考研复习-在x0处展开的泰勒公式
泰勒公式在考研数学的常见应用
泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式在解题中的妙用——从几道数学考研题说起泰勒公式是数学分析中的重要工具之一，它反映了函数在某一点处的局部行为。
在很多数学问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更简洁高效的解题方法。
本文将从几道数学考研题入手，详细阐述泰勒公式在解题中的应用，同时介绍一些应用技巧和注意事项，并进一步拓展泰勒公式在更高维度和更复杂问题中的应用。
求limx→0(1+x+x2/2−−−−−−−√)−1x−−−−−−−−−−−−−−−√ex−1ex−1这道考研题中，我们可以将函数f(x)=(1+x+x2/2)−−−−−−−−−−−−−−−√ex −1在x=0处展开成泰勒级数，然后利用级数求和的方法得到答案。
具体步骤如下：f(x)=ex−1+xex−1+x22ex−1=(x+1)+x22+O(x3)因此，limx→0f(x)=limx→0(x+1)+limx→0x22+O(x3)=12+1+0=32这道考研题可以利用泰勒公式将sinxx展开成幂级数，然后求导n 次得到答案。
具体步骤如下：y=sinxx=∑k=0∞(−1)k×x2k+O(x3)y(n)=∑k=n∞(−1)k×2k×x2k−n+O(x3)因此，y(n)(0)=∑k=n∞(−1)k×2k×1=(−1)n×2n×1=2n×(−1)n证明：(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)这道考研题可以利用泰勒公式将等式中的函数展开成幂级数，然后进行恒等变形得到答案。
具体步骤如下：f(x)=(1+x)ln(1+x)−xx=(1+x)(ln1+ln(1+x))−xx=x+x2+O(x3)−ln(1+x)+O(x3)=O(x3)因此，f(x)(0)=0+0+…=0，即(1+x)ln(1+x)−xx=O(x3)成立。
泰勒公式在很多数学问题中都有着广泛的应用，例如在微积分、线性代数、概率论等领域。
考研数学2024试卷
考研数学2024试卷一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)与f(b)异号，则下列说法正确的是（）A.f(x)在(a,b)内必有零点B.f(x)在(a,b)内至多有一个零点C.f(x)在(a,b)内必有无限多个零点D.f(x)在(a,b)内可能有零点，也可能没有零点2.设矩阵A为对称矩阵，则下列说法正确的是（）A.A的逆矩阵也是对称矩阵B.A的特征值一定为实数C.A的行列式值一定大于0D.A的对角线元素一定相等3.设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内可导，且f'(x)>0，则下列说法正确的是（）A.f(x)在(-∞,+∞)内单调递减B.f(x)在(-∞,+∞)内单调递增C.f(x)在(-∞,+∞)内有极值点D.f(x)在(-∞,+∞)内为常数函数4.设级数Σan收敛，则下列说法正确的是（）A.Σan^2也收敛B.Σanbn也收敛C.Σan为绝对收敛D.Σan为条件收敛5.设f(x)为偶函数，则下列说法正确的是（）A.f(x)的导数f'(x)为奇函数B.f(x)的导数f'(x)为偶函数C.f(x)的导数f'(x)为非奇非偶函数D.f(x)的导数f'(x)不存在二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)>0。
（）2.矩阵A与矩阵B相乘的结果与矩阵B与矩阵A相乘的结果相同。
（）3.若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续。
（）4.若级数Σan收敛，则Σan的绝对值级数Σ|an|也收敛。
（）5.函数f(x)=x^3在原点处不可导。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)=x^33x在区间(-∞,+∞)内单调递增，则x的取值范围为______。
2.设矩阵A为3阶矩阵，且|A|=0，则矩阵A的秩为______。
3.设函数f(x)=e^x，则f'(x)=______。
泰勒公式详解(Taylorformula)【一元分析学经典讲义】
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二、Pn 和Rn 的确定
分析: Pn( x)与f ( x)
1.若在 x0 点相交
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
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y f (x)
x
Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 0,1,2,, n
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
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麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) (x) x n1
f
(x)
n
k0
f
(k) ( x0 k!
)(x
x0 )k
Rn ( x)
称为 f ( x)按( x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式
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Rn( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日型余项
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
考研泰勒公式大全
考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。
它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。
由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。
1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。
假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。
公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。
当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。
2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。
首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。
考研常用八大泰勒公式
考研常用八大泰勒公式泰勒公式是微积分中非常常用的工具，它可以帮助我们近似计算函数在某一点的值。
具体来说，泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式，通过截取其中有限项来进行计算。
有许多版本的泰勒公式，但在考研中常用的有以下八大泰勒公式。
它们分别是：常数项近似、线性近似、二次公式近似、三次公式近似、四次公式近似、五次公式近似、六次公式近似和七次公式近似。
首先是常数项近似，这是泰勒公式中最简单的形式。
它表示一个函数在某一点附近的值可以近似为函数在该点的值，也就是函数的常数项。
举个例子，如果我们要计算 sin(x) 在 x=0 附近的值，常数项近似告诉我们可以用 0 来近似计算。
接下来是线性近似，它在常数项近似的基础上增加了一阶导数的项。
这样近似计算的结果更加精确。
以 f(x)=sin(x) 为例，线性近似公式告诉我们可以用 x 来近似计算函数在 x=0 附近的值，即f(x)≈x。
在二次公式近似中，我们考虑了除了常数项和一阶导数项之外的二阶导数项。
这进一步提高了近似的准确性。
例如，在计算f(x)=sin(x) 在 x=0 附近的值时，二次公式近似告诉我们可以用 x-x^3/6 来近似计算。
类似地，三次公式近似引入了三阶导数项，四次公式近似引入了四阶导数项，以此类推。
每一次增加的导数项将增加近似计算的精度。
比如，四次公式近似给出了f(x)≈x-x^3/6+x^5/120。
最后两个公式是五次公式近似和六次公式近似。
它们在之前公式的基础上再增加了五阶导数和六阶导数的项。
这些高阶导数项使得近似结果的精度更高，特别是在函数曲率较大的地方。
七次公式近似又增加了七阶导数。
通过使用这八大泰勒公式，我们可以在考研中更准确地进行计算和近似。
它们为我们提供了一种逼近函数值的工具，特别是在无法直接计算函数值的情况下。
例如，当计算某一函数值的导数过于繁琐或无法获得解析解时，我们可以通过泰勒公式来进行近似计算。
需要注意的是，泰勒公式的应用需要考虑近似的范围。
考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
泰勒级数展开
泰勒级数展开
泰勒级数展开公式
其中x0x0为区间（a，b）中的某一点，x0∈（a，b），变量
xx也在区间（a，b）内。
展开条件是：有实函数f，f在闭区间［a，b]是连续的，f在开区间（a，b）是n+1阶可微。
在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。
通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。
泰勒级数在近似计算中有重要作用。
【考研】考研数学一全真模拟卷及解析
【考研】考研数学一全真模拟卷及解析考研数学一是众多考研学子面临的一大挑战。
为了帮助大家更好地备考，我们精心准备了这份全真模拟卷及详细解析，希望能对大家的复习有所助益。
一、选择题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分）1、设函数＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），则＼（f(f(x)）＼）为（）A ＼（＼frac{1}｛1 ＋ 2x^2 ＋ x^4} ＼）B ＼（＼frac{1}｛1 ＋2x^2} ＼） C ＼（＼frac{1}｛1 ＋ x^2} ＼） D ＼（＼frac{x^2}｛1＋ x^2} ＼）解析：因为＼（f(x) ＝＼frac{1}｛1 ＋ x^2}＼），所以＼（f(f(x)）＝＼frac{1}｛1 ＋（＼frac{1}｛1 ＋ x^2}）＾2} ＝＼frac{1}｛1 ＋＼frac{1}｛（1 ＋ x^2)＾2}｝＝＼frac{1 ＋ x^2}｛1 ＋ x^2 ＋ 1} ＝＼frac{1 ＋ x^2}｛2 ＋ x^2} ＼neq\）选项中的任何一个，此题无正确选项。
2、设＼（y ＝ y(x)＼）是由方程＼（e^y ＋ xy e ＝ 0\）所确定的隐函数，则＼（y'（0)＼）的值为（）A －1B 0C 1D 2解析：对方程两边同时对＼（x\）求导，得＼（e^y ＼cdot y' ＋ y＋ x ＼cdot y' ＝ 0\）。
当＼（x ＝ 0\）时，代入原方程得＼（e^y e＝ 0\），解得＼（y ＝ 1\）。
将＼（x ＝ 0\），＼（y ＝ 1\）代入＼（e^y ＼cdot y' ＋ y ＋ x ＼cdot y' ＝ 0\），得＼（e ＼cdot y' ＋ 1 ＝0\），解得＼（y'（0) ＝＼frac{1}｛e}＼）。
3、设＼（f(x)＼）具有二阶连续导数，且＼（f(0) ＝ 0\），＼（f'（0) ＝ 1\），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＼）等于（）A ＼（0\）B ＼（＼frac{1}｛2} ＼）C ＼（1\）D 不存在解析：利用泰勒公式，将＼（f(x)＼）在＼（x ＝ 0\）处展开：＼（f(x) ＝ f(0) ＋ f'（0)x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2) ＝ x ＋＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)＼），则＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼frac{1}｛2}f'＇（0)x^2 ＋ o(x^2)｝｛x^2} ＝＼frac{1}｛2}f'＇（0)＼）。
泰勒公式展开式大全
泰勒公式展开式大全泰勒公式是数学中的一个重要概念，它可以用来表示函数在某一点的光滑性质。
通过泰勒公式，我们可以将一个复杂的函数表示为一个无穷级数的形式，这对于分析函数在某一点的性质和行为非常有帮助。
在本文中，我们将为您详细介绍泰勒公式的展开式，并给出一些常见函数的泰勒展开式的具体表达。
泰勒公式是一个非常重要的数学工具，它可以用来近似表示函数在某一点的取值。
泰勒公式的一般形式如下：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]其中，\( f(x) \) 是要表示的函数，\( a \) 是展开点，\( f'(a) \) 是函数在点 \( a \) 处的一阶导数，\( f''(a) \) 是函数在点 \( a \) 处的二阶导数，以此类推。
通过泰勒公式，我们可以将函数 \( f(x) \) 在点 \( a \) 处展开为一个无穷级数的形式，这对于研究函数在该点的性质和行为非常有帮助。
接下来，我们将给出一些常见函数的泰勒展开式的具体表达。
1. 指数函数的泰勒展开式：指数函数 \( e^x \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ e^x = e^a + e^a(x-a) + \frac{e^a}{2!}(x-a)^2 + \frac{e^a}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]2. 三角函数的泰勒展开式：正弦函数 \( \sin(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \sin(x) = \sin(a) + \cos(a)(x-a) \frac{\sin(a)}{2!}(x-a)^2 \frac{\cos(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots \]余弦函数 \( \cos(x) \) 在点 \( a \) 处的泰勒展开式为：\[ \cos(x) = \cos(a) \sin(a)(x-a) \frac{\cos(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{\sin(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots \]通过以上的例子，我们可以看到泰勒展开式的具体表达形式。
常见泰勒公式展开式
常见泰勒公式展开式
一个函数N阶可导,则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开
即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0X
f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数.0X表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小
用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!
而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例
泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数,也可由已知的函数的导数值推出原函数.多用于求极限问题
比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趋近于0时的极限
f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x
=1+x+x/2;
那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2答案补充用导数定义去理解
f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x->x0
那么就有当x->x0时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)
lim f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小,一般用于证明题。
考研数学讲解之泰勒公式的应用
泰勒公式的应用泰勒公式有广泛的应用，极限的计算、不等式的证明、近似计算和误差估计，它是考研的一大热点．但是近年考研大纲已经将“近似计算和误差估计”的有关要求全部删除了，现在只剩下极限计算和不等式证明了。
请考生注意。
在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：●1．展开的基点；●2．展开的阶数；●3．余项的形式．其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．【声明】资料整理改编自龚成通。
【例1】求极限)3(211ln 3)76(sin 6lim 2202x x x x x x x e x x +--+---→；【分析】本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂．用泰勒公式就会方便得多．基点当然取在0=x 点，余项形式也应该肯定是皮亚诺余项． 问题是展开的阶数是几？一般是这样考虑：逐阶展开，展开一项，消去一项，直到消不去为止．首先将分子上函数x x sin 6e2-进行展开，为此写出2e x -和x sin 的泰勒展开式．2e x -的第一项是1，x sin 的第一项是x ，所以x x sin 6e2-的第一项是x 6，与后面的x 6消去了．再将它们展开一项，得到x x sin 6e 2-的前两项是376x x -，所以还要将它们再展开一项． 对于分母也是一样． 【解】)(!211e 5422x o x x x ++-=-，)(!51!31sin 653x o x x x x ++-=，)(402767sin e 5532x o x x x x x ++-=-，)(51413121)1ln(55432x o x x x x x x ++-+-=+，)(51413121)1ln(55432x o x x x x x x +-----=-， )(52322)1ln()1ln(11ln 553x o x x x x x x x +++=+-+=-+， 原式)(56)(4027lim 55550x o x x o x x ++=→169=． 【例2】求极限x x x x x x x x 1cos 2212)11(lim 22222+---+++∞→．【解析】本题与上题一样，如果不用泰勒公式，直接用洛必达法则，也是能计算的，但必须要用四次洛必达法则，而且导数会越求越复杂． 为了方便地使用泰勒公式可以先做换元x t 1=（倒数置换法）．【解】原式x t 1==tt t t t cos 22211lim 2220+---+++→)](!41!211[222)](81211[)](81211[lim 44224424420t o t t t t o t t t o t t t ++-+--+--++-+=+→3)(121)(41lim 44440-=++-=+→t o t t o t t ．【例3】若100)(lim =+∞→x f x ，且0)(lim =''+∞→x f x ，试证明0)(lim ='+∞→x f x ．【分析】由题意可知函数)(x f 在无穷远点的某个左邻域[即),(+∞a ]内有二阶导数，在题意中没给出更高阶的导数是否存在的条件，就不能用了．这里的极限问题的趋限过程不像上面的是趋向于0或者可以转化为趋向于0，所以，余项的形式也不能取皮亚诺余项的形式了．所以要展开泰勒公式，只能展开到一阶为止，把二阶导数作为拉格朗日余项表达式的需要．由于最后要证明（计算）的是0)(lim ='+∞→x f x ，所以展开的基点只能取x ，而2)(!2)()()()(x f x x f x f x x f ∆''+∆'+=∆+ξ中的x ∆应该取一个常数，例如就取1=∆x ．【解】写出函数)1(+x f 在基点x 处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，!2)()()()1(ξf x f x f x f ''+'+=+，1+<<x x ξ，所以有!2)()()1()(ξf x f x f x f ''--+='， 在此等式两边同时取+∞→x 时的极限，其中100)(lim )1(lim ==++∞→+∞→x f x f x x ，由1+<<x x ξ可知在+∞→x 时有+∞→ξ，0)(lim )(lim =''=''+∞→+∞→ξξξf f x ，所以有00100100!2)(lim )(lim )1(lim )(lim =--=''--+='+∞→+∞→+∞→+∞→ξf x f x f x f x x x x ，【例4】设)(x f 在]1,0[上具有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤'')(，其中a 、b 为非负常数．证明对任意)1,0(∈x ，有22)(b a x f +≤'．【分析】一般给出条件中函数)(x f 有二阶导数，则可用以二阶导数作为余项的一阶泰勒公式来证明，展开基点的选定可综合考察题目所给定条件及所需证之结论，这里为便于将结论中的)('x f 表示出来，可将基点选取在)1,0(内任意取定的x 点处．【证明】)(x f 在]1,0[上具有二阶导数，则由泰勒展开式得2)(!2)())(()()(x u f x u x f x f u f -''+-'+=ξ，ξ在x 与u 之间．分别令0=u ，1=u 得 21)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，101<<<x ξ，22)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，102<<<ξx ，两式相减，得])()1)(([21)]0()1([)(2122x f x f f f x f ξξ''--''--='，于是2122|)(|21)1(|)(|21|)0(||)1(||)(|x f x f f f x f ξξ''+-''++≤'])1[(2122x x b a a +-++≤，由于在10<<x 时，有1)1(22≤+-x x ，所以22)(ba x f +≤'．。
考研数学-专题7 泰勒公式及其应用
专题7 泰勒公式及其应用(一) 泰勒公式定理1（皮亚诺型余项泰勒公式） 如果)(x f 在点0x 有直至n 阶的导数，则有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L常称))(()(0nn x x o x R −=为皮亚诺型余项. 若00=x ，则得麦克劳林公式：).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=L定理2（拉格朗日型余项泰勒公式）设函数)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时有)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +−++−′′+−′+=L其中10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ，这里ξ介于0x 与x 之间，称为拉格朗日型余项. 几个常用的泰勒公式 (拉格朗日型余项)12)!1(!!21)1(+++++++=n x nxx n e n x x x e θL121213)!12(cos )1()!12()1(!3sin )2(+−−+−+−−++−=n nn n x n x n x x x x θL 22122)!22(cos )1()!2()1(!21cos )3(+++−+−++−=n n n n x n x n x x x θL1112)1)(1()1()1(2)1ln()4(++−++−+−++−=+n n nnn x n x n x x x x θL n x n n x x x !)1()1(!2)1(1)1()5(2+−−++−++=+αααααααL L11)1()!1())(1()1(+−−++−+−−+n n x x n n n αθααααL(二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点1. 本质（相同点）1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系2. 不同点1）条件不同皮亚诺型余项： )(x f 在点0x 有直至n 阶的导数拉格朗日型余项：)(x f 在含有0x 的开区间),(b a 内有1+n 阶的导数2）余项不同皮亚诺型余项： ))(()(0nn x x o x R −=； 定性；局部.拉格朗日型余项：10)1()(1)()(++−)!+(=n n n x x n f x R ξ；定量；整体. 【注】通常称皮亚诺型余项泰勒公式为局部泰勒公式，主要用来研究函数的局部性态（如：极限，极值）；而称拉格朗日型余项泰勒公式为整体泰勒公式，主要用来研究函数的整体性态（如：最值，不等式）.(三) 泰勒公式的应用1.利用高阶导数研究函数性态【例1】若,0)()()(0)1(00===′′=′−x f x f x f n L )2(0)(0)(≥≠n x f n ，则当n 为偶数时)(x f 在0x 处有极值.其中0)(0)(>x fn 时极小，0)(0)(<x f n 时极大；当n 为奇数时)(x f 在0x 处无极值.【例2】设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且,1)(,0)0(,1)0(≤′′=′=x f f f 试证：)(x f 在]1,0[上的最大值不超过.232.计算函数近似值【例1】计算e 的近似值，使误差不超过.106−【解】 )(!!212x R n xx x e n nx+++++=L11)!1()!1()(+++<+=n xn n x n e x n e x R ξ取1=x ，得 !1!2111n e ++++≈L 其误差 )!1(3)!1(+<+=n n e R n当10=n 时，误差不超过.106−得.718282.2≈e3.求极限【例1】 ._________cos 11lim 0=−−−−+→xx xe x x ]3[−【解】【例2】设)(x f 在0=x 的某邻域内二阶可导，且0)(3sin lim 230=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f xx x ,则 (A) 0)(3lim 220=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x f x x (B)3)0(=f(C)3)0(=′f (C)9)0(=′′f (D)【例3】(2001年1)设)(x f y =在)1,1(−内具有二阶连续导数,且0)(≠′′x f ，试证： （1）对于)1,1(−内的任一0≠x ，存在唯一的)1,0()(∈x θ，使))(()0()(x x f x f x f θ′+=成立；（2）21)(lim 0=→x x θ. 【证】（1）任给非零)1,1(−∈x ，由拉格朗日中值定理得).1)(0())(()0()(<<′+=x x x f x f x f θθ因为)(x f ′′在)1,1(−内连续,且0)(≠′′x f ，所以)(x f ′′在)1,1(−内不变号，不妨设0)(>′′x f ，则)(x f ′在)1,1(−内严格单增，故)(x θ唯一.（2）由泰勒公式得2)(21)0()0()(x f x f f x f ξ′′+′+=， ξ在0与x 之间.所以 2)(21)0()0()())((x f x f f x f x x f x ξθ′′+′=−=′，从而 ).(21)()0())(()(ξθθθf x x f x x f x ′′=′−′由于)0()()0())((limf xx f x x f x ′′=′−′→θθ，)0()(lim 0f f x ′′=′′→ξ，故 21)(lim 0=→x x θ. 4.求高阶导数【例1】(2015年2) 函数xx x f 2)(2=在0=x 处的n 阶导数.________)0()(=n f])2)(ln 1([2−−n n n【解1】 【解2】【例2】设),()()(x a x x f nϕ−=其中)(x ϕ在a x =处n 阶可导,若m 为不超过n 的正整数,则)()()(=+a fm n(A)!)()(n a m ϕ (B)!)()(m a n ϕ(C))(!)!()(a m m n m ϕ+ (D))()!(!)(a m n n n ϕ+ (C)【解1】【解2】【解3】5.证明不等式或等式【例1】设1)(lim,0)(30)4(=>→xx f x f x ，试证：)0()(3≠>x x x f .【例2】（1996年1,2）设)(x f 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件a x f ≤|)(|,b x f ≤′′|)(|,其中b a ,都是非负常数,c 是(0,1)内任一点.（1）写出)(x f 在点c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； （2）证明 .22|)(|ba c f +≤′ 【证】（1） 2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ （2）在以上泰勒公式中，分别令0=x 和1=x 则有21)0(!2)()0)(()()0(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （1） 22)1(!2)()1)(()()1(c f c c f c f f −′′+−′+=ξ （2）（2）式减（1）式得])()1)(([21)()0()1(2122c f c f c f f f ξξ′′−−′′+′=−]|)(|)1(|)([|21)1()0(|)(|2122c f c f f f c f ξξ′′+−′′++≤′])1[(2222c c b a +−+≤又因为当)1,0(∈c 时，,1)1(22≤+−c c 故.22|)(|b a c f +≤′【例3】（1999年2）设函数)(x f 在闭区间]1,1[−上具有三阶连续导数，且0)1(=−f ，1)1(=f ，0)0(=′f ，证明：在开区间)1,1(−内至少存在一点ξ，使3)(=′′′ξf .【证法1】 由麦克劳林公式得32)(!31)0(!21)0()0()(x f x f x f f x f η′′′+′′+′+=， 其中η介于0与x 之间，]1,1[−∈x . 分别令1−=x 和1=x ，并结合已知条件，得01),(61)0(21)0()1(011<<−′′′−′′+=−=ηηf f f f .10),(61)0(21)0()1(122<<′′′+′′+==ηηf f f f两式相减，可得.6)()(21=′′′+′′′ηηf f因)(x f ′′′连续，)(x f ′′′在闭区间],[21ηη上有最大值和最小值，设其分别为M 和m ，则有.)]()([2121M f f m ≤′′′+′′′≤ηη再由连续函数的介值定理知，至少存在一点)1,1(],[21−⊂∈ηηξ，使.3)]()([21)(21=′′′+′′′=′′′ηηξf f f【证法2】【例4】设)(x f 在[0,1]上二阶可导,2)(max ,0)1()0(10===≤≤x f f f x .试证存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法1】设2)(max )(10==≤≤x f c f x ，则10<<c ，且0)(=′c f ，由泰勒公式知2)(!2)())(()()(c x f c x c f c f x f −′′+−′+=ξ 在上式中分别令0=x ，和1=x 得214)(cf −=′′ξ ),0(1c ∈ξ 22)1(4)(c f −−=′′ξ )1,(2c ∈ξ若21≤c ，则16)21(44)(221−=−≤−=′′c f ξ若21>c ，则16)21(4)1(4)(222−=−≤−−=′′c f ξ 故存在点)1,0(∈ξ使16)(−≤′′ξf .【证法2】【例5】设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，且,0)()(==b f a f ,)(max ],[x f M b a x ′′=∈证明：.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证1】由泰勒公式得21)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f −′′+−′+=ξ (1) 22)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f −′′+−′+=ξ (2)(1)式加(2)式得2221)(!2)()(!2)()2)(()(20x b f x a f x b a x f x f −′′+−′′+−+′+=ξξ 两端从a 到b 积分得 +−++=∫∫baba x df xb a dx x f )()2()(20dx x b f x a f ba])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′∫ξξ 又∫∫∫=+−+=−+bababa badx x f dx x f x f x b a x df x b a )(2)(2)()2()()2( 则 =∫ba dx x f )(4dx x b f x a f ba ])(!2)()(!2)([2221−′′+−′′−∫ξξ dx x b M dx x a M dx x f b a b a b a ∫∫∫−+−≤22)(2)(2)(4 333)(3)(6)(6a b Ma b M a b M −=−+−=故.12)()(3M a b dx x f ba−≤∫【证2】∫bax x f d )(∫−=baa x x f )d()(∫−′−−=baba x a x x f x f a x d ))(()()(∫−−′−=bab x a x x f )d())((∫∫−′+−−′′+′−−−=bababa dxb x x f x b x a x x f x f b x a x ))((d ))()(()())(( ∫∫−+−−′′=ba bax df b x x b x a x x f )()(d ))()((∫∫−−−′′=babadx x f x b x a x x f )(d ))()((则 ∫ba x x f d )(∫−−′′=bax b x a x x f d ))()((21∫−−′′=ba xb x a x f d ))((2)(ξ （积分中值定理）∫−−′′=b a a x b x f 2)d()(4)(ξ3)(12)(a b f −′′−=ξ 故 .12)()(3M a b dx x f ba−≤∫思考题： 1.试证 ).0(1812112>+<−+x x x x2.设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，试证存在),(b a ∈ξ，使)(4)()()2(2)(2ξf a b a f b a f b f ′′−=++−. 3.设)(x f 三阶可导,且0)(lim,1)1(,0)1(0===−→xx f f f x ,试证存在)1,1(−∈η,使3)(≥′′′ηf .4. 若)(x f 在]1,0[上二阶可导,且0)1()0(,1)1(,0)0(=′=′==f f f f ,试证: ]1,0[∈ξ,使2)(≥′′ξf .5. 设)(x f 在0x x =的某邻域内1+n 阶可导，且,0)(0)1(≠+x fn).)((!)(!21)()()(0)(20000h h x f n h h x f h x f x f h x f n n θ+++′′+′+=+L 求极限).(lim 0h h θ→答案提示：1.【证】)(!2)121(21211)1(12221x R x x x x +−++=+=+ )(8121122x R x x +−+=其中).10(,)1(!3)221)(121(21)(33212<<+−−=−θθx x x R 由于当0>x 时，,0)(2>x R 则).0(1812112>+<−+x x x x2.【证1】2)2(!2)()2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +−′′++−+′++=ξ 在上式中分别令b x a x ==,得4)(!2)()2)(2()2()(21a b f b a b a f b a f a f −′′+−+′++=ξ4)(!2)()2)(2()2()(22a b f a b b a f b a f b f −′′+−+′++=ξ上式两端相加得8)()]()([)2(2)()(221a b f f b a f b f a f −′′+′′++=+ξξ由)(x f 二阶可导及导函数的介值性知，存在ξ使得).(2)()(21ξξξf f f ′′=′′+′′则)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ′′−++=+【证2】令)()2()(x f ab x f x −−+=ϕ 2)]()2([2)()()2(a b c f a b c f a b c a b a −′−−+′=−′=−+ϕϕϕ 4)()(2a b f −′′=ξ即 4)()()2(2)()(2a b f b a f a f b f −′′=+−+ξ 3.提示：由0)(lim=→xx f x 知，.0)0(,0)0(=′=f f 写出)(x f 在0=x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，再将1,1=−=x x 代入便可证明.4. 提示：分别写出)(x f 在1,0==x x 处拉格朗日余项的二阶泰勒公式，然后两式相减便可证明.5. 提示：参见：3.求极限中的例3，.11)(lim 0+=→n h h θ。
2024考研数二真题及答案
2 0 2 4 年 考 研 数 学 ( 二 ) 真 题 及 答 案一、选择题：(1- 10小题，每小题5分，共50分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)的 第 一 类 间 断 点 的 个 数 为 ( )1. A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C已知, 则A.2eB.C.【答案】B3.已知A.f(x) 为奇函数，g(x) 为奇函数B.f(x) 为奇函数，g(x) 为偶函数 c.f(x) 为偶函数，g(x) 为偶函数 D.f(x) 为偶函数，g(x) 为奇函数 【答案】D2. 口【答案】C4.已知数列{a,}(a,≠0),若{a,}发散，则( )A.B.C.D.发散发散【答案】D5. A.B.C.D. 已知 函数 则在点(0,0)处( ).连 续 ，f(x.y) 可微连续，f(x.y) 不可微不连续，f(x.y) 可微不连续，f(x.y) 不可微6.设f(x,y) 是连续函数，则(A)(D)(C)【答案】A7.设非负函数f(x) 在[0,+0]上连续，给定以下三个命题：( 1 ) 若收敛，则(2)若存在p>1, 使极限存在，则收敛；( 3 ) 若收敛，则存在p>h使极限存在；其中正确的个数是( )(A)0 (B)r (C)2 (D)3【答案】B8.8.设A为三阶矩阵，则矩阵A为 ( )【答案】C9 . 设A*为四阶矩阵，A* 为A的伴随矩阵，若A(A-A*)=0, 且A≠A*,则r(A)的可能取值为( )A.0 或 1B.1 或 3C.2 或 3D.1 或 2【答案】D1 0 . 设A,B 均为2阶矩阵，且AB=BA, 则“A有两个不相等的特征值”是“B可对角化”的()A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分请将答案写在答题纸指定位置上。
11. 曲线y²=x 在点(0,0)处的曲率圆方程为【答案】 (x-1/2)平方+y 平方=1/412 . 函数f(x,y)=2x³-9x²-6y²+12x+24y 的极值点是【答案】(1,1)13.微积方程满足y(1)=0 的解为【答案】y-arctan(x+y)+ 元/4=014. 已知函数f(x)=x²(e×-1), 则f(5)(x)=【答案】|3ie15.某物体以速度v(t)=t+ksinπt做线运动，若它从t=0 到t=3 的时间段内平均速度是 , 则k=【答案】3π/216 .设向,若a₁,a₂,a₃ 线性相关，且其中任意两个向量均为线性无关，则ab=【答案】-4三、解答题：(17-22小题，共70分。
一类考研题型的万能解法——泰勒公式
一类考研题型的万能解法——泰勒公式王万禹;张玉林【摘要】对各高校数学专业历年考研试卷的分析,给出了一类考研试题的万能解法:泰勒公式求解法.【期刊名称】《成都师范学院学报》【年(卷),期】2015(031)007【总页数】4页(P104-107)【关键词】泰勒公式;导数;拉格朗日余项【作者】王万禹;张玉林【作者单位】成都师范学院数学系,成都611130;成都师范学院数学系,成都611130【正文语种】中文【中图分类】O17数学分析课程是数学专业学生的专业必修课，同时也是学生考取数学专业硕士研究生的必考科目，其重要性不言而喻。
数学分析对于广大数学专业学生而言来说易学但不易学好，因此，在研究生入学考试中，数学分析的成绩对于整个考研结果至关重要。
泰勒公式是微分学中非常重要的内容，也是各大高校在研究生招生考试中必考内容，在绝大部分高校的历年数学分析考研试题中，至少都有一道关于泰勒公式的大题。
在文献[1]中，作者以非数学专业学生的研究生入学考试试题为例，利用泰勒公式以及导数的性质来证明函数单调性问题。
在文献[2-4]中，作者探讨了利用泰勒公式求解极限、斜渐近线等问题。
由此可以看出，利用泰勒公式可以快速准确地解决考研试题中的某类问题，而对于数学专业考研试题，泰勒公式仍然是强大的解题工具。
本文中，作者根据对历年考研试卷的分析，给出了一类考研试题的万能解法：泰勒公式求解法。
泰勒定理[5]：若f(x)在x=x0点有直到n+1阶的导数，那么函数，这里在x与x0之间，Rn(x)称为拉格朗日余项。
这就是函数f(x)在x=x0点附近的关于x的幂函数展开式，也叫泰勒公式。
余项还可以表示为R(x)=0(x-x0)n，称为皮亚诺余项。
由泰勒定理知：当x0=0时，当nn+1，ξ在x与x0之间时称(1)为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式。
当Rn(x)=o(xn)时称(1)为(带有佩亚诺型余项的)麦克劳林公式。
本文主要研究利用带有拉格朗日型余项的泰勒公式解决问题。