高中数学选修2-1《椭圆》综合练习含答案

椭圆
一、以考查知识为主试题 【容易题】
1．椭圆22
194x y k
+
=+的离心率为45，则k 的值为（ ） （A ）－21 （B ）21 （C ）1925-或21 （D ）19
25
或21
【答案】C
2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )
A.x2
36＋y2
16＝1 B.x2
16＋y2
36＝1 C.x26＋y24＝1 D.y26＋x2
4＝1 【答案】A
3. 若焦点在x 轴上的椭圆x22＋y2m ＝1的离心率为1
2，则m 等于( )
A.
3 B.32 C.83 D.2
3
【答案】B
4. 已知1F 、2F 分别为椭圆C 的两个焦点,点B 为其短轴的一个端点,若12BF F ∆为等边三角形,则该椭圆的离心率为( )
A
B ．12
C ．2
D 【答案】B
5. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 （ ）
A.1
B.2
C.2
D.22
【答案】D
6. 椭圆22
1123
x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上且线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点
M 的纵坐标为 （ ） A.3± B.3± C.2
± D.34±
【答案】A
7.过椭圆左焦点F 且斜率为3的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心
e=__ 【答案】3
2
8.椭圆 )0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。

若1AF ，
21F F ，B F 1 成等比数列，则此椭圆的离心率为_____________.
【答案】5
5
9.设F1,F2分别是椭圆22
x y 12516
+=的左、
右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为_________. 【答案】4
10．已知椭圆22
195
x y +=的右焦点为F , P 是椭圆上一点，点(0,A ，当点P 在椭圆
上运动时， APF ∆的周长的最大值为____________ . 【答案】14
11．若椭圆
上一点到两个焦点的距离之和为 ，则此椭圆的离心率为__________．
【答案】
3
12．设 ， 为椭圆 ：
的焦点，过 所在的直线交椭圆于 ， 两点，
且 ，则椭圆 的离心率为__________．
13．已知椭圆
的左、右焦点分别为 、 ，且 ，点 在椭圆上，
， ，则椭圆的离心率 等于__________．
二、以考查技能为主试题 【中等题】
14. 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同
的点P ，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是_________ 【答案】111(,)
(,1)322
15．已知椭圆方程
，椭圆上点M 到该椭圆一个焦点F 1的距离是2，N 是MF 1
的中点，O 是椭圆的中心，那么线段ON 的长是________ 【答案】4
16.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,
连接,AF BF ,若4
10,6,cos ABF 5
AB AF ==∠=,则C 的离心率e =______. 【答案】
57
17．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c - =3, 那么椭圆的方程是 ．
【答案】19
122
2=+y x
18.如图，椭圆C ：
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 两点的直线，是否存在上
述直线l 使成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

【答案】 （Ⅰ）由知a 2+b 2=7, ①
由 ②
又， ③
由 ①②③解得
故椭圆C 的方程为 （Ⅱ）设A,B 两点的坐标分别为（x 1,y 1）(x 2,y 2) 假设存在直线l 使成立，
（ⅰ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y=kx +m , 由l 与n 垂直相交于P 点且
因为
22
121212221,,,,,,x y A A B B F F a b
+=的顶点为焦点为1122
1122
112A B A B B F B F A B S
S
==1,OP =1AP PB =11AB =1122
1122
22,A B A B B F B F S
S
a c ==知222
b a
c =-22
4, 3.a b ==22
1.43
x y +=1AP PB =1,OP =221, 1.m k =∴=+1,OP =1AP PB =2
1212222()()
10010,
0.(34)84(3)0,
OA OB OP PA OP PB OP OP PB PA OP PA PB x x y y y kx m k x kmx m ∴=++=+++=++-=∴+==++++-=将代入椭圆方程，得
由求根公式得： ④ ⑤
将④⑤代入上式并化简得
（ⅱ）当l 与x 轴垂直时，满足的直线l 的方程为，
19. 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （）的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M 、，其中m>0,。

（1）设动点P 满足,求点P 的轨迹； （2）设，求点T 的坐标； （3）设,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

1228,34km
x x k
-+=
+2122
4(3)
,34m x x k -=+12121212221212221212()()(1)(),(1)()0
x x y y x x kx m kx m k x x km x x m k x x km x x m ∴+=+++=++++∴++++=2222222224(1)(3)8(34)0,15(1)0k m k m m k m k k l +--++==+-+=将代入上式并化简得：
，矛盾，故此时的直线不存在.
1OP =1,1x x ==-或33
1A B P (1,),(1,),(1,0).
22
33
(0,),(0,),
229 1.4
11.
1.
x AP PB AP PB x AP PB l AP PB l =-∴=-=-∴=≠=-≠=当时，，，的坐标分别为当时，同理可得，矛盾.即此时的直线也不存在综上可知，使成立的直线不存在xoy 15
92
2=+y x m t ,),(11y x )
,(22y x N 0,021<>y y 42
2
=-PB PF 3
1
,221=
=x x 9=t
答案（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。

由，得 化简得。

故所求点P 的轨迹为直线。

（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M （2，）、N （，
） 直线MTA 方程为：
，即， 直线NTB 方程为：，即。

联立方程组，解得：，
所以点T 的坐标为。

（3）点T 的坐标为 直线MTA 方程为：
，即， 直线NTB 方程为：
，即。

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到， 解得：、。

方法一：当时，直线MN 方程为： 令，解得：。

此时必过点D （1，0）；
42
2
=-PB PF 2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+=9
2
x =
92
x =
3
1
,221=
=x x 0,021<>y y 531320
9
-
03
52303
y x -+=+-113y x =+03
2010393
y x --=---5562y x =-7103x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩
10(7,
)3
(9,)m 03093y x m -+=-+(3)12m
y x =+03093y x m --=--(3)6
m
y x =-1592
2=+y x 123,3x x ≠-≠2223(80)40(,)8080m m M m m -++222
3(20)20(,)2020m m
N m m
--++12x x ≠222
22
2222
203(20)
202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++0y =1x =
当时，直线MN 方程为：，与x 轴交点为D （1，0）。

所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

方法二：若，则由及，得， 此时直线MN 的方程为，过点D （1，0）。

若，则
MD 的斜率， 直线ND 的斜率，得，所以直线MN 过D 点。

因此，直线MN 必过轴上的点（1，0）。

【较难题】
20.椭圆22143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长
最大时，FAB ∆ 的面积是__________。

【答案】3
21.椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线
)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率
等于__________ 1-
22. P 是椭圆22
12516
x y +=在第一象限上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的平
分线上的一点，且20F M MP ∙=，则||OM 的取值范围是________ 【答案】 (0，3)
12x x =1x =12x x =2222
2403360
8020m m m m
--=++0m >m =1x =12x x ≠m ≠222
2
4010802403401
80MD
m
m
m k m m m +==---+222
2
20102036040120ND
m
m m k m m m
-+==---+MD ND k k =x
23．已知椭圆C ：22
12516
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分
别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ． 【答案】20
24.如图，已知椭圆过点.，离心率为，左、右焦点分别
为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜线分别为、. ①证明：
； ②问直线上是否存在点，使得直线、、、 的斜率、、、满足？ 若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）因为椭圆过点（），
，所以
又，所以
故 所求椭圆方程为 . (2) ①证明：方法一： 由于，，，的斜率分别为、，且点P 不在轴上，所以.
又直线，的方程分别为，，联立方程组得
所以，由于在直线上，所以，因此 22
22 1 (0)x y a b a b
+=>>(1,221F 2F P :2l x y +=x 1PF 2PF A B C D O 1PF 2PF 1k 2k 12
13
2k k -=l P OA OB OC OD OA k OB k OC k OD k 0OA OB OC OD k k k k +++=P 2
2,1=
e 2
222
,12112
2==+a c b
a 222c
b a +=1,1,2===
c b a 12
22
=+y x 1(1,0)F -2(1,0)F 1PF 2PF 1k 2k x 10,k ≠20,k ≠12k k ≠1PF 2PF 1(1)y k x =+2(1)y k x =-1221
1221,2.k k x k k k k y k k +⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩
P 2x y +=121221
22k k k k k k ++=-
即
结论成立. 方法二：设，则，，因为点P 不在轴上，所以，
又，所以
结论成立. ②:设
联立直线与椭圆的方程得化简得,
因此 ， 需将本行和下一行的大写的改为小写 由于OA,OB 的斜率存在,所以因此
相似地可以得到,
若，须有.
当时，结合（1）的结论可得，所以解得点P 的坐标为（0,2）；
当时，结合（1）的结论可得（此时，不满足，舍去），此时直线CD 的方程为，联立方程得，因此点P 的坐标为。

综上所述，满足条件的点P 的坐标分别为（0,2），.
1212230,k k k k +-=12
13
2,k k -=00(,)P x y 0101
y k x =
+0
201y k x =-x 00y ≠002x y +=0000
120000
13(1)42213 2.x x x y k k y y y y +---=-===()()()(,),,,,,,.A B B B C C D D A x y B x y C x y D x y 1PF ()22
11,
21,
x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
()
2222111214220k x k x k +++-=221122
11422
,2121
A B A B K K x x x x K K -+=-=++1K 1k 0,0,A B x x ≠≠2
10,1.K ≠()()211111
111222111 114422(2)22222
OA OB
A B A B A B A B A B A B k k k x k x y y x x k k k k k k x x x x x x k k k ++++=+=+=+=-=-=----因此2
20,0,0,1,C D x x k ≠≠≠22221OC OD k k k k +=--2
2121211221212222222
1212122(1)() 2()211(1)(1)(1)(1)
OA OB OC OD
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k -+--++++=-+=-=-------故，0OA OB OC OD k k k k +++=121201k k k k +=⋅=或120k k +=22k =－121k k ⋅=2231k k ==或－
11k =－12k k ≠3(1)y x =-2x y +=5
3
,44
x y ==53(,)44
53(,)44
25．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率2
e =，点G ）在椭圆上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设点P 是椭圆C 上一点，左顶点为A ，上顶点为B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证： AM BM ⋅为定值． 解析：（1）依题意得，设
，则，
由点
在椭圆上，有
，解得
，则
，
椭圆C 的方程为： 设，
，
，则，由APM 三点共线，则有
，即
，解得
，则
，
由BPN 三点共线，有，即，解得，
则
=
又点P 在椭圆上，满足，有，
代入上式得
=
，
可知为定值。

26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点M 是以长轴为直径的圆O 上一点，圆O 在点M 处的切线交直线3x =于点N ，求证：过点M 且垂直于直线ON 的直线l 过椭圆C 的右焦点．
试题解析：
（1
）由题意得2{ a c a ==解得1c =．
所以222
2b a c =-=． 所以椭圆C 的方程为22
132
x y +=． （2）由题意知，圆O 的方程为223x y +=．
设()3,N t ， ()00,M x y ， 22
003x y +=． 由22|3|ON MN =+，
得()()2222003+33t x y t =+-+-，
即2222
000093692t x x y ty t +=+-++-+，
即2200003620x x y ty +-+-=．
因为22003x y +=，所以00330x y t +-=．
当0t =时， 01x =，直线l 的方程为1x =，直线l 过椭圆C 的右焦点()1,0F ．
当0t ≠时，直线MN 的方程为()003y y x x t
-=--， 即0033ty ty x x -=-+，即()31ty x =--，直线l 过椭圆C 的右焦点()1,0F ． 综上所述，直线l 过椭圆C 的右焦点()1,0F ．
27．已知椭圆C 的两个焦点为()()121
,0,1,0F F -，离心率为12
． (1)求椭圆C 的方程； (2)设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于
P ， Q 两点，直线AP ， AQ 与直线4x =-分别交于M ， N 两点．求证：点1F 在以MN 为直径的圆上．
（1）由题意，设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>> ， 则222
1
1{ 2
c c a a b c ===+
得2,a b == 所以椭圆方程为22
1.43
x y += （2）证明：由（Ⅰ）可得()2,0A .
当直线PQ 不存在斜率时，可得331,
,1,22P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 直线AP 方程为()1-22
y x =-，令4,x =-得()4,3M -, 同理，得()4,3N --.
所以()()113,3,3,3F M F N =-=--,
得1
10FM F N ⋅=. 所以190MF N ∠=︒,1F 在以MN 为直径的圆上.
当直线PQ 存在斜率时，设PQ 方程为()1y k x =+ ， ()11,P x y 、()22,Q x y .
由()
2
21{ 143y k x x y =++=可得()22223484120k x k x k +++-=.
显然0∆>,221212228412,3434k k x x x x k k
-+=-=++, 直线AP 方程为()1122y y x x =--，得1164,2y M x ⎛⎫-- ⎪-⎝
⎭ , 同理， 2264,2y N x ⎛
⎫-- ⎪-⎝⎭
. 所以121112663,,3,22y y F M F N x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
. ()()
12111236922y y F M F N x x ⋅=+-- 因为()()11221,1y k x y k x =+=+
所以()()()()()()
212121212361136=2222k x x y y x x x x ++---- ()()()
2121212122222
22222
2
2
36124412834363441216121634936369k x x x x x x x x k k k k k k k k
k k k +++=-++⎛⎫--++ ⎪+⎝⎭=-++++-⋅==- 所以1
10FM F N ⋅= 所以90MFN ∠=︒, F 在以MN 为直径的圆上.
综上， F 在以MN 为直径的圆上.
28．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为2
，直线y x =交椭圆C 于A 、B 两点，椭圆C 的右顶点为P ，且满足4PA PB +=.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线y kx m =+（0k ≠， 0m ≠）与椭圆C 交于不同两点M 、N ，且定点
10,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足MQ NQ =，求实数m 的取值范围. 试题解析： （1）∵224PA PB PO a +===，
∴
2a =，
又c a =， ∴c =
∴2221b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为2214
x y +=. （2）由2
2{ 14y kx m
x y =++=消去y 整理得： ()222418440k x kmx m +++-=，
∵直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，
∴()()
222264441440k m k m ∆=-+->， 整理得2241k m >-．
设()11,M x y ， ()22,N x y ，
则122841
km x x k -+=+， 又设MN 中点D 的坐标为(),D D x y ，
∴1224241D x x km x k +-==+， 22244141
D D k m m y kx m m k k -=+=+=++．
∵MQ NQ =，
∴DQ MN ⊥，即1
12D D y x k
+=-， ∴2614m k -=，
∴2610{ 611
m m m ->->-，解得166m <<． ∴实数m 的取值范围1,66⎛⎫
⎪⎝⎭． 29．已知椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>. （1）若椭圆的离心率为
12
，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C 的标准方程； （2）点(),0P m 为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为b a 的直线l 交椭圆C 于A ， B 两点，试判断22PA PB +是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.
（1）12e =，即12
c a =， 2a c =， 不妨令椭圆方程为22
22143x y c c
+=， 当x c =时， 32
y =，得出1c =， 所以椭圆的方程为22
143
x y +=. （2）令直线方程为()b y x m a
=-与椭圆交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点， 联立方程()2222{ 1b y x m a x y a b =
-+=得222222222b x b mx b m a b -+=， 即222
220x mx m a -+-=， ∴12x x m +=， 22
122
m a x x -=，
∴22PA PB + ()()22
221122x m y x m y =-++-+ ()22
121b x m a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ()22221b x m a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ ()()2221221b x m x m a ⎛⎫⎡⎤=+-+- ⎪⎣
⎦⎝⎭ ()2222122a b x x a +=+ ()222121222a b x x x x a
+⎡⎤=+-⎣⎦ 22a b =+为定值.。