全国高中数学联赛分类汇编 专题 概率统计
精品高中数学专题：概率与统计
专题七 概率与统计第一讲 统计与统计案例1． 随机抽样抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值． 2． 总体分布的估计在研究总体时，常用样本的频率分布去估计总体分布．一般地，样本容量越大，这种估计就越精确． 3． 线性回归方程(1)对n 个样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^ ＝y －b ^x ，x 、y 分别是{}x i 、{}y i 的平均数．(2)相关系数r ＞0，表明两个变量正相关；r ＜0，表明两个变量负相关；|r |越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；|r |越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系；|r |＞0.75时，认为两变量有很强的线性相关关系． 4． 独立性检测的一般步骤(1)根据样本数据列出2×2列联表，假设两个变量无关系；(2)根据公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算K 2的值；(3)比较K 2与临界值的大小关系作统计推断．1． (2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( ) A ．11B ．12C ．13D ．14答案 B解析 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12(人)． 2． (2013·福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A ．588B ．480C ．450D ．120答案 B解析 少于60分的学生人数600×(0.05＋0.15)＝120(人)， ∴不少于60分的学生人数为480人．3． (2013·重庆)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)甲组 乙组 9 0 9 x 2 1 5 y 8 7424已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8答案 C解析 由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x ＝15，x ＝5.又因9＋15＋10＋y ＋18＋245＝16.8，所以y ＝8，故选C.4． (2012·湖南)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg答案 D解析 由于线性回归方程中x 的系数为0.85， 因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本点中心(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确． 当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确． 5．运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案 2 解析 x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90， x乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90， s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.题型一 抽样方法例1 (1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15(2)某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10审题破题 系统抽样的特点是“等距”，分层抽样最重要的是“比例”． 答案 (1)C (2)A解析 (1)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．(2)若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x 2＋300，所以有x ＋x 2＋x2＋300＝3 500， 解得x ＝1 600，故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为800100＝8.反思归纳 (1)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为Nn (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．(2)在分层抽样中，要求各层在样本中和总体中所占比例相同．变式训练1 (1)要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次为( )A ．①简单随机抽样法，②系统抽样法B ．①分层抽样法，②简单随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法 答案 B(2)防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取，某中学高三有学生1 600人，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数应该有________． 答案 760解析 设该校的女生为x 人，男生为(1 600－x )人，则按照分层抽样，各层的比例为2001 600＝18，所以女生抽取x 8，男生抽取1 600－x 8，所以x8＋10＝1 600－x 8，解得x ＝760. 题型二 用样本估计总体例2 (2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比审题破题 (1)根据样本频率之和为1，求出参数a 的值；(2)根据频率分布直方图和平均值的计算公式，求出样本平均值；(3)由直方图可计算语文成绩在每分段上的频数，再根据语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可计算数学成绩在[50,90)之间的人数，进而求解．解 (1)由频率分布直方图知(2a ＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a ＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5，0．04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为 100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．反思归纳 频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小．变式训练2 (1)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则( )A.x 甲<x 乙，m 甲>m 乙B.x 甲<x 乙，m 甲<m 乙C.x 甲>x 乙，m 甲>m 乙D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙答案 B解析由茎叶图可知甲数据集中在10至20之间，乙数据集中在20至40之间，明显x 甲＜x乙，甲的中位数为20，乙的中位数为29，即m甲＜m乙．(2)某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．答案75%71解析及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为71.题型三统计案例例3(1)根据上表可得线性回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为() A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元(2)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20附：参考公式及数据①卡方统计量：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)；则下列说法正确的是( )A ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B ．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D ．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关审题破题 (1)可以通过回归直线过(x ，y )求出a ^，然后进行预报；(2)计算K 2，然后和临界值比较． 答案 (1)B (2)C解析 (1)∵x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )，∴42＝72×9.4＋a ^ ，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． (2)K 2＝40×(14×13－7×6)220×20×21×19≈4.912，3.841<K 2<6.635，所以有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关．反思归纳 (1)线性回归分析中，回归直线过(x ，y )是解决问题的核心；(2)独立性检验问题要计算卡方值，和临界值比较，说明有多大把握认为两者有关系．变式训练3 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进(1)求线性回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解 (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ^＝－20，所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而线性回归方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．典例(12分)为调查某市学生百米运动成绩，从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学习成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)设m，n表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m－n|>2”的概率；(2)根据有关规定，成绩小于16秒为达标．根据上表数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来？附：规范解答解(1)从频率分布直方图中可以看出，成绩在[13,14)的人数为50×0.04＝2(人)，设为a，b；成绩在[17,18]的人数为50×(1－0.38－0.34－0.18－0.04)＝3(人)，设为A，B，C.[2分] m，n∈[13,14)有ab一种情况；m，n∈[17,18]时有AB，AC，BC三种情况；m，n分别在[13,14)和[17,18]时有aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 六种情况，所有基本事件总数为10.[4分] 而事件“|m －n |>2”由6个基本事件即aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 组成．所以P (|m －n |>2)＝610＝35.[6分](2)依题意得到相应的2×2列联表如下：[9分]K 2＝50×(24×12－6×8)232×18×30×20≈8.333.由于8.333>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“体育达标与性别有关”．故可以根据男女生性别划分达标的标准．[12分]评分细则 (1)计算出成绩在两个区间[13,14)，[17,18]内的人数给1分，标记给1分；(2)列举基本事件不全扣1分；(3)卡方值计算正确得1分，和临界值比较得1分，写最后结论得1分．阅卷老师提醒 (1)频率分布直方图和概率的结合是高考考查的热点，解题时要审清题意，把握频率分布直方图所体现的频率分布或数字特征；(2)解决独立性检验问题，要先得到列联表，准确代入公式计算．1． 某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在( )A.24B ．18C ．16D ．12答案 C解析 由2 000×0.19＝380知二年级的学生人数为380＋370＝750，由于一年级的学生人数为373＋377＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16(人)．2． (2012·山东)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是 ( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差答案 D解析 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差，众数、中位数、平均数都发生改变．3． 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，设回归方程为y ＝b x ＋a ，则点(a ，b )在直线x ＋45y －10＝0的( )A ．左上方B ．左下方C ．右上方D ．右下方答案 C解析 依题意得，x ＝18×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，y ＝18×(62＋68＋75＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.注意到题中的每一组点(x ，y )均位于直线x ＋45y －10＝0的右上方，因此点(a ^，b ^)必位于直线x ＋45y －10＝0的右上方，故选C.4． 高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为________． 答案 20解析 由题意可知，可将学号依次为1,2,3，…，56的56名同学分成4组，每组14人，抽取的样本中，若将他们的学号按从小到大的顺序排列，彼此之间会相差14.故还有一个同学的学号应为6＋14＝20.5． (2013·湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示． (1)直方图中x 的值为 __________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．答案 (1)0.004 4 (2)70解析 (1)(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1， ∴x ＝0.004 4.(2)(0.003 6＋0.004 4＋0.006 0)×50×100＝70.6． (2013·辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 答案 10解析 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20， 五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20， 由|x －7|＝3可得x ＝10或x ＝4. 由|x －7|＝1可得x ＝8或x ＝6.由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.专题限时规范训练一、选择题1． (2013·安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案 C 解析 x男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x 女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91， s 2男＝15[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8， s 2女＝15[(88－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2＋(93－91)2]＝6. 2． (2013·湖南)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法答案 D解析 总体(100名学生)中的个体(男、女学生)有明显差异，应采用分层抽样． 3． 为了解一片大约10 000株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的树木大约有( )A ．3 000株B ．6 000株C ．7 000株D ．8 000株答案 C解析 底部周长小于110 cm 的频率为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周长小于110 cm 的树木大约有10 000×0.7＝7 000株，故选C.4． 如图是2013年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则一定有( )A.a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2大小与m 的值有关答案 B解析 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2>a 1.5． 假设学生初一和初二数学成绩是线性相关的．若10个学生初一(x )和初二(y )的数学分数则初一和初二数学分数间的线性回归方程是( )A.y ^＝1.218 2x －14.192B.y ^＝14.192x ＋1.218 2C.y ^＝1.218 2x ＋14.192D.y ^＝14.192x －1.218 2 答案 A 解析 因为x＝71，∑i ＝110x 2i ＝50 520，y ＝72.3，∑i ＝110x i y i ＝51 467，所以，b ^＝51 467－10×71×72.350 520－10×712≈1.218 2.a ^＝72.3－1.218 2×71＝－14.192 2，线性回归方程是：y ^＝1.218 2x －14.192 2.6． (2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取( )A.08 B ．07 C ．02 D ．01答案 D解析 从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.7． 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 答案 D解析 逐项验证，由0,0,0,2,4,4,4,4,4,8可知，A 错；由0,0,0,0,0,0,0,0,2,8可知，B 错；由0,0,1,1,2,2,3,3,3,8可知，C 错．D 中x ＝2. (x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)210＝3.即(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)2＝30.显然(x i －2)2≤30(i ＝1,2，…，10)，x i ∈N *即x i ≤7.8． 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A ．18B ．36C ．54D ．72答案 B解析 由0.02＋0.05＋0.15＋0.19＝0.41， ∴落在区间[2,10)内的频率为0.41×2＝0.82. ∴落在区间[10,12)内的频率为1－0.82＝0.18.∴样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36. 二、填空题9． (2013·山东改编)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为________．答案 367解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0) ＝367. 10．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．答案 9解析 最左边两个矩形面积之和为0.10×1＋0.12×1＝0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1＝0.18，50×0.18＝9.11．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．答案 24 23解析 x 甲＝110×(19＋18＋20＋21＋23＋22＋20＋31＋31＋35)＝24.x 乙＝110×(19＋17＋11＋21＋24＋22＋24＋30＋32＋30)＝23.12．以下四个命题，其中正确的是________．①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 ；③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2(χ2)的值越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 答案 ②③解析 ①是系统抽样；对于④，随机变量K 2(χ2)的值越小，说明两个变量有关系的把握程度越小． 三、解答题13．(2013·安徽)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考的数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．解 (1)设甲校高三年级学生总人数为n ，由已知条件 30n＝0.05，则n ＝600. 在甲校高三年级抽取的30名学生中成绩在60分及60分以上的人数为25，因此甲校高三年级这次联考的及格率大约是2530＝56＝83.3%.(2)x 1＝[(7＋13＋24＋26＋22＋2)＋40＋50×4＋60×9＋70×9＋80×5＋90×2]÷30＝1 04215；x 2＝[(5＋14＋17＋33＋20)＋40＋50×3＋60×10＋70×10＋80×5＋90]÷30＝2 06930.x 1－x 2＝2 08430－2 06930＝12.14．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率． 解 (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为545＝19，故大于40岁的观众应抽取27×19＝3(人)．(3)抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20岁到40岁的有2人，记大于40岁的人为a 1，a 2，a 3,20至40岁的人为b 1，b 2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(b 1，b 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)共10个，其中恰有1人为20至40岁的有6个，故所求概率为610＝35.。
高中数学专题――概率统计专题.
专题二概率统计专题【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】题型1 抽样方法-）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体．例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24B．18C．16D．12 Array分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．x=⨯=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是37337738037015006450016⨯=．答案C．2000点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识．例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)出人．分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．解析：根据图可以看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是()0.00050.00035000.4+⨯=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=，故抽取25人．点评：本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力．题型2统计图表问题例4（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．16分析：根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=，人数为0.45020⨯=．点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．例5 （2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 ．分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决．解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23． 点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是．分析：找出频率即可．解析：()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦．点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题例6 （2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（）A3B210C．3D．85分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．解析：平均数是520410*********3100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，标准差是()()()()()22222205310433033302310131008010304082101005s⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=+++===答案B．点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难．例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,,nx x x x的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．分析：根据平均数与方差的性质解决．解析：16,18 例8．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84，4.84B ．84，1.6C ． 85，1.6D ．85，4解析：C题型4 用样本估计总体例8（2008高考湖南文12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．解析：60 由上表得23211500023060.500-⨯=⨯= 点评：考查样本估计总体的思想．题型5．线性回归分析例9．（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3 4 5 6 y2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y bx a =+；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？分析：本题中散点图好作，本题的关键是求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．解析：（1）散点图如右；（2）方法一：设线性回归方程为y bx a =+，则 222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-， 即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．所以线性回归方程为0.70.35y x =+．方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯ 93.50.70.352a =-⨯=，所以线性回归方程为0.70.35y x =+． （3）100x =时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：本题考查回归分析的基本思想．求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而这个时候，当13336172a b -=时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就可以解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =，相关指数20.98R =．这说明x ，y 具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7数学88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 106 （1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明； （2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．解析：（1）12171788121001007x --+-++=+=； 69844161001007y --+-+++=+=； 2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理， 从而22S S >数学物理，所以物理成绩更稳定．（2）由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 497ˆˆ0.5,1000.510050994b a ===-⨯=， ∴线性回归方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．点评：《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”．2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心．题型6 古典概型与几何概型计算问题例11 （2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ．分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，基本事件的总数是36，故这个概率是31369=．或是数形结合处理．点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算．例12．（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是A ．4πB ．4πC ．44π-D ．π分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是4π，答案A ． 点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查．例13．（2008高考山东文18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组 成一个小组．（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决． 解析：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件， 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、“正难则反”等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力．题型7 排列组合（理科）例14．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430分析：按照千位的数字寻找规律． 解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．例15．（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 ．（用数字作答）分析：由于字母A 是一样的，没有区别，故可以按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为72043205400240012840+++=．点评：解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步，根据排列组合的有关计算公式和两个基本原理进行计算．题型8 二项式定理（理科）例15．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如图所示，则实数a 的值为___________．分析：根据点列的图可以知道012,,a a a 的值，即可以通过列方程组解决．解析：由图123,4a a ==，又根据二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =． 点评：本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题，解决问题的基本出发点是方程的思想． 例16（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第4题）若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，则5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35- 分析：根据展开式的系数之比求出n 值．解析：2323,n n a C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ．点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别，别把符号弄错了．题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点） 例17．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．分析：根据对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率．解析：（1）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． 因此，随机变量ξ的最大值为3 ．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． 点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型．例18．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23． （1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，（1）比赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==； （2）比赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==； 比赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==； 甲获胜的概率是：3456481P P P ++=． （3）记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==；所以甲比赛次数的数学期望是：1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=． 点评：这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题，但这里又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型． 题型11 正态分布例19.（2008高考湖南理4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：根据正态密度曲线的对称性解决．解析：B 根据正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =． 点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．例20（2008高考安徽理10）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如图所示．则有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>分析：根据正态密度曲线的性质解决．解析：A 根据正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．点评：考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义”，这个考点多次出现在高考试卷中． 【专题训练与高考预测】文科部分一、选择题1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，若其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为 （ ）A ．1000B ．1200C ．130D ．13002．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则y 与x 的线性回归方程为ya bx =+必过点（ ）A ．()2,2B ．()1.5,0C ．()1,2D ．()1.5,43．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率 （ ） A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等，且为200750D ．都相等，且为4014．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%．现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 （ ） A ．15% B ．20% C ．45% D ．65%5．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 （ ）A ．14B ．13C ．12 D ．16．有如下四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是 （ ）二、填空题7．归直线方程为0.50.81y x =-，则25x =时，y 的估计值为 ．8．若由一个2*2列联表中的数据计算得24.013K =，那么有 把握认为两个变量有关系．9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．10．如图：M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是 ．三、解答题11．一个质地均匀的正方体玩具的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6，现将这个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分别为,a b ，曲线:1x yC a b+=． （1）曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；（2）曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率．12．某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x （万元） 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y （万元） 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系； （2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是 （ ） A ． 0.006 B ．0.4 C ． 0.5 D ． 0.6 6．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是（ ）A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 （ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有（ ） A ．216种 B ．540种 C ．729种 D ．3240种 二、填空题9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ． 10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ． 11． 若2x =，则50(1)x +展开式中最大的项是 项． 三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．（1）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；（2）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E ξ．15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．16．某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x （万元） 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y （万元） 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系； （2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．【参考答案】文科部分1．解析：B 根据用样本估计总体的思想，池中有记号的鱼的频率是110，故鱼池中鱼的条数是1200条． 4．解析：D 过样本中心点．选D ．7．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是200750． 8．解析：D 只有O 型和A 型，根据互斥事件的概率加法得结论为65%．9．解析：B 相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是13．10．解析：A 选择游戏盘的原则是中奖的概率大，A中中奖的概率是38，B中中奖的概率是13，C中中奖的概率是44π-，B中中奖的概率是1π，比较大小即知．11．解析：11.690.5250.8111.69⨯-=12．解析：95%13．解析：60．三条生产线的产品也组成等差数列．14．解析：12连接圆心O与M点，作弦MN使090=∠MON，这样的点有两个，分别记为12,N N，仅当N在不属于M的半圆弧上取值时满足2MN R>，此时021180=∠ONN，故所求的概率为21360180=．15．解析：基本事件的总数是．（1）,a b应满足22111a b≤+，即22111a b+≥，逐个检验，()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C和圆221x y+=有公共点的概率包含着11个基本事件，故所求的概率是1136；（2）曲线C所围成的区域的面积是2ab，即求25ab≥的概率，基本事件只能是()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是41369=．16．解析：（1）由题意知，年收入x为解释变量，年饮食支出y为预报变量，作散点图（如图所示）．从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．6x=∵， 1.83y=，1021406iix==∑，102135.13iiy==∑，101117.7i iix y==∑，0.172b≈∴， 1.830.17260.798a y bx=-=-⨯=．从而得到回归直线方程为0.1720.798y x=+．。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题11 概率(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题11 概率 （50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·安徽·高三竞赛）从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率=_________. 【答案】115【解析】 【详解】123x x x <<的样本方差()3221113i i s x x ==-≤∑，当且仅当1x 、2x 、3x 是连续的正整数.故()231081115P s C ≤==.故答案为1152．（2018·广东·高三竞赛）袋中装有m 个红球和n 个白球，m ＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组（m ，n ）的个数为_______. 【答案】3 【解析】 【详解】记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红一白两个球”为事件C ，则()22m m n C P A C +=，()22n m n C P B C +=，()112m nm nC C P C C +⋅=. 依题意得()()()P A P B P C +=，即2211m n m n C C C C +=.所以()2m n m n +=-，从而m n +为完全平方数.又由4m n >≥及40m n +≤，得940m n ≤+≤. 所以9,3,m n m n +=⎧⎨-=⎩或16,4,m n m n +=⎧⎨-=⎩或25,5,m n m n +=⎧⎨-=⎩或36,6,m n m n +=⎧⎨-=⎩. 解之得（m ，n ）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）. 故符合题意的数组（m ，n ）有3个.故答案为33．（2018·广东·高三竞赛）已知点A （1，1），B （1,02），C （3,02）经过点A 、B 的直线和经过点A 、C 的直线与直线()01y a a =<<所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域(){},02,01x y x y <<<<中任意一点进入区域G 的可能性为116，则a=__________. 【答案】12 【解析】 【详解】直线AB 方程为21y x =-，直线AC 方程为23y x =-+，直线y a =与它们的交点为D （1,2a a -），E （3,2a a -）.G 的面积等于三角形ADE 的面积()212a -，因此()211416a -=，解之得12a =. 故答案为124．（2019·全国·高三竞赛）已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13.若其中一人比另一人多赢两局，则游戏结束那么，需要进行的游戏局数的数学期望为_______. 【答案】185. 【解析】 【详解】设所求的数学期望为E ξ.注意到，两局就结束的概率等于22215339⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若两局没有结束，则必定恰赢了一局，回到初始状态，此时的数学期望为2E ξ+，从而， ()541822995E E E ξξξ⨯++=⇒=. 故答案为1855．（2019·全国·高三竞赛）两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5min 分钟，如果没有见到对方则自己先行.设两人到达B 地的时间是随机的、独立的、等可能的.那么，两人能够在当天一同去A 地的概率是______. 【答案】23144【解析】 【详解】设两人到达A 地的时间分别是7点过m 分和7点过n 分（0m ≤、60n ≤）.用数对(),m n 表示两人分别到达A 地的时间.则在直角坐标系中，点(),m n 的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600.显然，两人能够在当天一同去A 地等价于5m n -≤.此时，相应点的存在域是正方形中位于两直线5m n -=±之间的部分区域（如图），其面积为2360055575-=. 故所求概率为575233600144=. 故答案为231446．（2019·全国·高三竞赛）在面积为1的正方形ABCD 中任取一点P ，则PAB △、PBC 、PCD 、PDA 的面积均大于16的概率是____．【答案】19【解析】 【详解】如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系.设(),p x y ，01x <<，01y <<. 由题设知x ，y 必满足()()112611261112611126x y x y ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪->⎪⎪⎪->⎩，即12331233x y ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩. 因此，满足题设条件的点p 必在直线13x =，23x =和13y =，23y =所围成的正方形区域内.所以所求概率为2211319⎛⎫⎪⎝⎭=. 故答案为197．（2019·全国·高三竞赛）圆周上有10个等分点.则以这10个等分点中的4个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的个数比为______. 【答案】27【解析】 【详解】任选4点，共有410210C =个凸四边形，其中，梯形的两条平行边既可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个.所以，梯形所占的个数比为27. 故答案为278．（2019·全国·高三竞赛）记{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8A B ==．现抛掷硬币从A 、B 中无放回地取出数字组成九位数，规则是：若硬币出现正面时，就从集合A 中取出一个最小的数；若硬币出现反面时，就从集合B 中取出一个最小的数．当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时，另一集合剩下的数字就按从小到大的顺序添在后面按此规则，取出的数字恰好为123456789的概率为________． 【答案】1256【解析】 【详解】由规则知，抛掷硬币的正反面序列为：正反正反正反正反． 所以，取出的数字恰好为123456789的概率为8112256⎛⎫= ⎪⎝⎭．故答案为12569．（2021·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10这10个正整数中任取4个，记ξ为这四个数中两数相邻的组数，则ξ的数学期望E ξ=__________． 【答案】65【解析】 【分析】 【详解】易知ξ的取值为1,2,3，且：327741013233765C C E C ξ⨯⨯+⨯⨯+⨯==． 故答案为：65.10．（2018·全国·高三竞赛）甲、乙、丙、丁各拿一个足球同时进行一次传球，要求每个人可以将球传给另外三人中的任何一人．一次传球后，每个人仍各有一个球的概率为______． 【答案】19【解析】 【详解】 433139P ⨯== 11．（2018·全国·高三竞赛）袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回1只白球．则第四次恰取完所有红球的概率为______． 【答案】0.0434 【解析】【详解】第四次恰取完所有红球的概率为2229182918210.043410101010101010101010⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．12．（2019·全国·高三竞赛）从{}1,2,,100中任取5个数（可以相同）．则取到合数的个数的数学期望是______． 【答案】3710【解析】 【详解】{}1,2,,100中合数共有74个，设ξ为取到合数的个数．则()()557426i 05100100iiP C i ξ-⎛⎫⎛⎫==≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故ξ服从二项分布．因此，7437510010E ξ=⨯=． 故答案为371013．（2018·全国·高三竞赛）甲有一个箱子，里面有红球和白球共4个；乙有一个箱子，里面有2个红球、1个白球、1个黄球.现在，甲从他的箱子中任取2个球，乙从他的箱子中任取1个球，如果取出的3个球颜色全不同，则甲获胜.为了保证甲获胜的概率最大，则甲的箱子中的红球个数为____. 【答案】2 【解析】 【详解】设甲的箱子中有()1n n ≥个红球，则白球有4n -个.故甲获胜的概率为()114214414.24n n C C P n n C C -==-422n n +-≤=，即()44n n -≤，当且仅当2n =时，上式等号成立，P 最大.14．（2019·全国·高三竞赛）两人作一种游戏:连续旋转一枚硬币若干次,当正(或反)面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时,如果正面向上的次数累计达到5次,则A 胜;否则B 胜.那么,旋转不足9次就决出胜负的概率为______.【答案】93128【解析】 【详解】考察旋转9次才结束游戏的情形.此时,前8次旋转中正面向上和反面向上各有4次,其概率为488C 352128=,于是,旋转不足9次就结束游戏的概率为35931128128-=. 故答案为9312815．（2019·全国·高三竞赛）设1210,,,a a a 是2000,2001,,2009的一个排列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．则排列1210,,,a a a 满足“()110i S i ≤≤都不是3的倍数”的概率为______.【答案】150【解析】 【详解】 设2000,2001,,2009的一个排列为一个基本事件M .则基本事件总数为1010N A =.下面计算所求事件M 含的基本事件数．（1）首项不能是3的倍数，除首项以外各项均可是3的倍数，从而，3的倍数有39A 种排法；（2）去掉3的倍数后，考虑模3余2、余1的数的位置（用i a 模3的余数代替i a ）： 当11a =时，21a =，32a =，41a =，……此时，含1的项比含2的项多，这与已知矛盾； 当12a =时，22a =，31a =，……此时，满足题设要求．综上，模3余2、余l 的数的位置唯一确定，它们的各自排法分别有44A 和33A 种．因此，事件M 含基本事件数为343943m A A A =.故所求概率150m P N ==． 故答案为15016．（2019·全国·高三竞赛）一副扑克牌除去大、小王共52张.洗好后，四个人顺次每人抓13张.则两个红A （即红桃A 、方块A ）在同一个人手中的概率为________. 【答案】417【解析】 【详解】注意到，牌洗好后每个人的牌就定下来了，即已将52张牌排在了52个位置上. 记四组牌号为：1，5，9，13，⋯，49；2，6，10，14，⋯，50； 3，7，11，15，⋯，51；4，8，12，16，⋯，52．则红桃A 、方块A 在同一组中的排列数为25013504M A A =.从而，所求概率为452!17M P ==. 故答案为41717．（2018·湖北·高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______. 【答案】772【解析】 【详解】设1234a a a a 、、、分别是四次投掷骰子得到的点数，那么()1234,,,a a a a 共有46种不同的情况. 如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则 1234a a a a ≤≤≤.若1234a a a a 、、、的值都相等，则()1234,,,a a a a 有16C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取两个不同的值，则()1234,,,a a a a 有263C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取3个不同的值，则()1234,,,a a a a 有363C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取4个不同的值，则()1234,,,a a a a 有46C 种不同的情况.因此，满足1234a a a a ≤≤≤的情况共有1234666633126C C C C +++=（种）.故所求的概率为41267672=. 18．（2019·上海·高三竞赛）某侦察班有12名战士，其中报务员有3名.现要将这12名战士随机分成3组，分别有3名战士、4名战士、5名战士，那么每一组都有1名报务员的概率是________.【答案】311【解析】 【详解】由题意可知，所有的分组方法34129C C N =，满足题意的分组方法23973!C C n =，则满足题意的概率值：2397341293!C C 3C C 11P ==.故答案为：311． 19．（2019·贵州·高三竞赛）已知m ∈{11，13，15，17，19}，n ∈{2000，2001，…，2019}，则mn 的个位数是1的概率为____________ . 【答案】25【解析】 【详解】当m =11，n ∈{2000，2001，…，2019}时，mn 的个位数都是1，此时有20种选法； 当m =13，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法； 当m =15时，mn 的个位数不可能为1，此时有0种选法；当m =17，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法； 当m =19，n ∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m 的个位数都是1，此时有10种选法. 综上，所求概率为205051025205++++=⨯.故答案为：25．20．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______. 【答案】319512【解析】 【分析】 【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率，即5101011101051319222512i i p CC ===+=∑.故答案为：319512. 21．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________． 【答案】23108【解析】 【分析】 【详解】有两次为5的概率为213531166216C C +=， 有两次为6和4的概率为211134323306216A C C C +=， 所以概率为163023216216108+=. 故答案为：23108. 22．（2018·福建·高三竞赛）从如图所示的，由9个单位小方格组成的，33⨯方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．【答案】514【解析】 【详解】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成224436C C ⨯=个不同的矩形．又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．因此，可得436144⨯=个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．再算直角顶点不在矩形顶点：（1）在12⨯的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为()2,2,2的直角三角形两个．而12⨯矩形横向、纵向各有6个，故共有21224⨯=个． （2）在23⨯的矩形中，有直角顶点不在矩形顶点，边长分别为5,5,10的直角三角形4个，边长分别为(2,22,10的直角三角形4个．而23⨯矩形横向、纵向各有两个，故共有()44432+⨯=个． 所以，所求的概率31614424322005401414P C ++===⨯． 23．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}1,2,,2014中随机地、不放回地取出三个数123a a a 、、，然后再从剩下的2011个数中同样随机地、不放回地取出三个数123b b b 、、.则将123a a a ⨯⨯为长、宽、高的砖能放进以123b b b ⨯⨯为长、宽、高的盒子中的概率为__________． 【答案】14【解析】 【详解】不妨设123a a a <<，123b b b <<，当且仅当11a b <，22a b <，33a b <时砖可放入盒中. 设126c c c <<<是从{}1,2,,2014中选出的六个数，再从中选出三个，有36C =20种方法.这三个作为123a a a 、、，剩下三个作为123b b b 、、，符合要求的1a 只能为1c . 2a 若为2c ，则3a 可为3c 或4c 或5c ；2a 若为3c ，则3a 可为4c 或5c .故符合要求的取法为5种，概率51204p ==. 24．（2018·全国·高三竞赛）小明、小红分别独立重复投掷均匀的色子，直到第-次出现6点为止．则小明和小红投掷的次数相差不超过1的概率为________． 【答案】833【解析】 【详解】设小明、小红投掷次数分别为ξη、.则所求为()()()1,11,]i P i P i i P i i ξηξηξη+∞===+==++=+=∑.由独立性,知所求概率为()()()()()()111)i P i P i P i P i P i P i ξηξηξη+∞=⎡⎤==+==++=+=⎣⎦∑=111151515151266666666i i i ii ---+∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑=833.25．（2018·全国·高三竞赛）设n 为正整数.从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为方程236n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的解的概率为_______（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. 【答案】10072015【解析】 【详解】当()6n k k Z +=∈时，6322n k k ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，66233636n n k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.满足题中方程的n 为6，12，…，2010，共335个； 当()65n k k Z +=-∈时，653322n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6565221333636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 为1，7，13，…，2011，共336个； 当()64n k k Z +=-∈时，643222n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6464221333636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在；当()63n k k Z +=-∈时，633222n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6363211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 为3，9，15，…，2013，共336个； 当()62n k k Z +=-∈时，623122n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，6262211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在；当()61n k k Z +=-∈时，613122n k k -⎡⎤⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 6161211323636n n k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 满足题中方程的n 不存在. 因此，从集合{}1,2,,2015中任取一个正整数n 恰为题中方程的解的概率为335336336100720152015++=. 26．（2018·全国·高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为m 、n 、p .则函数322132n y mx x px =--+在[)1,+∞上为增函数的概率为______. 【答案】1124【解析】 【详解】 注意到，()322132n f x mx x px =--+ 在[)1,+∞上为增函数等价于()220f x mx nx p =-->'在[)1,+∞上恒成立，等价于()10f '>，即2m n p >+.当2m =时，3n p +≤，有3种；当3m =时，5n p +≤，有10种； 当4m =时，7n p +≤，有21种；当5m =时，9n p +≤，有30种； 当6m =时，11n p +≤，有35种. 故所求概率为331021303511624++++=.27．（2019·全国·高三竞赛）将编号为1，2，…，9的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有相邻珍珠编号之差的绝对值之和为T 则T 取得最小值的放法的概率为______. 【答案】1315【解析】 【详解】由题设，知珍珠的固定方法共有9!47!92=⨯⨯（种）. 在项链所在的圆周上，从1~9有优弧和劣弧两条路径，设12,,,k x x x ⋅⋅⋅是依次排列在这段弧上的珍珠号码.则()()()11211219198k k T x x x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-≥-+-+⋅⋅⋅+-=， 当且仅当1219k x x x <<<⋅⋅⋅<<时，等号成立.因此，T 取得最小值的放法共有0123677772C C C C +++=（种）.故所求概率为62147!315=⨯. 28．（2018·全国·高三竞赛）小张、小李、小华、小明四人玩轮流投掷一枚标准色子的游戏.若有一人投到的数最小，且无人与他并列，则判他获胜；若投出最小数的人多于一个，则将没投出最小数的人先淘汰，再让剩下的人重新做一轮游戏，这样不断地进行下去，直到某个人胜出为止.已知第一个投掷色子的小张投到了数3.则他获胜的概率是______. 【答案】175864【解析】 【详解】考虑第一轮次中可能出现的四种情形. （1）小张获胜.这种概率是313168P ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）小张与另外某一人打成平局.这种概率是213131668C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是21118216P =⨯=（注意该游戏永不停止地进行下去的概率是0，下同）.（3）小张与另外某两个人打成平局，这种概率是2231316624C ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是311124372P =⨯=. （4）所有人均打成平局．这种概率是3116216⎛⎫= ⎪⎝⎭，故形成此情形且小张最终获胜的概率是41112164864P =⨯=. 综上，小张在游戏中获胜的概率为1234111117581672864864P P P P P =+++=+++=. 29．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}1,2,,2011⋅⋅⋅中任意选取两个不同的数a 、b ，使得a b n +=（n 为某正整数）的概率为12011．则ab 的最小值为______． 【答案】2010． 【解析】 【详解】记使得a b n +=的方法有k 种．则22011110052011k k C=⇒=． 考虑ab 尽量小，且使a b n +=的方法有1005种． 取2011n =．则120102************+=+=⋅⋅⋅=+． 此时，2011a b +=的选法恰有1005种． 于是，ab 的最小值为120102010⨯=．30．（2018·全国·高三竞赛）A B 、两队进行乒乓球团体对抗赛,每队各三名队员,每名队员出场一次. A B 、两队的三名队员分别是1A 、23A A 、,123B B B 、、,且i A 对j B 的胜率为()13ii j i j ≤≤+、.则A 队得分期望的最大可能值是______. 【答案】9160【解析】 【详解】设123A A A ，，胜率为123,,,p p p A 则队得分期望为123p p p ++， 计算123123123123123123246255336354446435++++++++++++，，，，，，可知,当132132:,:,:A B A B A B 时,期望最大为9160. 31．（2018·全国·高三竞赛）将1~6这16个正整数随机地填入44⨯棋盘的16个格子中（每格填写一数），则使每行、每列填数之和皆为偶数的概率为______． 【答案】412145【解析】 【详解】首先，将44⨯棋盘染黑白两色，使黑、白两种格子各有8个，且每行（或列）中同色的格子有偶数个． 分三种情况讨论：（1）若第一列为两黑两自，则该列有24C 种染法．考虑后三列每行黑格的个数，则有12323223334+⨯⨯+⨯⨯+⨯=种染法．（2）若第一列为四黑，则后三列共有2234321C C +=种染法．（3）若第一列为四白，则后三列共有21种染法．对于以上每种染法，将1~16中的偶数填入黑格中，奇数填入白格中，得到满足条件的填法．故所求概率为()()26342128!4116!2145⨯+⨯⨯=．32．（2019·全国·高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶100m ，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退50m 进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退50m ，直到命中为止，已知他第一次的命中率为14，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________. 【答案】12 【解析】 【详解】记事件“第n 次射击命中”为n A ，其概率为()n P A .则()114P A =. 又第n 次射击时距离靶()()()100501501n n m +-=-， 则()()()2122111n P A P A n n ⎛⎫== ⎪+⎝⎭+.于是，前n 次内命中的概率为()()()()121211n n n P P A A A P A P A P A =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅()21111324211111492233111n n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=---⋅⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()1212121n nn n +=-⋅=++.令n →∞，得1lim 2n n P →∞=. 因此，此人能够命中的概率是12.故答案为1233．（2019·全国·高三竞赛）如图，给定由()12n n +个点组成的正三角形点阵．在其中任意取三个点，以这三点为顶点构成的正三角形的概率为__________．【答案】224n n +-【解析】 【详解】设正三角形点阵的凸包为正ABC ∆，边长为1n -.首先，计算正△DEF 的个数，其中，D 、E 、F 为上述正三角形点阵内的点. 如图，将AB 、AC 分别延长到点,B C ''，使得''1BB CC ==.将BB '分成n 等份.对正三角形点阵内任一点X ，过X 作AB 、AC 的平行线与B C ''的交点，并分别记为b c X X 、. 下面分两种情形.1.正△DEF 与正△ABC 的对应边平行，则正△DEF 与边B C ''上有序三点组()b ,,c c E F F 一一对应，有3n+1C 个正三角形.2.正△D E F '''不与正△ABC 对应边平行，作正△D E F '''的外接正△DEF ，使得正△DEF 与正△ABC 的对应边平行，则正△D E F '''与边B’C’上有序四点组()b b ,',',c c E D D F 一一对应，有41n C +个正三角形.综上，共有344n+112n n C C C +++=个正三角形.从而，所求概率为()42321224n n n C C n n ++=+-. 故答案为224n n +-34．（2019·全国·高三竞赛）有7名运动员分别获得某项比赛的一、二、三等奖，已知一等奖的人数不少于1人，二等奖的人数不少于2人，三等奖的人数不少于3人.则恰有2人获一等奖的概率为______. 【答案】613【解析】 【详解】按一、二、三等奖的顺序，获奖人数有三种情况：()1,2,4，()1,3,3，()2,2,3.当()1,2,4时，发奖方式有12476465711052C C C ⨯=⨯⨯=（种）； 当()1,3,3时，发奖方式有1337636547114032C C C ⨯⨯=⨯⨯=⨯（种）； 当()2,2,3时，发奖方式有322742765431210322C C C ⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯（种）. 故恰有2人获一等奖的概率为 210621014010513=++.35．（2019·全国·高三竞赛）某校进行投篮比赛，共有64人参加.已知每名参赛者每次投篮的命中率为34.规定：只有连续命中两次才能被录取，一旦录取就停止投篮，否则一直投满4次.设ξ表示录取人数.则E ξ______. 【答案】54 【解析】 【详解】每位参赛者被录取的概率为33133113313321644444444434444256p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故录取人数ξ服从二项分布，即216~64,256B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以，2166454256E ξ=⨯=. 故答案为5436．（2019·全国·高三竞赛）数字钟分别用两个数字显示小时、分、秒（如10:03:18）.在同一天的05:00:00~23:00:00（按小时计算）之间，钟面上的六个数字都不相同的概率是______. 【答案】61540【解析】 【详解】为了满足题中的条件，设钟面显示应为()1212121112::6,6,h h m m s s m s h h <<≠. 当16h <，26h <时，1m 和1s 应在小于7中的另外四个数中选择.因而，1m 有四种选择方式，1s 有三种选择方式.由于已选择了四个数字，2m 和2s 就只能从剩余的六个数字中选择，它们分别有六种、五种的选择方式.在05:00:00—23:00:00之间，这种情形共有时间总数是743652520⨯⨯⨯⨯=.当1h 、2h 中只有一个小于6时，类似可求在05:00:00~23:00:00之间，这种情形共有时间总数是854654800⨯⨯⨯⨯=.因此，钟面上的六个数字都不相同的次数是250048007320+=，概率为732061183600540=⨯.37．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）甲，乙两人进行一场七局四胜制的游戏，任何一人累计获胜四局即为胜方，同时游戏结束，另一人为负方．若在每局中，双方各有12的概率获胜，则游戏结束时胜方比负方多获胜的局数的数学期望为______． 【答案】3516【解析】 【分析】 【详解】由题可设游戏结束时胜方比负方多获胜的局数为X ,则X 可能取值为1,2,3,4, 比七局,前六场两人三胜三负,胜方比负方多获胜一场,63615(1)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;比六局,前五场胜方三胜两负,胜方比负方多获胜两场,63515(2)2216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭;比五局,前四场胜方三胜一负,胜方比负方多获胜三场,53411(3)224P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,比四局,胜方连胜四局,411(4)228P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以551135()123416164816E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：3516. 38．（2019·四川·高三竞赛）设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为_____ . 【答案】12 【解析】 【详解】设所求数学期望为E ，第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数ξ的数学期望为E (a )、E (b )、E (c ).则E (b )=E (c ).因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的，所以()2()3E a E b E +=，①先考虑第一次取出的球是红色的，若第二次取出的球是红色的，则操作结束；若不然，第一个为红球，第二个球的颜色为黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法(即第一个球的颜色是黄或蓝)，则12()2(1())33E a E b =⨯++②再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法，则()1E b E =+③ 由①、②、③，解得E =12. 故答案为：12．39．（2019·广西·高三竞赛）从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________ . 【答案】338【解析】 【详解】设取出的3个不同的数分别为a 、b 、c .不同的取法共有320C 种，若这3个数构成等差数列，则有a +c =2b .故、c 同为奇数或同为偶数，且a 与c 确定后，b 随之而定.从而所求概率为221010320338C C P C +==. 故答案为：338． 二、解答题(共0分)40．（2018·黑龙江·高三竞赛）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征如《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示.（1）求图中x 的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低35岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.06x =（2）分布列见解析，期望为1.8 【解析】 【详解】（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，解得0.06x =.（2）.用分层抽样的方法，从100志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6铭，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0，1，2，3.()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===.故X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1303101216所以()13110123 1.8301026E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.41．（2018·湖南·高三竞赛）棋盘上标有第0，1，2，⋅⋅⋅，100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）是，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P . （1）求3P 的值；（2）证明：111()(299)2n n n n P P P P n ++-=--≤≤；（3）求99100P P 、的值.【答案】（1）58（2）111()(2n 99)2n n n n P P P P +--=-≤≤（3）1009911132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【解析】 【详解】（1）棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率在18；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为14；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为14，因此3P =58.（2）易知棋子先跳到第2n -站，再掷出反面，其概率为212n P -；棋子先跳到第1n -站，再掷出正面，其概率为112n P -，因此有()1212n n n P P P --=+， 即()11212n n n n P P P P ----=-+， 也即()()1112992n n n n P P P P n +--=-≤≤. （3）由（2）知数列{}()11n n P P n --≥是首项为{}()11n n P P n --≥ 1011122P P -=-=-，公比为12-的等比数列.因此有()()11101122nn n n n P P P P ---⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.由此得到 999899100111211122232P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 42．（2018·全国·高三竞赛）已知数列{}n a 满足10a =，并且对任意的1,11n n n n Z a a a 取或++∈-+的概率均为12．（1）设21n a +的值为随机变量X ，试求X 的概率分布； （2）求X 的绝对值的数学期望E|X|．【答案】（1）见解析；（2）2212n n n nC -． 【解析】 【详解】（1）设1n n n d a a +=-.则对任意正整数,n n d 取1或-1的概率均为12，且()22211111n nn i i i i i a a a a d ++===+-=∑∑.设21n a k +=.显然，2k n ≤，并设此时122,,,n d d d ⋅⋅⋅中有x 个1,2n-x 个-1.则X-(2n-x)=k. 因此，k=2(x-n)只能取[-2n,2n]之间的偶数值.对于偶数2m(m=0,±1,...,±n)，事件{X=2m}相当于在2n 个数122,,,n d d d ⋅⋅⋅中，有n+m 个取1，n-m 个取-1，因此，X 的概率分布可表示为()()2220,1,,2n mn n C P X m m n +=-==±⋅⋅⋅±（2）对任意1≤i≤n ，易知P(X=-2m)=P(X=2m).从而，()()22121,2,,2n m nn C P X m m n +-===⋅⋅⋅.2222211112?22n m nn n m nn n n m m C E X m mC ++--====∑∑()2222112nn mn mnn n m n m CnC ++-=⎡⎤=+-⎣⎦∑()1212221122nn m n mn nn m nCnC +-+--==-∑ 12122211122n nn m n m n n n m m n C n C +-+--==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑ ()212222*********.2222n n n n n n n n nC n C n ---⎡⎤=⨯⨯--=⎢⎥⎣⎦ 43．（2018·全国·高三竞赛）掷骰子（为均匀的正方体，六个面分别标有1、2、3、4、5、6）游戏规则如下：第一次掷9枚骰子，将其中显示为1的骰子拿出放到一边；第二次掷剩下的骰子，再将显示为1的骰子拿出；……，直到未掷出显示为1的骰子或骰子全部拿出，游戏结束.已知恰好掷9次结束游戏的概率为u v uab c d（a、b 、c 、d 为不同的质数，u v N +∈、）.求uv bcd +. 【答案】2012 【解析】 【详解】由游戏规则，知若恰好掷9次结束游戏，则前八次中每次恰好有1枚骰子显示为1，第九次无论显示是否为1，游戏均结束，其中，第()1,2,,8k k =⋅⋅⋅次掷10k -枚骰子，恰有1枚显示为1的概率为191010156k k k C ---⨯⨯. 则191891010125566k u k k v u kk k k C ab k c d ----==⨯⨯==∏∏ 363737444040379!5565756632⨯⨯⨯===⨯ 7a ⇒=，5b =，3c =，2d =，37u =，40v =.故37405322012uv bcd +=⨯+=.44．（2018·全国·高三竞赛）从集合{}()1,2,,,2S n n N n +=⋅⋅⋅∈≥的子集中先后取出两个不同的子集P 、Q ，求以下事件发生的概率： （1）PQ ，且Q P ；（2）Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤- 【答案】（1）()1321221n n n n ----；（2）()3221kn n- 【解析】 【详解】由集合S 共有2n 个子集，知有序子集对(),P Q 的取法共有()22221n nn A =-种.（1）考虑“P Q ，且Q P ”的对立事件：“P ⊂≠ Q 或Q ⊂≠ P ”.若P ⊂≠ Q ，记Card ()()1Q i i n =≤≤..则Q 有in C 种取法.而P 是Q 的真子集，于是，P 有21i -种取法.从而，满足P ⊂≠ Q 的子集对(),P Q 的取法总数为()121232nn niiiiin n n nn i i i C C C ===-=-=-∑∑∑.由对称性，Q ⊂≠ P 的取法也有32n n -种.因此，P Q ，且Q P 的概率为()()()12323211221221n n nnnnn n----=---. （2）集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅中含有n 的子集的个数为12n -个.于是，事件Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤-等价于在n k -元集合S S '=\()P Q ⋂中先后选取两个子集P '、Q '，使得P Q '⋂'=∅.设Card ()()0P i i k ='≤≤.则P '有ik C 种取法.于是，,s Q C P '⊆'.从而，Q '有2k i -种取法.此时，子集对(),P Q ''共有12k ik C -种选法.故满足P Q '⋂'=∅的子集对(),P Q ''有023kk i i kk i C -==∑（个）.因此，Card ()()01P Q k k n ⋂=≤≤-的概率为()3221kn n-. 45．（2019·全国·高三竞赛）甲乙两人参加竞选，结果是甲得n 票，乙得m 票()n m >. 试求：唱票中甲累计的票数始终超过乙累计的票数的概率. 【答案】n mn m-+ 【解析】 【详解】若唱甲当选，则记为1；若唱乙当选，则记为1-. 每一种唱票方式都对应一个由n 个1和m 个1-组成的排列. 用k S 表示谴责k 项的和，在直角坐标系中标出点(),k k S ，并将点(),k k S 与点()11,k k S ++用线段联结()00,1,2,,,0k m n S 其中=⋅⋅⋅+=. 这样，每一种唱票方式都对应一条联结()0,0O 与(),A m n n m +-的折线. 而甲累计的票数始终领先等价于所有的点(),k k S 都在x 轴的上方，即折线与x 轴无交点（我们称为“好折线”，反之为“坏折线”）.显然，联结O 、A 的“自由”（无限定条件）折线有C nm n +条，这是因为在m n +段中选择n 段为上升有C nm n +种方法.对每一条坏折线，有如下两种情形：一是经过点()1,1S -，二是经过点()1,1T . 对于第一种情形，坏折线是由S 到A 的自由折线，从而，这样的折线有1C nn m +-条.对于第二种情形，注意到过()1,1T 的坏折线必与x 轴相交，设其横坐标最小的交点为P . 将此折线位于P 左边的部分作关于x 轴的对称折线，便得到过点()1,1S -的坏折线，于是，坏折线的条数也有1C nn m +-条. 所以，合乎条件的好折线的条数为11111C 2C C C 1C n n n nm n m n m n m n m n m m n -++-+-+-+-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.综上所述，所求的概率为()11C C 1C C m mn m n m n nn m n mn m m n mn n n m +-+-++--⎛⎫-⋅== ⎪+⎝⎭. 46．（2019·全国·高三竞赛）如图，正六边形ABCDEF 的中心为O ，对A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 这七个点中的任意两点，以其中一点为起点、另一点为终点作向量.任取其中两个向量，以它们的数量积的绝对值作为随机变量ξ.试求ξ的概率分布列及其数学期望E ξ.【答案】见解析 【解析】 【详解】所作出的向量数为2721C =，则可取221210C =对向量.设所取向量分别为a 、b .由于···cos ,a b a b a b ξ==，因此，可不考虑向量的方向.不妨令所取两向量的夹角均为它们所在直线的夹角（取值范围为[]0,90︒︒），则任意两向量之间的夹角均属于集合{}0,30,60,90︒︒︒︒，每个向量的模值属于集合{}3,2，其中，模为1的个数为1236，模为2的个数为3.若2a b ==，则它们之间的夹角必为60︒，·2a b =，其概率为1321221070⨯⨯=. 若3a b =0︒或60︒.当夹角为0︒时，·3a b =，其概率为1611221070⨯⨯=；当夹角为60︒时，3·2a b =，其概率为1462221035⨯⨯=. 若1a b ==，则它们之间的夹角可能为0︒或60︒.易知其概率分别为。
高考数学试题分类汇编概率统计与排列组合二项式定理
概率统计及排列组合二项式定理安徽理（12）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++，则 .（12)1120C 【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等. 【解析】101110102121(1)a C C =-=-，111011112121(1)a C C =-=，所以 a a C C C C C C 1110101110111011212120202120+=-=+-=.（20）（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p 123,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。
若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123，其中,,q q q 123是,,p p p 123的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；（Ⅲ）假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理及演绎推理，分类读者论论思想，应用意识及创新意识.解：（I ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是)1)(1)(1(321p p p ---，所以任务能被完成的概率及三个被派出的先后顺序无关，并等于.)1)(1)(1(1321133221321321p p p p p p p p p p p p p p p +---++=----（II ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时，随机变量X 的分布列为所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是.23)1)(1(3)1(2212121211q q q q q q q q q EX +--=--+-+=（III ）（方法一）由（II ）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，.232121p p p p EX +--=根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于321,,p p p 的任意排列321,,q q q ，都有≥+--212123q q q q ,232121p p p p +--……………………（*）事实上，)23()23(21212121p p p p q q q q +---+--=∆.0)]())[(1())((1())(2()()()()(2)()(221211221112221211221121212211≥+-+-≥--+--=-----+-=+--+-=q q p p q q p q q p p q p q p q p q p q p q q p p q p q p即（*）成立.（方法二）（i ）可将（II ）中所求的EX 改写为,)(312121q q q q q -++-若交换前两人的派出顺序，则变为,)(312121q q q q q -++-.由此可见，当12q q >时，交换前两人的派出顺序可减小均值.（ii ）也可将（II ）中所求的EX 改写为212123q q q q +--，或交换后两人的派出顺序，则变为313123q q q q +--.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当23q q >时，交换后两人的派出顺序也可减小均值. 综合（i ）（ii ）可知，当),,(),,(321321p p p q q q =时，EX 达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.安徽文(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 （A ）110(B) 18 (C) 16 (D) 15（9）D 【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题. 【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为31155=.故选D.（20）（本小题满分10分）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量（万吨）236 246257276286（Ⅰ）利用所给数据求年需求量及年份之间的回归直线方程y bx a =+;（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。
第04讲+概率统计-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第04讲：概率统计
1、（2009一试8）某车站每天8
00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
一旅客820∶【答案】27
【解析】旅客候车的分布列为
候车时间的数学期望为10305070902723361218
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
【答案】1217
3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
【答案】61243
【解析】用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为。
近五年全国高中数学联赛选编——立体几何、计数、概率
近五年全国高中数学联赛选编——立体几何、计数、概率 2015.8.191. （2010年 一试3）双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.2.（2010年 一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯= 3. （2010年 一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin.4提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA . 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以c o s m n m n α⋅=⋅ ，即2cos cos4αα=⇒=.所以410sin=α.解法二：如图，PBPAPCPC==11, .设BA1与1AB交于点,O则1111,,OA OB OA OB A B AB==⊥ .11,,PA PB PO AB=⊥因为所以从而⊥1AB平面BPA1.过O在平面BPA1上作PAOE1⊥,垂足为E.连结EB1,则EOB1∠为二面角11BPAB--的平面角.设21=AA,则易求得3,2,5111=====POOBOAPAPB.在直角OPA1∆中，OEPAPOOA⋅=⋅11,即56,532=∴⋅=⋅OEOE.又554562,222111=+=+=∴=OEOBEBOB.4105542sinsin111===∠=EBOBEOBα.4.（2010年一试8）方程2010=++zyx满足zyx≤≤的正整数解（x,y,z）的个数是 .336675 提示：首先易知2010=++zyx的正整数解的个数为1004200922009⨯=C.把2010=++zyx满足zyx≤≤的正整数解分为三类：（1）zyx,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）zyx,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设zyx,,两两均不相等的正整数解为k.易知100420096100331⨯=+⨯+k，所以110033100420096-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k.OEPC1B1A1CBA从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.5. （2011年 一试5）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6. （2011年 一试6）在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ． 由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7. （2011年 一试8）已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ． 15. 提示：=n a C65400320020023n n n--⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有A BC DOP MN14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数． 因此，整数项的个数为15114=+．8. （2012年 一试8）9. （2012年 一试8）10. （2012年一试4）11. （2013年一试6）12. （2013年一试8）13. （2014年一试5）14. （2014年一试8）15. （2014年一试8）。
全国名校高中数学题库--概率与统计
“概率与统计”专题训练一.随机抽样（简单随机抽样，系统抽样，分层抽样）1.从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（B）A．1，2，3，4，5B、5，15，25，35，45C．2,4,6,8,10D、4，13，22，31，402.一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（D）A．12，24，15，9B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8,16,10,63．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为__120_______4.一个社会调查机构要了解某地区8000名教师的月收入情况，从中随机抽取400名进行调查，调查结果如下表所示：则该地区月收入在[2000，4000]的教师估计有_6400___名．5．某学校有学生4022人．为调查学生对2010年上海世博会的了解情况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是____134____．6．某校高一年级有x名学生，高二年级有y名学生，高三年级有z名学生，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取10人，高三年级共有学生300人，则此学校共有学生___900_____人.7.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生参加摄影座谈会，如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多_3___人.8.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采取分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了___5600_______件产品.二.用样本估计总体（频率分布直方图，茎叶图，众数，中位数，平均数，标准差，方差）1.频率分布直方图：小长方形的面积=频率，各个小矩形的面积之和为12.众数：出现次数最多的数3.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数）4.标准差：s =5.方差：()()()2222121...n s x x x x x x n ⎡⎤=−+−++−⎢⎥⎣⎦方差(或标准差)越小，数据越稳定.1.某人从一鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，结果发现有记号的鱼为10条（假定鱼池中不死鱼，也不增加），则鱼池中大约有鱼(B )A.120条B.1200条C.130条D.1000条2.某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的平均分为（D ）A．70B．72C．73D．713．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（A）A．63B．64C．65D．664.在某次考试中，共有100个学生参加考试，如果某题的得分情况如下那么这些得分的众数是(C )A.37.0%B.20.2%C.0分D.4分5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是(C)A．甲B．乙C．丙D．丁甲乙丙丁平均环数x8.68.98.98.2方差2s 3.5 3.5 2.1 5.649.559.569.579.589.599.56.随机调查某校50个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表：这50个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是(A )A.4.2,0.56 B.4.2,56.0 C.4,0.6 D.4,6.07.一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为(A )A．9B．3C．17D．－118．对某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg 以上的人数为（B ）A．300B．100C．60D．20第9题图9.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是48.10.在光明中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级的两个班的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制出如下的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40，则这两个班参赛的学生人数为100.11.一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x ＝____15____.12．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分、0分的学生所占比例分别为30%、40%、20%、10%.若全班共有30人，则全班同学的平均得分是__1.9______分（kg ）（第8题图）13.某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均分为90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是___85__分.14．样本101,98,102,100,99______15.已知一组数a，0，1，2，3的平均值为1，则样本方差为216．为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得出茎叶图如图所示．从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派哪名运动员合适？提示：=85x 甲=85x 乙2133=3s 甲2139=3s 乙应选派甲三.统计案例22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++临界值表如下：P (K 2≥k 0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k 00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.8281．下列各关系中是相关关系的是(C )①路程与时间(速度一定)的关系；②加速度与力的关系；③产品成本与产量的关系；④圆周长与圆面积的关系；⑤广告费支出与销售额的关系．A．①②④B．①③⑤C．③⑤D．③④⑤2．工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为y ^＝50＋80x 下列判断正确的是(B )A．劳动生产率为1000元时，工资为130元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高80元C．劳动生产率提高1000元时，工资提高130元D．当月工资250元时，劳动生产率为2000元3．(2011年高考山东卷)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为(B )A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元4.已知x 、y 之间的一组数据如下：则线性回归方程bx a y+=ˆ所表示的直线必经过点3(,5)25.为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：无效有效总计男性患者153550女性患者64450总计2179100设H 0：服用此药的效果与患者的性别无关，则K 2的观测值k ≈___4.882_____，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为____0.05____．6．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：转速x (转/秒)1614128每小时生产缺损零件数y (件)11985(1)作出散点图；(2)如果y 与x 线性相关，求出回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？提示：（2）x =12.5，y =8.2544211438,660i i i i i x y x ====∑∑4142145i ii i i x y x y b xbx ==−=≈−∑∑54.25a y bx =−=−线性回归方程为：554.25y x =−（3）1012.85y x ≤≤由得：，所以运转速度应控制在12转/秒内.广告费用x (万元)4235销售额y (万元)49263954x 0123y 82647.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生1015合计302050已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.提示：8.337.879,99.5%k ≈>有的把握四.概率1.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(D )A.110B.310C.35D.9102.某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率是（B ）A.13B.23C.14D.343．记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+−≤≥≥表示的平面区域分别为12,ΩΩ，若在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2Ω内的概率为（A ）A ．12πB ．1πC ．14D ．24ππ−4．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是14，乙队胜的概率是13，则甲不输的概率是____23____．5．从含有2件正品和1件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后再放回，连续取两次，则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是____49____．6.在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概率是825．7.在边长为1的正方形ABCD 内随机选一点M，则点M 到点D 的距离小于正方形的边长的概率是4π.8.已知集合{2,0,1,3},A =−在平面直角坐标系中，点M 的坐标(,)x y 满足,x A y A ∈∈．（1）请列出点M 的所有坐标；（2）求点M 不在y 轴上的概率；（3）求点M 正好落在区域5000x y x y +−<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率．提示：（1）基本事件有16个(-2，-2)(-2,0)(-2,1)(-2,3)(0，-2)(0,0)(0,1)(0,3)(1，-2)(1,0)(1,1)(1,3)(-3，-2)(3,0)(3,1)(3,3)（2）34P =（3）316P =9.已知集合{}2230A x x x =+−<，{}(2)(3)0B x x x =+−<，（1）在区间()3,3−上任取一个实数x ，求“x A B ∈∩”的概率；（2）设(),a b 为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“a b A B −∈∪”的概率.1）由已知{}31A x x =−<<，{}23B x x =−<<，…………………………2分设事件“x A B ∈∩”的概率为1P ，这是一个几何概型，则13162P ==。
高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题23概率统计与图论(原卷版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题23概率统计与图论历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为( )A．24181B．26681C．27481D．6702432．【2007高中数学联赛（第01试）】将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a－2b+10>0成立的事件发生的概率等于( )A．5281B．5981C．6081D．61813．【2001高中数学联赛（第01试）】若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+⋯+a2000x2000，则a0+ a3+a6+a9+⋯+a1998的值为( )A．3333B．3666C．3999D．320014．【1995高中数学联赛（第01试）】如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()A．1个B．2个C．50个D．100个5．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设整数n>4，(x+2√y−1)n的展开式中x n−4与xy两项的系数相等，则n的值为.6．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，，c，d，e，f，则abc+d ef是偶数的概率为.7．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为，b，c，d，e，f，则abc+ def是奇数的概率为.8．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x，y)|x，y=－1，0，1在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为√5的概率是.9．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，点集K={(x，y)|x，y=－1，0，1}.在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.10．【2016高中数学联赛（第01试）】袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为.11．【2015高中数学联赛（第01试）】在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为.12．【2014高中数学联赛（第01试）】设A ，B ，C ，D 是空间四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A ，B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线联结的概率为.13．【2013高中数学联赛（第01试）】从1，2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.14．【2012高中数学联赛（第01试）】某情报站有A ，B ，C ，D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是(用最简分数表示).15．【2010高中数学联赛（第01试）】两个人轮流投掷骰子，每个人每次投掷两颗，第一个人使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷先投掷人的获胜概率是.16．【2009高中数学联赛（第01试）】某车站每天8：009：00，9：00—10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为：一旅客8：20到车站，则它候车时间的数学期望为(精确到分).17．【2006高中数学联赛（第01试）】袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为.18．【2002高中数学联赛（第01试）】将二项式(√x+12√x4)n的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有个19．【1996高中数学联赛（第01试）】从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有种(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同) 20．【1990高中数学联赛（第01试）】设n =1990，则12n(1−3C n 2+32C n 4−33C n 6+⋯+ 3994C n1988−3995C n1990)=.21．【2005高中数学联赛（第01试）】将编号为1，2，…，9的9个小球随机放置在圆周的9个等分点上，每个等分点上各有1个小球设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S.求使S达到最小值的放法的概率.(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法.)22．【2004高中数学联赛（第01试）】一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关.问：(1)某人在这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三关的概率是多少?(注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体.抛掷骰子落地静止后，向上面的点数为出现点数)优质模拟题强化训练1．连续掷骰子两次得到的点数分别为m、n，作向量a=(m,n)，则a与向量b=(1,−1)的夹角成为直角三角形内角的概率是（）A．512B．12C．712D．342．在网络游戏《变形》中，主人公每过一关都以23的概率变形(即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”)。
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编 第4讲概率统计
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第04讲：概率统计1、（2009一试8）某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为一旅客820∶【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为10305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】12173、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】61243【解析】用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243P =4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】342221219B C D -⨯-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（）22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况，,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为222+2-1=7.483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种.下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=.6、（2016一试4）袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 【答案】3597、（2017一试6）在平面直角坐标系xoy 中，点集{(,y)|x,y 1,0,1}K x ==-，在K 中随机取出三个点，. 【答案】47【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种.将中的点按图标记为128,,,A ,A A O ，其中有814,A A 两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的顺序），对每个(1,2,3,,8)i A i = ，K 中恰有15,A i I A ++两点与之距离为（这里下标按模8理解），因而恰有35{,,}(i 1,2,3,,8)i i i A A A ++= 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484847=.。
各省市高中数学竞赛预赛试题汇编——概率与统计
各省市高中数学竞赛预赛试题汇编——概率与统计1．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数满足，则不等式的解为___________.【答案】【解析】构造函数，则.由可知在（）内单调递增，从而有.故.2．【2018年甘肃预赛】已知函数），函数满足），若函数恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】易知函数为奇函数，从而的图象关于点对称．函数，可知的图象也关于点对称．由此的图象关于点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．3．【2018年四川预赛】设直线与曲线有三个不同的交点，且，则的值为______.【答案】1【解析】曲线关于点对称，且，所以直线必过原点，从而设，则由此得，代入得即解得故答案为：14．【2016年福建预赛】函数f(x) =x2ln x+x2-2零点的个数为________.【答案】1 【解析】 由条件知.当时，<0；当时，>0.于是，f (x )在区间(0，)上为减函数，在区间(，+∞)上为增函数.又时， f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，故函数f (x )零点的个数为1.5．【2018年陕西预赛】已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． （1）证明： k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()1+2f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】试题分析：（1）若直线()y g x =与曲线()y f x =相切，因直线()y g x =过定点()1,0，若设切点000,ln x x x ⎛⎫⎪⎝⎭则可得00ln 10x x +-=①，又()ln 1h x x x =+-， ()0,+∞上单调递增，当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾,结论得证. （2）()()12f x g x ≤+可转化为()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， ()min 12x ϕ≤，分类讨论求()x ϕ的最小值即可.试题解析： （1）()f x 的定义域为()()0,11,⋃+∞， ()()2ln 1ln x f x x -'=，直线()y g x =过定点()1,0，若直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000,ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭（00x >且01x ≠），则()000200ln 1ln 1ln x x x k x x -==-，即00ln 10x x +-=①，设()ln 1h x x x =+-， ()0,x ∈+∞，则()110h x x+'=>，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，又()10h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾. 所以， k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（2）()()12f x g x ≤+即()11ln 2x k x x --≤，令()()1ln x x k x xϕ=--， 2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， 则2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x g x ≤+成立()min 12x ϕ⇔≤， ()()222ln 111111ln ln ln 24ln x x k k k x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'. （i ）当14k ≥时， ()0x ϕ'≤， ()x ϕ在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是()()()222min 12e x e k e ϕϕ==--，由()221122e k e --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意；（ii ）当14k <时，由21124y t k ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭及1ln t x =的单调性知()111ln 24x k x ϕ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭'在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以()()()2e x e ϕϕϕ≤≤'''，即()14k x k ϕ-≤'≤-. ①若0k -≥，即0k ≤，则()0x ϕ'≥，所以()x ϕ在2,e e ⎡⎤⎣⎦为增函数，于是()()()min 112x e e k e e ϕϕ==--≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<，则由()0e k ϕ'=-<， ()2104e k ϕ='->及()x ϕ'的单调性知存在唯一()20,x e e ，使()00x ϕ'=，且当()0,x e x ∈时， ()0x ϕ'<， ()x ϕ为减函数；当()20,x x e ∈时，()0x ϕ'>， ()x ϕ为增函数；所以()()()000min 01ln x x x k x x ϕϕ==--，由()00011ln 2x k x x --≤得000001111111ln 212224x x k x x x ⎛⎫⎛⎫≥->-=> ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，这与104k <<矛盾，不合题意. 综上可知， k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.6．【2018年陕西预赛】已知函数．（1）证明：，直线都不是曲线的切线；（2）若，使成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）若直线与曲线相切，因直线过定点，若设切点则可得①，又上单调递增，当且仅当时，①成立，这与矛盾,结论得证.（2）可转化为，令，分类讨论求的最小值即可.试题解析：（1）的定义域为，直线过定点，若直线与曲线相切于点），则，即①，设，则，所以上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.所以，，直线都不是曲线的切线；（2），令，则，使成立，.（i）当时，上为减函数，于是，由，满足，所以符合题意；（ii）当时，由的单调性知上为增函数，所以，即.①若，即，则，所以为增函数，于是，不合题意；②若，即，则由的单调性知存在唯一，使，且当时，为减函数；当时，为增函数；所以，由，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.7．【2018年陕西预赛】已知函数．（1）证明：，直线都不是曲线的切线；（2）若，使成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）若直线与曲线相切，因直线过定点，若设切点则可得①，又上单调递增，当且仅当时，①成立，这与矛盾,结论得证.（2）可转化为，令，分类讨论求的最小值即可.试题解析：（1）的定义域为，直线过定点，若直线与曲线相切于点），则，即①，设，则，所以上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.所以，，直线都不是曲线的切线；（2），令，则，使成立，.（i）当时，上为减函数，于是，由，满足，所以符合题意；（ii）当时，由的单调性知上为增函数，所以，即.①若，即，则，所以为增函数，于是，不合题意；②若，即，则由的单调性知存在唯一，使，且当时，为减函数；当时，为增函数；所以，由，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.8．【2018年广东预赛】设函数.⑴求在区间（n为正整数）上的最大值；⑵令（n、k为正整数）.求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】⑴因为，所以当时，，即上是增函数，故上的最大值为.⑵由⑴知.因为，所以.又容易证明.所以所以. 即.9．【2018年甘肃预赛】设函数）．（1）讨论的单调性；（2）如果有两个极值点，我们记过点的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）不存在【解析】（1）f(x)的定义域为，。
2024年高考数学大题--概率统计题型分类汇编(学生版)
概率统计概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。
回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立事件、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用。
重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的能力。
题型一：离散型随机变量及其分布列题型二：超几何分布与二项分布题型三：均值与方差的实际应用题型四：正态分布与标准正态分布题型五：线性回归与非线性回归题型六：独立性检验及应用题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式题型八：概率与统计图表的综合应用题型九：概率与其他知识的交汇应用题型十：利用概率解决决策类问题题型一：离散型随机变量及其分布列1(2023·广东肇庆·高三广东肇庆中学校考阶段练习)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。
)1(2024·四川成都·成都七中模拟预测)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制．已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影响．(1)求甲最终获胜的概率；(2)记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望．2(2024·云南德宏·高三统考期末)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.题型二：超几何分布与二项分布2(2024·广东广州·广州市培正中学校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.1、独立重复试验与二项分布(1)定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1-p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．(2)定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．(3)列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．(4)求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X~B(n，p)，则P(X=k)=C k n p k(1-p)n-k(k=0,1,2，⋯，n)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)．2、超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 概率与统计强化训练(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题24概率与统计强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年江苏预赛】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数随机填入的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是________.【答案】.【解析】要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满足条件的填法共有种.因此所求的概率为.故答案为：2．【2018年重庆预赛】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率________．【答案】【解析】如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况：对于（3）；有18种情况；故所求概率为，故答案为：3．【2018年安徽预赛】从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________. 【答案】【解析】的样本方差，当且仅当是连续的正整数.故.故答案为：4．【2018年湖北预赛】一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______.【答案】【解析】设分别是四次投掷骰子得到的点数，那么共有种不同的情况.如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则.若的值都相等，则种不同的情况；若恰好取两个不同的值，则种不同的情况；若恰好取3个不同的值，则种不同的情况；若恰好取4个不同的值，则种不同的情况.因此，满足的情况共有（种）.故所求的概率为.5．【2018年甘肃预赛】某市公租房房源位于三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子．申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请小区房源的概率是______．【答案】【解析】本题为古典概型，．6．【2018年山东预赛】甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第场的概率为______．【答案】【解析】设甲赢得第场的概率为，在每一场先掷的人赢得的概率为，所以，由此得，因此．7．【2018年福建预赛】从如图所示的，由9个单位小方格组成的，方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．【答案】【解析】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成个不同的矩形．又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．因此，可得个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．。
专题12 概率与统计(文)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)(原卷版)
专题12概率与统计（文）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：回归分析2022年高考全国乙卷数学（理）真题2023年天津高考数学真题2024年上海夏季高考数学真题2024年天津高考数学真题统计学是“大数据”技术的关键，在互联网时代具有强大的社会价值和经济价值，在高考中受重视程度越来越大，未来在考试中的出题角度会更加与实际生活紧密联系，背景新颢、形式多样．考点2：信息图表处理2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点3：频率分布直方图与茎叶图2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考天津数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：古典概型与几何概型2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题考点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题考点6：独立性检验2022年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年上海夏季高考数学真题考点1：回归分析1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数iii=122iii=1i=1( 1.896 1.377)()()nnnx x y y r x x y y --=≈--∑∑∑．2．（2023年天津高考数学真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm ），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为0.8642r =，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 0.75010.6105y x =+，根据以上信息，如下判断正确的为（）A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B．花瓣长度和花萼长度负相关C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmD．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.86423．（2024年上海夏季高考数学真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势4．（2024年天津高考数学真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）A．B．考点2：信息图表处理5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差考点3：频率分布直方图与茎叶图7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．8．（2022年新高考天津数学高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A ．8B ．12C ．16D ．189．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6考点4：古典概型与几何概型10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．11．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A ．18B ．16C ．14D ．1212．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．1313．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．2314．（2022年新高考全国I 卷数学真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．2315．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A ．15B ．13C ．25D ．23考点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差16．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．(1)求z ，2s ；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果2210s z ≥则不认为有显著提高）17．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A ．2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B ．2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C ．2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D ．2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差考点6：独立性检验18．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63519．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果(1)1.65p p p p n->+150件产品的数据，能否认为生15012.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．（2024年上海夏季高考数学真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）。
第04讲 概率统计20092017全国高中数学联赛分类汇编 (1)
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第04讲：概率统计1、（2009一试8）某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 概率一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为（精确到分）． 【答案】27【解析】旅客候车的分布列为候车时间（分）1030507090概率候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】12173、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】61243【解析】用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243P =4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以21的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】345、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为.【答案】255【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有312C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即A B 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH.学科*网 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为8222055=. 6、（2016一试4）袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 【答案】3597、（2017一试6）在平面直角坐标系xoy 中，点集{(,y)|x,y 1,0,1}K x ==-，在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为. 【答案】47【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种.将中的点按图标记为128,,,A ,A A O ，其中有8对点之间的距离为5，由对称性，考虑取14,A A 两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7856⨯=个三点组（不计每组中三点的顺序），对每个(1,2,3,,8)i A i =，K 中恰有15,A i I A ++两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有35{,,}(i 1,2,3,,8)i i i A A A ++=这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56848-=，进而所求概率为484847=.。
全国高中数学联赛(1981-2019年)试题分类汇编讲解9---二项式定理计数概率与统计 含答案解析
计数问题、概率与统计部分
2019A 5、在1, 2,3,L,10 中随机选出一个数 a ，在 −1, −2, −3,L, −10 中随机选出一个数 b ，
则 a2 + b 被 3 整除的概率为
．
37 ◆答案：
100
★解析：首先数组 (a,b) 有10×10 = 100 种等概率的选法． 考虑其中使 a2 + b 被 3 整除
- 1 - / 28
位数的个数为
A \ ( B U C U D) + B + C + D = A − 3 B − C + D = 600 −18 − 48 − 36 = 498 .
4
2
4
2
2019B 5. 将 5 个数 2, 0,1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0 ），
则产生的不同的 8 位数的个数为
．
◆答案： 95
★解析：易知 2, 0,1, 9, 2019 的所有不以 0 为开头的排列共有 4× 4! = 96 个．其中，除了
(2, 0,1,9, 2019) 和 (2019, 2, 0,1,9) 这两种排列对应同一个数 20192019 ，其余的数互不相
等．因此满足条件的 8 位数的个数为 96 −1 = 95 ．
37 为。
100 2019A 8、将 6 个数 2, 0,1, 9, 20,19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0 ），
则产生的不同的 8 位数的个数为
．
◆答案： 498 ★解析：将 2, 0,1, 9, 20,19 的首位不为 0 的排列的全体记为 A ，记 A 为 A 的元素个数。
高中数学专题――概率统计专题.doc(精选.)
专题二概率统计专题【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】题型1 抽样方法-）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体．例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24B．18C．16D．12 Array分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．x=⨯=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是37337738037015006450016⨯=．答案C．2000点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识．例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)出人．分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．解析：根据图可以看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是()0.00050.00035000.4+⨯=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=，故抽取25人．点评：本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力．题型2统计图表问题例4（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．16分析：根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=，人数为0.45020⨯=．点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．例5 （2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 ．分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决．解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23． 点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75 的人数是 ．分析：找出频率即可．解析： ()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦．点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题例6 （2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）A 3B 210C ．3D ．85分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．解析： 平均数是5204103302301103100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 标准差是 ()()()()()22222205310433033302310131008010304082101005s ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=+++===答案B ．点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难．例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．分析：根据平均数与方差的性质解决．解析：16,18 例8．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84，4.84B ．84，1.6C ． 85，1.6D ．85，4解析：C题型4 用样本估计总体例8（2008高考湖南文12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．解析：60 由上表得23211500023060.500-⨯=⨯= 点评：考查样本估计总体的思想．题型5．线性回归分析例9．（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3 4 5 6 y2.5 3 4 4.5（1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y bx a =+；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？分析：本题中散点图好作，本题的关键是求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．解析：（1）散点图如右；（2）方法一：设线性回归方程为y bx a =+，则 222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+- ∴79 3.5 4.52b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-， 即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．所以线性回归方程为0.70.35y x =+．方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯ 93.50.70.352a =-⨯=，所以线性回归方程为0.70.35y x =+． （3）100x =时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：本题考查回归分析的基本思想．求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而这个时候，当13336172a b -=时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就可以解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =，相关指数20.98R =．这说明x ，y 具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7数学88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104101 106 （1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．解析：（1）12171788121001007x --+-++=+=； 69844161001007y --+-+++=+=； 2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理， 从而22S S >数学物理，所以物理成绩更稳定．（2）由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 497ˆˆ0.5,1000.510050994b a ===-⨯=， ∴线性回归方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．点评：《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”．2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心．题型6 古典概型与几何概型计算问题例11 （2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ．分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，基本事件的总数是36，故这个概率是31369=．或是数形结合处理．点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算．例12．（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是A ．4πB ．4πC ．44π-D ．π分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是4π，答案A ． 点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查．例13．（2008高考山东文18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组 成一个小组．（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决． 解析：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，，231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件， 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、“正难则反”等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力．题型7 排列组合（理科）例14．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430分析：按照千位的数字寻找规律． 解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．例15．（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 ．（用数字作答）分析：由于字母A 是一样的，没有区别，故可以按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为72043205400240012840+++=．点评：解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步，根据排列组合的有关计算公式和两个基本原理进行计算．题型8 二项式定理（理科）例15．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如图所示，则实数a 的值为___________．分析：根据点列的图可以知道012,,a a a 的值，即可以通过列方程组解决．解析：由图123,4a a ==，又根据二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =． 点评：本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题，解决问题的基本出发点是方程的思想． 例16（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第4题）若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，则5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35- 分析：根据展开式的系数之比求出n 值．解析：2323,n n a C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ．点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别，别把符号弄错了．题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）例17．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．分析：根据对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率．解析：（1）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． 因此，随机变量ξ的最大值为3 ．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． 点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型．例18．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23． （1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，（1）比赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==； （2）比赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==； 比赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==； 甲获胜的概率是：3456481P P P ++=． （3）记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==； 故甲比赛次数的分布列为：X 3 4 5 ()P X33'P P + 44'P P + 55'P P + 所以甲比赛次数的数学期望是： 1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=． 点评：这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题，但这里又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型．题型11 正态分布例19.（2008高考湖南理4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：根据正态密度曲线的对称性解决．解析：B 根据正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =． 点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．例20（2008高考安徽理10）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如图所示．则有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>分析：根据正态密度曲线的性质解决．解析：A 根据正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．点评：考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义”，这个考点多次出现在高考试卷中． 【专题训练与高考预测】文科部分一、选择题1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，若其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为 （ ）A ．1000B ．1200C ．130D ．13002．已知x 与y 之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为y a bx=+必过点（）A．()2,2B．()1.5,0C．()1,2D．()1.5,43．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为200750D．都相等，且为4014．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为（）A．15%B．20%C．45%D．65%5．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是（）A．14B．13C．12D．16．有如下四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（）二、填空题7．归直线方程为0.50.81y x=-，则25x=时，y的估计值为．8．若由一个2*2列联表中的数据计算得2 4.013K=，那么有把握认为两个变量有关系．9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品．10．如图：M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过2R的概率是．三、解答题11．一个质地均匀的正方体玩具的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6，现将这个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分别为,a b ，曲线:1x yC a b+=． （1）曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；（2）曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率．12．某地（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系； （2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是（ ）A ．16B ．14C ．13D ．122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是 （ ） A ． 0.006 B ．0.4 C ． 0.5 D ． 0.6 6．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是（ ）A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 （ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有（ ） A ．216种 B ．540种 C ．729种 D ．3240种 二、填空题9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ． 10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ． 11． 若2x =，则50(1)x +展开式中最大的项是 项． 三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．（1）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；（2）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E ξ．15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数X 的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y 的分布列．16．某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x （万元） 2 4 4 66 67 78 10 年饮食支出y （万元） 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系； （2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．【参考答案】文科部分1．解析：B 根据用样本估计总体的思想，池中有记号的鱼的频率是110，故鱼池中鱼的条数是1200条．4．解析：D 过样本中心点．选D．7．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是200750．8．解析：D 只有O型和A型，根据互斥事件的概率加法得结论为65%．9．解析：B 相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是13．10．解析：A 选择游戏盘的原则是中奖的概率大，A中中奖的概率是38，B中中奖的概率是13，C中中奖的概率是44π-，B中中奖的概率是1π，比较大小即知．11．解析：11.690.5250.8111.69⨯-=12．解析：95%13．解析：60．三条生产线的产品也组成等差数列．14．解析：12连接圆心O与M点，作弦MN使090=∠MON，这样的点有两个，分别记为12,N N，仅当N在不属于M的半圆弧上取值时满足2MN R>，此时021180=∠ONN，故所求的概率为21360180=．15．解析：基本事件的总数是．（1）,a b应满足22111a b≤+，即22111a b+≥，逐个检验，()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C和圆221x y+=有公共点的概率包含着11个基本事件，故所求的概率是1136；（2）曲线C所围成的区域的面积是2ab，即求25ab≥的概率，基本事件只能是()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是41369=．16．解析：（1）由题意知，年收入x为解释变量，年饮食支出y为预报变量，作散点图（如图所示）．。
历年全国高中数学联赛《概率统计》专题真题汇编
2020全国高中数学联赛《概率统计》专题真题汇编1、将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ）A. 8152B. 8159C. 8160D. 81612、甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（ ）。
（A ）24181 （B ）26681 （C ）27481 （D ） 670243依题意知，ξ的所有可能值为2、4、6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=，1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，因此520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选B 。
3、袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 0.0434 .4、某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是到站时刻 一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】2723662636候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5、两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 12/17 .6、某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）【答案】61243【解析】用kP 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。
历年数学联赛真题及解答[14大专题]分类汇编
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2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编1、集合部分2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1 =，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。
★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合X 是集合{}1,,2,1-m 的任意一个子集与{}m 的并，故共有12-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1, ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法.因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：()[]()12122122111111+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n nm m n m nnm mn m n由于有序集合对),(Y X 有()()()2121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是()()124122122+-=-+⋅--n n n n n n n2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21 ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-．★证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡∙-∙=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=2017B 四、（本题满分50分）。
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1、（2007一试3）将号码分别为1、
2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ）
A.
81
52 B.
81
59 C.
81
60 D.
81
61
2、（2008一试3）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛 进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
2
3
，乙在每局 中获胜的概率为1
3
，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。
（A ）
24181 （B ）26681 （C ）274
81
（D ） 670243
方法二： 依题意知，ξ的所有可能值为2、4、6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得
12125
(2)()()9
P P A A P A A ξ==+=
， 1234123412341234(4)()()()()
P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++33211220
2[()()()()]333381
=+=
， 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，
因此52016266
2469818181
E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选B 。
3、（2006一试12）袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个
白球，则第4
次恰好取完所有红球的概率为 .
4、（2009一试8）某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
810∶ 910∶ 830∶ 930∶ 850∶
950∶ 概率
16 12 13
一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 【答案】27
【解析】旅客候车的分布列为
候车时间（分） 10 30 50 70 90
概率
12 13 1166⨯ 1126⨯ 1136⨯ 候车时间的数学期望为11111
10305070902723361218
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
5、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
6、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）
【答案】
61243
【解析】用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为
1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k
P ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
是首项为34，公比为13-的等比数列。
所以1131()443k k P --=-，即1311()434
k k P -=-+，故
761243
P =
7、（2004一试13）一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n
次抛掷所出现的点数的和大于2n
，则算过关．问：
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？⑵ 他连过前三关的概率是多少？
8、（2005一试14）将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
由上知，当每个弧段上的球号}9,,,,1{21k x x x Λ确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.
在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，…，8，将它们分为两个子集，元素较
少的一个子集共有6
372717072=+++C C C C 种情况，每种情况对应着圆周上使S 值达到最
小的唯一排法，即有利事件总数是6
2种，故所求概率.31512
!826==
P。