第1章-命题逻辑

第一章命题逻辑1.1第7页1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。

否命题：不是大连的每条街道都临海。

（2）每一个素数都是奇数。

否命题： 并非每一个素数都是奇数。

2. 对下述命题用中文写出语句： （1）()P R Q ⌝∧→如果非P 与R ，那么Q 。

（2）Q R ∧ Q 并且R 。

4. 给出命题P Q →，我们把Q P →、P Q ⌝→⌝、Q P ⌝→⌝分别称为命题P Q →的逆命题、反命题、逆反命题。

（1）如果天不下雨，我将去公园。

解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园；逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。

（2）仅当你去我才逗留。

解：（此题注意：p 仅当q 翻译成p q →） 逆命题：如果你去，那么我逗留。

反命题：如果我不逗留，那么你没去。

逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。

（3）如果n 是大于2的正整数，那么方程nn n xy z +=无整数解。

解：逆命题：如果方程nn n xy z +=无整数解，那么n 是大于2的正整数。

反命题：如果n 不是大于2的正整数，那么方程n n nx y z +=有整数解。

逆反命题：如果方程n n nx y z +=有整数解，那么n 不是大于2的正整数。

7. 给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值。

（1）(()(()()))P Q R Q P R S ⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝=(()(()()))T T F T T F F ⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝ =()T F T ⌝∨→ =T F ∨ =T（2）()Q P Q P ∧→→=()T T T T ∧→→=T T T ∧→ =T T → =T（3）((()))()P Q R P Q S ∨→∧⌝↔∨⌝=((()))()T T F T T F ∨→∧⌝↔∨⌝ =(())T T F T ∨→↔ =T T ↔ =T（4）()()P R Q S →∧⌝→=()()T F T F →∧⌝→=()F F F ∧→=F8． 构成下列公式的真值表： （1）()Q P Q P ∧→→（2）()()()P Q R P Q P R ⌝∨∧↔∨∧∨（3）()P Q Q P P R ∨→∧→∧⌝（4）()P P Q R Q R ⌝→∧⌝→∧∨⌝9. 使用真值表证明：如果P Q ↔为T ，那么P Q →和Q P →都是T ，反之亦然。

P Q ↔为T 。

故命题得证。

10. 使用真值表证明：对于P 和Q 的所有值，P Q →与P Q ⌝∨有同样的真值。

11. 一个有两个运算对象的逻辑运算符，如果颠倒其运算对象的次序，产生一逻辑等价命题，则称此逻辑运算符是可交换的。

（1）确定所给出的逻辑运算符哪些是可交换的：∧，∨，→，↔。

（2）用真值表证明你的判断。

解：（1）∧，∨，↔是可交换的。

（2）真值表如下：12.设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z **和()x y z **逻辑等价，那么运算符*是可结合的。

（1）确定逻辑运算符∧，∨，→，↔哪些是可结合的？ （2）用真值表证明你的判断。

解：（1）,,∧∨↔是可结合的。

（2）真值表如下：13. 令P表示命题“苹果是添的”，Q表示命题“苹果是红的”，R表示命题“我买苹果”。

试将下列命题符号化：（1）如果苹果甜而红，那么我买苹果。

（2）苹果不是甜的。

（3）我没买苹果，因为苹果不红也不甜。

∧→解：（1）P Q R⌝（2）P⌝→⌝∧⌝（3）R P Q14．解：如何我问你是你是不是总说谎的，你会说是吗？回答不是的都是说实话的，回答是的都是说谎的。

1.2第15页1. 指出下面命题公式哪些是重言式、永假式或可满足式。

解：（1）重言式∨⌝=P P T（2）永假式P P F∧⌝=（3）重言式→⌝⌝=P P T()（4）重言式P Q P Q P Q P Q T⌝∧↔⌝∨⌝=⌝∨⌝↔⌝∨⌝=()()()()（5）重言式⌝∨↔⌝∧⌝=⌝∧⌝↔⌝∧⌝=()()()()P Q P Q P Q P Q T（6）重言式()()P Q Q P →↔⌝→⌝=()()P Q Q P T ⌝∨↔∨⌝= （7）重言式(()())()P Q Q P P Q →∧→↔↔ =()()P Q P Q T ↔↔↔= （8）重言式 ()()P Q R P Q P R ∧∨→∧∨∧=(()())()P Q P R P Q P R ∧∨∧→∧∨∧=()()P Q P R P Q P R ∧∨∧→∧∨∧=T（9）重言式P P Q ∧⌝→ =F Q T →= （10）可满足式 P Q Q ∨⌝→=()P Q Q P Q Q ⌝∨⌝∨=⌝∧∨，当Q 为真时公式为真，Q 为假时公式为假。

故为可满足式。

（11）重言式P P Q P P Q T →∨=⌝∨∨=（12）重言式()P Q P P Q P P Q P T ∧→=⌝∧∨=⌝∨⌝∨= （13）可满足式()()P Q P P Q ∧↔↔↔的真值表如下：（14）可满足式 (()())(()())P Q R S P R Q S →∨→→∨→∨ =()()P Q R S P R Q S ⌝∨∨⌝∨→⌝∧⌝∨∨=(()())(()())P R Q S P R Q S ⌝∨⌝∨∨→⌝∧⌝∨∨当Q 或S 有一个为真时公式为真；当Q 和S 均为假时，若P 和R 真值相同时，公式为真；真值不同时，公式为假。

故公式是可满足式。

2. 写出与下面给出的公式等价并且仅含有联接词∧与⌝的最简公式。

（1）((()))P Q R P ⌝↔→∨(((()))((())))(()(()))(())()()P Q R P Q R P P P Q R P Q R P P T Q R P P Q R P P P P Q R ⇔⌝→→∨∧→∨→⇔⌝⌝∨⌝∨∨∧⌝∨∨→⇔⌝∧∧⌝∧⌝∨⇔⌝∧⌝∧⌝∨⇔⌝∧⌝⌝∧∧⌝（2）(())()P Q R P R ∨→→∨(())()(())()(())()()(()())()()()()P Q R P R P Q R P R P Q R P R P Q P R P RP Q R P R P Q R R P R P Q R P Q R ⇔⌝∨∨→∨⇔⌝⌝∨∨∨∨⇔∨∧⌝∨∨⇔∨∨∧⌝∨∨⇔∨∧⌝∨∨⇔∨∨∧⌝∨∨⇔∨∨⇔⌝⌝∧⌝∧⌝（3）P Q R ∨∨⌝ ()P Q R ⇔⌝⌝∧⌝∧ （4）()P Q R P ∨⌝∧→ (())()()P Q R P P Q R P P Q R P Q R ⇔∨⌝⌝∧∨⇔∨∨⌝∨⇔∨∨⌝⇔⌝⌝∧⌝∧（5）()P Q P →→ ()()P Q P P Q P T⇔→⌝∨⇔⌝∨⌝∨⇔ 3. 写出与下面的公式等价并且仅含联结词∨和⌝的最简公式。

（1）()P Q P ∧∧⌝P Q PF⇔∧∧⌝⇔（2）(())P Q Q P Q →∨⌝∧⌝∧ ()()P T P QT P QP Q P Q ⇔→∧⌝∧⇔∧⌝∧⇔⌝∧⇔⌝∨⌝（3）()P Q R P ⌝∧⌝∧⌝→ ()()()()()P Q R P P Q R P Q P P Q R F P Q R P Q R ⇔⌝∧⌝∧∨⇔⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⇔⌝∧⌝∧∨⇔⌝∧⌝∧⇔⌝∨∨⌝ 4. 使用常用恒等式证明下列各式，并给出下列各式的对偶式。

（1）()()P Q P Q P ⌝⌝∨⌝∨⌝⌝∨⇔ 证明：()()()()()P Q P Q P Q P Q P Q Q P T P⌝⌝∨⌝∨⌝⌝∨⇔∧∨∧⌝⇔∧∨⌝⇔∧⇔对偶式：()()P Q P Q P ⌝⌝∧⌝∧⌝⌝∧⇔（2）()()()()P Q P Q P Q P Q ∨⌝∧∨∧⌝∨⌝⇔⌝⌝∨ 证明：()()()(())()()()()()()P Q P Q P Q P Q Q P Q P P Q P P P Q P Q P Q ∨⌝∧∨∧⌝∨⌝⇔∨⌝∧∧⌝∨⌝⇔∧⌝∨⌝⇔∧⌝∨∧⌝⇔∧⌝⇔⌝⌝∨对偶式：()()()()P Q P Q P Q P Q ∧⌝∨∧∨⌝∧⌝⇔⌝⌝∧ （3）(())Q P Q P T ∨⌝⌝∨∧⇔证明：(())(())()()()Q P Q P Q P Q P Q P Q P P Q P Q T∨⌝⌝∨∧⇔∨⌝⌝∨∨⌝⇔∨∧⌝∨⌝⇔∧⌝∨⌝∧⌝⇔ 对偶式：(())Q P Q P F ∧⌝⌝∧∨⇔5. 试证明下列合式公式是永真式。

（1）(())P Q P T ∧→↔ 证明：(())()P Q P P Q PP Q P T∧→⇔⌝∧∨⇔⌝∨⌝∨⇔（2）(())P Q P F ⌝⌝∨→⌝↔ 证明：(())(())()P Q P P Q P P Q P P Q P F⌝⌝∨→⌝⇔⌝∨∨⌝⇔⌝∨∧⇔⌝∧⌝∧⇔ （3）()()Q P P Q P →∧⌝→↔ 证明：()()()()()Q P P Q Q P P Q P Q Q P F P→∧⌝→⇔⌝∨∧∨⇔∨⌝∧⇔∨⇔（4）()()P P P P F →⌝∧⌝→↔ 证明：()()()()P P P P P P P P P P F→⌝∧⌝→⇔⌝∨⌝∧∨⇔⌝∧⇔6. 证明下列蕴含式。

（1）P Q P Q ∧⇒→ 证明：()()()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q Q T∧→→⇔⌝∧∨⌝∨⇔⌝∨⌝∨⌝∨⇔⌝∨⌝∨⇔ （2）()()()P Q R P Q P R →→⇒→→→ 证明：(())(()())(())(()())()(())()()P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q R T→→→→→→⇔⌝∨⌝∨→⌝⌝∨∨⌝∨⇔⌝∨⌝∨→∧⌝∨⌝∨⇔⌝∨⌝∨→⌝∨⌝∨⇔ （3）P Q P P Q →⇒→∧证明：()()()(())()(()())()()()()P Q P P Q P Q P P Q P Q P P P Q P Q P Q P Q P Q T→→→∧⇔→→⌝∨∧⇔→→⌝∨∧⌝∨⇔→→⌝∨⇔→→→⇔（4）()P Q Q P Q →→⇒∨证明：(())()(())()(())()(()())()()()P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q Q P Q P Q P Q T→→→∨⇔⌝⌝∨∨→∨⇔∧⌝∨→∨⇔∨∧⌝∨→∨⇔∨→∨⇔（5）()()P P Q P P R Q R ∨⌝→→∨⌝→⇒→ 证明：(()())()(()())()(()())()()()P P Q P P R Q R T Q T R Q R F Q F R Q R Q R Q R T∨⌝→→∨⌝→→→⇔→→→→→⇔∨→∨→→⇔→→→⇔（6）()()Q P P R P P R Q →∧⌝→→∧⌝⇒→ 证明：(()())()(()())()(()())()()()()()Q P P R P P R Q Q F R F R Q Q F R F R Q Q R R Q R Q R Q T→∧⌝→→∧⌝→→⇔→→→→→⇔⌝∨→⌝∨→→⇔⌝→⌝→→⇔→→→⇔7. 对一个重言式使用代入规则后仍为一个重言式，对一个可满足式和一个矛盾式，使用代入规则后，结果如何？对重言式、可满足式和矛盾式，使用替换规则后，结果如何？ 解：对于代入规则：（1）如果是可满足式，使用代入规则后可能是重言式、可满足式或矛盾式。