f (b x)则函数图象 ab 关于点 ,0 对称 2 特例：
1）若f (a x) f (a x), 则对称中心 ? 0 a， 2）若f (2a x) f ( x), 则对称中心 a， 0 3）若f ( x) f ( x), 则对称中心 0， 0 （原点、奇函数）
-6 -5
fx = cosx
三、解法分析
7. 【2018吉林市第二次调研理10 】（5分） 已知函数f ( x) sin x a cos x(a R )对任意 x R都满足f ( x) f ( x)，则函数 4 4 g ( x) sin x f ( x )的最大值为


4
两侧取

解法二是特值法，是在理解解法一的基础 上取特值，简单（计算时少了x，看着舒服， 还好想，小题小做，提倡用这种方法）
a 1
解法三（最值法） 由辅助角公式得 sin x a cos x = a 2 1 sin( x ) x

4
是f ( x)的一条对称轴，由对称轴性质得
抽象函数对称性周期性综合 3.函数y=f ( x)定义域为R，
满足f (a x) f (a x ), f (b x) f (b x ), 则函数周期为T=4 a b 4.函数y=f ( x)定义域为R， 满足f (a x) f (a x ), f (b x) f (b x), 则函数周期为T= 4 a b


1 5 ， A． 2 4
1 3 B． ， 2 4
2 D． 0 ，
1 0 ， C． 2
(自编题) 已知函数f ( x)对任意x R都满足 f (2 x) f (2 x)，f (7 x) f (7 x)且 在区间 0， 7 上只有f (1)=f (3)=0 1）试确定f ( x)的奇偶性 2）求函数f ( x)在区间 -2018，2018 上的 零点个数
五、反思小结
新课程背景下的高考试题，突出通性通法，考查 双基，淡化特殊技巧，试题对数学思想方法的考查 贯穿始终，不漏声色。本题正是在这个大的背景下
以三角函数对称性为载体的解法。题虽小，但考查
的内容非常丰富，一题多法，举一反三。并且，它 的解题思想具有一定规律，可以类比推广。 从这几年的高考试卷来看，学生主要存在的问题 基础知识不扎实，计算能力差，综合能力弱。而三
sin x不恒为0
解法一是利用对称轴的定义，不需要 任何转化，题面代入，只要两角和差公 式熟练到位，学生可以用这样的基础方 法解题。
解法二（特值法） 函数f ( x)对x R都满足f ( x) f ( x)， 4 4 x



4
是f ( x)的一条对称轴，则只在x

f (0) f ( )，即sin 0 a cos 0 sin a cos 2 2 2
角函数性质的考察恰好可以训练基本知识，基本技
能，基本方法，提高学生小综合的能力。
敬请指导！
A． 5 C． 5
B． 3 D． 3
解法一（代入法） 函数f ( x)= sin x a cos x，对x R都满足 f(

4
x) f (

4
x)，则
sin(

4
x) a cos(

4
x) sin(

4
x) a cos(
Biblioteka Baidu
4
x)
化简得 2 (1 a )sin x 0，又 1 a =0 a 1
2
f ( ) a 1，则sin a cos a 1 4 4 4 即a 1
2



通过三角恒等变换将函数化为 y a sin x b cos x
形 式 形式，利用 ， 最 x 终 y A sin( ) 化 为
对称轴处取最值的性质求解。实质：将多个三角
数学核心素养
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核心内容
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主题教学
高考
命题 立意 试题 背景 例题 讲解
说题
链接 题型 拓展 变式 训练
一、背景分析
三角函数是新课标人教版必修4的内容。它是基本 初等函数，是描述周期和对称现象的重要模型，在数 学和其他领域中具有重要的作用。2018年全国新课标 版高考《考试大纲》与2017年考试大纲相比，没有任 何变化。今年数学高考试题的命制将按照“考察基础 知识的同时，注重考察能力”的原则，将知识、能力 和素质融为一体，全面考察学生的核心素养。在能力 要求上，着重考察五种能力和两种意识(空间想象能 力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、 数据处理能力，应用意识与创新意识）。随着高考试 题难度的降低，综合性的提高，对注重基础知识、基 本技能和基本方法的学习；注重提高学科内知识应用 综合性能力的要求就会越高。三角函数图象与性质的 考察就是很好的载体。

x) f (

x)，则 x

是一条对称轴



解法四是利用导数工具，其中涉及 极值点的知识，对思维要求会高一些。 学科内综合，是今后出题的方向，应 予以重视，也是出题者的意图所在。
1.已知函数f ( x) sin 2x a cos 2x的图象
关于 xf ( x，则实数 2.解： ) a sin xa的值为 b cos _______ x，求导 8 f’ ( x) a cos x b sin x，
抽象函数对称性、周期性综合 1 . 函数 y= f ( x ) 定义域为 R ， 1.函数y=f ( x)定义域为R， 满足f (a xx )a (a x ), 满足关于 = , xf b对 称
f ( b x ) f ( b x ) , 则函数周期为T=2 a b 则函数 周期为T=2 a b 2.函数y=f ( x)定义域为R， 2.函数y=f ( x)定义域为R， 满足f (a x) f (a x ), 满足关于点(a， 0),(b， 0)对称, f (b x) f (b x ), 则函数周期为T=2 a b 则函数周期为T=2 a b
知识准备
1．正弦曲线
1 -2 - -1
y 0 2 3 4 5 6 x
-6 -5 -4 -3
fx = sinx
2. 余弦曲线
1 -4 -3 -2 - -1
y 0 2 3 4 5 6
-6 -5
fx = cosx
（2014湖南，理9）已知函数f ( x) sin （x-） 且
2 3 0
5 x A． 6
x C．
f ( x)dx 0，则函数的一条对称轴


7 x B． 12
D．x

3
6
（2012年新课标全国卷理科第9题） 已知 0函数f ( x) sin( x + ) 4 在 ， 单调递减，则的取值范围 2
通过三角恒等变换将函数化为 y a sin x b cos x
形 式 形式，利用 ， 最 x 终 y A sin( ) 化 为
辅助角的正切值求解。实质：将多个三角
函数化为一角一函数（化归思想）
解法五（导数法） f’ ( x)= cos x a sin x，对x R都满足 4 4 4 由于三角函数对称轴处恰为极值点 f’ ( )= cos a sin =0 a 1 4 4 4 f(
抽象函数周期性
1.函数y=f ( x)定义域为R，满足 f (a x) f (b x)则函数
特例：
周期为T= a b
1）若f ( a x ) f ( x )则周期为 ? T 2a 1 2）若f ( a x) 则周期为T 2a f ( x) 1 3）若f ( a x) 则周期为T 2a f ( x)
4、关键点：化辅助角公式y=Asin(ω x+φ ) 和函数 求导
知识准备
1．正弦曲线
1 -2 - -1
y 0 2 3 4 5 6 x
-6 -5 -4 -3
fx = sinx
2. 余弦曲线
1 -4 -3 -2 - -1
y 0 2 3 4 5 6