材料力学 第八章：应力状态分析
合集下载
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
第八章 应力状态
a
F FBiblioteka aAAB
B
C
C
A
B
C
第八章 应力状态/一 应力状态的概念及其描述
FP
课堂练习 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
S’平面
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz 4 S’平面
4 3
2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5 4 3
FP l Mz 4
max 即: 0 面上有 min
第八章 应力状态/二 平面应力状态分析 — 数解法
0 在何处?
令 x y sin 2 x cos 2 0 2 2 x tg 2 o 得: x y 任意(为方便)令:
tg 2 o 1
x y sin 2 xy cos 2 2
公式推导 (3)
,
面上的应力之间的关系：
x y
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
x
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
40
30 M P a
x y 2 (30) 0 .6 60 40
60 M P a
o 15 . 48 , o' 15 . 48 90 105 . 48
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
主应力 1 的方向： o 15 . 5 ,
b
60
c
F FBiblioteka aAAB
B
C
C
A
B
C
第八章 应力状态/一 应力状态的概念及其描述
FP
课堂练习 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
S’平面
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz 4 S’平面
4 3
2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5 4 3
FP l Mz 4
max 即: 0 面上有 min
第八章 应力状态/二 平面应力状态分析 — 数解法
0 在何处?
令 x y sin 2 x cos 2 0 2 2 x tg 2 o 得: x y 任意(为方便)令:
tg 2 o 1
x y sin 2 xy cos 2 2
公式推导 (3)
,
面上的应力之间的关系：
x y
即单元体两个相互垂直面上 的正应力之和是一个常数。
x
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
40
30 M P a
x y 2 (30) 0 .6 60 40
60 M P a
o 15 . 48 , o' 15 . 48 90 105 . 48
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
主应力 1 的方向： o 15 . 5 ,
b
60
c
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学应力状态分析
材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。
应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。
本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。
首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。
应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。
在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。
正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。
在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。
其次，我们将对应力状态进行分类。
根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。
拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。
这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。
接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。
应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。
应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。
这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。
最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。
同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。
总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。
只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。
材料力学作业(8-11)
第八章 应力应变状态分析一、选择或填空题1、过受力构件内任一点，取截面的不同方位，各个面上的（ ）。
A 、正应力相同，切应力不同；B 、正应力不同，切应力相同；C 、正应力相同，切应力相同；D 、正应力不同，切应力不同。
2、在单元体的主平面上（ ）。
A 、正应力一定最大；B 、正应力一定为零；C 、切应力一定最小；D 、切应力一定为零。
3、图示矩形截面悬臂梁，A-A 为任意横截面，1点位于截面上边缘，3点位于中性层，则1、2、3点的应力状态单元体分别为（ ）。
A-AA B C4、图示单元体，其最大主应力为（ ）A 、σ；B 、2σ；C 、3σ；D 、4σ。
5、下面 单元体表示构件A 点的应力状态。
6、图示单元体，如果MPa 30=ασ，则βσ=（ ） A 、100Mpa ； B 、50Mpa ； C 、20MPa ； D 、0MPa 。
(C)7、图示单元体应力状态，沿x 方向的线应变εx 可表示为（ ）A 、Eyσ； B 、)(1y x E μσσ−；C 、)(1x y E μσσ− ；D 、Gτ。
8、图示应力圆对应于单元体( )。
9、已知单元体及应力圆如图所示，σ1所在主平面的法线方向为( )。
A 、n 1；B 、 n 2；C 、n 3；D 、n4。
二、计算题1、已知应力状态如图所示，试用解析法计算图中指定截面上的正应力和切应力。
2、试画图示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力和最大切应力。
3、边长为20mm的钢立方块置于刚性模中，在顶面受力F=14kN作用。
已知材料的泊松比为0.3，求立方体各个面上的正应力。
4、图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN.m，Q=120 kN。
试绘出截面上1、2、3、4各点的应力状态单元体，并求其主应力。
第九章 强度理论一、选择题或填空题 1、在冬天严寒天气下，水管中的水会受冻而结冰。
根据低温下水管和冰所受力情况可知（ ）。
A 、冰先破裂而水管完好；B 、水管先破裂而冰完好；C 、冰与水管同时破裂；D 、不一定何者先破裂。
高等教育出版社简明材料力学第二版 第八章 应力状态分析和强度理论分析
1 150 MPa, 2 75 MPa,
3 0
2018/10/12 15
8-2 二向和三向应力状态的实例
火车车轮与钢轨的接 触点也是三向应力状态
A
滚 珠 轴 承
2 A
3
1
2018/10/12
16
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
则斜截面面积为： A Aα = cos α F F cosα F pα cos σ cosα Aα A A
σ σα = pα cosα =σ cos α τ α = pα sin α = σ sin α cos α = sin 2α 2
2
直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面 上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
10
第八章
应力状态分析和强度理论
§8-1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 §8-2 二向和三向应力状态的实例 §8-3 二向应力状态分析 §8-4 二向应力状态的应力圆 §8-5 三向应力状态简介 §8-6 广义胡克定律 §8-7 复杂应力状态下的应变能密度 §8-8 强度理论概述 §8-9 四种常用强度理论
8-3 二向应力状态分析
考虑到切应力互等定理：τxy=τyx
xy
x y
yx
x y
x y
材料力学-应力状态与应变状态分析
s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz
【精品课件】材料力学课件第八章应力状态与强度理论
单向受力状态
x
x
纯剪切受力状态
y x
双向等拉
R=x/2
o
x/2
R=x
o
o
➢ 一般受力状态的应力圆
y y
y
x
x
x
x
y
B
A
(A, A)
B
A
o
(0, )
o
(B, B)
(0, ) 2(-)
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
80 60
(-40,60)
C
O
60
10M 2 Pa, 22MPa max10M 5 Pa,min65MPa 0 22.5, max85MPa
主平面： 剪应力为零的平面
3
主应力： 主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
2
1
1
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。
三个主应力用1、 2 、 3表示，按代数值大小顺序 排列，即1 ≥ 2 ≥ 3 。
应力状态的分类
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零 二向应力状态：三个主应力中有二个不等于零 三向应力状态：三个主应力均不等于零
第8章 应力状态分析与强度理论
※ 应力状态概述 ※ 二向应力状态分析 ※ 广义虎克定律 ※ 复杂应力状态下的变形比能 ※ 强度理论概述 ※ 四种常用强度理论
§8-1 应力状态的概念
低碳钢和铸铁的拉伸实验
铸铁
低碳钢
断口与轴线垂直
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢
铸铁
螺旋桨轴:
第八章 应力状态分析和强度理论材料力学
（3）主方向 （4）主应力
（5）主单元体
4 广义胡克定律
1.应变叠加原理
各向同性材料在小变形的情况下，当应力不超过比例极限，则线应变只与正 应力有关，剪应变只与剪应力有关，且由正应力引起的某一方向上的应变 可以叠加；
2.主方向上的广义 胡克定律
由σ1 引起三个主方向的线应变为：
由σ2 引起三个主方向的线应变为：
2 二向应力状态分析
1.应力分量及其符号的规定
正应力规定与截面外法线 方向一致为正，反之为负； 剪应力规定对单元体内任 一点的矩顺时针为正，反 之为负；
2.斜截面上的应力
列出平衡方程： 由剪应力互等定理
整理得：
由上面两式可得：
这是关于σα和τα的圆方程；
圆心坐标是
半径是
3.应力圆 以横坐标表示正应力，纵坐标表示剪应力，画出二向应力状态的应力圆
4.应力圆与单元体之间的对应关系
(1)应力圆上的每一点对应单元体上互成1800的二个面上的应力状态； (2)应力圆上的点按某一方向转动2α角度，单元体上的面按相同方向转动α角度； (3)应力圆与α轴的交点代表主平面上的应力； (4)应力圆上代表主平面的点转动900得到剪应力极值点；单元体上主平面转动450得到剪 应力极值平面；
解： （1）应力分量
应力圆
（2）求主平面位置和主应力大小
例3.已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求： （1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向； （3）最大剪应力。
解：
（2）求主平面位置和主应力大小
（3）最大剪应力
例4.薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm， =2mm。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向， 并用单元体表示。
应力应变分析强度理论
裂破坏。
材料力学
第八章 应力状态和强度理论
例8-2-5 求图示单元体的主应力及主平面的位置。（单位： MPa）
45
95
25
3
150 °
25
3
材料力学
第八章 应力状态和强度理论
45
解：主应力坐标系如图 在坐标系内画出点
A ( 95 , 25 3) B ( 45 , 25 3)
25
3
B
°
95
2
例8-2-1 分析受扭构件的破坏规律。
yx
C
xy
T WP
xy
求极值应力
x Байду номын сангаасmax 2 min
y
（
x
2
y
） xy
2 2
y
yx
xy
x
xy
2
O
材料力学
第八章 应力状态和强度理论
tg 2 0 2
( 40 20 ) sin 60 10 cos 60 13 . 66 MPa
材料力学
（3）主应力大小
max
第八章 应力状态和强度理论
( y) 4 (
x 2
1 2
(
x
y)
x
2
2 x
44 . 1 MPa
min
1 2
(
x
y)
y) 4
2
x
令:
0
tg 2 1
x
2 xy
y
y
xy 1
x
O
工程力学材料力学之应力应变状态分析
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
材料力学课件 第八章应力状态与强度理论
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
材料力学08应力状态理论
1.公式推导：
Fin 0 ,
sa dA s xdA cos2 a t xydA cosa sina
s ydAsin2 a t yxdAsina cosa 0
sa
同理， Fit 0, ta
2.任意a斜截面上的应力公式
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
1 2
s11
等于所示阴影部分面积
切应力的极值作用面与正应力
的极值作用面互成 45o的夹角
t max
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 xy
s max
s min
2
min
极值切应力作用面上的正应力：
s0
s0900
sx
sy
2
5.平面应力状态分析的特征 1）斜截面应力、主应力及最大切应力均是指 xy 平面内的应 力，即其作用面均垂宜于 xy 平面。 2)任意两相互垂直截面上的正应力之和为常量
sa0 及sa0900的方向是相互垂直的。其中，a0由sin2a0和cos2a0的
正负号唯一地确定。
3.正应力极值——主应力
sa0
a0 900
s max
min
sx
sy
2
sx
s
2
y
2
t
2 xy
又，ta0 0 极值正应力就是主应力！
a0 900
smax的指向是介于仅由单
2.纯剪切平面应力状态
V
1
2
E
(s
1
材料力学 第八章 应力状态分析
Page 9
第八章 例 求图示 ， 已知 x 80 MPa
x 60 MPa
应力状态分析
y 30 MPa
210
60 80 30
解：
x y x y cos2 x sin2 2 2
80 30 80 30 cos60 (-60)sin60 104.46MPa 2 2
单位：MPa
x y
2
sin2 x cos2
80 30 sin60 60 cos60 =8.35MPa 2
问 可取何值
150 ;
30（x轴向左）
Page10
第八章
应力状态分析
§8-3
一、应力圆
应力圆
应力转轴公式 x y x y cos2 x sin2
a 点处: 纯剪切；c , d 点处: 单向应力； b 点处:
, 联合作用
复杂应力状态下，如何 建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验的工作量与难度 ?
Page 5
第八章
应力状态分析
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况· 应力微体 材料失效机理 •应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的 应力状况，称为该点处的应力状态 •应变状态 构件内一点在各个不同方位的应 变状况，称为该点处的应变状态
min
2
x tan2 x y max x y 0 2 x y CF OC CA x min 2 2 2 x x FD max x y 2 tan 0 CK x 2 x min max y BF min
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
材料力学8、应力分析与强度理论
相 1差45o
• (3)式中两式相减与(4)式比较:
max min
m x a2 2 xm yinmxa 2xy2x2 y --- (3)
• (3)式中两式相加:
mmmmianxianx
m x 2 a m xx y2 iyn x 2 x 2xyy2y2x2 y
--- (4) ---（3）
在这四个点所在的
横截面上，剪力和
弯矩都不为0
z
所以这四个点在横
截面上，既有剪应
P
力也有正应力
P z
max
Q.SZmax IZb
m ax
M Wz
m ax
M Wz
M y Iz
Q
S
z
I zb
l
S
FP
a
y
1
4
z
2
x
3
S平面
y
1
1
1
Mx Wt
z
x1
Mz Wz
2
3
4
4 Mz
4
Mx Wt
x
Mx
3
3
Mx Wt
主方向 tg2： 0x2xyy
---（2）
主应力作用面与主方向配对法则:
(1) 将原单元体上的剪应力等效汇合成两对流出和 流入的剪应力流。
(2) 最大主应力σmax的作用面偏向于流出的剪应力
流方向。
例：纯剪切应力状态及其主应力
等价流出的剪 应力流方向
等价流入的剪 应力流方向
xy,xy0
等价流入的剪 应力流方向
12(x y) a (x ,xy) max 圆心横坐标:
d
min
oc
1 2
材料力学：ch8 应力应变状态分析
泊松比 = 0.33。试求板厚的改变量 与板件的体积改变量 V 。
题 8-16 图
6
解：此为平面应力状态问题。设板厚度方向的正应变为 εz ，则有
εz
μ E
(σ x
σ
y
)
板厚的改变量为
Δδ
z
E
(σ x
σy
0.33 0.010 70 109
(80
40) 106 m
1.886 106 m 0.001886mm
σ1 69.7MPa， σ2 9.9MPa 由于是平面应力状态，故知
σ3 0 从该应力圆上还可以量得 σ1 的方位角为
α0 23.7 式中负号表示从 AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9 图示悬臂梁，承受载荷F = 20kN作用，试绘微体A，B与C的应力图，并确定主应
力的大小及方位。
题 8-9 图 解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为
)
51.7
MPa
7
60
100 80 2
100 2
80
cos(120
)
50
sin(120
)(
MPa
)
128.3
MPa
根据广义胡克定律，得 30°的正应变为
30
1 E
( 30
60 )
200
1 109
Pa
(51.7
106
Pa
0.3128.3106
Pa
)
0.66
10
4
8-18 构件表层一点处的应力如图a所示，为了测量应力，在该点沿 0°，45°与 90°
根据平面应力状态的广义胡克定律，有
x
E 1 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 )2
材料力学
整理可得：
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标
(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
方法一：
27.5
x
2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5
x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF
、纵坐标
y
FDy
y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y
x
y
x
x
y
F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
应力圆圆周上的点。
材料力学
2.应力圆画法
画法1：利用圆心坐标和半径画应力圆
圆心
(
x
y
,0)
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
(
x
2
y
)2
2 x
x y
2
材料力学
画法2：先选定比例尺，单元体上x平面上的应
力对应-坐标系中的Dx点，Dx点的横
坐标 OK x , 纵坐标为x；单元体上y平面
材料力学
并注意到x与y数值相等。
2 x sin cos x cos2 y sin2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
(8-1)
同理，利用 Ft 0 ，可得：
x
y
2
sin 2
x
cos 2
(8-2)
dz
y
dx dy x
x面、y面、z面
材料力学
当一个材料单元体的三个坐标平面 上的应力为已知时，总可以用截面法求 出任意方向面的应力，于是当材料单元 体三个坐标平面的应力已确定时，就称 该单元体的应力状态已确定。
材料力学
P
A
P
A
横截面
材料力学
B A
A
B
横截面
横截面 外轮廓线
材料力学
重申符号规定： ：拉应力为正，压应力为负。 ：顺时针为正，反时针为负。 ：从x轴正向逆时针转到截面外法线 方向为正，反之为负。
此处任意斜截面的意义，平行于Z轴 的任意斜面，该面外法线方向 n 与x轴夹 角为 ，称为面。
材料力学
例81 如图所示单元体，求 指定截面上的正应力和剪应力。
Dy F Dx K (| x || y |)
Dy FC Dx KC
FC KC OK OF x y
2
2
OC OF FC
y
x
y
2
x
y
2
C点为圆心
x y
Dx(x,x)
2
oF
y
Dy
(y,y)
x y
2
即可找到两个互相垂直的极值平面。一个
面上为极大值，另一个面上为极小值。
将
0
1 2
tg 1
2 x x
y
代入(8 1)式可得到
max
min
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
② 当 d
d
2(
x
2
y
sin
2 0
x
cos
2 0
)
0
有
① 的极限
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
d d
2(
x
y
2
令 sin 20 x cos 20 ) 0
(1)
整理可得：tg20
2 x x
y
(2)
材料力学
tg 2( 0
2
)
tg(20
)
tg
20
由(2)式可得出两个相差 的极限平面，
60.8MPa
材料力学
60
x
2
y
sin120
x
cos120
70 sin120 50cos120 2
55.3MPa
② 求主应力
tg 2 0
2 x x y
2 50 70
1.429
01 27.5
02 117 .5
面从x截面沿逆时针 方向转45，所以在 应力圆中从Dx开始逆 时针沿着圆周转圆心
Dy
(-60,30)
角2=90 , 得到点D 。 量得：
D
2=90
C oM
Dx
(40,-30)
D的横坐标 OM 1cm
45 20MPa
D的纵坐标 D M 2.5cm 45 2.5 20 50MPa
材料力学
① 材料单元体上相对坐标面上的 应力大小相等、方向相反。
② 材料单元体上任意方向面上的 应力视作均匀分布。
材料力学
二、平面应力状态分析 解析法
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应 力，求任意方向面上的应力。
材料力学
最一般的情况：九个应力分量 六个独 立（剪应力互等）。
最常见的情况：有一对方向面上的应力 为零，单元体上所有的 应力在同一平面内，称 为平面应力状态。
将
1
1 2
tg 1
x 2 x
y
代入(8-2)式，可得：
max m in
（
x
2
y
）2
2 x
材料力学
例82 图示悬臂梁上A点的应力状态如图所示。 ① 求单元体上指定截面上的应力； ② 求A点主平面和主应力(用主单元体表示)。
A
y
x
=70MPa
30
=50MPa
2
2
96MPa
=
26MPa
70MPa
y 0 x 70 26 96
角度确定了，大靠大，小靠小。
50MPa 96MPa 27.5
62.5 26MPa
材料力学
三、平面应力状态分析的图解法 应力圆
1.应力圆方程
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
应力状态分析
一、应力状态的概念 1.概念：
构件上不同的点有不 同的应 力 —— 应力为位置的函数。
材料力学
P
P
P
A
P
A
P
A
构件上同一点不同的方向面上应
力不尽相同 应力为方向面的函数。
材料力学
一点的各个方向面上的应力情况称 为该点的应力状态。
2.一点的应力状态的表示方法
单元体法：围绕一点取微小的正六面体 材料单元体 z
从 应 力 圆 的 Dx 点 依 照
单元体上角相同的转
F
向量取圆弧 Dx D ，使 o
其所对应的圆心角
DxCD为2
Dy
(y,y)
D点的横坐标 OM
D点的纵坐标 MD
D Dx(x,x)
2
x
CM K
n
y
x
y
x
x
y
材料力学
证明：
设 DxCK 20
材料力学
在-坐标系中，(3)式的轨迹为一个圆，称 为应力圆或莫尔圆。
应力圆的意义：一点的应力状态可用应力 圆来表示；任意斜截面上的正应力和剪应力为 -坐标系中的一个定点，所有这些点的轨迹为 一个圆(应力圆)，应力圆圆周上的任意一点的纵 横坐标代表单元体上某一斜截面上的应力。
即：单元体斜截面
y x
30MPa 40MPa
60MPa
材料力学
解：① 作应力圆
建立坐标系 选取比例尺
1cm=20MPa
Dy
(-60,30)
Co
定出 Dx(40，30) Dy(60，30)