教用理想气体状态方程的综合应用

第4讲 习题课：理想气体状态方程的综合应用

[目标定位] 1.进一步熟练掌握气体三定律，并能熟练应用.2.熟练掌握各种气体图象，及其它们之间的转换.3.掌握理想气体状态方程的几个推论．

1．气体三定律

(1)玻意耳定律内容：一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强p 与体积V 成反比． 公式：pV ＝C 或p 1V 1＝p 2V 2.

(2)查理定律内容：一定质量的某种气体，在体积不变的情况下，压强p 与热力学温度T 成正比．

公式：p T ＝C 或p 1T 1＝p 2T 2

. (3)盖—吕萨克定律内容：一定质量的某种气体，在压强不变的情况下，其体积V 与热力学温度T 成正比．

公式：V T ＝C 或V 1T 1＝V 2T 2

. 2．理想气体状态方程

对一定质量的理想气体：pV T ＝C 或p 1V 1T 1＝p 2V 2T 2

.

一、相互关联的两部分气体的分析方法

这类问题涉及两部分气体，它们之间虽然没有气体交换，但其压强或体积这些量间有一定的关系，分析清楚这些关系是解决问题的关键，解决这类问题的一般方法是：

(1)分别选取每部分气体为研究对象，确定初、末状态参量，根据状态方程列式求解．

(2)认真分析两部分气体的压强、体积之间的关系，并列出方程．

(3)多个方程联立求解．

例

1 如图1所示，内径均匀的U 形管中装入水银，两管中水银面与管口的距离均为l ＝10.0 cm ，大气压强p 0＝ cmHg 时，将右侧管口封闭，然后从左侧管口处将一活塞缓慢向下推入管中，直到左右两侧水银面高度差达h ＝6.0 cm 为止．求活塞在管内移动的距离．

解析 设活塞移动的距离为x cm ，活塞的横截面积为S ，则左侧气体体积为(l ＋h 2－x )S ，右

侧气体体积为(l －h 2)S ，取右侧气体为研究对象．由玻意耳定律得p 0lS ＝p 2(l －h 2)S

解得p 2＝p 0lS l －h 2S

＝7587 cmHg

左侧气柱的压强为p 1＝p 2＋p h ＝8007 cmHg

取左侧气柱为研究对象，由玻意耳定律得

p 0lS ＝p 1(l ＋h 2－x )S ，解得x ≈6.4 cm.

借题发挥 两部分气体问题中，对每一部分气体来讲都独立满足pV T ＝常数；两部分气体往

往满足一定的联系：如压强关系、体积关系等，从而再列出联系方程即可．

二、变质量问题

分析变质量问题时，可以通过巧妙选择合适的研究对象，使这类问题转化为定质量的气体问题，用理想气体状态方程求解．

1．打气问题

向球、轮胎中充气是一个典型的气体变质量的问题．只要选择球内原有气体和即将打入的气体作为研究对象，就可以把充气过程中的气体质量变化的问题转化为定质量气体的状态变化问题．

2．抽气问题

从容器内抽气的过程中，容器内的气体质量不断减小，这属于变质量问题．分析时，将每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体作为研究对象，总质量不变，故抽气过程可看做是等温膨胀过程．

例

2 氧气瓶的容积是40 L ，其中氧气的压强是130 atm ，规定瓶内氧气压强降到10 atm 时就要重新充氧，有一个车间，每天需要用1 atm 的氧气400 L ，这瓶氧气能用几天假定温度不变．

解析 用如图所示的方框图表示思路．

由V 1→V 2：p 1V 1＝p 2V 2，

V 2＝p 1V 1p 2

＝130×4010 L ＝520 L ， 由(V 2－V 1)→V 3：p 2(V 2－V 1)＝p 3V 3，

V 3＝p 2V 2－V 1p 3＝10×4801 L ＝4 800 L ，

则V 3400 L ＝12(天)．

三、气体图象与图象之间的转换

理想气体状态变化的过程，可以用不同的图象描述．已知某个图象，可

以根据这一图象转换成另一图象，如由p -V 图象变成p -T 图象或V -T

图象．

例

3 使一定质量的理想气体按图2中箭头所示的顺序变化，图中BC 是一段以纵轴和横轴为渐近线的双曲线．

(1)已知气体在状态A 的温度T A ＝300 K ，求气体在状态B 、C 和D 的温度各是多少．

(2)将上述状态变化过程在V -T 中用图线表示出来(图中要标明A 、B 、C 、D 四点，并且要画箭头表示变化的方向)，说明每段图线各表示什么过程．

解析 由p -V 图可直观地看出，气体在A 、B 、C 、D 各状态下的压强和体积为V A ＝10 L ，p A ＝4 atm ，p B ＝4 atm ，p C ＝2 atm ，p D ＝2 atm ，V C ＝40 L ，V D ＝20 L.

(1)根据理想气体状态方程p A V A T A ＝p C V C T C ＝p D V D T D

可得T C ＝p C V C p A V A

T A ＝2×404×10×300 K ＝600 K T D ＝p D V D p A V A

T A ＝2×204×10×300 K ＝300 K T B ＝T C ＝600 K

(2)由状态B 到状态C 为等温变化，由玻意耳定律有：

p B V B ＝p C V C

得V B ＝p C V C p B

＝2×404 L ＝20 L 在V -T 图上状态变化过程的图线由A 、B 、C 、D 各状态点依次连接，

如图所示．AB 是等压膨胀过程，BC 是等温膨胀过程，CD 是等压压缩

过程．

四、汽缸类问题的处理方法

解决汽缸类问题的一般思路：

(1)弄清题意，确定研究对象．一般来说，研究对象分两类：一类是热学研究对象(一定质量的理想气体)；另一类是力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)．

(2)分析清楚题目所述的物理过程，对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依气体实验定律列出方程；对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程．

(3)注意挖掘题目中的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程．

(4)多个方程联立求解．对求解的结果注意检验它们的合理性．

例