动力学普遍方程和拉格朗日方程

d ∂L ∂L & − ∂θ = 0 dt ∂θ
∂L & = mr & ∂r d ∂L = m&& r & dt ∂r ∂L & = mrθ 2 + mg cosθ − k (r − l 0) ∂r ∂L 2 & = mr θ & ∂θ d ∂L 2 & && = 2mrrθ + m r θ& & dt ∂θ ∂L = −mgr sin θ ∂θ
设完整约束的质点系由n个质点组成,系统的自 由度为k,广义坐标为 q , q ......, q
1 2 k
各质点相对于定点O的矢径可表示为
r = r (q ,q ,......,q ,t)
i i 1 2 k
(i =1 2,.......) ,
(25.5)
各点的虚位移可表示为
δ ri = ∑
i= 1 n
n
+ ∑ (− mi ai ) •
j =1
∂ ri ∂q
j
]δ q = 0
j
改写为
∑[Q −
i =1
d ∂T ∂T ( )+ ]δ q = 0 j dt ∂ q ∂q
j j
因为 δ q1 ,δ q 2 .......qn
的相互独立性
d ∂T ∂T − =Q j dt ∂ q ∂ q &
j j
得第二类拉格朗日方程
1 1 2 2 T 2 = 2 m vC + 2 J C ω 2 1 1 1 2 2 2 & = m[v A + vCA − 2 v A vCA cos(π − ϕ )] + ( m l )ϕ 2 2 2 12 1 l l 1 2 & & & & & = m[ x 2 + ( ϕ ) 2 + 2 x( ϕ ) cos ϕ ] + m l ϕ 2 2 2 2 24 1 2 1 1 2 & + m l ϕ 2 + mlxϕ cos ϕ & && = mx 2 6 2
第二十五章
动力学普遍方程和 拉格朗日方程
25.1 25.2
动力学普遍方程 第二类拉格朗日方程 例题2 例题3 例题4
例题1
例题5
第二十五章
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
根据达朗伯原理和虚位移原理， 根据达朗伯原理和虚位移原理，可 达朗伯原理 以导出非自由质点的动力学普遍方程 动力学普遍方程。 以导出非自由质点的动力学普遍方程。 利用它解决问题时， 利用它解决问题时，可以避免约束反力 在动力学方程中的出现，比较方便! 在动力学方程中的出现，比较方便
(i =1 2,..........n) ,
对这n个式子求和
(25.2)
iq i
∑ (F + N + F )δ r = 0
i= 1 i i
n
(25.3)
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
∑Nδ r = 0
i= 1 i i
n
上式变为：
（ ∑ (F + F )δ r = 0或者∑ F −ma)δ r = 0(25.4)
i= 1
n
r a ∂q
∂r
i j
先引入两个经典的拉格朗日关系式： 第一个经典拉格朗日方程
1 2 k
由 r = r (q , q ,......, q , t ) 再对 求偏导数
对时间求导
得到
∂ vi ∂q &
j
=
∂ ri ∂q
j
或
∂q &
∂ ri &
j
=
∂ ri ∂q
j
( j = 1,2...k )
得
& m&& − mrθ 2 + mg (1 − cosθ ) + k (r − 1) = 0 r & && rθ& + 2rθ + g sin θ = 0
图是一质量为M的均质圆盘 的均质圆盘， 例25.3 图是一质量为 的均质圆盘，半径为 R,其中心 与弹性系数为 ，弹簧原长为l 0， 其中心A与弹性系数为 其中心 与弹性系数为k， 且与水平地面平行的弹簧一端相连， 且与水平地面平行的弹簧一端相连，弹簧 的另一端固定。质量为m， 的另一端固定。质量为 ，长为l 的均质杆 AB通过以光滑铰链 与圆盘中心相连。若圆 通过以光滑铰链A与圆盘中心相连 通过以光滑铰链 与圆盘中心相连。 盘在水平地面上作纯滚动， 盘在水平地面上作纯滚动，试求系统运动的 拉式方程。 拉式方程。 B kC
若质点系所受的全部的主动力为有势力 Q j
∂V =− ∂q
j
系统的势能只是系统广义坐标的函数 可得
d ∂(T −V) ∂(T −V） [ ]− =0 dt ∂q ∂q &
j j
∂V =0 ∂q &
j
引进L=T-V,成为拉格朗日函数，则上式为
d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q ∂ q &
j j
应用动力学普遍方程解题时的注意事项： （1）系统中各质点的加速度与各刚体 的角速度都必须是绝对加速度于绝对角 速度。 （2）计算主动力与惯性力的虚功时所 涉及到的虚位移必须是绝对虚位移。 拉格朗日方程得解题步骤 （1）以整个系统为研究对象，分析系统的 约束性质，确定系统的自由度数，并恰当选 取同样数目的广义坐标
即
v ∂q
∂r
i s
∂r d = ( ri ) dt ∂q
s
也可以写为
v ∂q
∂r
i j
r d ∂ri ) = ( dt ∂q
j
n
或
i =1
r ∂q
∂r
i j
r d ∂ri = ( ) dt ∂q
j
j
( j =1 2...k) ,
对于不变质点系 由
j
G j = −∑ [
∂ d )] • r i (mi vi ∂ dt q
∂ ∂ d d d ∂ [(mi vi ) • r i ] = [ (mi vi )] • r i + (mi vi ) ( r i ) dt dt dt ∂ q ∂q ∂q
j j
得
G
j
n ∂ vi ∂ d = −∑ [(mi vi ) • ] + ∑ (mi v i ) • v i ∂q ∂q i =1 dt & i =1 n j
（2）写出广义坐标，广义速度表示的系统 的动能 （3）计算广义力。比较方便而且常用得式 [δW ] = 由公式 Q δ q 计算。当主动力均为有势 力时，则需求广义坐标表示的系统的势能， 并写出拉氏函数。
j j j
（4）计算各相应的导数 （5）根据相应形式的拉氏方程，建立质点系 的运动微分方程。
例25．2 一质量为m的小球与弹簧的一端相连， ． 一质量为 的小球与弹簧的一端相连， 的小球与弹簧的一端相连 弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计， 弹簧的另一端固定。已知弹簧的质量不计，弹 性系数为k，在平衡位置式的长度为L。 性系数为 ，在平衡位置式的长度为 。是求小 球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。 球在同一铅垂面内运动的拉氏方程。 (1) 取小球和 弹簧组成的系统为 研究对象， 研究对象，系统由 两个自由度， 两个自由度，选取 小球的极坐标 (r ,θ ) 为 广义坐标 o r k m
j
=0
（25.7）
求和顺序得
∂
n i i i j j =1 i i j
r ∂r [∑ r ⋅ r + ∑ (− m r ) • r ]δ q ∑ F ∂ a ∂q q
j =1 i =1 j
=0
n
广义主动力： 广义达朗伯惯性力： （1）
i i
=∑ r • Q
j i= 1 i
r F ∂q
i
∂r
i j
= ∑ −m r ) • Gj ( i
M M a
1q
2q
B
1q
F
2q
A
P
F
F Q
β
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3q
P
解: (1)以两轮和连杆组成 以两轮和连杆组成 的系统为研究对象 系统所受约束为理想约 束
(2)系统所受的主动力为重力 和Q 系统所受的主动力为重力P,P和 系统所受的主动力为重力 (3) 轮子作纯滚动,其达朗伯惯性系可以简化为 轮子作纯滚动 其达朗伯惯性系可以简化为 通过轮心的达朗伯惯性力
r 在任意瞬时,加速度为a
i
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
r =− r mai Fiq i
则
约束反力的合力
r+r+r F N F
i i
=0
iq
(i =1 2,..........n) ,
(25.1)
作用于此质点上 的主动力的合力
达朗伯惯性力
点积虚位移 δ r i
(Fi + Ni + Fiq)δ ri = 0
（2） 第二个经典拉格朗日方程 在上式对s个广义坐标 qs (s = 1,2..., k )求偏导数得 ∂r ∂ r v =∑ r & + ∂ r ∂q ∂q ∂q q ∂t∂q r r ∂ ∂r & ∂ ∂r =∑ ( ) q + ∂t (∂q ) ∂q ∂q
k 2 2 i i i s 1 j= j s j s k i i j= 1 j s j s
（5） 根据动力学普遍方程
(2 P + Q) sin βδs − ( F 1q + F 2 q + F 3q )δs − ( M 1q + M 2 q )δϕ = 0
得：
a=
(2 P + Q) g r sin β
2
(2 P + Q ) r + 2 Jg
2
方向平行于斜面向下. 方向平行于斜面向下
25.2 第二类拉格朗日方程 直接用质点系的广义坐标的变分来表示各 质点的虚位移,对完整约束系统来说,可推 得与系统自由度相同的一组独立的运动微 分方程
∂ri
∂q
δ qj
n
(i =1 2...n) （25.6) ,
r )δ r a r
i i
j
代入 ∑
i =1
n
r r ( F i + F iq )δ
r r
i
= 0或者∑ F i − mi （r
i =1
=0
得 交换上式
k n
r r − r )⋅∑ ∂r δ q ∑ (F m a ∂q
n k i i =1 i i i j =1 i
将以上公式代入 G d ∂T 得 =− ( G
j
n ∂ vi ∂ vi d = −∑ [(mi vi ) • ] + ∑ ( mi v i ) • ∂q ∂q & i =1 i =1 dt n
j
dt ∂ q &
∂ ri ∂q
j
)+
j
n
∂T
j
j
∂q
j
由以上将
n
∑ [∑ F i •
j =1 i =1
k
i= 1 i iq i i= 1 i i i i n n
动力学普遍方程或者达朗伯—拉格朗日原理
在具有理想约束的质点系中，在 运动的任一瞬时，作用在其上的主动力 系和达朗伯惯性力系在任意系统的任何 一组虚位移上的虚功之和等于零。 说明
如图所示， 例25.1 如图所示，有两个半径皆为 r的轮子 ，B，轮心通过光滑圆柱铰链 的轮子A， ， 的轮子 与直杆AB相连 相连， 与直杆 相连，在倾角为 β 的固定不 动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为P， 动的斜面上作纯滚动。设两轮重皆为 ， 重心都在轮上，对轮心的转动惯量为J， 重心都在轮上，对轮心的转动惯量为 ， 连杆重Q。求连杆运动的加速度。 连杆重 。求连杆运动的加速度。
mg k
（4）系统的拉格朗日函数 ）
L = T −V = 1 1 1 2 2 & m(r + r θ 2 ) − mg (l − r cosθ ) − k (r − l 0) 2 + k (l − l 0) 2 & 2 2 2
（5）分别计算导数 ）
（6）由保守系统的第二类拉格朗日方程 ）
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂r ∂r
β
(2)系统的动能为 系统的动能为
1 & T = m[ r 2 + ( rθ ) 2 ] 2
（3）设衡位置时系统的势能为零， 则系统的势 ）设衡位置时系统的势能为零， 1 1 能为 V = mg (l − r cosθ ) + k ( r − l ）− （l - l )
2 2
2
0
2
0
其中
l0 = l −
j
r ∂T = ∑m r • v v ∂& & ∂q q & 对 q j , q j求偏导数 ∂r ∂T = ∑m r • v v ∂q ∂q
n
引入系统动能
n 1 2 = ∑1 T = ∑ mi v mi v i • v i i i =1 2 i =1 2
n
∂
i
j
i =1
i
i
j
n
i j
j
i =1
i
i
x
ϕ
v
C
A
v
CA
P
v
解 （1） 系统的自由度为2，以图中的 ） 系统的自由度为 ， ϕ x， 为系统的广义坐标。 ， 为系统的广义坐标。 设杆的质心为C，圆盘的速度瞬心为P 设杆的质心为 ，圆盘的速度瞬心为 (2) 圆盘和杆的动能分别为
& 1 1 3 3 2 2 x 2 & = J P ω 1 = ( M r ) ) = Mx 2 T1 2 2 2 r 4
F 1q = F 2q =
P a g
达朗伯惯性力偶矩 M 1q = M 2q = Jα
3q
其中
α=
a r
连杆作平动,其达朗伯惯性力系可简化为过其 连杆作平动 其达朗伯惯性力系可简化为过其 Q = a 质心的一个达朗伯惯性力 F g 若连杆发生平行于斜面向下的的虚位移为δs , δs δϕ = 则轮心的虚位移也为,轮子相应的虚转角 则轮心的虚位移也为 轮子相应的虚转角 r
第一类拉格朗日方程：用直角坐标描述的
非自由质点系的拉格朗日方程 ------模拟和求解复杂系统的动力学问 模拟和求解复杂系统的动力学问 题
第二类拉格朗日方程：将完整约束系统的动
力学普遍方程表示为广义坐标的形式， 力学普遍方程表示为广义坐标的形式，可以 推得。 推得。 ----可以直接写出个数与系统自由 可以直接写出个数与系统自由 度相同的独立运动方程。 25.1 动力学普遍方程 设一个质点系由n个质点组成， 第i个质点的质量为mi