利用空间向量证明平行问题

n A1 B, n A1 D
即n也是平面A1 BD的法向量。
平面A1 BD / /平面CB1 D1
归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题 的步骤 1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线， 若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系； 若没有，则需要作辅助线。 2.写出空间图形中各点的空间坐标。
u v

m
b
解决这些问题,首先必须适当建立空间坐标 系,然后进行坐标化。
例题讲解
例题1:在四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD 为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分 别是AB,SC的中点.求证:EF//平面SAD.
证明：
x A
z
S F
D C E B
y
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
3.利用空间向量的关系来证明相关的平行问题.
当堂训练 1.如图，已知正方形ABCD 与矩形ACEF所在的平面互相 垂直，AB= 2，AF=1,M是EF 的中点.求证：AM//平面BDE.
D
E M F
C
B
A
2.如图，四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是边长为1的菱形， ∠ABC=450,PA⊥底面ABCD, PA=2,M为PA的中点，N为BC 的中点. 求证：MN//平面PCD
1.立体几何中的平行关系的向量表示 b ，平面 ， 设直线l, m的方向向量分别为a， 的法向量分别为 u， v ，则有以下结论：
(1)线线平行：
a
l
l / / m a / /b a kb
(2)线面平行： l / / a u a u 0 (3)面面平行： / / u / /v u kv
设平面CB1ห้องสมุดไป่ตู้D1的法向量为n ( x, y, z),
x
C
在平面A1 BD中， A1 B (1,0, 1), A1 D (0,1, 1) n A1 B 11 1 0 1 (1) 0 n A1 D 1 0 11 1 (1) 0
CB1 (0, 1, 1), CD1 (1,0,1). n CB1 y z 0 , 令z 1, 则n (1,1,1) n CD1 x z 0
b a a b 则 设AD a, SD b, E (a, , 0), F (0, , )., EF (a, 0, ) 2 2 2 2
平面SAD的法向量为 EF / /平面SAD.
n (0,1,0)
b EF n a 0 0 1 0 0 2
EF n
例题2:在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，求证：平面A1BD//平面CB1D1
以A为坐标原点建立空间坐标系如图， 证明：
z
A1
D1 C1
设正方体棱长为1，则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C (1,1, 0), D(0,1, 0)
B1
A B
D
y
A1 (0, 0,1), B1 (1, 0,1), C1 (1,1,1), D1 (0,1,1)
P
M
A
D N C
B