电大工程数学(本)4作业答案
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2
二、填空题 1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ． 2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法． 3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ． 4．设 x1 , x 2 , Λ , x n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 ) （ σ 2 已知）的样本值，按给定的 x − µ0 显著性水平 α 检验 H 0 :µ = µ 0 ; H1 :µ ≠ µ 0 ，需选取统计量 U = ． σ/ n 5．假设检验中的显著性水平 α 为事件 | x − µ 0 |> u （u 为临界值）发生的概率． 三、解答题 1．设对总体 X 得到一个容量为 10 的样本值 4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值 x 和样本方差 s 2 ． 1 10 1 解： x = ∑ xi = × 36 = 3.6 10 i =1 10
n
∑ ln x
i =1
n
−1
i
3．测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位：m） ： 108.5 109.0 110.0 110.5 112.0 测量值可以认为是服从正态分布 N ( µ , σ 2 ) 的，求 µ 与 σ 2 的估计值．并在⑴ σ 2 = 2.5 ；⑵ σ 2 未知的情况下，分别求 µ 的置信度为 0.95 的置信区间． 1 5 1 5 ˆ = x = ∑ xi = 110 ˆ 2 = s2 = 解： µ σ ∑ ( xi − x) = 1.875 5 i =1 5 − 1 i =1 （1） 当 σ 2 = 2.5 时， 由 1－α＝0.95，Φ(λ ) = 1 − 故所求置信区间为： [ x − λ
α
2
= 0.975
查表得：λ = 1.96
] = [108.6,111.4] n n （2）当 σ 2 未知时，用 s 2 替代 σ 2 ，查 t (4, 0.05 ) ，得 λ = 2.776 s s 故所求置信区间为： [ x − λ ,x+λ ] = [108.3,111.7] n n 4．设某产品的性能指标服从正态分布 N ( µ , σ 2 ) ，从历史资料已知 σ = 4 ，抽查 10 个样品，求得均值为 17，取显著性水平 α = 0.05 ，问原假设 H 0 :µ = 20 是否成 立． x − µ0 17 − 20 3 解： | U |=| |=| |= = 0.237 ， σ/ n 4 / 10 4 × 3.162
n
L( x1 , x 2 ,Λ , x n ;θ ) = Χ (θ + 1)xiθ = (1 + θ ) n ( x1 x 2 Λ x n )θ ln L = n ln(θ + 1) + θ ∑ ln xi ,
i =1 i =1 n n d ln L n = + ∑ ln xi = 0 ， θˆ = − θ + 1 i =1 dθ
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《工程数学（ 》作业评讲 工程数学（本） 》作业评讲（ 作业评讲（4）
重庆电大远程教育导学中心理工导学部 重庆电大远程教育导学中心理工导学部 姚素芬
第 3 章 统计推断 一、单项选择题 ⒈设 x1 , x 2 , Λ , x n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 ) （ µ , σ 2 均未知）的样本，则（A） 是统计量． x2 A. x1 B. x1 + µ C. 12 D. µ x1
σ
,x+λ
σ
由 Φ (λ ) = 1 − 因为
= 0.975 ，查表得： λ = 1.96 2 | U |= 0.237 > 1.96 ，所以拒绝 H 0
பைடு நூலகம்
α
5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0，现换了新材料，从产品中
2
随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位：cm） ： 20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（ α = 0.05 ） ． 2 解：由已知条件可求得： x = 20.0125 s = 0.0671 x − µ0 20.0125 − 20 0.035 | T |=| |=| |= = 0.1365 0.259 s/ n 0.259 / 8 λ = t (n − 1,0.05) = t (9,0.05) = 2.62 ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受 H0 即用新材料做的零件平均长度没有变化。
σ
的样本， 则统计量 （D） ⒉设 x1 , x 2 , x 3 是来自正态总体 N ( µ , σ )（ µ , σ 2 均未知） 不是 µ 的无偏估计． 1 A. max{x1 , x 2 , x 3 } B. ( x1 + x 2 ) 2 C. 2 x1 − x 2 D. x1 − x 2 − x 3
s2 = 1 10 1 ( xi − x) 2 = × 25.9 = 2.878 ∑ 10 − 1 i =1 9
1
2．设总体 X 的概率密度函数为
(θ + 1) x θ , 0 < x < 1 f (x ; θ) = 其它 0 , 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 θ ． 解：提示教材第 214 页例 3 1 2x − 1 1+θ 1 n 矩估计： E ( X ) = ∫ x(θ + 1)xθ dx = = x = ∑ xi , θˆ = 0 1− x 2 +θ n i =1 最大似然估计：
二、填空题 1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ． 2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法． 3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ． 4．设 x1 , x 2 , Λ , x n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 ) （ σ 2 已知）的样本值，按给定的 x − µ0 显著性水平 α 检验 H 0 :µ = µ 0 ; H1 :µ ≠ µ 0 ，需选取统计量 U = ． σ/ n 5．假设检验中的显著性水平 α 为事件 | x − µ 0 |> u （u 为临界值）发生的概率． 三、解答题 1．设对总体 X 得到一个容量为 10 的样本值 4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值 x 和样本方差 s 2 ． 1 10 1 解： x = ∑ xi = × 36 = 3.6 10 i =1 10
n
∑ ln x
i =1
n
−1
i
3．测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位：m） ： 108.5 109.0 110.0 110.5 112.0 测量值可以认为是服从正态分布 N ( µ , σ 2 ) 的，求 µ 与 σ 2 的估计值．并在⑴ σ 2 = 2.5 ；⑵ σ 2 未知的情况下，分别求 µ 的置信度为 0.95 的置信区间． 1 5 1 5 ˆ = x = ∑ xi = 110 ˆ 2 = s2 = 解： µ σ ∑ ( xi − x) = 1.875 5 i =1 5 − 1 i =1 （1） 当 σ 2 = 2.5 时， 由 1－α＝0.95，Φ(λ ) = 1 − 故所求置信区间为： [ x − λ
α
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= 0.975
查表得：λ = 1.96
] = [108.6,111.4] n n （2）当 σ 2 未知时，用 s 2 替代 σ 2 ，查 t (4, 0.05 ) ，得 λ = 2.776 s s 故所求置信区间为： [ x − λ ,x+λ ] = [108.3,111.7] n n 4．设某产品的性能指标服从正态分布 N ( µ , σ 2 ) ，从历史资料已知 σ = 4 ，抽查 10 个样品，求得均值为 17，取显著性水平 α = 0.05 ，问原假设 H 0 :µ = 20 是否成 立． x − µ0 17 − 20 3 解： | U |=| |=| |= = 0.237 ， σ/ n 4 / 10 4 × 3.162
n
L( x1 , x 2 ,Λ , x n ;θ ) = Χ (θ + 1)xiθ = (1 + θ ) n ( x1 x 2 Λ x n )θ ln L = n ln(θ + 1) + θ ∑ ln xi ,
i =1 i =1 n n d ln L n = + ∑ ln xi = 0 ， θˆ = − θ + 1 i =1 dθ
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重庆电大远程教育导学中心理工导学部 重庆电大远程教育导学中心理工导学部 姚素芬
第 3 章 统计推断 一、单项选择题 ⒈设 x1 , x 2 , Λ , x n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 ) （ µ , σ 2 均未知）的样本，则（A） 是统计量． x2 A. x1 B. x1 + µ C. 12 D. µ x1
σ
,x+λ
σ
由 Φ (λ ) = 1 − 因为
= 0.975 ，查表得： λ = 1.96 2 | U |= 0.237 > 1.96 ，所以拒绝 H 0
பைடு நூலகம்
α
5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0，现换了新材料，从产品中
2
随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位：cm） ： 20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（ α = 0.05 ） ． 2 解：由已知条件可求得： x = 20.0125 s = 0.0671 x − µ0 20.0125 − 20 0.035 | T |=| |=| |= = 0.1365 0.259 s/ n 0.259 / 8 λ = t (n − 1,0.05) = t (9,0.05) = 2.62 ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受 H0 即用新材料做的零件平均长度没有变化。
σ
的样本， 则统计量 （D） ⒉设 x1 , x 2 , x 3 是来自正态总体 N ( µ , σ )（ µ , σ 2 均未知） 不是 µ 的无偏估计． 1 A. max{x1 , x 2 , x 3 } B. ( x1 + x 2 ) 2 C. 2 x1 − x 2 D. x1 − x 2 − x 3
s2 = 1 10 1 ( xi − x) 2 = × 25.9 = 2.878 ∑ 10 − 1 i =1 9
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2．设总体 X 的概率密度函数为
(θ + 1) x θ , 0 < x < 1 f (x ; θ) = 其它 0 , 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 θ ． 解：提示教材第 214 页例 3 1 2x − 1 1+θ 1 n 矩估计： E ( X ) = ∫ x(θ + 1)xθ dx = = x = ∑ xi , θˆ = 0 1− x 2 +θ n i =1 最大似然估计：